PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS UNTUK MENGEKSPLORASI ...€¦ · penulis ajukan adalah “Eksplorasi...
Transcript of PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS UNTUK MENGEKSPLORASI ...€¦ · penulis ajukan adalah “Eksplorasi...
PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS UNTUK MENGEKSPLORASI
KARAKTERISTIK SEGIEMPAT
THE APLICATION OF COMPLEX NUMBERS TO EXPLORE
QUADRILATERAL CHARACTERISTICS
Oleh:
DWI TRISTIANTO
NIM : 662011003
TUGAS AKHIR
Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2017
ii
iii
iv
v
vi
Motto
“Jika Kamu Berhenti Berhenti Berjuang, Maka
Disitu Pula Kisahmu Akan Berakhir”
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT atas limpahan berkat, rahmat dan hidayah-
Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir (Skripsi) sebagai
prasyarat menyelesaikan Studi Strata 1 (S1) pada Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Judul yang
penulis ajukan adalah “Eksplorasi Bangun Segiempat Menggunakan Bilangan
Kompleks dan Penerapannya”.
Dalam penyusunan dan penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan,
bimbingan serta dukungan dari berbagai pihak. Untuk itu dalam kesempatan ini
penulis menyampaikan ucapan terimakasih kepada:
1. Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat. selaku Dekan Fakultas Sains dan
Matematika,
2. Dr. Bambang Susanto, MS selaku Ketua Program Studi Matematika
sekaligus pembimbing utama yang selalu bijaksana memberikan
bimbingan, nasehat serta waktunya selama penelitian dan penulisan
skripsi ini,
3. Dra. Lilik Linawati, M.Kom. selaku Wali Studi sekaligus pembimbing
pendamping yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan
memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini
sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik,
4. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto, MS,
Dra. Lilik Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Tundjung
Mahatma, M.Kom, Didit Budi Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini Parhusip,
M.Sc., Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si yang telah memberikan ilmu
pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW serta Pak Edy
sebagai Laboran yang telah memberikan bantuan kepada penulis,
5. Staf TU FSM: Mbak Eny, Bu Ketut dan Mas Basuki,
6. Keluarga besar saya yang selama ini selalu sabar memberi dukungan untuk
menyelesaikan tugas akhir ini.
7. Teman-teman dari Pegunungan Tengah Papua Football Club (PTP FC),
viii
8. Teman-teman dari KOMAPO FC,
9. Teman-teman berbagi cerita Cristine, Wawan, Daus, Imam, Regi, Condro,
Billy, Anggoro, dll. yang tidak bisa penulis sebutkan satu-satu karena
mereka semua yang telah berjasa dalam membantu penulis untuk
menyelesaikan tugas akhir ini.
Semoga Allah SWT memberikan balasan atas segala amal baik yang telah
membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh
sebab itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk
penulis. Akhirnya semoga Allah SWT meridhoi amal kita semua. Amin.
Salatiga, 14 Agustus 2017
penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. ii
MOTTO .............................................................................................................. vi
KATA PENGANTAR ....................................................................................... vii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xi
DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xiii
ABSTRACT ........................................................................................................ xiiv
ABSTRAK .......................................................................................................... xv
BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ......................................................................... 1
1.2. Perumusan Masalah .................................................................... 1
1.3. Tujuan ......................................................................................... 2
1.4. Batasan Masalah ......................................................................... 2
1.5. Metodologi Penelitian ................................................................. 2
1.6. Sistematika Penulisan ................................................................. 2
BAB II. DASAR TEORI ................................................................................... 3
2.1. Sistem Bilangan Kompleks ......................................................... 3
2.2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks .......................................... 3
2.3. Modulus (Nilai Mutlak) Bilangan Kompleks ............................. 4
2.4. Operasi Bilangan Kompleks Sekawan (conjugate)..................... 4
2.5. Representasi Geometris Bilangan Kompleks .............................. 5
2.6. Konsep-Konsep Geometri ........................................................... 6
2.6.1. Titik, Garis dan Bidang Sebagai Pengertian Pangkal ..... 6
2.6.2. Garis Sejajar .................................................................... 8
2.6.3. Kekongruenan Dua Segitiga ........................................... 8
2.6.4. Segiempat ........................................................................ 10
2.6.5. Segiempat Talibusur dan Segiempat Garis Singgung ..... 15
2.7. Representasi Bangun Geometri Menggunakan Bilangan Kompleks
.............................................................................................................. 16
x
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN .......................................................... 18
3.1. Studi Literatur ............................................................................. 18
