Pembahasan Osn Matematika Smp 2010
-
Upload
william-kaiba-seto -
Category
Documents
-
view
2.218 -
download
203
Transcript of Pembahasan Osn Matematika Smp 2010
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA
TAHUN 2010
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
SOAL DIBUAT OLEH
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIRJEND MANAJEMEN DIKDASMEN
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
( PELAKSANAAN TES 1 MEI 2010 )
Soal Bagian A Pilihan Ganda ini disalin sesuai redaksi soal seutuhnya .
Soal PG sebanyak 20 Butir.
1. Garis l melalui titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4). Jika garis l juga melalui titik (a, b) , maka nilai
dari
a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 – 33 = ….
A. 23
B. 1
C. – 1
D. – 28
E. – 31
Jawab :
Nilai yang ditanyakan yaitu bentuk aljabar yang memuat variabel a dan b , berarti kita
harus mencari nilai a dan b .
Dari data soal titik ( a, b) terletak pada garis l , berarti gradien garis antara titik (- 4 ,-3 ) dan
(3, 4) dan antara titik (3, 4) dan (a , b) sama sehingga diperoleh persamaan sebagai
berikut :
Maka nilai dari
a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 – 33 = ( a – b )3 – 33
= (- 1)3 – 33
= -1 – 27
= – 28 (D)
2. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut : {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17,
19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah ….
A. 21
B. 31
C. 61
D. 111
E. 121
Jawab :
Jika kita perhatikan suku-suku barisan dalam kelompok ke-2 , ke-3, ke-4 dst, merupakan
barisan Aritmetika dengan selisih 2.
Agar dapat menentukan suku tengah dari kelompok barisan tersebut, kita harus menentukan
Rumus Suku ke-n untuk setiap kelompok ke-k . Perhatikan barisan suku-suku pertama setiap
kelompok ke-k berikut : 1 , 3 , 7 , 13 , 21 , …
dengan
k bilangan Asli
Ini barisan tingkat dua sehingga f(k) adalah suatu fungsi berderajat dua dalam k
Lebih dari satu cara menentukan rumus suku ke-n barisan tingkat 2, (dapat dilihat
pada Pembahasaan Soal Matematika Ujian Nasional SMP/MTs Tahun 2009/2010
pada Daftar Isi) . Atau Click disini !
Sekarang kita tentukan f(k) dengan rumus. Kita ketahui rumus suku ke-k barisan tingkat 2
adalah
Perhatikan pada skema bilangan diatas nilai a = 1 , b = 2 , dan c = 2 , sehingga
Perhatikan suku-suku bilangan yang terdapat pada setiap kelompok ke-k , merupakan barisan
Aritmetika dengan selisih atau beda = 2, dan suku pertama f(k) , dengan demikian dapat
dirumuskan Suku ke-n kelompok ke-k sebagai berikut :
Suku tengah kelompok ke-11 adalah suku ke 1/2 x (11+1) = suku ke-6 , sehingga
diperoleh
U(6) = f(11) + (6 – 1) 2
U(6) = 112 – 11 + 1 + 5 x 2
U(6) = 121 – 10 + 10 = 121
Jadi Suku tengah kelompok ke-11 adalah 121 (E)
3. n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima. Nilai
dari
64 – 16n + n2 adalah ….
A. 1
B. 4
C. 9
D. 16
E. 25
Jawab :
Agar 7 + 30n merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima) , maka nilai n yang
memenuhi adalah 6 , sehingga
7 + 30.6 bukan bilangan prima , karena (7 + 30. 6 )=187 habis dibagi 11 atau 187 = 11 x
17
Jadi nilai dari 64 – 16n + n2 = 64 – 16×6 + 62 = 64 – 96 + 36 = 4 (B) telah
diralat
4. Dijual 100 lembar kupon , 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian.
Peluang Ali mendapat 2 hadiah adalah …
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Ini merupakan dua kejadian yang tak bebas artinya terjadinya salah satu kejadian atau
tidak terjadinya, akan mempengaruhi kejadian yang lain. Sehingga terdapatnya lembar kupon
ke-1 berhadiah ataupun tidak, akan mempengaruhi peluang pada lembar kupon yang ke-2.
