PENDUGAAN JUMLAH POPULASI W ARGA RENTAN DAN …digilib.unila.ac.id/27871/2/SKRIPSI TANPA BAB...
Transcript of PENDUGAAN JUMLAH POPULASI W ARGA RENTAN DAN …digilib.unila.ac.id/27871/2/SKRIPSI TANPA BAB...
PENDUGAAN JUMLAH POPULASI
WARGA RENTAN DAN TERINFEKSI WABAH PES DI EYAM
MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA SIR
(Skripsi)
Oleh
Tiyas Riskitha
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2017
PENDUGAAN JUMLAH POPULASI
WARGA RENTAN DAN TERINFEKSI WABAH PES DI EYAM
MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA SIR
Oleh
Tiyas Riskitha
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 7 Juni 1995, sebagai anak ke-
dua dari tiga bersaudara, dari Bapak Jenahar dan Ibu Gusnasari.
Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Al-Azhar 4 diselesaikan tahun 2001,
Sekolah Dasar Al-Azhar 2 diselesaikan pada tahun 2007, Sekolah Menengah
Pertama Al-Azhar 3 diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah Atas
Al-Azhar 3 diselesaikan pada tahun 2013.
Tahun 2013, melalui jalur SNMPTN penulis terdaftar sebagai mahasiswa jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung. Selama menjadi mahasiswa penulis aktif organisasi pada periode
2014/2015 sebagai annggota biro danus Himpunan Mahasiswa Jurusan
Matematika (HIMATIKA).
Pada tanggal 18 Januari – 14 Februari 2016 penulis melakukan kerja praktek di
KCU Bank Lampung, dan pada tanggal 13 Juli- 21 Agustus 2017 penulis
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Badran Sari, kecamatan
Punggur Lampung Tengah.
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT
penulis mempersembahkan skripsi ini kepada:
Kedua Orang Tua Tercinta,
Ayahanda Jenahar dan Ibunda Gusnasari
Orang yang telah merawat, mendidik, membesarkan penulis hingga saat ini.
Terimakasih atas doa dan dukungan moril maupun materil selama menempuh
pendidikan hingga saat ini, atas segala cinta kasih sayang yang tulus ikhlas
serta telah menjadi pembimbing hidup disetiap langkah
SANWACANA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat serta nikmat kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “PENDUGAAN JUMLAH POPULASI WARGA RENTAN DAN
TERINFEKSI WABAH PES DI EYAM MENGGUNAKAN MODEL
MATEMATIKA SIR” sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Sains di Universitas Lampung.
Dalam penulisan skripsi ini banyak pihak yang telah membantu, baik dalam
memberikan bimbingan maupun saran sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., Dr. selaku dosen pembimbing utama
yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan
memotivasi penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
2. Bapak Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing
pembantu yang memberikan bantuan dan saran dalam penyelesaian skripsi
ini.
3. Bapak Tiryono Ruby, Drs., M.Sc., Ph.D. selaku dosen penguji atas saran
dan kritik yang diberikan bagi skripsi ini.
4. Ibu Wamiliana, Dra., M.A., Ph.D. selaku ketua jurusan Matematika
fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
5. Bapak Mustofa Usman, Drs., M.A., Ph.D. selaku dosen pembimbing
akademik.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Yang tercinta Papa Jenahar dan Mama Gusnasari yang selalu mendoakan
dan memberi dukungan moril dan materil.
8. Saudaraku Tari Trinatha dan Maja Saputra yang telah memberikan
dukungan serta canda tawa di sela-sela penulisan skripsi ini.
9. Sahabat tersayang Lia, Rifa, Nina, Galuh, Hanifah, Dita, Nafisha, Aulia,
Evita, Nur Risky yang selalu berusaha menghibur dan telah memberikan
semangat tersendiri.
10. Teman-teman matematika angkatan 2013 dan seluruh pihak yang telah
membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari sempurna, namun
penulis berharap penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca.
Bandar Lampung, Agustus 2017Penulis,
Tiyas RiskithaNPM. 1317031088
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL......................................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR..................................................................................... xiv
I. PENDAHULUAN...................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang dan Masalah...................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian....................................................................... 3
1.3 Manfaat penelitian...................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA............................................................................ 4
2.1 Pemodelan matematika.............................................................. 4
2.2 Model SIR.................................................................................. 6
2.3 Persamaan Diferensial Biasa (PDB).......................................... 6
2.4 Metode Runge Kutta.................................................................. 8
2.5 Akar Rata-rata Kuadrat Kesalahan............................................. 10
III. METODOLOGI PENELITIAN............................................................... 12
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.................................................... 12
3.2 Metode Penelitian....................................................................... 12
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN................................................................ 13
4.1 Model matematika...................................................................... 13
4.2 Rasio Laju perubahan Individu Meninggal TerhadapLaju Perubahan Individu Terinfeksi............................................ 15
4.3 Root Mean Squared Error.......................................................... 22
4.4 Runge Kutta Orde Empat........................................................... 23
V. KESIMPULAN......................................................................................... 26
DAFTAR TABEL
TABEL
1. Data Jumlah Warga Meninggal................................................................ 17
2. Data Sebenarnya Jumlah Warga Rentan dan terinfeksi............................ 18
3. Nilai Error................................................................................................. 22
4. Nilai Pendekatan Jumlah Warga Rentan, Terinfeksi, dan Meninggal....... 25
DAFTAR GAMBAR
GAMBAR
1. Diagram Proses Pemodelan...................................................................... 5
2. Grafik Jumlah Warga Rentan, Terinfeksi, dan Meninggal....................... 24
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Pes adalah penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Yersinia pestis.
