Penyelesaian akar2 pers nonlinear
-
Upload
seri-rodiah-pakpahan -
Category
Education
-
view
330 -
download
6
Transcript of Penyelesaian akar2 pers nonlinear
BAB 1BAB 1PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN
NONLINEARNONLINEAR
Pandang bentuk persamaannonlinear orde 2.Pandang bentuk persamaannonlinear orde 2.
a
acbbx
2
42
2,1
02 cbxax
Penyelesaian persamaan di atas dilakukan dengan menggunakan rumus Penyelesaian persamaan di atas dilakukan dengan menggunakan rumus kuadratik,kuadratik,
,01ln
,0sin3
,02311825.14.23
32
247
xxx
exx
xxxx
Sekarang, padang persamaan non linear berikutSekarang, padang persamaan non linear berikut..
Untuk menyelesaiakan persoalan tersebut, digunakan perhitungan Untuk menyelesaiakan persoalan tersebut, digunakan perhitungan numerik.numerik.
Metode Penyelesaian akar-akar persamaan nonlinear
1. Metode Tertutup
teknik yang dilakukan dengan menggunakan pembagian interval :
a. metode bagi dua (bisection)
b. metode posisi palsu (false-position)
2. Metode Terbuka
teknik yang dilakukan dengan leleran atau iterasi
a. iterasi titik tetap (fixed-point)
b. metode newton
c. metode secant
1. Metode Biseksi (Bagi dua)1. Metode Biseksi (Bagi dua)
Metode Biseksi disebut juga metode Bolzano.
2
bac
Di mana nilai f(x1) dan f(x2) harus memenuhi f(x1) f(x2) < 0
Selang [a,b] dibagi 2:1. Jika f(c).f(a) < 0 maka b = c 2. Jika f(c) .f(b) < 0 maka a = c
Iterasi akan berhenti, jika dalam kondisi sebagai berikut:1. | a – b | < , di mana adalah toleransi lebar selang yang diberikan2. Jika f(c) = 03. Galat relatif hampiran akar
baru
lamabaru
c
cc
dengan adalah galat relatif hampiran yang diinginkan
1. Jika terdapat lebih dari satu akar, maka akar-akar tidak dapat secara langsung di tentukan2. Tidak dapat mencari akar-akar imajiner3. Tidak dapat menemukan akar ganda (Tidak terdapat perbedaan tanda pada unjung-ujung selang)4. Silngularitas. Jika terdapat titik singularitas, maka nilai fungsinya tidak terdefinisi Bila [a,b] mengandung titik singularitas, iterasi tidak pernah berhenti.
Kelemahan:
ca b
ba c
ba c
bca
Iterasi 1
c:=1/2*(a+b)
Iterasi 2f(a)*f(c)<0, maka:a = a (a tetap), b = c (b geser)
[a, b] - [a,c]
Iterasi 3f(b)*f(c) <0, maka:a = c (a geser), b = b (b tetap)[a, b] - [c,b]
Iterasi 4f(b)*f(c) <0, maka:a = c (a geser), b = b (b tetap)[a, b] - [c,b]
Algoritma
1. Tentukan c:= ½*(a+b);
2. Definisikan: f(a), f(b), f(c)
3. Jika f(a)*f(c)< 0,maka a=a, b=c
jika tidak : a=c, b = b
3. Jika abs(b-a) < epsilon, maka
Tulis akar-akar := c,
Jika tidak, kembali ke 1
mulai
baca a, b, e
selesai
a a, b c
f(a) * f(c) < 0
ya
tidak
c ½*(a + b)
a c, b b
abs(b – a) < e
Tulis “akar c”
tidak
ya
Contoh.
