PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf ·...
Transcript of PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf ·...
![Page 1: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/1.jpg)
Persamaan Diferensial Orde 2
![Page 2: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/2.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan orde dua adalah:
y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kontinu.
Jika r(x)=0, p(x) dan q(x) konstan disebut persamaan homogen
Jika r(x)0, disebut persamaan nonhomogen.
Bentuk umum rangkaian orde dua:
dengan fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian
fungsi yang menyatakan sinyal input
)()()()(212
2
txtykdt
tdykdt
tyd
)(ty
)(tx
![Page 3: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/3.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan orde dua dengan bentuk
merupakan persamaan nonhomogen.
Bentuk persamaan homogennya adalah
Persamaan diferensial homogen inilah yang memberikarakteristik pada solusi persamaannya.
Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentukeksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.
)()()()(212
2
txtykdt
tdykdt
tyd
0)()()(212
2
tykdt
tdykdt
tyd
![Page 4: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/4.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Misalkan solusi persamaan diferensial adalah
Persamaan diferensial homogen menjadi
Akar persamaan
0212
2
ststst
Aekdt
dAekdtAed
stAety )(
0212 stAeksks
0212 ksks
24 2
211
2,1
kkks
![Page 5: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/5.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Akar persamaan diferensial homogen telah
Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2
s dua nilai riil berbeda saat
s dua nilai riil sama saat
s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat
24 2
211
2,1
kkks
04 221 kk
04 221 kk
04 221 kk
![Page 6: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/6.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebutoverdamped:
Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped:
Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umumdisebut critically damped:
Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehinggadiperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)
tsts BeAety 21)(
ojs 2,1
tBtAety oot sincos)(
steBAtty )(
1s 2s
sss 21
![Page 7: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/7.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.
Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.
Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda
)0(ydt
dy )0(
BAy )0(tsts BeAety 21)(
tstststs BesAesBeAedtd
dttdy
212121
)(
sehingga
sehingga BsAsdt
dy21
)0(
![Page 8: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/8.jpg)
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat dua akar riil sama
Saat dua akar kompleks
By )0( steBAtty )( sehingga
stst eBsAAeBAtdtd
dttdy
)(
sehingga BAsdt
dy 1)0(
tBtAety oot sincos)( Ay )0(sehingga
tABtBAetBtAedtd
dttdy
oooot
oot sincossincos)(
sehingga oBAdt
dy )0(
![Page 9: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh 1
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1
Jawab:
0)()(5)(4 2
2
tydt
tdydt
tyd
Persamaan diferensial: 0)()(5)(4 2
2
tydt
tdydt
tyd
Bila makastAety )(
Sehingga persamaan menjadi
dan diperoleh dua akar riil:
𝑦 𝑡 𝐴𝑠𝑒 dan 𝑦" 𝑡 𝐴𝑠 𝑒
4𝑠 +5s+1=0
𝑠 1 𝑠dan
![Page 10: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 1 (lanj)
Dengan adanya 2 akar riil ‐1 dan ‐1/4 maka solusi umumnyaberbentuk:
Diketahui y(0)=3 maka
Diketahui juga y’(0)=1 maka
sehingga
Dari pers. (1) dan (2) didapatkan:
Solusi persamaan diferensial:
𝑦 𝑡 𝐴𝑒 +𝐵𝑒
𝑦 0 𝐴 𝐵 3
𝑦 𝑡 𝐴𝑒 𝐵𝑒
𝑦 0 𝐴 𝐵 1
(1)
(2)
𝐴 dan 𝐴
𝑦 𝑡 𝑒 + 𝑒
![Page 11: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh 2
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5
0)(41)()(
2
2
tvdt
tdvdt
tvd
Solusi:
𝑣 𝑡 2𝑒 6𝑡𝑒
Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama
![Page 12: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 3
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3
Solusi:
0)()(4)(6 2
2
tidt
tdidt
tid
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin
Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kompleks
![Page 13: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/13.jpg)
Solusi Persamaan Non Homogen
Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen
dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial
nonhomogen maka kombinasi juga
merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen
Persamaan Nonhomogen
)(2 ty
xykyky 21 ''')()()( 21 tytyty
xykykyykyky 2221212111 ''''''
)()()()(212
2
txtykdt
tdykdt
tyd
xykyky 22212 '''
=0
ataugunakan
maka
)()()( 21 tytyty
y1 solusi persamaan homogen
)(1 ty
![Page 14: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/14.jpg)
Solusi Persamaan Non Homogen
Untuk menentukan solusi persamaan diferensial
nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang
menyerupai dengan konstanta bentuk umum.
Misalnya untuk pilih
Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial danselesaikan untuk konstantanya
)(2 ty
)(tx
ttx 5)( BAtty )(2
![Page 15: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh 4
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3Jawab:Persamaan diferensial homogennya adalah
Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperolehpada Contoh 3 yaitu:
ttidt
tdidt
tid 2)()(4)(6 2
2
0)()(4)(6 2
2
tidt
tdidt
tid
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin
![Page 16: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh 4 (lanj)
Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Pilih dan masukkan ke persamaan di atas
sehingga didapat dan
dan diperoleh dan
ttidt
tdidt
tid 2)()(4)(6 2
2
BAtti )(2
tBAtdt
BAtddt
BAtd 2)()(4)(6 2
2
tBAtA 240
𝐴𝑡 4𝐴 𝐵 2𝑡𝐴 2 4𝐴 𝐵 0
𝐴 2, 𝐵 8 𝑖 𝑡 2𝑡 8
![Page 17: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh 4
Solusi persamaan diferensial homogen
Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin
𝑖 𝑡 2𝑡 8
𝑖 𝑡 𝑖 𝑡 𝑖 𝑡
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin 2𝑡 8
![Page 18: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/18.jpg)
TABEL SOLUSI PARTIKULAR
PD orde 2: y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x)Solusi: y=yh+yp
yh = solusi homogenyp = solusi partikular
![Page 19: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/19.jpg)
LATIHAN
![Page 20: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/20.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 21: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/21.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 22: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/22.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 23: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/23.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 24: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/24.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 25: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/25.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 26: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/26.jpg)
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
![Page 27: PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041122/5d0b2a8388c993e3698ba2f7/html5/thumbnails/27.jpg)
LATIHAN