PELUANG - nikmaharsiwi.files.wordpress.com · PELUANG Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas...
Transcript of PELUANG - nikmaharsiwi.files.wordpress.com · PELUANG Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas...
PELUANG
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kajian Matematika SMP 2
Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si., M.Pd.
Disusun Oleh:
1. Ernawati (14144100125)
2. Nadia Nur Farohmah (14144100135)
3. Dedi Hermawan Sutanto (14144100137)
4. Siti Aziza (14144100138)
5. Nikmahtun Tri Harsiwi (14144100141)
Kelas: 4A4
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016
ii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ....................................................................................................................... ii
PEMBAHASAN ................................................................................................................. 1
A. PENGERTIAN PELUANG .................................................................................... 1
1. Kejadian Acak ......................................................................................................... 1
2. Kejadian Sederhana ................................................................................................ 2
3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian ....................................................... 2
4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang ....................................................... 4
5. Kisaran Nilai Peluang ............................................................................................. 8
B. Frekuensi Harapan ................................................................................................ 12
Daftar Pustaka ................................................................................................................... 15
1
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN PELUANG
Kalian sering mendengar ungkapan-ungkapan berikut dalam kehidupan
sehari-hari:
(i) Berdasarkan hasil pertandingan babak penyisihan, tim Indonesia
memiliki peluang yang kecil untuk mencapai babak final.
(ii) Kemungkinan Klub Jaya memenangkan pertandingan sangat besar.
(iii)Hari ini cuaca mendung, kemungkinan besar hujan akan turun.
(iv) Berdasarkan nilai ulangan harian yang telah dicapai, Nadia dan Erna
memiliki kesempatan yang sama untuk menjadi juara kelas.
Apakah sebenarnya yang dimaksud dengan peluang atau kejadian itu?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah pengertian peluang dan nilai
peluang suatu kejadian berikut.
1. Kejadian Acak
Aktivitas 1
Percobaan 1
Lemparkan sebuah mata uang logam. Dapatkah kita memastikan sisi yang
akan muncul, sisi angka atau sisi gambar?
Percobaan 2
Lemparkan sebuah dadu. Dapatkah kita memastikan sisi dadu yang akan
muncul?
Percobaan 3
Sediakan sebuah kotak. Isikan kelereng berwarna merah, kuning dan hijau
masing-masing sebanyak butir ke dalam kotak tersebut. Aduklah
kelereng tersebut, kemudian tutuplah matamu dan ambillah sebutir demi
sebutir secara acak sebanyak kali pengambilan. Dapatkah kita
memastikan, kelereng warna apa saja yang terambil jika setiap selesai
pengambilan, kelereng tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak?
Pada percobaan , kejadian yang menjadi perhatian adalah
munculnya sisi angka atau gambar. Tentu saja kita tidak tahu pasti sisi
2
uang logam yang akan muncul. Kita hanya mengetahui bahwa hasil yang
mungkin muncul adalah sisi angka atau sisi gambar. Tentu saja, kedua sisi
ini tidak mungkin muncul secara bersamaan.
Kejadian munculnya sisi angka atau sisi gambar pada Percobaan
tidak dapat dipastikan, sehingga dinamakan kejadian acak. Demikian pula
kejadian munculnya sisi dadu pada Percobaan dan terambilnya kelereng
bewarna merah, kuning atau hijau pada Percobaan merupakan kejadian
acak.
2. Kejadian Sederhana
Seperangkat kartu bridge terdiri atas buah kartu merah bergambar
hati, kartu merah bergambar wajik, kartu hitam bergambar sekop
dan kartu hitam bergambar keriting.
Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu
bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajik pada
pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya
kartu bergambar wajik pasti bewarna merah. Berbeda jika kartu yang
terambil berwarna merah, kejadian tersebut dinamakan kejadian bukan
sederhana karena munculnya kartu berwarna merah belum tentu
bergambar wajik, tetapi mungkin bergambar hati.