Tentukan akar-akar persamaan non linear f(x) = x3 – 7x + 1
Tentukan akar-akar persamaan non linear dibawah ini
Metode posisi palsu
A=(a, f(a))
B = (b, f(b))
C = (c, 0)
C
A
B
C
bc
bfmBC
)(0
ab
afbfmAB
)()(
Gradien AB adalah mAB dan gradien BC adalah mBc maka
bc
bfmBC
)(0ab
afbfmAB
)()(
)()(
))((
)()(
))((
)(0)()(
afbf
abbfbc
afbf
abbfbc
bc
bf
ab
afbf
mm BCAB
dan
Oleh karena mAB = mAC, maka
a0 c0 b
a1 c1 b1
c0:= b – fb0(b0-a0)/(fb0-fa0)
c1:= b1 – fb1(b1-a1)/(fb1-fa1)
Oleh karena: f(b0)*f(c0) < 0
maka : a1 = c0, b1 = b0
Pendekatan 1
f(a0)*f(b0) < 0
Pendekatan 0
Untuk interval berikut, periksa :
f(a0)*f(c0) > 0
f(b0)*f(c0) < 0
Untuk interval berikut, periksa :
f(a1)*f(c1) > 0
f(b1)*f(c1) < 0
a c bc2:= b2 – fb2 (b2- a2)/(fb2- fa2)
Oleh karena: f(b1)*f(c1) < 0
maka : a2 = c1, b2 = b1
Pendekatan 2
Algoritma
1. Tentukan c := b – (f(b)(b - a))/(b-a);
2. Definisikan: f(a), f(b), f(c)
3. Jika f(a)*f(c)< 0,maka a=a, b=c
jika tidak : a=c, b = b
3. Jika abs(b-a) < epsilon, maka
Tulis akar-akar := c,
Jika tidak, kembali ke 1
mulai
baca a, b, e
selesai
a a, b c
f(a) * f(c) < 0
ya
tidak
c b – (f(b)(b - a))/(b-a)
a c, b b
abs(b – a) < e
Tulis “akar c”
tidak
ya
2. Metode Newton
10
0 0)()('
xx
xf
x
yxfm
Akar persamaan akan diperoleh ketika kurva melalui sumbu x yang didekati dengan garis singgung x= x0.
Gradien garis singgung di x = xGradien garis singgung di x = x00 adalah adalah
10
0 )()('
xx
xfxf
atauatau
a. Pendekatan Geometri
Bentuk di atas dapat diselesaikan menjadi
... 2, 1, ,0untuk ,)('
)(1 n
xf
xfxx
n
nnn
Jika proses ini berulang, maka untuk x1, x2, …, xn dapat ditulis dalam bentuk umum
)('
)(
0
001 xf
xfxx
b. Pendekatan Deret Taylor
Ekspansi deret Taylor orde pertama di sekitar x0 , adalah
))(()()( 00'
0 xxxfxfxf
0)()()()( 0'
0101 xfxxxfxf nn
Misalkan xn+1 adalah akar-akar pendekatan , maka ekpansi
terhadap x = xn+1
atau
)('
)(
)('
)(
0)()()(
0
001
0
001
0'
010
xf
xfxx
xf
xfxx
xfxxxf
n
n
n
Iterasi akan berhenti, jika dalam kondisi sebagai berikut:1. | xn+1 – xn | < , di mana adalah toleransi lebar selang yang diberikan2. Galat relatif hampiran akar
1
1
n
nn
x
xx Adalah galat relatif hampiran yang diinginkan
Catatan:
1. Jika f’(x0), maka ulangi perhitungan dengan x0 lain
Algoritma
1. Baca x0, f(x), f’(x)
2. definisikan xi+1 := xi – f(xi)/f’(xi)
3. Jika abs (xi+1 – xi) < e, maka tulis akar xi+1
jika tidak, kembali ke 1
mulai
baca x0, f(x), f’(x)
selesai
a a, b c
f(a) * f(c) < 0
ya
tidak
c b – (f(b)(b - a))/(b-a)
a c, b b
abs(b – a) < e
Tulis “akar c”
tidak
ya
3. Metode Secant3. Metode Secant
f(x0)
f(x1)
Kemiringan garis dari titik (x1, f(x1)) dan (x2,0)
01
011
)()(
xx
xfxfm
Kemiringan garis dari titik (x2, 0) dan (x0, f(x0)) 02
02
)(0
xx
xfm
m1 = m2
12
1
01
01 )(0)()(
xx
xf
xx
xfxf
Diperoleh penyelesaian untuk x2
)()().(
01
01112 xfxf
xxxfxx
Secara umum ditulis,
... 3, 2, ,1untuk ,)()(
).(1
11
n
xfxf
xxxfxx
nn
nnnnn
1. Tentukanlah akar-akar pendekatan dari
f(x) = x2 – 3
sebanyak 4 iterasi (5 desimal) dengan menggunakan:
a. Metode bagi dua [1,5]
b. Metode secant x0 = 5, x1 = 2
2. Jika akar-akar = 1,73205, tentukan galat setiap iterasi pada kedua
metode tersebut
Tugas 2