Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
-
Upload
kholidanisa1 -
Category
Documents
-
view
324 -
download
9
Transcript of Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
1/44
PENGANTAR TEORI UKURAN
DAN INTEGRAL LEBESGUE
Disusun oleh :Kholida Khoirunnisa
12/331359/PA/14622
Program Studi S1 MatematikaJurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Gadjah Mada
2015
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
2/44
DAFTAR LAMBANG
xA : xanggota AAX : A himpunan bagian (subset) atau sama dengan XN
: himpunan semua asliR : himpunan semua bilangan real
R : himpunan semua bilangan real digabung{, }A : koleksi semua himpunan terukur- di himpunan XM : koleksi semua himpunan terukur-m di himpunan R
infA : batas bawah terbesar himpunan A
sup A : batas atas terkecil himpunan A
: akhir suatu bukti
: akhir suatu contoh
: menujuni=1
ai : penjumlahana1+a2+ +anni=1
ai : gabungana1 a2 anpq : jika pmaka q
: jika dan hanya jika
i
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
3/44
DAFTAR ISI
I HIMPUNAN TERUKUR 1
1.1. Ukuran Luar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Himpunan terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II ALJABAR HIMPUNAN 6
2.1. Aljabar Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Aljabar- Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Ruang Ukuran Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III FUNGSI TERUKUR 14
3.1. Fungsi Terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Konsep Almost Everywheredan Nearly Everywhere . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Fungsi Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
IV INTEGRAL LEBESGUE 24
4.1. Integral Fungsi Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Integral Fungsi Terukur dan Nonnegatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4. Integral Fungsi Terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6. Convergence in Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
4/44
BAB I
HIMPUNAN TERUKUR
1.1. Ukuran Luar
Definisi 1.1. MisalkanX=. Fungsi : 2X R yang mempunyai sifat-sifat :
1. (A)0 untuk setiap A2X
2. () = 0
3. JikaA, B2X
danAB , maka
(A)
(B)
4. Jika{An} 2X maka
n=1
An
n=1
(An)
disebut ukuran luar (outer measure) padaX. (Catatan : R = R {, })
Contoh 1.1. Untuk memperjelas pemahaman dari Definisi 1.1, perhatikan contoh berikut.
Diambil X = R. 2R merupakan koleksi semua himpunan bagian di dalam R. Fungsim : 2R R dengan definisi
m(A) = inf
i=1
l(Ii)|Ai=1
Ii dan Ii selang terbuka
dengan l(Ii) merupakan panjang interval Ii, merupakan ukuran luar pada R.
Bukti. Ambil sebarang A, B 2R. Cukup dibuktikan bahwa m memenuhi keempatsifat pada Definisi 1.1.
1. Panjang intervalIibernilai non negatif, maka jumlahannya juga non negatif. Lebih
lanjut, infimumnya juga bernilai non negatif. Diperoleh bahwa m(A)0
2. 2R. Menurut sifat pertama, m()0. Andaikan m()> 0, tentu ada selangterbuka (a, b) sehingga (a, b). Tetapi mengingat A untuk setiap A R,maka (, ) untuk setiap bilangan real >0. Jadi,
m() = inf>0
{l(, )}= inf
>0{2}
= 0
Terjadi kontradiksi, maka pengandaian diingkar. Jadi, m() = 0
3. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus.
1
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
5/44
(a) Jika m(B) =, maka jelasm(A)m(B) =. Bukti Selesai.(b) Jika m(B) 0, terdapat barisan selang terbuka{Ii} sehinggaB i=1 Ii dan
i=1
l(Ii)< m(B) + (1.1)
Karena AB , tentu A i=1 Ii, yang berakibatm
(A)i=1
l(Ii) (1.2)
Dari (1.1) dan (1.2), diperoleh
m(A)< m(B) +
Dengan kata lain, m(A)m(B)
Jadi, terbukti bahwa jika A, B2R dan AB , maka (A)(B)
4. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus :
(a) Jika terdapatn N sehingga m(Ai) =, makan=1
m(An) =. Didapat
m
n=1
An
n=1
m(An) =. Bukti selesai.
