Perda de Carga Leito Poroso
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PERDA DE CARGA EM MEIOS POROSOS
Cleiton Schmidt1, Guilherme Z. Brambilla1, Lucas Janisch1, Talys G.
Reimers1, Murilo C. Costelli2 1 Alunos do ACEA/UNOCHAPECÓ 2 Professor ACEA /UNOCHAPECÓ
Universidade Comunitária da Região de Chapecó
Resumo
Meios porosos possuem uma diversa aplicação industrial, por exemplo, colunas de destilação ou
extração, processos cromatográficos, adsorção, absorção, torres de recheio para resfriamento ou
umidificação, secagem dentre outros, tornando os processos em geral mais homogêneos. Entretanto,
para a melhor utilização deste processo, é necessário avaliar os custos operacionais, bem como o
tempo de processo. Todos estes processos dependem da permeabilidade do sistema, logo, este artigo
procura determinar experimentalmente o valor da constante de permeabilidade K e da constante C,
comparando os valores com as correlações teóricas (Ergun e Carman-Koseny). O procedimento foi
realizado em uma coluna de leito compactado, variando-se as vazões de água e verificando a perda
de carga na mesma. Os valores obtidos para K em baixas vazões experimental e teórico foram,
respectivamente, 6,43149x10-9 e 1,11459x10-8, possuindo um erro de 42,30%. Para altas vazões
5,15546x10-9 e 1,72716x10-8 respectivamente, possuindo um erro de 70,15%. Os valores da
constante C experimental e teórico foram 0,1438 e 0,5393 respectivamente e o desvio de 73,82%. O
fator de fanning foi obtido e apresentou desvios entre 89,26% e 183,89%. Determinou-se também
os desvios entre os valores de ΔP/L experimentais e obtidos pela Equação de Ergun, obtendo-se
erros elevados, variando de 68,34% até 285,60%. Tais erros são justificados por erros operacionais,
como observação da altura manométrica, ar presente na coluna e também manipulação correta no
controle da vazão.
1. Introdução
Define-se meio poroso aquele que
apresenta um meio sólido que contém poros.
Poros estes que apresentam “furos”, ou seja,
espaços de vazio de diversas formas. Estes
meios porosos podem ser utilizados em
diversos processos industriais, dentre os quais
pode-se destacar a secagem, mistura, adsorção
e filtração. Estes meios porosos podem ser
leitos, rochas, partículas catalíticas (micro-
poros), além de agregados fibrosos (LISBOA,
2000).
A perda de pressão no escoamento
através do leito poroso está relacionada aos
mecanismos físicos de ocorrência do
escoamento, uma vez que os fluidos são
forçados a fluir através de leitos estacionários
de sólidos particulados ou porosos numa
grande diversidade de situações práticas que
incluem a impregnação dos solos pela
umidade, a adsorção, a troca iônica entre
outros (FOUST, 1982).
Nas velocidades de escoamento
baixas, através de passagens muito pequenas,
as perdas de energia cinética são pequenas em
comparação com as perdas pelo arraste. Já,
nas velocidades de escoamento elevadas, as
perdas de energia cinética podem superar
completamente as perdas por arraste (FOUST,
1982).
Segundo Gomide (2005), uma
aplicação de meios porosos é em processos de
resfriamento de líquidos (torres de
resfriamento), onde a perda de carga
geralmente apresenta valores reduzidos,
devido ao recheiro ser bem aberto,
acarretando em uma porosidade elevada de
90%, onde são usados recheios de madeira
empilhada.
A perda de carga que ocorre nos
escoamentos sob pressão tem duas causas
distintas: a primeira é a parede dos dutos
retilíneos, que leva a uma perda de pressão
distruibuída ao longo do comprimento do
tubo, fazendo com que haja uma gradativa
2
queda na pressão total. A segunda causa de
perda de carga é constituída pelos acessórios
de canalização, ou seja, peças necessárias para
montagem da tubulação, as quais provocam
variações bruscas da velocidade,
intensificando assim a perda de energia nos
pontos de sua localização (ROMA, 2003).