Dengan demikian Peluang Ali mendapat 2 lembar kupon berhadiah adalah
P(2 berhadiah) = (D)
Dengan teori peluang banyaknya hasil yang mungkin adalah Permutasi 2 dari 100
ditulis
Banyaknya hasil yang dimaksud 2 kupon berhadiah
Jadi Peluang (Ali mendapat 2 kupon berhadiah ) =
5. Bilangan tiga digit 2A3 jika ditambah dengan 326 akan menghasilkan bilangan tiga
digit 5B9. Jika 5B9 habis dibagi 9 , maka A + B = ….
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Jawab :
Nyatakan soal tersebut ke dalam kalimat matematika
200 + 10A + 3 + 326 = 500 + 10B + 9
500 + 10A + 20 + 9 = 500 + 10B + 9
10A + 20 = 10B
10 ( A + 2 ) = 10B
A + 2 = B
A = B – 2 ……………(1)
Karena 5B9 habis dibagi 9, maka jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 , sehingga dapat
ditulis
5 + B + 9 = k. 9 , dengan k bilangan bulat
B + 14 = k. 9 dipenuhi untuk k = 2, sehingga
B + 14 = 2 x 9
B + 14 = 18
B = 4
Substitusi B = 4 ke persamaan ………(1) diperoleh A= 4 – 2 =2
Jadi Nilai A + B = 2 + 4 = 6 (B)
6. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata
uang muncul angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah …
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Pada pelantunan sebuah mata uang dan sebuah dadu,kejadian munculnya angka atau
gambar pada mata uang dan kejadian munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5,atau 6 merupakan
dua kejadian yang saling bebas artinya kemungkinan terjadinya atau tidak
terjadinya kejadian yang satu tidak akan mempengaruhi kemungkinan terjadinya
atau tidak terjadinya kejadian yang lain.
Tetapi soal hanya menanyakan peluang munculnya mata dadu lebih dari 2.
Hasil yang mungkin adalah S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } , maka n(S) = 6
Hasil yang dimaksud atau mata dadu lebih dari 2 adalah A= { 3 , 4, 5, 6} , maka n(A) = 4
Jadi Peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah P(A) = 4/6 = 2/3
(D)
Jika soal menanyakan peluang munculnya angka pada uang dan muncul mata dadu
lebih dari 2,
maka peluangnya = 1/2 x 4/6 = 1/3
7. Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37 . Apabila bilangan yang
lebih besar dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya
5.
Selisih kedua bilangan tersebut adalah …
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
E. 25
Jawab :
Misalkan bilangan-bilangan bulat tersebut adalah A dan B , dimana A > B
A + B = 37 …………………(1)
A = 3 x B + 5 ……………… (2)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan(1) diperoleh ;
3 B + 5 + B = 37
4 B = 37 – 5
4 B = 32
B = 8 , maka A = 3 x 8 + 5 = 29
Jadi A –B = 29 – 8 = 21 (A) (telah diralat)
8. Jika x : y = 3 : 4 , maka
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Untuk memudahkan perhitungan kita tulis x = 3k , dan y = 4k , dengan k bilangan Real
dan k ≠0
Sehingga
(A)
9. Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan
sebuah tali
yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka panjang tali
yang dibutuhkan adalah … cm.
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Buatlah sketsa gambar dari soal tersebut seperti berikut ini :
Jika titik-titik C , D, E, dan F adalah titik-titik singgung garis singgung persekutuan dua
lingkaran,
maka panjang CD = EF = BG = BH. Kita ketahui bahwa garis singgung tegak lurus jari-
jari yang
melalui titik singgung. Konstruksi sedemikian rupa sehingga segiempat BCDG dan
segiempat BFEH
adalah persegipanjang. Dengan demikian panjang AG = AH = 30 cm.
Perhatikan segitiga AGB siku-siku di titik G , karena AG : AB = 30 : 60 = 1 : 2 , maka
Besar sudut ABG = 300 dan besar sudut BAG = 600 , begitu pula pada segitiga AHB siku-
siku di H , maka
Besar sudut ABH = 300 dan besar sudut BAH = 600
Berdasarkan teorema Pythagoras
Jadi panjang tali yang melingkari kedua lingkaran adalah
cm (A)
10. Pada segitiga ABC (siku-siku di C), titik Q pada AC, titik P pada AB, dan PQ sejajar BC.
Panjang AQ = 3 ; AP = 5 ; BC = 8 , maka luas segitiga ABC adalah …
A. 48
B. 36
C. 24
D. 22
E. 12
Jawab :
Gambar segitiga tersebut
Karena PQ sejajar BC , maka besar sudut AQP = besar sudut ACB = 900(pasangan sudut
sehadap)
Segitiga AQP siku-siku di Q , maka panjang PQ = 4 (ingat tripel Pythagoras 3 , 4, 5)
Begitu pula besar sudut APQ = besar sudut ABC (pasangan sudut sehadap), maka
Segitiga AQP sebangun dengan segitiga ACB , (sd-sd-sd) akibatnya;
Jadi Luas segitiga ABC = 1/2 x AC x BC = 1/2 x 6 x 8 = 24 (C)
11. Jika diberikan dengan n bilangan asli, maka
nilai
A. – 5
B. 0
C. 17
D. 28
E. 30
Jawab :
Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret tersebut.