(b) Jikan N, m(An)
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
6/44
Oleh karena itu,
m
n=1
An
n=1
k=1
l (Ink)
0 terdapat himpunan terbukaO sehinggaEO dan(O E)<
3. >0 terdapat himpunan tertutup F sehinggaF E dan(E F)<
Bukti.
1. Dari 1 ke 2.
DiketahuiE terukur-. Oleh karena itu, diambil sebarang > 0, maka terdapat
barisan selang terbuka{Ik} sehingga
Ek=1
Ik
11
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
15/44
dan
k=1
(Ik)< (E) +
k=1
(Ik) (E)<
DiambilO=k=1 Ik. Maka O merupakan himpunan terbuka dan O terukur-
Diperhatikan bahwa O=E (O E) dan = E (O E). Jadi, Edan O Esaling asing, sehingga
(E (O E)) =(E) +(O E)(O) =(E) +(O
E)
(O E) =(O) (E)
Berdasarkan Akibat 2.1 yang pertama,
(O) =
k=1
Ik
k=1
(Ik)
Diperoleh
(O E)k=1
(Ik) (E)
(O E)
Terbukti.
2. Dari 2 ke 3,
Oleh karena E terukur-
, maka EC
juga terukur-
. Menurut 2, >0 terdapathimpunan terbuka O sehingga EC O dan (O EC)< .DipilihF =OC, maka Fmerupakan himpunan tertutup dan
E F=E FC =E O= O E=O EC
Jadi, (E F) =(O EC)< . Terbukti.
3. Dari 3 ke 1,
Diketahui >0 terdapat himpunan tertutup F sehinggaF Edan(E F) } A
2.
{x
E
|f(x)
} A3.{xE|f(x)< } A
4.{xE|f(x)} ABukti. Karena himpunan (i) dan (ii) saling komplemen di E, seperti halnya himpunan
(iii) dan (iv), dan komplemen suatu himpunan terukur adalah terukur, maka (i) dan (ii)
ekuivalen, seperti halnya (iii) dan (iv). Jadi, cukup ditunjukkan bahwa (ii)(iii).
1. Akan dibuktikan (ii)(iii). Diperhatikan
{xE|f(x)< }=n=1
{xE|f(x) 1n}
Karena 1n R, maka{x E|f(x) 1
n terukur-. Lebih lanjut, gabun-
gannya terukur-. Jadi,{xE|f(x)< } terukur-.
2. Akan dibuktikan (iii)(ii). Diperhatikan
{xE|f(x)}=n=1{xE|f(x)< +
1
n}
Karena + 1n R, maka{xE|f(x)< + 1
n terukur-. Lebih lanjut, irisannya
terukur-. Jadi,{xE|f(x)} terukur-.
Berdasarkan teorema di atas, didefinisikan fungsi terukur pada himpunan terukur E.
Definisi 3.1. Fungsi f : X R dikatakan terukur pada E A jika salah satu dari
pernyataan di dalam teorema di atas terpenuhi.
Akibat 3.1. Jikax E A, f(x) = untuk suatu R, makaf terukur padaE.
14
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
18/44
Bukti. Ambil sebarang R. Diperhatikan
{xE|f(x)> }=
E ,jika
,jika >
Masing-masing Edanmerupakan himpunan terukur-. Jadi, ffungsi terukur.
Teorema 3.2. Jika fungsif, g terukur pada himpunan terukur- E, maka
1. Untuk setiap R, f terukur padaE A.
2. f+g terukur padaE.
3. f2 terukur padaE.
4. f g terukur padaE.
Bukti.
1. Akan dibuktikanfterukur pada E.
(a) Jika = 0, maka (f)(x) = 0 untuk setiap xE. Fungsifmenjadi fungsikonstan. Menurut akibat 3.1 di atas, maka fterukur pada E.
(b) Jika >0. Ambil sebarang R, maka
{xE|(f)(x)> }={xE|f(x)>
}
Karena R, maka himpunan{x E|(f)(x) > } terukur. Jadi, f
terukur pada E.