Conforme a lei de Darcy, a velocidade
na superfície do fluido sobre um meio poroso
é diretamente proporcional a perda de carga
através do meio, de acordo com a equação 1:
(1)
Onde q é relação entre a vazão (Q) pela área
(A).
Na equação 1, L é a espessura da
camada de leito e k é a permeabilidade
hidráulica que depende das características
estruturais do meio poroso.
A correlação de Carman-Kozeny,
equação 2, é uma equação que relaciona a
permeabilidade (k) do leito com a porosidade
(ε) do meio e o tamanho das partículas (dp),
utilizada em escoamento laminar.
(2)
Onde o β é um parâmetro estabelecido com
valor de 5 por uma esfericidade acima de 0,7
em um escoamento lento.
Segundo Foust et al (1982), a maior
característica que mais influência na queda de
pressão no escoamento é a porosidade do
leito. A presença de partículas finas e grossas
leva a leitos de porosidade mais baixa que a
dos leitos com partículas uniformes, e quanto
mais baixa é a esfericidade da partícula, mais
aberto é o leito, ou seja, maior é a porosidade
do sistema.
A porosidade ɛ é definida como a
razão entre o volume do leito que não esta
ocupado com o material sólido e o volume
total do leito, conforme equação 3:
(3)
A porosidade do sólido maciço é zero.
Após a sua fragmentação, o leito passa a ter
uma porosidade que depende da
granulometria e da forma das partículas
formadas.
Para vazões elevadas a dependência da
variação de pressão (ΔP) com a vazão (Q)
admite uma forma quadrática, que pode ser
expressa pela Equação 5:
(4)
A determinação da perda de carga por
unidade de comprimento pode ser realizada
pela equação de Ergun, a qual pode ser usada
para qualquer regime de escoamento, tanto
laminar quanto turbulento, conforme mostra a
equação 5:
(5)
A primeira parcela da equação de
Ergun corresponde às perdas por atrito
superficial do fluido com as partículas sólidas.
A segunda corresponde ás perdas cinéticas
provocadas pelas mudanças de direção,
expansões e contrações pelo interior do leito
(GOMIDE, 2005).
É possível também expressar um fator
de atrito existente no processo de escoamento,
sendo este definido como o fator de atrito para
baixas vazões.
(6)
Sendo f definido por:
(7)
Para altas vazões:
(8)
3
Simbologia
¹ Adimensional
Então:
(9)
O presente trabalho teve como
objetivo determinar o coeficiente de
permeabilidade e a constante de um meio
poroso, além da determinação das equações
para perda de carga em relação a sua
velocidade de escoamento (alto/baixo).
2. Procedimento Experimental
Antes de dar início a prática,
determinou-se a porosidade do meio e o
diâmetro médio das partículas. Para medir a
porosidade, utilizou-se uma proveta contendo
10 mL de partículas. Adicionou-se água
nestas partículas, de modo que o nível não
ultrapassasse a superfície das mesmas.
Determinou-se o volume de água gasto (sendo
este denominado “volume de vazios”) e,
através da Equação 3, determinou-se a
porosidade do meio, que ficou 0,4125.
Com o intuito de determinar o
diâmetro médio das partículas, colocou-se em
uma proveta 15 mL de água, adicionando-se
63 partículas retiradas de forma aleatória do
leito. Verificou-se o volume deslocado por
estas partículas e (1,5mL), utilizando-se a
equação do volume para uma esfera [Vp =
(πDp³)/6], determinou-se o diâmetro médio
das partículas, sendo o valor encontrado
0,3569 cm.
Para iniciar o procedimento prático,
inicialmente, verificou-se se a válvula estava
fechada e, então ligou-se a bomba. A vazão
era aumentada de 0,5 em 0,5 L/min, sendo
que para cada vazão anotava-se a perda de
carga correspondente, no manômetro de tubo
em U. Durante o aumento da vazão
acompanhou-se várias pedrinhas dentro da
coluna para garantir que o leito não
fluidizasse. Fez-se o caminho inverso para a
verificação de possível histerese.
Figura 1. Aparato Experimental
1: Bomba Centrifuga;
2: Rotâmetro;
3: Manômetro de tubo em U;
4: Leito compactado.