3.2. Langkah-Langkah Penelitian ...................................................... 18
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 19
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 37
5.1. Kesimpulan ................................................................................. 37
5.2. Saran ............................................................................................ 37
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 38
LAMPIRAN ........................................................................................................ 39
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.5. Representasi Geometris Bilangan Kompleks. ......................... 5
Gambar 2.6.3. Dua Segitiga Kongruen ........................................................... 8
Gambar 2.6.4.a. Segiempat ................................................................................ 10
Gambar 2.6.4.b. Segiempat Talibusur ................................................................ 11
Gambar 2.6.4.c. Jajar Genjang ........................................................................... 11
Gambar 2.6.4.1. Persegi Panjang ....................................................................... 12
Gambar 2.6.4.2. Belah Ketupat .......................................................................... 12
Gambar 2.6.4.3. Persegi ..................................................................................... 13
Gambar 2.6.4.4.a. Trapesium Sembarang ............................................................. 14
Gambar 2.6.4.4.b. Trapesium Sama Kaki ............................................................. 14
Gambar 2.6.4.4.c. Trapesium Siku-siku ................................................................ 15
Gambar 2.6.4.5. Layang-Layang ....................................................................... 15
Gambar 2.6.5.1. Segiempat Talibusur ................................................................ 16
Gambar 2.6.5.2. Segiempat Garis Singgung ...................................................... 16
Gambar 4.1. Sepasang Garing Singgung yang Ditarik Dari Titik A ........... 20
Gambar 4.2.1. ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-
Titik Tengah Setiap Sisinya ................................................... 20
Gambar 4.2.2. Kedua diagonal dalam jajar genjang saling potong-memotong
ditengah-tengah ...................................................................... 21
Gambar 4.2.3. Varignon’s theorem .................................................................. 22
Gambar 4.2.4. Van Aubel’s Theorem ............................................................... 23
Gambar 4.2.5. Thebault’s First Theorem ......................................................... 24
Gambar 4.2.6. Diagonal Belah Ketupat Tegak Lurus Satu Sama Lain ........... 25
Gambar 4.2.7. Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama Panjang ............ 26
Gambar 4.2.8. Z adalah Hasil Pencerminan Titik C Terhadap Garis AB ......... 27
Gambar 4.2.9. Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC .. 29
Gambar 4.2.10. Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2 ................ 30
xii
Gambar 4.2.11. a, b, m, o, p, q, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan
kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, M, O, P, Q,
S, T dan X ............................................................................... 30
Gambar 4.2.12. OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan
A1KML adalah Segiempat Talibusur ...................................... 32
Gambar 4.2.13. Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi
Merupakan Sumbu Real ......................................................... 33
Gambar 4.2.14. A1KML adalah Segiempat Talibusur ........................................ 35
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks .................................................... 39
Lampiran 2 Herintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar 4.2.8.
hal. 27 .......................................................................................... 40
Lampiran 3 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar 4.2.9.
Hal. 29 ......................................................................................... 41
Lampiran 4 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar
4.2.10. Hal. 30 ............................................................................. 42
Lampiran 5 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar
4.2.11. Hal. 30 ............................................................................. 43
Lampiran 6 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar
4.2.12. Hal. 32 ............................................................................. 44
Lampiran 7 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar
4.2.13. dan 4.2.14. Hal. 33 dan 35 ............................................... 46
xiv
ABSTRACT
In this study, the application of complex number on proving some
quadrilateral properties is explored. The explorations are described with
examples. Some suggestion in what conditions this approach can be used to solve
some Eucledian geometry problems are given.
Keywords: Complex Number, Quadrilateral, Geometry Eucledian.
xv
ABSTRAK
Dalam penelitian ini, sifat-sifat bilangan kompleks digunakan untuk
mengeksplorasi beberapa fakta tentang segiempat. Eksplorasi dijelaskan melalui
contoh-contoh. Beberapa saran tentang bagaimana dan kapan menggunakan
bilangan kompleks untuk menyelesaikan soal geometri tertentu juga diberikan.
Kata Kunci: Bilangan Kompleks, Geometri Datar, Segiempat.