Assalammualaikum Wr. Wb.

Kelas A – Semester 4

Matematika

Kita bahas bersama, yuk . . . !!!

11310015

11310005

11310006

11310026

11310008

Persamaan kuadrat suatu persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.

Definisi Persamaan Kuadrat

• Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

Koefisien x2 koefisien x Konstanta (suku tetapan)

(jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0

(jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 + bx = 0

 

ax2 + bx + c = 0

Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan :

a. 2x2 = 3x - 8

b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)

C. 2x - 3 = x5

Jawab:

a. 2x2 = 3x – 8Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8

– 3x + 8

2x2 – 3x + 8 =

Jadi, a = , b = dan c =2 -3 8

2x2 = 3x – 8 – 3x + 8

Contoh :

0

b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)

x2 = Kedua ruas dikurangi dengan x2

x2

x2 – 6x + 2

x2 – 6x + 2 = 0

Jadi a = , b = , dan c = 1 -6 2

c. 2x - 3 = x5

Kedua ruas dikalikan dengan x

(2x – 3)x =

2x2 – 3x =

2x2 – 3x – 5 = 0

Jadi a = , b = , dan c = 2 -3 -5

- x2= 2x2 – 6x + 2- x2

Jawab:

0 =

5

2x2 – 6x + 2

5

REMEMBER .…

(a + b)(p + q) =

(a - b)2 =

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a2 - 2ab + b2

ap + bp + aq + bq

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar atau menyelesaiakan persamaan kuadrat, yaitu :

1.Metode faktorisasi

2.Metode melengkapkan kuadrat

sempurna

3.Rumus kuadrat / rumus abc

1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan

Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut

02 cbxax

(ax……) (ax…..) = 0+

a . c

b

P

QP Q

1. x2 ─ x ─ 6 = 0

(x ) (x ) = 0

x = 3 atau x = ─2 ─ 3

+ 2

+─ 6

─ 1

─ 3 + 2

(2x ) (2x ) = 0 2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0

2

(2x ─ 5) (x +1 ) = 0

X=2

5Atau x = ─ 1

+ 2─ 5 ─ 10

─3+

─ 5

+ 2

a

092 x0)3)(3( xx

3x 3x

4.

atau

(– 3x ) (– 3x ) = 0

3. ─ 3x2 ─ 4x + 4 = 0

– 3

(– 3x + 2) (x +2 ) = 0

X= – 23

2x =

+ 2 – 6

─ 12

– 4+

+ 2

– 6

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna dirubah menjadi bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0.

Langkah-langkah :1. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum

bernilai 1 bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.

2. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x, kemudian kuadratkan

3. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan disederhanakan.

2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat

Cara ke-1

Contoh

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusia=-1, b = 4, c = 0. 4x - x2 = 0 x⇔ 2 - 4x = 0 ⇔(½.b)2 = (½.4)2 = 4 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 + 4 ⇔ (x – 2)2 = 4 ⇔ (x – 2) = ±√ 4 ⇔ x – 2 = 2 atau x – 2 = - 2 ⇔ x = 2 + 2 atau x = -2 + 2 ⇔ x = 4 atau x = 0 Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4

Contoh Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 - x – 6 = 0. Solusia = 1, b = -1, c = -6. x2 - x – 6 = 0 ⇔ x2 - x = 6 (½.b)⇔ 2 = (½.1)2 = ¼ ⇔ x2 - x + ¼ = 6 + ¼ ⇔ (x - ½)2 = 6¼ ⇔ (x - ½) = ±√25/4 ⇔ x - ½ = ±5/2 ⇔ x - ½ = 5/2 atau x - ½ = - 5/2

⇔ x = 5/2 + ½ atau x = - 5/2 + ½ ⇔ x = 6/2 atau x - ½) = - 4/2 Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2

Contoh:

x2 + px + q = 0

0q)())((x 22p2

2p

0822 xx

9)1( 2 x

3)1( x

31 x 31 x13 x 13 x

4 x 2x

1.

atau

atau

atau

081)1( 2 x

0)8()( 2

222

22 x

09)1( 2 x

dengan p = 2, q = -8

9)1( x

Cara ke-2

Jadi, akar-akarnya yaitu x = -4 atau x = 2

2. 2x2 –6x –5 = 0

x2 + px + q = 0

0q)())((x 22p2

2p

Karena koefisien dari x2 belum = 1 maka kita bagi 2 (supaya menjadi satu)

x2 –3x – 5/2 = 0

0)()())(( 252

232

23 x

0)()( 25

492

23 x

0)()( 410

492

23 x

0)( 4192

23 x

4192

23 )( x

419

23 )( x

219

23 )( x

23

219 x

23

219

1 x2

319

23

219

2 x2

319

dengan p = -3, q = -5/2

Rumus kuadrat / abc

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan rumus kuadrat/abc maka :

Atau dan

a

acbbx

2

42

2,1

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat

Contoh:

0822 xx

)1(2

)8)(1(422 2

2.1

x

2

32422.1

x

2

622.1

x

2

621

x 2

622

x

41 x 22 x

, jadi a=1, b=2, c=-8

atau

atau

Diskriminan (D) adalah: acbD 42 Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu:

1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

DISKRIMINAN

2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )

3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).

a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional

b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional

Contoh:

0322 xxacbD 42

)3)(1(4)2( 2 D124

16Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya berlainan dan rasional

1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

0322 xx0)1)(3( xx

3 x 1x atau

Contoh:

0522 xxacbD 42

)5)(1(422 24204

Karena D=24>0 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional

Pembuktian:

0522 xx

1.2

)5(1.4)2(2 2

2.1

x

2

20422.1

x

2

2422.1

x

atau

Jadi akar-akarnya adalah:

2

6222.1

x

2

)61(22.1

x

612.1 x

61x 61x

Pembuktian:

2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )

Contoh: 0424

1 2 xx

acbD 42 .