ρ Densidade (Kg/m3) ΔP Perda de carga (Pa)
q Vazão (m/s) dp Diâmetro médio da partícula (m)
A Área (m2) G Aceleração da gravidade (m/s2)
ε Porosidade 1 Μ Viscosidade (N.s/m²)
Re Número de Reynolds 1 M Massa de partículas leito (kg)
C Constante experimental Q Vazão (L/mim)
f Fator Fanning Vp Volume da partícula (cm3)
k Permeabilidade hidráulica (m2) ᴓ Esfericidade das partículas1
β Constante para cálculo1 L Comprimento do leito (m)
4
3. Resultado e Discussão
Com o objetivo de determinar a
permeabilidade do meio poroso (K), plotou-se
o gráfico de ΔP/L vs q , tanto para o aumento
quanto para a diminuição da vazão, conforme
Figura 2.
Figura 2. ΔP/L vs q
Realizando-se a análise da Figura 2,
foi possível determinar a faixa de vazões
baixas que compreende as vazões de 0,5 até 3
L/min (faixa linear), enquanto que a faixa de
vazões mais elevadas compreende as vazões
de 3,5 até 4,5 L/min (faixa quadrática).
Através do gráfico foi possível
observar também que o fenômeno de histerese
se manifesta para vazões mais elevadas, pois,
neste momento, as partículas estão um pouco
mais espaçadas (devido ao aumento da vazão
e queda do gradiente de pressão). Logo, com a
vazão decrescente, as partículas retornam à
sua posição inicial, mas de forma diferente do
que em vazões crescentes, devido,
principalmente à ação da gravidade,
interferindo na maior “estabilidade” das
partículas.
Através das informações das vazões,
foi possível plotar o gráfico de ΔP/L vs q,
separando-se as faixas de vazões baixas e
elevadas, conforme Figura 3 e Figura 4,
respectivamente.
Figura 3. ΔP/L vs q para baixas vazões
O gráfico obtido acima para baixas
vazões ilustra a proporcionalidade da perda de
carga pelo aumento da vazão, conforme cita a
literatura.
Figura 4. ΔP/L vs q para altas vazões
A partir da Figura 3 foi possível
encontrar o valor da permeabilidade
experimental (Kexp), utilizando-se o
coeficiente angular da equação da reta para
este gráfico, com auxílio da Equação 1 e
Kteórico, com a Equação 2. Esses valores são:
Kexp= 6,43149x10-9 e Kteórico =1,11459x10-8.
Na Figura 4, pode-se observar o
comportamento quadrático da curva. A partir
desse gráfico foi possível encontrar os valores
de Kexp, através do coeficiente angular e da
Equação 4, e o Kteórico a partir da equação de
Ergun (equação 5). Os valores encontrados
foram Kexp=5,15546x10-9 e Kteórico=
1,72716x10-8.
Determinou-se também o valor da
constante (C) fazendo-se uso da regressão
linear quadrática e da Equação 4.
Segue abaixo Tabela 1, com os valores
de K e C para cada situação.
5
Tabela 1. Valores de permeabilidade do meio (K) e da
constante (C).
Método K C
Ex
p. Expressão Quadrática 5,15546E-09 0,1438
Expressão Linear 6,43149E-09
Teó
rico
Carman-Koseny 1,11459E-08
Ergun 1,72716E-08 0,5393
A constante de permeabilidade
(experimental) do meio ficou na ordem de 10-
9, enquanto que a teórico ficou na ordem de
10-8, a constante C experimental ficou 0,1438,
enquanto que a teórica 0,5393.
Ainda, é possível comparar a diferença
entre os métodos, conforme segue Tabela 2.
Tabela 2. Desvios
DESVIO (%)
Linear
/Carman-
Koseny
Quadrática/Ergun Quadrática/Linear
K 42,30 70,15 24,75 C 73,82
Analisando-se os desvios, verificou-se
que o menor foi de 24,75%. Quando
comparados os valores teórico e experimental,
verificou-se que o desvio do valor de K para a
equação quadrática é maior (70,15%), quando
comparado ao desvio da equação linear
(42,30%), ou seja, a equação linear fornece
uma aproximação melhor para a constante de
permeabilidade do meio poroso. Ainda, o erro
da constante C ficou em 73,82% quando
comparados os valores teórico e experimental.