(c) Jika }={xE|f(x)<
}
Karena R, maka himpunan{x E|(f)(x) < } terukur. Jadi, fterukur pada E.
Jadi, fterukur pada E.
2. Akan dibuktikanf+g terukur pada E,
{xE|(f+g)(x)> }={xE|f(x)> g(x)}
Karena x
E
Xdan
R, makaf(x),
g(x)
R. Di antara kedua bilangan
real tersebut, pasti terdapat bilangan rasional r Q, yaitu
g(x)< r < f(x)
15
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
19/44
Didapat
{xE|(f+g)(x)> }={xE|f(x)> g(x)}=
{x
E
|
g(x)< r < f(x)
}={xE|f(x)> r g(x)> r}={xE|f(x)> r} {xE|g(x)> r}
Masing-masing{x E|f(x) > r} dan{x E|g(x) > r} terukur-, maka{xE|(f+g)(x)> } terukur-. Jadi, f+g fungsi terukur.
3. Akan dibuktikanf2 terukur pada E. Diperhatikan
{xE|f2(x)> }={xE|f(x)> f(x) } {xE|f(x)} dan{x E|f(x) } terukur. Jadi, f2 terukur pada E.
4. Akan dibuktikanf g terukur pada E. Diperhatikan
f g=
1
2 ((f+g)2
f2
g2
)
Oleh karena masing-masing f+ g, f2 dan g2 terukur-, maka f g juga terukur-.
Jadi, f g terukur pada E.
Teorema 3.3. Diketahuifn fungsi terukur pada himpunan terukur- E,n N. Untuk
setiap x
R, fungsi-fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
1. maxkn fk(x) = max{f1(x), f2(x), , fn(x)}
2. minkn fk(x) = min{f1(x), f2(x), , fn(x)}
3. supkn fk(x) = sup{fn(x), fn+1(x), }
4. infkn fk(x) = inf{fn(x), fn+1(x), }
5. lim fk(x) = infn1supkn fk(x)
6. lim fk(x) = supn1infkn fk(x)
merupakan fungsi terukur padaE.
16
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
20/44
Bukti.
1. Untuk maxkn fk,
{x
E|
maxkn
fk(x)> }
={
x
E|
max{
f1(x), f2(x),
, fn(x)}
> }
={xE|f1(x)> f2(x)> fn(x)> }
=n
k=1
{xE|fk(x)> }
Karena masing-masing{x E|fk(x) > } terukur-, maka gabungannya jugaterukur-. Jadi, maxkn fk terukur pada E.
2. Untuk minkn fk,
{xE| minkn
fk(x)> }={xE| min{f1(x), f2(x), , fn(x)}> }
={xE|f1(x)> f2(x)> fn(x)> }
=n
k=1
{xE|fk(x)> }
Karena masing-masing {xE|fk(x)> } terukur-, maka irisannya juga terukur-. Jadi, minkn fk terukur pada E.
3. Untuk supkn fk(x),
{xE| supkn
fk(x)> }={xE| sup{fn(x), fn+1(x), }> }
={xE|fn(x)> fn+1(x)> }
=k=n
{xE|fk(x)> }
Karena masing-masing{
x
E|fk(x) >
} terukur-, maka gabungannya juga
terukur-. Jadi, supkn fk terukur pada E.
4. Untuk infkn fk(x),
{xE| infkn
fk(x)< }={xE| inf{fn(x), fn+1(x), }< }
={xE|fn(x)< fn+1(x)< }
=
k=n{xE|fk(x)< }
Karena masing-masing{x E|fk(x) < } terukur-, maka gabungannya jugaterukur-. Jadi, infkn fk terukur pada E.
17
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
21/44
5. Untuk lim fk(x) = infn1supkn fk(x),
{xE| lim fk(x)> }={xE| infn1
supkn
fk(x)> }
=
n=1
k=1
{xE|fk(x)> }
Karena masing-masing{xE|fk(x)> } terukur-, maka gabungan dan irisan-nya juga terukur-. Jadi, lim fk terukur pada E.