Perhatikan polanya ! Jika kita amati untuk n bilangan asli ganjil suku-suku deret
bertanda positif, sedangkan untuk n bilangan asli genap bertanda negatif. Dengan
kata lain Sn sama dengan selisih dari jumlah bilangan asli ganjil dan jumlah
bilangan asli genap yang terdapat dalam n suku pertama deret tersebut.
Dengan cara yang sama diperoleh
(D)
12. Tersedia tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang
membentuk
barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih
harus selalu dipasang di ujung adalah …
A. 420
B. 504
C. 520
D. 720
E. 710
Jawab :
Soal ini menuntut logika berpikir dalam memahami syarat soal yang diberikan dan
penggunaan konsep Kombinasi dan Permutasi.
Pertama menentukan banyaknya kombinasi gambar yang terdiri dari 4 gambar dari 7 gambar
yang tersedia, yaitu sebanyak kombinasi 4 unsur dari 7 unsur berbeda , ditulis :
Terdapat 35 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar. Selanjutnya dari 1 kombinasi yang terdiri
dari 4 gambar tersebut kita pasangkan pada tempat yang membentuk barisan memanjang .
Untuk memudahkan kita sediakan kotak sebagai tempat banyaknya cara yang dapat
dilakukan dalam pemasangan gambar tersebut. Jika 1 gambar yang dipiih dari 4 gambar
dipasangkan di ujung sebelah kiri , maka banyaknya cara yang dapat dilakukan ada sebanyak
:
1 x 3 x 2 x 1 = 6 cara , tetapi gambar yang dipilih dapat pula ditempatkan di ujung sebelah
kanan (pada tempat ke-4) , sehingga banyaknya cara dari 1 kombinasi yang terdiri 4 gambar
ini adalah
6 x 2 = 12 cara.
Dengan demikian banyaknya cara dari 35 kombinasi sebanyak = 12 x35 = 420
cara. (A)
Ini menurut nalar penulis, mohon kritik jika ada kekeliruan !
13. Diketahui adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga
bentuk di bawah ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi
ketiga bentuk di atas ?
A. I
B. II
C. III
D. I dan III
E. II dan III
Jawab :
3 x merukan bilangan bulat , jika x adalah bilangan bulat dan x = 1/3
Dimana k adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.
Nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk diatas adalah -1, -3, 1, 3 .
Jelas untuk nilai x tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah II dan III (E)
14. Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun
bilangan tersebut
adalah 10 , ada sebanyak … buah bilangan.
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
E. 2
Jawab :
Karena perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10, maka bilangan
tersebut terdiri dari angka 1 , 2, dan 5 . Permutasi dari 3 angka tersebut sebanyak 6
macam yaitu :
125, 152, 215, 251, 512, 521 .
Dari bilangan-bilangan tersebut masing-masing ada sebanyak 2 bilangan yang merupakan
bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 5.
Dari bilangan ratusan tersebut yang merupakan bilangan prima adalah 251 dan 521.
Jadi ada sebanyak 2 buah bilangan (E)
15. Sebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja.
Prisma tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat.
Harga baja setiap 1 cm2 adalah Rp 800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp 1.300,00; dan
setiap 10 cm2 membutuhkan cat seharga Rp 1.600,00;. Biaya untuk membuat prisma
segiempat tersebut adalah …
A. Rp 2.020.000,00
B. Rp 1.160.000,00
C. Rp 1.060.000,00
D. Rp 1.050.000,00
E. Rp 1.030.000,00
Jawab :
Biaya pembelian Baja = Luas prisma x Rp 800,00 = (2 x15 x 15 + 4 x 15 x 10)x Rp 800,00
=(450 + 600 ) Rp 800,00
= 1.050 x Rp 800,00
= Rp 840.000,00
Biaya pembelian Kawat = (8 x 15 + 4 x 10) x Rp 1.300,00/4 cm
= (2 x 15 + 10 ) Rp 1.300,00
= 40 x Rp 1.300,00
= Rp 52.000,00
Biaya pengecatan = luas prisma x Rp 1.600,00/10 cm2
= 1.050 x Rp 160,00
= Rp 168.000,00
Jadi biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah
Rp (840.000,00 + 52.000,00 + 168.000,00) = Rp 1.060.000,00 (C)
16. Jika P(x) =Q(x) (x – a) , dimana P(x) dan Q(x) polinom, maka :
A. P(a) ≠ 0
B. x – a bukan faktor dari P(x)
C. kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (a, 0)
D. kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (-a, 0)
E. titik potong erhadap sumbu x tidak dapat ditentukan
Jawab :
Periksa dan pilihlah pernyataan yang benar !