Calculou-se também, para as
diferentes vazões, o fator de atrito (f), que é
função de Re. Foi determinado
experimentalmente através da Equação 7,
sendo o “f” teórico para baixas vazões
determinado pela equação 6 e para altas
vazões determinado pela Equação 8. O
gráfico a seguir (Figura 5) ilustra a relação de
f vs Re.
Figura 5. f vs Re
Analisando-se a Figura 5, observou-se
que o fator de atrito diminui com o aumento
de Re (aumento da vazão). Isto se explica
principalmente, pois, com o aumento da
vazão, o leito aumenta de porosidade,
aumentando os espaços vazios e
consequentemente, diminuindo a resistência
ao escoamento da água.
Ainda, pode-se perceber que o fator de
atrito teórico foi menor que o experimental
para todos os valores de Reynolds, pois as
variações de porosidade são desconsideradas
na determinação teórica. O perfil obtido
experimentalmente é semelhante ao teórico.
Determinou-se também o desvio do
fator de atrito (f) teórico em relação ao
experimental, conforme exposto na Tabela 3:
Tabela 3. Desvio do fator de atrito (f) teórico em
relação ao experimental
f exp. f teórico Erro (%)
54,6599 19,2538 183,89
18,2200 9,6269 89,26
13,3035 6,4179 107,29
10,4765 4,8135 117,65
9,1620 3,8508 137,93
8,1556 3,2090 154,15
6,6718 2,7505 142,56
6,1980 2,4067 157,53
5,2700 2,1393 146,34
Como pode ser observado, os erros
variaram de 89,26% a 183,89%. Esses valores
6
são elevados, sendo posteriormente
comentados.
Por fim, determinou-se também os
desvios entre os valores de ΔP/L
experimentais e obtidos pela equação de
Ergun (5), conforme Tabela 4.
Tabela 4. Erro ΔP/L experimental em relação ao
determinado pela Equação de Ergun
ΔP/L q Δ P/L
Ergun
%Erro
507,1279 0,0020 131,5153 285,60
676,1706 0,0040 295,5032 128,82
1110,8517 0,0060 491,9637 125,80
1555,1923 0,0080 720,8967 115,73
2125,1076 0,0100 982,3024 116,34
2724,0015 0,0119 1276,1806 113,45
3033,1081 0,0139 1602,5314 89,27
3680,2999 0,0159 1961,3548 87,64
3960,4278 0,0179 2352,6508 68,34
É possível observar que o erro para
todas as variações de vazões se manteve
elevado, isso se deve, assim como os demais
desvios determinados em todos os resultados,
por erros durante execução do experimento,
como por exemplo, leitura da altura
manométrica, ar dentro da coluna e também
controle da vazão. Ainda, para fins de
cálculos, utilizou-se um diâmetro médio de
partícula, obtido conforme descrito na
metodologia, sendo que esta consideração
também repercute em aumento do desvio em
relação ao teórico.
4. Conclusão
Os meios porosos são dotados de
espaços vazios, que tem por objetivo melhorar
processos industriais, tais como, secagem,
mistura, granulação, filtração, destilação,
extração e adsorção. Desta forma buscou-se
determinar experimentalmente o coeficiente
de permeabilidade (K) e a constante (C).
Tais resultados foram obtidos
experimentalmente e teoricamente (Ergun e
Carman-Koseny), sendo os valores
encontrados Kexp= 6,43149x10-9 e Kteórico
=1,11459x10-8 para baixas vazões, com
desvio de 42,30% e para altas vazões foram
Kexp=5,15546x10-9 e Kteórico =1,72716x10-8,
com desvio de 70,15%.
Os valores da constante C tanto
experimental quanto teórico, foram 0,1438 e
0,5393 respectivamente e o desvio foi de
73,82%, usando-se a equação de Ergun. Pode-
se concluir que a equação linear oferece uma
aproximação melhor para a constante de
permeabilidade.