3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian
Pada bagian ini, kalian akan belajar tentang cara menghitung
peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Ambillah sekeping uang
logam, kemudian lakukan percobaan statistika, yaitu melempar uang
logam tersebut sebanyak kali.
Misalnya, muncul sisi angka sebanyak kali. Perbandingan banyak
kejadian munculnya angka dan banyak pelemparan adalah
. Nilai ini
dinamakan frekuensi relatif munculnya angka. Jika sebuah dadu dilempar
kali dan muncul muka dadu bernomor sebanyak kali, berapakah
frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor ?
3
Uraian tersebut menggambarkan rumus frekuensi relatif munculnya
suatu kejadian yang diamati, yaitu sebagai berikut:
Frekuensi relatif ( ) munculnya kejadian dirumuskan sebagai
berikut:
Contoh 1:
Pada pelemparan dadu sebanyak kali, muncul muka dadu
bernomor sebanyak kali. Tentukan frekuensi munculnya muka dadu
bernomor .
Penyelesaian:
Banyak percobaan: kali
Banyak kejadian munculnya muka dadu bernomor adalah kali.
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor adalah .
Aktivitas 2
Lemparkan sekeping uang logam ke atas sebanyak kali. Catat
banyak sisi angka yang muncul dan isikan hasilnya pada Tabel A. 1.
Kemudian, hitung frekuensi relatifnya, teliti sampai dua desimal. Ulangi
langkah-langkah tersebut untuk pelemparan sebanyak dan
kali. Misalkan Tabel A. 1. Sebagai berikut:
4
Tabel A. 1 Tabel Frekuensi Relatif
Banyak
Lemparan
Banyak Sisi Angka yang
Muncul
Frekuensi Relatif Muncul Sisi
Angka
Apa yang dapat kalian simpulkan tentang frekuensi relatif
munculnya sisi angka jika banyaknya lemparan semakin besar?
Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa semakin banyak lemparan
yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian munculnya sisi angka akan
mendekati suatu bilangan yaitu . Bilangan ini disebut peluang dari
kejadian muncul sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung
melalui pendekatan frekuensi relatif.
4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang
a. Pengertian Titik Sampel dan Ruang Sampel Suatu Kejadian
Pada pelemparan mata uang logam, kejadian yang mungkin
adalah muncul angka atau gambar . Jika dinyatakan dengan
notasi himpunan, misalnya , maka . Himpunan tersebut
dinamakan ruang sampel, sedangkan titik dan dinamakan titik
sampel. Banyak anggota sampel dinotasikan dengan .
Uraian tersebut memperjelas pengertian ruang sampel dan titik
sampel, yaitu sebagai berikut:
5
1) Ruang Sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin
diperoleh dari suatu percobaan.
2) Titik Sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga
kejadian yang mungkin.
Contoh 2:
Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah
dadu.
Penyelesaian:
Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah
munculnya muka dadu yang bernomor atau . Dengan
demikian, dan titik sampelnya dan
.
b. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Mendaftar
Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkan
muncul sisi angka pada mata uang pertama, muncul sisi gambar
pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka pada mata uang
ketiga.
Gambar A. 1
Kejadian tersebut dapat ditulis . Kejadian lain yang
mungkin dari pelemparan tiga mata uang sekaligus adalah
dan . Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar,
diperoleh
sehingga .
c. Menyusun Ruang Sampel dengan menggunakan Diagram Pohon
Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggota
ruang sampel adalah dengan menggunakan diagram pohon. Amati
kembali kasus pelemparan tiga mata uang sekaligus pada bagian b.
6
Sekarang, kalian susun ruang sampelnya dengan menggunakan
diagram pohon.
Gambar A. 2
Gambar A. 3
Gambar A. 4
7
Untuk mata uang pertama, kejadian yang mungkin adalah
munculnya sisi angka atau gambar . Diagramnya dapat kalian
buat seperti pada Gambar A. 2.
Untuk mata uang kedua, kejadian yang mungkin adalah sama.
Diagram pohonnya tampak pada Gambar A. 3.
Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga sama.
