Perspective et projective
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective et projective
Francois Dubois 1
Kafemath
“La Coulee Douce”, Paris 12ieme
jeudi 01 octobre 2009
1 animateur du Kafemath, cafe mathematique a Paris.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Le metro a Canton, juillet 2009
Les droites paralleles dans la “vraie vie” convergent dans l’image !
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Debuts de la perspective...
On propose de se reporter en particulier aux œuvres suivantes :
Giotto (1276-1336), Le Miracle du Crucifix, Basilique d’Assise.
Paolo Uccello (1397-1475), Le Miracle de l’Hostie,Galleria Nazionale delle Marche, palais ducal, Urbino.
Piero della Francesca (1420-1492), La Cite Ideale,Galleria Nazionale, Urbino.
Perugino (1448-1523), Remise des clefs a Saint Pierre,Chapelle Sixtine, Rome.
Albrecht Durer (1471-1528), Le Portillon,Instruction sur la maniere de mesurer a l’aide du compas
et de l’equerre.
Diderot et d’Alembert, L’Encyclopedie (1751-1780), perspective.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Vue en perspective
ligne de visée
Les deux droites paralleles bleues se projettent selon les deux droites rouges
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Vue en perspective
ligne de visée
Les droites paralleles au plan de projectionrestent des paralleles qui ne se coupent pas !
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Vue en perspective
plan horizontal de visée
ligne d’horizon
Les droites paralleles au plan horizontalon leur “point de fuite” sur la ligne d’horizon
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Un cube en perspective (i)
Perspective a un point de fuite
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a un point de fuite
On ajoute les faces laterales
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a un point de fuite
Le cube sans les traits de construction
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a un point de fuite
Avec les traits caches
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Un cube en perspective (ii)
Perspective a deux points de fuite
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a deux points de fuite
On rajoute deux faces laterales
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a deux points de fuite
Puis la face du dessus
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a deux points de fuite
Le cube est termine
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a deux points de fuite
On peut y rajouter les traits caches
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Exemple de perspective a deux points de fuite
jardin public a Canton (juillet 2009)
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
un second exemple moins convaincant...
...depuis la riviere des Perles a Canton (juillet 2009)
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Un cube en perspective (iii)
Perspective a trois points de fuite
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a trois points de fuite
On place trois cotes
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a trois points de fuite
Puis les trois faces associees
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a trois points de fuite
Le cube est termine
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Perspective a trois points de fuite
On peut aussi dessiner les faces cachees
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
La perspective conserve le birapport
A
D
O
A’
D’B
C
B’
C’
birapport [A, B , C , D] ≡CA
CB
DB
DA
Proposition. On a [A′, B ′
, C ′, D ′] = [A, B , C , D]
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
La perspective conserve le birapport (preuve)
Γ
y
O
C C
B = (0, b)
C A = (a, 0) x
C = (x , y )
= (x , 0)
Grace au theoreme de Thales,CA
CB=
ΓA
Γ0=
a − xC
0− xC
= 1−a
xC
Dans le repere x0y de la figure, la droite AB
a pour equationx
a+
y
b= 1
DoncyC
xC
=b
xC
−b
a=
b
a
( a
xC
− 1)
= −b
a
CA
CB
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Conservation du birapport (suite d’une preuve possible)
O A’ = (a’, 0)
C’ = (x’ , y’)C
C = (x , y )
B = (0, b)
A = (a, 0)
CC
C
B’ = (0, b’)
On a vu queyC
xC
= −b
a
CA
CB
De plus, les points O, C ′ et C sont alignes. Doncy ′
C
x ′
C
=yC
xC
On deduit des deux point precedentsb′
a′C ′A′
C ′B ′=
b
a
CA
CB
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Conservation du birapport (fin d’une preuve)
A
D
O
A’
D’
B’
C’
B
C
On a vu queb′
a′C ′A′
C ′B ′=
b
a
CA
CB
De facon analogue,b′
a′D ′A′
D ′B ′=
b
a
DA
DB. Donc
[A′, B ′
, C ′, D ′] =
C ′A′
C ′B ′
D ′B ′
D ′A′=
CA
CB
DB
DA= [A, B , C , D] •
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Division harmonique
D
B
I
J
OC
A
[A, B , C , D] = −1. Un faisceau de quatre droites est harmoniquesi et seulement si une parallele a l’un de ses rayons
est divisee par les trois autres en deux segments egaux.(IB = BJ dans ce cas de figure)
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Geometrie projective
Les droites passant par l’origine (l’oeil de l’observateur)deviennent les points de la “geometrie projective”.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Geometrie projective
droite à l’infini
droites parallèles dans le plan
Le “plan projectif” peut etre identifie a un plan affine usuelauquel on adjoint une “droite a l’infini”.