Penyakit ini dapat menular ke manusia melalui berbagai cara. Salah satunya
melalui perantara kutu yang sebelumnya menggigit hewan pengerat yang
terinfeksi, seperti tikus, anjing padang rumput, tupai, bajing, atau kelinci. Selain
itu, penyakit ini juga dapat menyebar melalui partikel air yang keluar saat batuk
atau bersin, dan akibat kontak secara langsung dengan individu yang terinfeksi,
baik manusia atau hewan. Pes pada manusia juga dapat berasal dari cakaran
kucing atau anjing piaraan yang telah terinfeksi, termasuk melalui luka yang
terkena darah hewan yang terinfeksi. Hewan piaraan juga dapat terinfeksi akibat
memakan tikus yang sudah terinfeksi.
Gejala pes atau sampar (plague) biasa muncul 2-6 hari setelah seseorang
terinfeksi. Gejala berupa batuk mengeluarkan dahak/air liur/nanah dari paru-paru,
dan sesak napas. Namun gejala lain juga dapat menyertai penyakit ini, seperti
pembengkakan atau rasa sakit pada kelenjar getah bening, pusing, nyeri otot,
demam, gemetar, dan lemas, hingga terjadi pendarahan yang keluar dari mulut,
hidung, anus, atau di balik kulit. Pembengkakan biasanya muncul di sekitar area
gigitan atau cakaran hewan.
2
Pada akhir abad ketujuh belas, desa Eyam yang terletak di sebelah tenggara
Sheffield Inggris terserang wabah pes (Raggett, 1982). Banyak buku yang
menceritakan wabah pes di Eyam, diantaranya ditulis oleh Wood, dan dilanjutkan
oleh Daniel. Kedua buku tersebut menjelaskan bahwa pada musim panas 1665,
penjahit desa menerima bingkisan bahan dari pemasok di London. Bingkisan ini
mengandung kutu yang menyebabkan wabah. Penjahit itu mati karena wabah
dalam waktu satu minggu setelah menerima paketnya.
Pada akhir September, lima desa telah terserang wabah. Dua puluh tiga meninggal
pada Oktober. Wabah ini membuat desa hancur sehingga hanya 83 warga selamat
dari jumlah awal 350 warga desa. Wabah ini dapat dikatakan lebih besar dari
wabah besar London, yang meskipun ribuan warga terserang, hanya sekitar 61
warga yang akhirnya meninggal. Korban pertama adalah George yang
dimakamkan pada 7 September 1665. Setelah itu, wabah mulai menginfeksi
penduduk desa lainnya dan berkembang selama 9 bulan pertama, dan samakin
parah pada bulan ke 10-14. Dari hasil penelitian diperoleh data mengenai jumlah
warga yang rentan dan terinfeksi dimana terdapat data yang hilang pada tanggal 4
Oktober1666. Pendugaan untuk jumlah warga yang rentan dan terinfeksi pada 4
Oktober 1666 akan diduga dengan model SIR.
3
1.2 Tujuan
Tujuan dalam penelitian ini adalah mendapatkan data yang mendekati data
sebenarnya, mengenai jumlah individu rentan dan terinfeksi pada tanggal 4
Oktober 1666.
1.3 Manfaat
Manfaat dari penelitian ini untuk memahami lebih jauh mengenai teori selama
kegiatan perkuliahan, sehinggga peneliti dapat menerapkan secara langsung teori
dalam suatu masalah di dunia nyata.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Pemodelan matematika
Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika
dari suatu fenomena berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini
merupakan langkah awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika
untuk mempelajari fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun
fenomena-fenomena lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk
mempelajari fenomena meliputi 3 langkah, yaitu:
1. Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah.
Langkah ini untuk menterjemahkan data maupun informasi yang diperoleh
tentang suatu fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data
maupun informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di
laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari. Dalam
model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih terukur
(kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan matematika
ataupun ekspresi matematika. Namun demikian karena asumsi-asumsi yang
digunakan dalam prosesnya, model matematika juga mempunyai kelemahan-
kelemahan dibandingkan dengan fenomena sebenarnya, yaitu keterbatasan dalam
generalisasi interprestasinya.