6. Untuk lim fk(x) = supn1infkn fk(x),
{xE| lim fk(x)< }={xE| supn1
infkn
fk(x)< }
=n=1
k=1
{xE|fk(x)< }
Karena masing-masing{xE|fk(x)< } terukur-, maka gabungan dan irisan-nya juga terukur-. Jadi, lim fk terukur pada E.
3.2. Konsep Almost Everywhere dan Nearly EverywhereDefinisi 3.2. Suatu pernyataan P(x) dikatakan berlaku/benar hampir di mana-mana
(h.d) atau almost everywhere (a.e) pada himpunan terukur- E, jika terdapat A Esehingga(A) = 0 danP(x) berlaku benar untuk setiap xE A.
Contoh 3.1. Diberikan f : [a, b] R
f(x) =
1 , x[a, b] irasional0 , x
[a, b] rasional
Diambil A =koleksi semua bilangan rasional di dalam [a, b], maka m(A) = 0. Lebih
lanjut, f(x) = 1 untuk setiapx[a, b] A. Jadi, pernyataanf(x) = 1 dikatakan hampirdi mana-mana pada [a, b].
Definisi 3.3. Suatu pernyataan P(x) dikatakan berlaku/benar nyaris di mana-mana
(n.d) atau nearly everywhere (a.e) pada himpunan terukur- E, jika terdapat A EsehinggaP(x) berlaku benar untuk setiap xE A.
Terlihat bahwa definisi nearly everywherelebih lemah daripada almost everywhere.
Teorema 3.4. Jika pernyataanf(x) =g(x) almost everywhere pada himpunan terukur-
padaE danf terukur padaE, makag terukur padaE.
18
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
22/44
Bukti. Karena f(x) =g(x) h.d pada E, maka terdapat AE sehingga (A) = 0 danf(x) =g(x) untuk setiap xE A. Diperhatikan
{xE|g(x)> }={xE A|g(x)> } + {xA|g(x)> }={xE A|f(x)> } {xE|f(x)=g(x)}
Karena (A) = 0 maka ({xE|f(x)=g(x)}) = 0, maka{xE|g(x)> } terukur-. Jadi, g terukur pada E.
3.3. Fungsi Sederhana
Definisi 3.4. DiberikanEX. FungsiE :X R dengan rumus
E(x) =
1 , xE0 , x /E
disebut fungsi karakteristik (characteristic function) padaE.
Teorema 3.5. JikaEX terukur-, makaE merupakan fungsi terukur padaX.Bukti. Ambil sebarang
R,
1. Jika
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
23/44
disebut fungsi sederhana (simple function) padaE.
Teorema 3.6. Jikadan masing-masing fungsi sederhana, maka, + dan juga fungsi sederhana.
Bukti. Katakan =
mk=1 ckEk dan =
nj=1 djFj dengan E=
mk=1
Ek =
nj=1
Fj.
Dibentuk Akj=Ek Fj . Diperolehn
j=1
Akj =n
j=1
(Ek Fj) =Ekn
j=1
Fj =Ek E=Ek
m
k=1Akj =
m
k=1(Ek Fj) =Fj
m
k=1Fj =Fj E=Fj
maka
1.
= mk=1
ckEk =mk=1
(ck)Ek
Karena ck R, maka merupakan fungsi sederhana.
2.
+ =
mk=1
ckEk+
nj=1
djFj
=mk=1
cknj=1Akj+n
j=1
djmk=1Akj
=mk=1
nj=1
(ck+dj)nj=1Akjmk=1Akj
merupakan fungsi sederhana.
3.
=mk=1
ckEk
nj=1
djFj
=mk=1
cknj=1Akj
nj=1
djmk=1Akj
=
mk=1
nj=1(ck dj)
nj=1Akj
mk=1Akj
20
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
24/44
merupakan fungsi sederhana.
Teorema 3.7. E Xmerupakan himpunan terukur-
. Untuk setiap n N didefin-isikan fungsi terukur padaE , fn : X R. Jika{fn} almost everywhere konvergen kesuatu fungsif, makaffungsi terukur padaE.