O fator de fanning foi calculado,
apresentando-se desvios que variam entre
89,26% e 183,89%. Observou-se que os
valores encontrados experimentalmente são
maiores que os valores obtidos teoricamente.
Isso se explica, pois, o aumento da vazão
implica em aumento da porosidade, logo, pela
teoria, essa variação da porosidade não é
considerada.
Já para a variação de pressão os
desvios permaneceram entre 68,34% e
285,6% e podem ser justificados por erros de
leitura manométrica, erros no controle da
vazão, ar na coluna e ainda o uso de um
diâmetro médio da partícula.
5. Referências
FOUST, Alan S.; WENZEL, Leonard A.;
CLUMP, Curtis W.; MAUS, Louis;
ANDERSEN, L. Bryce. Princípios das
Operações Unitárias. 2ª ed. Rio de Janeiro –
RJ: Guanabara Dois, 1982.
GOMIDE, Reynaldo. Operações
unitárias. São Paulo: Ed. do Autor, 2005.
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Uma
abordagem multi-escala para o cálculo da
permeabilidade longitudinal de meios
porosos fibrosos randômicos. Tese de
Doutorado, COPPE – Rio de Janeiro, 2000.
ROMA, W.L. Nelson. Fenômenos de
Transporte para engenharia. São Carlos :
RiMa, 2003.
7
ANEXOS
Memória de Cálculo:
Dados de bancada (Tabela 1)
Vazão Crescente Vazão Decrescente
Q (L/mim) Altura manométrica (m) Q (L/mim) Altura manométrica (m)
0,5 0,053 4,5 0,410
1 0,070 4 0,355
1,5 0,115 3,5 0,305
2 0,161 3 0,273
2,5 0,220 2,5 0,216
3 0,282 2 0,163
3,5 0,314 1,5 0,124
4 0,381 1 0,093
4,5 0,410 0,5 0,060
Cálculo da Porosidade do Leito
A porosidade do leito pode ser mensurada através da razão entre o volume de vazios e o
volume total.
Cálculo do Diâmetro da Partícula
8
Cálculo da queda de pressão
Dados tabelados a T = 21°C:
𝜌água = 998 Kg/m³ (Tabela 2 do anexo)
𝜌fluido = 1588,8 Kg/m³ (do experimento de perda de carga em acessórios hidráulicos).
g = 9,81 m/s²
L= 0,6 m
Cálculo da Razão entre a queda de pressão e a altura do leito poroso
Cálculo da área transversal do leito poroso
Cálculo da velocidade
Para baixas vazões:
9
Para altas vazões:
Cálculo de K pela equação de Carman-Kozeny
O valor do parâmetro β é 5 para meios com esfericidade acima de 0,7:
µ=0,001 N.s/ m2
y=155485x
Cálculo das constantes K e C pela Equação Quadrática de Ergun
10
Substituindo-se K no primeiro termo da equação de Ergun tem-se:
Cálculo das constantes de K e C experimentais
Da equação da reta:
K= 193969
C= 2x106
11
Cexp = 0,1438
Cálculo do P/L pela Eq. Ergun
Cálculo do número de Reynolds
Para baixas vazões (utilizou-se a vazão de 0,5 L/min):
Para altas vazões (utilizou-se a vazão de 3,5 L/min):
12
Cálculo do fator de atrito Experimental
Para baixas vazões (utilizou-se a vazão de 0,5 L/min):
Para altas vazões (utilizou-se a vazão de 3,5 L/min):
Cálculo do fator de atrito teórico para baixas vazões
13
Cálculo do fator de atrito teórico para altas vazões
f = 2,7505
Cálculo dos erros
Erro obtido para o K linear:
Erro % = 42,3
Erro obtido para o K quadrática:
Erro % = 70,15
Erro obtido para a constante C:
14
Erro obtido para o Fanning a baixas vazões:
Erro % = 183,89
Erro obtido para o Fanning a altas vazões:
Erro obtido para ΔP/L:
Erro % = 285,6
15