A. Salah , karena P(a)=0
B. Salah, karena (x – a) merupakan faktor dari P(x)
Kurva y =P(x) memotong sumbu x , jika y= 0 maka 0 =Q(x) (x – a)
(x – a)= 0
x=a
Jadi yang benar kurva y =P(x) memotong sumbu x di titik (a, 0) ( C)
17. Empat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruang
dengan cara menempelkan sisi-sisinya. Banyak bangun ruang berbeda yang
terbentuk adalah …
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
E. 3
Jawab :
Banyaknya bangun ruang yang berbeda ada 8. (B)
18. Fungsi f (x) = x2 – ax mempunyai grafik berikut :
Grafik fungsi g(x) = x2 + ax + 5 adalah ….
Jawab :
Dari grafik fungsi f (x) = x2 – ax , tampak bahwa nilai a > 0 (a positif)
Sehingga sumbu simetri fungsi g(x) = x2 + ax + 5 , yaitu bernilai negatif.
Grafik fungsi g(x) = x2 + ax + 5 , memotong sumbu Y di titik (0, 5)
Jadi grafik yang benar dari pilihan jawaban yang disediakan hanya
(A)
19. Terdapat 3 orang Indonesia , 4 orang Belanda , dan 2 orang Jerman akan duduk
dalam bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok
menurut kewarganegaraannya adalah …
A. 24
B. 48
C. 288
D. 536
E. 1728
Jawab :
Banyaknya Permutasi dari 3 warga negara sebanyak 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Sedangkan dalam satu warga negara mereka duduk bervariasi , sehingga banyaknya susunan
yang terjadi jika duduk berkelompok menurut kewarganegaraanya adalah
3! x 4! x 2! x 6 = (3x2x1) x (4x3x2x1) x (2×1) x 6 = 6 x 24 x 2 x 6 = 288 x 6
= 1728 (E)
20. Anto mempunyai 20 lembar seribuan, 4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh
ribuan.
Jika x , y, dan z adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banyak
cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah …
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Jawab :
Untuk memudahkan buatlah tabel seperti berikut :
Cara Ke-
Banyaknya Uangseribuan (x)
Banyaknya UangLima ribuan (x)
Banyaknya UangSepuluh ribuan (z)
Jumlah Uang
1 20 0 0 20.0002 0 4 0 20.0003 0 0 2 20.0004 15 1 0 20.0005 10 2 0 20.0006 10 0 1 20.0007 5 3 0 20.0008 5 1 1 20.0009 0 2 1 20.000
Jadi ada 9 cara berbeda (D)
1. Sebuah segitiga ABC sama kaki dipotong menjadi dua buah segitiga sama kaki (tidak
harus kongruen) dengan membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut
yang terkecil dari segitiga ABC adalah …
Ini soal klasik artinya bukan soal yang baru saat ini, dalam geometri ( dulu ilmu ukur bidang)
telah dibahas, dan soal ini juga unik artinya hanya satu-satunya segitiga sama kaki yang
memiliki kasus seperti soal yang ditanyakan yaitu jika pada salah satu sudut alasnya yang
sama, dibuat garis bagi, maka terbentuk dua segitiga sama kaki walaupun tidak kongruen.
Silahkan kerjakan terlebih dahulu! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Untuk memudahkan gambar segitiga tersebut !
Segitiga ABC sama kaki dengan panjang AC = BC , maka besar sudut A = besar sudut B
Misalkan besar sudut B = x0 , dan besar sudut A= x0 , dan besar sudut C = y0, maka
2 x + y = 1800 …………………..(1)
Garis AD adalah garis bagi sudut A, maka besar sudut BAD = 1/2 x0 dan besar sudut CAD =
1/2 x0 .