Bukti. Berdasarkan definisi almost everywhere, dapat dianggap bahwa{fn} konvergenkef pada E. Dengan kata lain,xE >0nx N sehinggaknx berlaku
|fk(x) f(x)|<
Oleh karena
{fk
}fungsi terukur- maka himpunan
{x
E
|fk(x) <
1n
} terukur-
untuk setiap R. Didapat
{xE|f(x)< }=n=k
k=1
{fk(x)< 1n}
merupakan himpunan terukur-. Jadi, f fungsi terukur pada E.
Akibat 3.2. Fungsi f : X R terukur pada himpunan terukur- E jika dan hanya
jika ada barisan fungsi sederhana{n} padaEyang konvergen kef almost everywherepadaE.
Bukti.
1.Syarat cukup jelas terpenuhi, berdasarkan Teorema 3.7
2. Dibentuk komponen-komponen
En={xE|f(x)f(x) 12n
}
fterukur pada E, sehingga En terukur-.
Dibentuk
Ei ={xE|i 12n
f(x) 12n
}untuki1, maka Ei terukur-.Tulis ci=
i12n
dan di= i2n
, maka di ci= 1n . Dibentuk fungsi-fungsi sederhana
n= 1
2
nEn+
2n
i=1
ciEi
n= 1
2nEn+
2ni=1
diEi
21
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
25/44
Terlihat bahwa n(x)f(x)psin(x) dan
n(x)n+1(x)f(x)n+1(x)n(x) (3.1)n(x)
n(x) =
1
2n
(3.2)
Berdasarkan hasil (3.1) dan (3.2) diperoleh bahwa barisan fungsi sederhana naik
monoton{n} dan barisan fungsi sederhana turun monoton{n} yang konvergenkefh.d pada E.
Jadi, barisan fungsi sederhana{n}dengan n= n n2
konvergen kefpadaE.
Akibat 3.3. Jika fungsif :X R terukur pada himpunan terukur- E maka >0terdapat fungsi sederhana sehingga
|f(x) (x)|<
almost everywhere padaE.
Bukti. Berdasarkan bukti teorema sebelumnya,
n(x)f(x)n(x)
n(x) n(x) = 12n
Didapat
n(x) fn(x) 12n
fn(x) (x) 12n
Diambil sebarang > 0, menurut Archimedean properties, terdapat bilangan asli n0
sehingga1
2n0<
Diambil= n0 atau = n0, didapat
(x) f(x) =n0(x) f(x) 1
2n0<
f(x) (x) =f(x) n0(x) 1
2n0<
22
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
26/44
Jadi,
|f(x) (x)|< Terbukti.
Teorema 3.8. Jika =n
k=1 kEk fungsi sederhana pada E =n
k=1 Ek maka ada
fungsi sederhana =m
i=1 iFi padaE =m
i=1 Fi sehingga Fi Fj = untuk i= j,dan
=
Bukti. Diambil{1, 2, . . . , m} {1, 2, . . . , n} dengan i= j untuk i= j danFi ={xE|(x) =i}. Diperoleh =
mi=1 iFi
Definisi 3.6. Fungsi sederhana =m
i=1 iFi denganFi Fj =untuki=j disebutFungsi Sederhana bentuk Kanonik
23
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
27/44
BAB IV
INTEGRAL LEBESGUE
4.1. Integral Fungsi Sederhana
Definisi 4.1. Diberikan=ni=1
iEi fungsi sederhana berbentuk kanonik.
E
=n
i=1i
(Ei)
disebut integral fungsi sederhana pada E. Lebih lanjut, jikaE
berhingga, maka
dikatakan terintegral Lebesgue.
Teorema 4.1. Diberikan=ni=1
iEi fungsi sederhana kanonik padaE. JikaAEterukur-, maka
A
=ni=1
i(A Ei)
Bukti.
A= A E
A= A
ni=1
Ei
A=ni=1
A Ei
Karena =ni=1
iEi , maka
A =ni=1
iEiA
merupakan fungsi sederhana pada A.