Deux droites paralleles se coupent en un “point a l’infini” .Deux droites du plan projectif
ont toujours exactement un point d’intersection (!)
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Theoreme de Girard Desargues (1591-1661)
b’
b
a
k
i
j
a’
a"
b"
O
On pose : i = aa′ ∩ bb′, j = aa′′ ∩ bb′′
, k = a′a′′ ∩ b′b′′ .Les points i , j , k sont alignes.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Theoreme de Desargues avec des droites paralleles
a
b
a’
b’
b"
a"
j
i
k
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Theoreme de Pappus d’Alexandrie (≃ 290 - 350)
O a b c
a’
b’
c’
i j
k
On pose : i = ab′∩ a′b , j = ac ′ ∩ ca′ , k = bc ′ ∩ cb′ .
Les points i , j , k sont alignes.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Theoreme de Pappus avec deux droites paralleles
a b
a’ b’ c’
c
j ki
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Dualite : echanger les points et les droites !
N’
n
m
d’
M’D
point m ←→ droite M ′
droite D ←→ point d ′
m ∈ D ←→ d ′∈ M ′
m, n ∈ D ←→ d ′ = M ′∩ N ′
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Dual du theoreme de Pappus
A
B
C
A’
C’
B’
Les droites bleue (AB ′∩ A′B), rouge (AC ′
∩ A′C ) etverte (BC ′
∩ B ′C ) sont concourantes.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Polarite
P
B
C
A
La courbe bleue est une coniqueLes quatre points [A, B , C , P ] forment une division harmonique
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Hexagramme mystique de Blaise Pascal (1623-1662)
a
b c
c’
b’a’
i
j
k
Avec i = ab′∩ a′b , j = ac ′ ∩ ca′ , k = bc ′ ∩ cb′ .
les points i , j , k sont alignes.
![Page 38: Perspective et projective](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012415/617053826b67737c2d1f6d39/html5/thumbnails/38.jpg)
art perspective cube birapport projective anamorphoses
Anamorphoses, ou le jeu avec la perspective
On pourra aller regarder le tableau historique
Hans Holbein le Jeune (1497-1543), Les Ambassadeurs.National Gallery, Londres.
En particulier, on pourra consulter l’ouvrage
Jeanette Zwingenberger, “Holbein le Jeune : l’ombre de la mort”,Parkstone, 1999.
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art perspective cube birapport projective anamorphoses
Lectures utiles
Pierre Pansu, “Geometrie projective”, mars 2007http://www.math.u-psud.fr/∼pansu/
Marie Bouazzi, “Geometrie projective”, octobre 2006http://adsl.hexabyte.tn/bouazzi/geoarch/Prj1/prj.htm
Marc Frantz, “Lessons in Mathematics and Art”, 2005http://mypage.iu.edu/ mathart/viewpoints/lessons
Denis Favennec et Emmanuel Riboulet-DeyrisDouce Perspective. Une histoire d’art et de science,
Editons Ellipses 2007.
Jean-Claude Sidler, “Geometrie projective”, Dunod, 2000.
Pierre Samuel, “Geometrie projective”,Presses Universitaires de France, 1986.