Karena segitiga ABD sama kaki , maka besar sudut B = besar sudut ADB
Atau x = b , sedangkan besar sudut ADB = besar sudut ACB + besar sudut CAD , sehingga
x = 1/2 x + y
atau y = 1/2 x ………………….(2)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh :
2 x + 1/2 x = 1800
Jadi ukuran sudut terkecil dari segitiga ABC adalah 360
2. Sebuah kotak berisi bola merah dan hijau. Jika empat bola merah dikeluarkan dari kotak
maka sepersepuluh sisanya adalah bola merah . Akan tetapi jika empat bola hijau
dikeluarkan dari kotak maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyaknya bola merah
yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah …
Silahkan kerjakan terlebih dahulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab:
Misalkan banyaknya bola merah di dalam kotak adalah m buah, dan
banyaknya bola hijau di dalam kotak adalah h buah,
Sehingga jumlah bola di dalam kotak adalah ( m + h ) buah
Berdasarkan soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
Jadi , banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah
8
3. Sebuah perahu motor meninggalkan kapal induk ke arah utara menuju suatu target
dengan kecepatan tetap 80km/jam . Kapal induk bergerak ke arah timur dengan kecepatan
tetap 40 km/jam . Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang
cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia
dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah …. km.
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Buatlah sketsa gambarnya seperti berikut ini :
Jarak AT = 40 x 4 = 160 km
Misalkan waktu yang ditempuh perahu motor dari titik A ke U dalah t1 jam ,dan
waktu yang ditempuh perahu motor dari titik U ke T dalah t2 jam,
dimana t1 + t2 = 4 jam …………..(1)
Berdasarkan teorema Pythagoras
TU2 = AU2 + AT2
(80t2)2 = (80t1)2 + 1602
802.t22 = 802.t1
2 + 1602
802(t22 – t1
2) = 1602
(t22 – t1
2) = (160/80)2
(t2 – t1)( t2 + t1) = 4
(t2 – t1). 4 = 4
(t2 – t1) = 1 …………(2)
Dari persaman (1) dan (2) diperoleh : 2t2 = 5 atau t2 = 5/2 jam dan t1 = 3/2 jam
Sehinggga jarak AU = 80 km/jam x 3/2 jam = 120 km
Jarak TU = 80 km/jam x 5/2 jam = 200 km
Jadi jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal
induk dengan tanpa masalah adalah jarak AU = 120 km .
4. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6
jam.
Jika pekerjaaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat
dibandingkan Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu … jam
Soal ini tergolong klasik, sejak akhir kelas VI dibangku SD penulis telah mengenal soal ini
sebagai soal latihan tes ke SMP.
(Dapat dilihatjuga pembahasan serupa pada Soal Perbandingan tidak Senilai di
Daftar Isi !)
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Misalkan Anto dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu t jam, dan
Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu (t + 5) jam
Sehingga
Rata-rata dalam waktu 1 jam Anto dapat menyelesaikan , dan
Rata-rata dalam waktu 1 jam Dini dapat menyelesaikan
Jadi ,
Rata-rata dalam 1 jam Anto dan Dini dapat menyelesaikan
Atau rata-rata dalam 1 jam Anto dan Dini dapat menyelesaikan
Dengan kata lain, Anto dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan dalam
waktu
Berdasarkan soal diatas diperoleh persamaan
t2 + 5t = 12t + 30
t2 – 7t – 30 =0
(t – 10 )(t + 3) = 0
t – 10 = 0 ,
t = 10 , karena t >0
Jadi , pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu 10 jam.
Cara Singkat :
Jika A dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu p satuan waktu, dan
B dapat menyelesaikan suatu pekerjaan yang sama dalam waktu q satuan waktu
, maka
Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh A dan B bersama-sama dalam waktu
Soal seperti ini merupakan salah satu kasus tentang konsep rata-rata
harmonis.
5. Diketahui jajargenjang ABCD ; sudut A = sudut C = 450 . Lingkaran K dengan
pusat C melalui B dan D. AD diperpanjang memotong lingkaran
di E dan BE memotong CD di H.
Perbandingan antara luas segitiga BCH dengan segitiga EHD adalah …
Soal ini pernah diujikan dalam tes (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri ) UMPTN th 1989.
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Buat sketsa gambarnya seperti berikut !
Buat garis CE .
Karena segiempat ABCD adalah jajargenjang, maka AB sejajar DC, sehingga besar
sudut CDE = besar sudut A = 450 .