Sehingga
A =n
i=1 i(A Ei)
24
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
28/44
Akibat 4.1. Jika fungsi sederhana kanonik terintegral pada E, maka terintegral
padaAEyang terukur-
Teorema 4.2. =n
i=1
iEi dan =m
j=1
jFj fungsi sederhana kanonik padaE dan
a R, maka1.E
= E
2.E
(+) =E
+E
3. Jika0, makaE
0
4. Jika, makaE
E
Bukti.
1.
E
a=ni=1
ai(Ei)
=ani=1
i(Ei)
=a
E
2. Diperhatikan bahwa + =ni=1
iEi+mj=1
jFj . DibentukAij =Ei Fj. Ambilsebarang i ,j,k,l, dengan 1 1, k n dan 1 j, l m, maka Aij Alk =(Ei Fj) (Ek Fl) = =.
+=mj=1
ni=1
(i+j)Aij
=
mj=1
ni=1
iAij+
mj=1
ni=1
jAij
Didapat
E
(+) =mj=1
ni=1
i(Ei Fj) +
mj=1
ni=1
j(Ei Fj)
=
n
i=1 i
(Ei) +
m
j=1 j
(Fj)
=
E
+
E
25
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
29/44
3. Jika0, maka=ni=1
iEi0, didapat
E
=n
i=1
i(Ei)
0
4. Diketahui, artinya0. Menurut teorema poin 3, didapatE
0.Selanjutnya menurut teorema poin 1 dan 2, didapat
0E
0E
E
E
E
4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas
Teorema 4.3. DiketahuiE X dengan Xhimpunan terukur. Fungsif : X Rterbatas h.d padaE. Fungsif terukur padaEjika dan hanya jika
sup
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
30/44
Dibentuk fungsi sederhana
n(x) =ni=1
ciEi(x)
n(x) =ni=1
diEi(x)
Jadi jelas bahwa
b(x)f(x)n(x)dan
n(x)
n(x)
di
ci
Diperoleh
0E
n E
n=ni=1
(di ci)(Ei)
= 1
n(M m)
ni=1
(Ei)
= 1
n(M m)(E)
Untukn diperoleh
limn
1
n(M m)(E) = 0
limn
E
n E
n = 0
Dengan kata lain, >0n0 sehingga untuk setiap nn0 benar bahwaE
n E
n<
Karena{n} naik monoton dan{n} turun monoton, dapat diambil kesimpulan
supnf
E
n= inff
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
31/44
Diketahui fterbatas h.d pada Edan
supf
E
= inff
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
32/44
1.E
f=E
f
2.E
(f+g) =E
f+E
g
3. Jikaf
0, makaEf
0
4. Jikaf g, makaE
f E
g
5. Jikaaf(x)b h.d padaE, maka
a (E)E
f b (E)
Bukti.
1. Untuk
0 maka
, didapat
E
f= supf
E
= supf
E
=
E
f
Untuk
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
33/44
Sedangkan
E
(f+g) = inf f+g
E
= inf f+g1+2E1+2
= inf f+g1+2
E
1+
E
2
inff1
E
1+ infg2
E
2
=
E
f+
E
g
Jadi terbukti bahwa
E(f+g) =
Ef+
Eg
3. Karenaf(x)0 h.d padaE, maka terdapat fungsi sederhana sedemikian hingga0f h.d pada E. Jadi
E
f= inff
0
4. Karena f g h.d pada E, maka g(x) f(x)0 h.d pada E. Didapat
E
g f 0 danE
g f=E
g+ (f) =E
g+
E
(f) =E
g E
fDiperoleh
E
g E
f 0
sehingga E
gE
f
5. Dibentuk fungsi sederhana aE dan bE serta = aE dan = bE. Karena
af(x)b maka
E
Ef
E
E
aEE
f
E
bE
a
E
EbE
f
E
E
a(E)E
f b(E)
Teorema 4.6. Jikaf fungsi terukur dan terbatas h.d padaEdan ada himpunan terukur-
DEsehingga(D)
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
34/44
padaE.
Bukti. KarenaE=D (ED) danD (ED) = serta(D)
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
35/44
Jadi, fterintegral Lebesgue.