5
Gambar 1 : Diagram Proses Pemodelan
2. Pencarian solusi/kesimpulan matematika.
Setelah model matematika diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan
menggunakan metode-metode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum
terdapat metode matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan
yang dihadapi. Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan
untuk menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering
dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.
3. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.
Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun
grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan permasalahan
awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi penting untuk mengerti arti implikasi
solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana masalahnya berasal (Cahyono,
2013)
Desain diagram proses pemodelan yang dikemukakan oleh Verschaffel, Greer,
dan De Corte (2002) sebagai berikut:
pemodelan
komunikasi
pemahaman
evaluasianalisis
matematika
interpretasi
Fenomenayang diamati
Hasilinterpretasi
Penurunandari model
Modelmatematika
Model situasi
Laporan
6
Untuk memodelkan suatu masalah, harus terlebih dahulu memahami masalah
tersebut. Kemudian dilakukan pemodelan yang digambarkan dengan peubah
(variabel) yang memiliki arti. Setelah itu, analisis model dilakukan untuk
mengetahui hubungan antara peubah tersebut. Model yang dihasilkan dapat
diinterpretasikan, sehingga dengan model tersebut seseorang dapat memahami
masalah yang terkait.
2.2. Model SIR (S-I-R)
Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan Kendrick (1927) dan
kemudian memegang peranan penting dalam perkembangan matematika epidemi.
Mengenai rangkuman tersebut telah dituliskan secara lengkap oleh Murray. Di
dalam modelnya, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu suspected
(rentan), infected (terinfeksi), dan recovery (sembuh) yang secara berurutan
dinotasikan S, I, dan R. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah
N = S + I + R (Iswanto, 2012).
2.3. Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
Persamaan diferensial biasa dapat diklasifikasikan berdasarkan pangkat/ orde
(order) dan linearitas. Orde dari suatu persamaan diferensial merupakan orde
tertinggi dari suatu derivasi (turunan) yang ada di dalam persamaan tersebut.
Contoh derikut merupakan persamaan diferensial biasa orde satu, dua, dan tiga.
7
PDB orde satu : + = (2.3.1)
PDB orde dua : + = (2.3.2)
PDB orde tiga : + + = (2.3.3)
Berdasarkan linearitasnya, PDB dapat dikelompokan menjadi persamaan linear
dan nonlinear. Dalam hal ini, persamaan (2.3.2) dan (2.3.3) merupakan bentuk
nonlinear, sedangkan persamaan (2.3.1) merupakan bentuk linear. Secara umum,
bentuk persamaan diferensial biasa linear adalah sebagai berikut:
( ) + ( ) + . . . + ( ) + ( ) = ( ) (2.3.4)
Apabila ( ) = 0, persamaan (2.3.4) disebut persamaan diferensial biasa linear
homogen, sebaliknya apabila ( ) ≠ 0, disebut nonhomogen atau heterogen
(Sasongko, 2010).
Pada kasus PDB non linear, umumnya solusi sukar diperoleh secara analitik. Oleh
karena itu, biasanya digunakan pendekatan numerik. Salah satu metode
penyelesaian dengan cara numerik yang paling sederhana untuk persamaan
diferensial biasa orde satu dengan permasalahan kondisi awal yang diketahui
adalah metode Euler. Akan tetapi, metode ini mempunyai penyimpangan yang
relatif lebih besar dibandingkan dengan metode analitik. Subbab berikut akan
8
membahas metode yang relatif lebih teliti dan sering digunakan pada penyelesaian
persamaan diferensial biasa, yaitu metode Runge Kutta (Sasongko, 2010).
2.4. Metode Runge Kutta
Metode Runge Kutta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi. Metode ini
sangat umum digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan diferensial biasa
orde satu, baik linear maupun nonlinear dengan permasalahan syarat awal.
