Pertidaksamaan Kuadrat
-
Upload
clinton-cox -
Category
Documents
-
view
411 -
download
64
description
Transcript of Pertidaksamaan Kuadrat
Page 1
Pertidaksamaan Kuadrat
by Gisoesilo Abudi
Page 2
Pengertian
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan
Page 3
Bentuk Umum
ax2 + bx + c * 0
Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R
Tanda (*) adalah tanda pertidaksamaan yaitu :
<, >, ≤, dan ≥
Page 4
Langkah-langkah Penyelesaian
a. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat (jadikan ruas kanan sama dengan 0)
b. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut
c. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval.
d. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Page 5
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x – 14 < 0 !
Penyelesaian.x2 + 5x – 14 < 0⇔ x2 + 5x – 14 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat)
⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar)
⇔ x = -7 atau x = 2Garis bilangan yang memuat (-7) dan 2
-7 2
Page 6
Pengujian
Uji beberapa titik, misalnya :Sebelah kiri -7, diambil -10, maka :(-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif)Antara -7 dan 2, diambil 0, maka :(0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif)Sebelah kanan 2, diambil 3, maka :(3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif)Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah <,
maka interval yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan.
Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R}
-7 2(-) (+) (+)
Page 7
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - x2 ≥ 0 !
Penyelesaian.9 - x2 ≥ 0 ⇔ 9 - x2 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat)
⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar)
⇔ x = -3 atau x = 3Garis bilangan yang memuat (-3) dan 3
-3 3
Page 8
Pengujian
Uji beberapa titik, misalnya :Sebelah kiri -3, diambil -4, maka :9 - (-4)2 = – 7 (negatif)Antara -3 dan 3, diambil 0, maka :9 - (0)2 = 9 (positif)Sebelah kanan 3, diambil 4, maka :9 - (4)2 = -7 (negatif)Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≥,
maka interval yang bertanda positif yang memenuhi pertidaksamaan.
Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R}
-3 3(+) (-) (-)
Page 9
Latihan
Agar kalian lebih memahami cara mencari akar-akar pertidaksamaan kuadrat coba Anda kerjakan latihan di buku paket Erlangga.
Jika kalian kelas x Kelompok BisMen kerjakan soal latihan halaman 63 no. 1 - 10
Jika kalian kelas x kelompok Teknologi kerjakan soal latihan halaman 81 - 82 no. 4.
Selamat Mencoba
Page 10
Menerapkan Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat
by Gisoesilo Abudi
Page 11
Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar
Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.• Jika kedua akarnya sama (x1 = x2), maka : ⇔ D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ b2 = 4ac• Jika kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 ), maka : ⇔ x1 + x2 = - b/a ⇔ -x2 + x2 = - b/a ⇔ 0 = - b/a ⇔ b = 0
Page 12
Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar
• Jika kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1/x2), maka : ⇔ x1 . x2 = c/a ⇔ 1/x2 . x2 = c/a ⇔ 1 = c/a ⇔ c = a
Kesimpulan :1. Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b2 = 4ac2. Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 03. Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a
Page 13
Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya
Misalkan : Menggunakan Perkalian FaktorJika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : (x – x1)(x - x2) = 0
Contoh Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK yang akar-akarnya :a. -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5b. -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)
Page 14
Penyelesaian
a. -2 dan 3 ⇔ x1 = -2 dan x2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0Jadi PK : x2 – x – 6 = 0
Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.
Page 15
Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya
Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya.Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Contoh Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya :a. -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5b. -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)
Page 16
Penyelesaian
a. -2 dan 3 Persamaan kuadratnya : ⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0Jadi PK : x2 – x – 6 = 0
Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.
Page 17
Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar PK lain
Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan PK lain.
Contoh 1Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-akar PK x2 – 8x + 2 = 0 !
Page 18
Penyelesaian.x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2Misalkan akar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1 dan x2
Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α dan β, maka : α = x1 + 5 dan β = x2 + 5, sehinggaα + β = (x1 + 5) + (x2 + 5) = (x1 + x2) + 10
= 8 + 10 = 18 ⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0 ⇔ x2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x2 – 18x + 67 = 0
α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5) = x1.x2 + 5x1 +5x2 + 5.5
= x1.x2 + 5(x1+x2) + 25 = 2 + 5 . 8 + 25 = 67
Page 19
Contoh 2Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) !PenyelesaianJika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru, maka :α = p + 2 ⇔ p = α – 2β = q + 2 ⇔ q = β – 2Karena p merupakan salah satu akar persamaan x2 – 4x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0 ⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x2 – 8x + 17 = 0
Page 20
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka :
Akar-akar baru Persamaan kuadrat baru
x1 + m dan x2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0
x1 – m dan x2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0
mx1 dan mx2
a(mx)2 + b(mx) + c = 0
0cm
xb
m
xa
2
0cm
xb
m
xa
2
21 x
mdan
x
m
m
xdan
m
x 21
Page 21
Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
ContohSejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktek seharga Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktek tersebut !
Page 22
PenyelesaianMisal jumlah siswa : xMasing-masing siswa membayar sebesar : (612.000 : x)Setelah 3 temannya masuk, maka {612.000 : (x + 3)}Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah 3 temannya bergabung.
sehi sehingga
⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ (x + 9)(x – 6) = 0
⇔ x = -9 atau x = 6Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan
3x
612.000
x
612.00034.000
3x
18
x
181