4.4. Integral Fungsi Terukur
Diketahuiffungsi kontinu pada himpunan terukur- E. Didefinisikan fungsif+ dan
f sebagai berikut
f+(x) =
f(x) , f(x)00 , f(x)< 0
f(x) =
f(x) , f(x)00 , f(x)> 0
Jadi diperoleh f+
dan f
fungsi terukur dan nonnegatif pada Edan f=f+
f
serta|f|= f+ +f.
Definisi 4.4. Jikaffungsi terukur pada himpunan terukur- Emaka nilai
E
f=
E
f+ +
E
f
disebut integral Lebesgue fungsif padaE. JikaE
f
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
36/44
1. Untuk0 maka f= (f)+ (f), diperolehE
f=
E
(f)+ (f)
=E(f)
+
E(f)=(
E
(f)+ E
(f))
=
E
f
Untuk
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
37/44
3. Diketahuif g maka
f+ f g+ gf+ +g
f +g+
E
f+ +g E
f +g+E
f+ +
E
g E
f +
E
g+E
f+ E
f E
g+ E
gE
fE
g
4. Diperhatikan f=f+
f
, makaAB
f=
AB
f+ E
f
=
A
f+ +
B
f+ (A
f +
B
f)
= (
A
f+ A
f) + (
B
f+ B
f)
=
A
f+
B
f
4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue
1. Teorema Kekonvergenan Integral Fungsi Terukur dan Terbatas
Teorema 4.11. Diketahui(E)
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
38/44
{fn} terukur dan terbatas pada E serta konvergen ke f h.d pada E, maka >0=
4M dann0 N sehinggann0 berlaku
|f(x) fn(x)|< 2(E)
xE A. Dan
|E
fE
fn|=|E
f fn|
E
|f fn|
=
EA
|f fn| +A
|f fn|
EA
2(E)+A |f| + A |fn|
<
2(E)(E A) +M (A) +M (A)
<
2(E)(E) +M (A) +M (A)
2+M
4M +M
4M =
2. Teorema Kekonvergenan Fungsi Terukur dan Nonnegatif (Lemma Fatom)
Teorema 4.12. Jika ,{fn}barisan fungsi terukur dan nonnegatif padaEhimpunanterukur dan{fn} konvergen kef padaE, makafterintegral Lebesgue dan
E
f limE
fn = sup inf
E
fn
Bukti. Berdasarkan yang diketahui, ada fungsi terukur dan terbatas h pada Esehingga h(x) f(x) h.d pada E. Dibentukhn(x) = min{h(x), fn(x)} x E,maka
hn(x)h(x)fn(x)
sehingga E
h = limn
E
hn limn
E
fn
Selanjutnya E
f= suphf
E
hlim n E
fn
35
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
39/44
3. Teorema Kekonvergenan Monoton
Teorema 4.13. Jika
{fn
}barisan fungsi terukur dan nonnegatif serta naik mono-
ton pada himpunan terukur- Edan konvergen kefh.d padaEmaka
E
f= lim
E
fn
Bukti. Berdasarkan Lemma Fatom 4.12, diperolehE
f lim E
fn. Selanjutnya
karena{fn} naik monoton dan konvergen ke f maka fn(x) fn+1(x) f(x) h.dpada E. Sehingga didapat
limEfn Ef. Diperoleh
lim
E
fnE
f limE
fn
Akan tetapi mengingat limE
fnlimE
fn, maka
lim
E
fn=limE
fn=
E
f
4. Teorema Kekonvergenan Lebesgue
Teorema 4.14. Diketahui barisan fungsi terukur{fn} pada himpunan terukur-Edan fungsi terintegral Lebesgueg padaE. Jika{fn} konvergen ke suatu fungsifpadaE dan|fn(x)| g(x) h.d padaEmakaf terintegral Lebesgue padaE dan
Ef = limnEfnBukti. Diperhatikan bahwa
(a) Karena{fn} barisan fungsi terukur pada Edan konvergen h.d ke f pada E,maka fterukur pada Edan|f(x)| g(x)
(b) Karena|f(x)| g(x) h.d padaEdan g terintegral Lebesgue maka fn terinte-gral Lebesgue
(c) Karenafn terintegral Lebesgue maka fterintegral Lebesgue.