)4)(4

1(422 44 0

Karena D=0, maka kedua akarnya kembar

0424

1 2 xx4

01682 xx

0)4)(4( xx

4x atau

Jadi akar akarnya adalah:

4x

3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).

Contoh:0342 2 xx

acbD 42 )3)(2(442 2416 8

2.2

)3(2.444 2

2.1

x

4

241642.1

x

4

842.1

x 4

842.1

x0342 2 xx

atau

Jadi akar akarnya adalah:

4

84 x

4

84 x

Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar-akar real (akar-akarnya imaginer).

Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-akarnya Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu

Contoh:

Diketahui persamaan kuadrat 0)32(22 ppxx

a. Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut!

b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:

• Mempunyai dua akar yang berbeda

• Mempunyai dua akar sama (akar kembar)

• Tidak mempunyai akar-akar real

Jawab

a. acbD 42

)32)(1(4)2( 2 pp 1284 2 pp

b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:

0D01284 2 pp

0322 pp

0)3)(1( pp

1p 3p atau

•Mempunyai dua akar yang berbeda Mempunyai dua akar sama (akar kembar)

0D

01284 2 pp

0322 pp

0)3)(1( pp

1p 3p atau

Tidak mempunyai akar-akar real

01284 2 pp

0322 pp

0)3)(1( pp

0D31 p

HUBUNGAN ANTARA KOEFISIEN PK. DENGAN SIFAT AKAR

acan berkebalik akarnya-Akar 3.

0b berlawanan akarnya-Akar 2.

a4b kembar akarnya-Akar 1. 2

CONTOH :

qdan pTentukan

0.2-q5x-2qxpersamaan akar -akarkebalikan

adalah 06p-pxxPersamaan akar -Akar2

2

3qdan 0p Nilai Jadi

0p

6p6

6-p2q ca

3q

2-q1 ca

Jawab :

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar P.K.

• Akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah

- =

Dapat disimpulkan bahwa :

dan

+

Contoh:

0822 xx

0)2)(4( xx

41 x 22 x atau

a

bxx 21 1

2 2

a

cxx 21.

1

8 8

0822 xx

22421 xx

82).4(. 21 xx

Pembuktian:

Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat

Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut simetri atau setangkup, jika letak variabel tersebut ditukar, maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.

Contoh:

Bentuk-bentuk simetri

ba abba 22 ba 2222 abba

ba

11

abba

1111

, karena

, karena

, karena

ba abba 22 ba 2222 abba

ba

11

abba

1111

Bentuk-bentuk tidak simetri

, karena

, karena

, karena

Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.

Contoh:

0822 xxAkar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2.

Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:

21 xx

21.xx

22

21 xx

21

11

xx

a.

b.

c.

d.

Jawab:

a

bxx 21 2

1

2

a

cxx 21. 8

1

8

a.

b.

22

21 xx c. 21

221 .2)( xxxx

)8(2)2( 2 164 20

21

11

xxd.

21

12

xx

xx

8

2

4

1

Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu

Contoh:

Diketahui persamaan kuadrat 0)3(102 kxx

Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k

Jawab:

Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.

Jadi 21 4xx Rumus jumlah akar-akar:

101

1021

a

bxx

104 22 xx

105 2 x

22 x

21 4xx

82.41 x

Dari , maka

Rumus hasil kali akar-akar:

a

cxx 21. 3

1

3

kk

38.2 k

316 kk 316

13k

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax

Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

0)( 21 bxx

cax

x )1

(2

1

0)0( 1 cxa

bx 2

0a

c

0a

c

1.Akar-akarnya berlawanan

2. Akar-akarnya berkebalikan

3. Sebuah akarnya sama dengan 0 dan

4. Kedua akarnya bertanda sama

5. Kedua akarnya berlainan tanda

Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat

Contoh:

0)43()12( 22 ppxpx

agar salah satu akarnya sama dengan nol.

Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah 0c

0432 pp

0)4)(1( pp

1p 4p

Jadi:

atau

MENYUSUN PK YANG AKAR –AKARNYA DIKETAHUI

akar-akar

kali hasildan jumlah rumusn Menggunaka 2.

faktorPerkalian n Menggunaka 1.

a. Menggunakan Perkalian Faktor

jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah dan , maka ax2 + bx + c =0 ekuivalen dengan a(x - ) (x - )=0. jadi, jika akar-akar persamaan kuadrat itu dan , maka persamaan kuadrat itu adalah (x - ) (x - ).

• Contoh : tent. persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

jawab : x1 = 2 dan x2 = 5

Maka ( x-x1) (x-x2) = 0

<=>(x-2) (x-5) = 0 <=>x2 – 7x + 10 = 0Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0

Contoh :x1 = 2 dan x2 = 5Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7

x1. x2 = 2.5 = 10Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya

Wasalammualaikum Wr.

Wb.