Perhatikan segitiga CDE , panjang CD = panjang CE = r (jari-jari lingkaran ), maka
besar sudut CED = 450 dan besar sudut DCE = 900, jadi segitiga CDE segitiga siku-siku sama
kaki.
Berdasarkan teorema Pythagoras :
Perhatikan segitiga BCH sebangun dengan segitiga EDH (sd-sd-sd), akibatnya :
Maka ,
Jadi, Perbandingan antara luas segitiga BCH dengan segitiga EHD adalah 1 : 2
6. Jika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010. , dengan k > 1,
maka k terkecil yang mungkin adalah ….
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Jika k = 2 , maka n + (n + 1) = 2010 , dengan n bilangan bulat positif
2n = 2009 , tak ada nilai n yang memenuhi
Jika k = 3 , maka n + (n + 1) + (n + 2) = 2010
3n + 3 = 2010
3n = 2007
n = 669
Bilangan bulat positif tersebut adalah 669 + 670 + 671 = 2010
Jadi nilai k terkecil yang mungkin adalah 3
7. Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada
persegi ABCD yang membentuk persegi baru EFGH. EF berpotongan
dengan CD di I dan EH berpotongan dengan AD di J . Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan
panjang sisi EFGH adalah 8 cm.
Jika sudut EID = 600, maka luas segiempat EIDJ adalah … cm2
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Buatlah sketsa gambarnya !
Perhatikan segitiga EJD kongruen dengan segitiga EIC, maka luas segitiga EJD =
luas segitiga EIC
Sehingga, luas segiempat EIDJ = luas segitiga DEI + luas segitiga EJD
= luas segitiga DEI + luas segitiga EIC
= luas segitiga CDE
Luas segitiga CDE = 1/4 x luas persegi ABCD
= 1/4 x 4 x 4
= 4 cm2
Jadi, luas segitiga EIDJ adalah 4 cm2 .
Cara kedua :
Dengan Rotasi bidang segiempat EIDJ dengan pusat E , dan persegi ABCD tetap
(statis),dengan arah berlawanan arah jarum jam (arah positif) sedemikian
sehingga EF tegak lurus CD. Seperti pada gambar berikut :
Maka luas luas segiempat EIDJ = luas segiempat EI’DJ’
= 2 cm x 2 cm = 4 cm2
8. Kereta penumpang berpapasan dengan kereta barang. Laju kereta penumpang
40 km/jam,
Sedangkan kereta barang 20 km/jam. Seorang penumpang di kereta penumpang mencatat
bahwa kereta barang berpapasan selama 15 detik. Panjang rangkaian KA barang adalah
… m
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab :
Soal ini merupakan aplikasi konsep kecepatan relatif dalam ilmu Fisika.
Karena kedua kereta berpapasan artinya kedua kereta api tersebut bergerak belawanan arah.
Kecepatan relatif KA penumpang terhadap KA barang = (40 + 20) km/jam = 60 km/jam
Jadi, panjang KA barang = (60 km/jam) x 15 detik
= (60.000 m/3600 detik) x 15 detik
= 60.000 m / 240
= 6.000 m / 24
= 1.500 m / 6
= 250 m
9. Jika operasi * terhadap bilangan rasional positif didefinisikan sebagai
maka 3 * (3*3) = ….
Jawab :
dengan demikian :
10. Sebuah kubus akan diberi warna sedemikian sehingga setiap dua sisi yang
berdekatan
(yakni dua sisi yang dipisahkan oleh tepat satu rusuk) diberi warna yang berbeda.
Jika diberikan 5 warna yang berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai
kubus adalah ….
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab:
Perhatikan gambar Kubus berikut !
Kemungkinan pertama dalam pemberian warna
Sisi-sisi Kubus diberi wana yang berbeda dengan satu warna yang sama pada
sepasang sisi yang sejajar(karena warna yang tersedia hanya 5 warna).
Untuk memudahkan perhitungan kita buat petak-petak jaring-jaring Kubus dan tuliskan
banyaknya cara yang mungkin
Banyaknya cara yang mungkin sebanyak = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.
Kemungkinan kedua dalam pemberian warna
Sisi-sisi kubus yang sejajar (berhadapan) diberi warna yang sama.
Kita ketahui ada 3 pasang sisi kubus yang sejajar. Banyaknya cara pemberian warna sama
dengan kombinasi 3 dari 5 warna yang
berbeda.
Jadi, banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah sebanyak
(120+10)=130 cara