Selanjutnya diperhatikan bahwa
|fn(x)g(x)
36
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
40/44
g(x)fn(x)g(x)diperolehg(x) fn(x)0 dan fn(x) +g(x)0.
(a) Diketahui g(x)
fn(x)
0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-
genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperolehE
g f limE
g fnE
g E
fE
g+ lim
E
fnE
g E
fE
g limE
fn
Ef limEfnE
f limE
fn
(b) Diketahui g(x) +fn(x)0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh
Eg+f lim Eg+fnE
g+E
fE
g+ limE
fnE
f limE
fn
Dari hasil kesimpulan di atas, didapat
limE
fn Ef lim Efn
Selanjutnya karena selalu berlaku
lim
E
fnlimE
fn
maka limE
fn= limE
fn=E
f. Jadi,
E
f = limn
E
fn
37
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
41/44
5. Generalisasi Teorema kekonvergenan Lebesgue
Teorema 4.15. Diketahui barisan fungsi terukur{fn} pada himpunan terukur- E dan barisan fungsi terintegral Lebesgue{gn} yang konvergen ke suatu fungsi
terintegral Lebesgue pada E. Jika{fn} konvergen ke suatu fungsi f pada E dan|fn(x)| gn(x) h.d padaEmakaf terintegral Lebesgue padaE danE
f = limn
E
fn
Bukti. Diperhatikan bahwa
(a) Karena{fn} barisan fungsi terukur pada Edan konvergen h.d ke f pada E,maka fterukur pada Edan|f(x)| gn(x)
(b) Karena|f(x)| gn(x) h.d pada Edan{gn} konvergen ke suatu fungsi terin-tegral Lebesgue sebut g pada Emaka fn terintegral Lebesgue.
(c) Karenafn terintegral Lebesgue maka fterintegral Lebesgue.
Selanjutnya diperhatikan bahwa
|fn(x)gn(x)
gn(x)
fn(x)
gn(x)
diperolehgn(x) fn(x)0 dan fn(x) +gn(x)0.
(a) Diketahuign(x) fn(x)0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh
E
g f limE
gn fn
Eg
Ef lim
Egn+ lim E
fnE
g E
f limE
gn limE
fnE
g E
f
E
g limE
fnE
f limE
fn
(b) Diketahuign(x) + fn(x)0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-
38
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
42/44
genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh
E
g+f limE
gn+fn
Eg+
Ef lim
Egn+ lim
Efn
E
g+
E
fE
g+ lim
E
fnE
f limE
fn
Dari hasil kesimpulan di atas, didapat
limE
fnE
f limE
fn
Selanjutnya karena selalu berlaku
lim
E
fnlimE
fn
maka limE
fn= limE
fn=E
f. Jadi,
E
f = limn
E
fn
4.6. Convergence in Measure
Definisi 4.5. Diberikan E himpunan terukur-. Barisan fungsi terukur{fn} pada Edikatakan konvergen in measure ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan > 0
terdapatn0 N sehinggann0 berlaku
{xE| |fn(x) f(x)| }<
Teorema 4.16. Diberikan E himpunan terukur-. Jika barisan fungsi terukur{fn}konvergen in measure kef h.d padaE, maka ada barisan bagian{fnk} yang konvergenkefh.d padaE.
Bukti. Ambil sebarang bilangan asli n, karena {fn} konvergenin measurepadaE, maka
{xE| |fn(x) f(x)| 12n
}< 12n
39
-
7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf
43/44
Selanjutnya dibentuk
En={xE| |fn(x) f(x)| 12n
}
maka (En)< 12n
.
Jika x /En maka|fn(x) f(x)|< 1
2n yang berarti limn fn(x) =f(x)x /E.Jika x /A = n=1k=n Ek diperoleh limn fn(x) =f(x) pada E A, dengan
(A) =
n=1
k=n
Ek
k=n
Ek
k=n
(Ek)