Metode ini didasarkan pada konsep formula pembobotan. Secara umum,
persamaan dengan metode Runge Kutta adalah
= + + + . . . + (2.4.1)
Dengan nilai
= ℎ ( , )= ℎ ( + ℎ, + )
= ℎ ( + ℎ, + + )
⁞
= ℎ ( + ℎ, + + + . . . + , ) (2.4.2)
9
Secara umum persamaan dapat ditulis dalam bentuk:
= + ∑ (2.4.3)
= ℎ + ℎ, + ∑ (2.4.4)
Bentuk penyelesaian Runge Kutta dilakukan berdasarkan orde (pangkat):
1. Orde dua: = + ( + ) (2.4.3)
Dengan nilai dari , i = 1, 2
= ℎ ( , )= ℎ ( + ℎ, + ) (2.4.4)
2. Orde tiga:
= + ( + 4 + ) (2.4.5)
Dengan nilai dari , i = 1, 2, 3
= ℎ ( , )= ℎ + , + (2.4.6)
= ℎ ( + ℎ, + 2 − )
10
3. Orde empat
= + ( + 2 + 2 + ) (2.4.7)
Dengan nilai dari , i = 1, 2, 3, 4
= ℎ ( , )= ℎ + , + (2.4.8)
= ℎ + ℎ2 , + 2= ℎ ( + ℎ, + )
Pada metode Runge Kutta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi juga tingkat
ketelitian (akurasi) yang akan di dapatkan. Di sisi lain, parameter yang
diperlukan juga akan lebih banyak. Pada umumnya, penyelesaian persamaan
diferensial biasa akan menggunakan metode Runge Kutta orde empat (Sasongko,
2010).
2.5. Akar Rata-Rata Kuadrat Kesalahan (Root Mean Squared Error/RMSE)
Root Mean Square Error (RMSE) digunakan untuk mengukur tingkat akurasi hasil
prakiraan suatu model. RMSE merupakan nilai rata-rata dari jumlah kuadrat
kesalahan. Nilai RMSE rendah menunjukkan bahwa nilai dugaan yang dihasilkan
oleh suatu model prakiraan mendekati nilai observasinya.
11
Root Mean Square Error (RMSE) Root Mean Square Error dihitung dengan cara
menjumlahkan semua kuadrat kesalahan prediksi. Kemudian membagi jumlah
tersebut dengan banyaknya data waktu prediksi. Selanjutnya menarik akarnya.
Persamaan untuk menghitung Root Mean Square Error (RMSE) adalah sebagai
berikut
= ∑ ( ) − ( )(2.5.1)
Keterangan:Y( ) = Nilai data observasiY( ) = Nilai data dugaann = Banyaknya data(M. Jalili Ghazi Zade dan R. Noori, 2008)
12
III. METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2016/2017 bertempat di
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Lampung.
3.2. Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan pada penelitian ini adalah:
1. Menyusun kerangka teori mengenai konsep pada kasus wabah Eyam.
2. Melakukan pemodelan matematika dengan model SIR.
3. Mencari nilai laju perubahan warga yang meninggal terhadap laju perubahan
warga yang terinfeksi dengan mengasumsikan jumlah warga yang selamat
setelah wabah berakhir.
4. Menggunakan metode root mean square error (RMSE) untuk mencari nilai
laju perubahan warga yang meninggal, kemudian memilih nilai error terkecil.
5. Mencari nilai pendekatan warga rentan dan terinfeksi dengan model yang
telah ditentukan, menggunakan metode Runge Kutta orde empat, memakai
software Matlab.
26
V. KESIMPULAN
Nilai Pendugaan jumlah populasi warga rentan dan terinfeksi wabah di Eyam
menggunakan model matematika SIR, dengan pendekatan metode range kutta
orde 4 ditunjukan pada tabel 4:
Interval waktu (1666) S(t) I(t)Juni 19 - Juli ¾ 232 15Juli 4/5 - Jul 19 195 24
Juli 20 - Agust ¾ 155 27
Agust 4/5 - Agust 19 124 23Agust 20 - Sept ¾ 105 15Sept 4/5- Sept 19 94 9Sept 20 - Okt 4/5 89 5Okt 5/6 - Okt 19 86 3
Pada kasus wabah di Eyam tahun 1666, nilai duga jumlah warga rentan pada
tanggal 4 Oktober adalah 89 jiwa, dan nilai duga jumlah warga terinfeksi pada
tanggal 4 Oktober adalah 5 jiwa. Pada penelitian ini, nilai duga memiliki nilai
error sebesar 3,36%.
DAFTAR PUSTAKA
Raggett GF.1982. Modelling the Eyam plague. Department of Mathematics,
Statistics and Operational Research, Sheffield City Polytechnic.
Jalili Ghazi Zade, M. and Noori, R. 2008. Prediction of Municipal Solid WasteGeneration by Use of Artificial Neural Net- work: A Case Study of Mashhad. Int.J. Environ. Res., 2(1): 13-22, Winter 2008. ISSN: 1735-6865.
Verschaffel, L., Greer, B. & de Corte, E. 2002. Everyday Knowledge andMathematical Modeling of School Word Problems. Dalam Koeno Gravemeijer,Richard Lehler, Bert van Oers dan Lieven Verschaffel (Eds.), Symbolizing,Modeling and Tool use in Mathematics Education.(halaman 257-276). KluwerAcademic Publishers: Dordrecht.
Sangkoso, Setia Budi. 2010. Metode Numerik dengan Scilab. Andi Offset,Yogyakarta.
Cahyono, Edi. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Iswanto, Ripno Juli. 2012. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Yogyakarta.