Diagram pohon untuk kejadian pelemparan tiga mata uang tampak
pada Gambar A. 4. Berdasarkan diagram pohon tersebut, dapat
ditentukan ruang sampelnya, yaitu
.
d. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Membuat Tabel
Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya
muncul muka dadu bernomor pada dadu pertama dan muka dadu
bernomor pada dadu kedua. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai
pasangan berurutan, yaitu . Jika muncul muka dadu bernomor
pada dadu pertama dan muka dadu bernomor pada dadu kedua,
bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan?
Gambar A. 5
Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus
dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut.
8
Tabel A. 2 Tabel Ruang Sampel
Dadu
ke-1
Dadu ke-2
Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel
sehingga .
Jadi, pada pelemparan sebuah dadu terdapat 6 titik sempel, maka
pada pelemparan dua dadu dihasilkan titik sampel.
5. Kisaran Nilai Peluang
a. Rumus Peluang
Perhatikan kejadian pada pelemparan sebuah dadu. Hasil
pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu bernomor
atau , sehingga ruang sampelnya adalah
.
Misalkan, adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor
genap maka . Banyak anggota himpunan atau kejadian
dinotasikan dengan , sehingga .
Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang sampel
sama, yaitu
. Dengan demikian, peluang munculnya muka dadu
bernomor genap adalah sebagai berikut:
juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:
9
maka .
sehingga .
.
Jika setiap anggota ruang sampel memiliki peluang muncul
yang sama, dengan adalah suatu kejadian dalam ruang sempel ,
maka peluang kejadian yang memiliki anggota sebanyak
didefinisikan sebagai berikut:
Dengan subset
Contoh 3:
Sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang
munculnya muka dadu bernomor:
1)
2) Kurang dari
3)
4) atau
Penyelesaian:
maka .
1) Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor 2 maka
, , dan
.
2) Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor kurang
dari 4 maka , , dan
.
3) Misalkan, kejadian munculnya muka dau bernomor maka
, , dan
.
4) Misalkan, adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor
atau maka
dan sehingga,
, dengan
10
.
b. Nilai Peluang
Contoh 3 memperlihatkan kepada kalian bahwa peluang suatu
kejadian nilainya berkisar sampai . Secara matematis, hal itu ditulis
, dengan adalah peluang suatu kejadian .
Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol atau
, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian tidak mungkin
terjadi. Misalnya, pada pelemparan dadu, peluang munculnya mata
dadu bernomor adalah nol, atau karena pada dadu tidak
terdapat mata dadu yang bernomor (lihat contoh 3 (3)). Untuk
kejadian-kejadian lain yang nilainya mendekati nol, berarti
kemungkinan kejadian tersebut terjadi sangat kecil.
Sebaliknya, jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan satu
atau , nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian pasti
terjadi. Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya
mata dadu yang lebih dari tetapi kurang dari adalah . Dengan
kata lain, munculnya mata dadu yang lebih dari pasti terjadi.
Dari uraian tersebut, dapatkah kalian menemukan pernyataan
berikut?
1) Peluang suatu kejadian nilainya dari sampai dengan (ditulis
).
2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, nilainya nol
atau (kejadian tersebut dinamakan kejadian mustahil).
3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya atau
(kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata/ pasti).
Jika kejadian merupakan komplemen dari kejadian maka
atau . Misalkan, peluang hari ini
hujan maka peluang hari ini tidak hujan adalah .
Contoh 4:
11
1) Dua puluh lima kartu diberi angka . Kartu tersebut
dikocok. Kemudian, diambil kartu secara acak (setiap
pengambilan satu kartu, dikembalikan lagi). Berapa peluang
terambilnya kartu berangka
a) Ganjil
b) Kelipatan
Penyelesaian:
Ruang sampel sehingga .
a) Misalkan, kejadian terambilnya kartu berangka ganjil maka
sehingga
.
Peluang adalah
.
Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil adalah
.
b) Misalkan, adalah kejadian terambilnya kartu berangka
kelipatan 3 maka,
sehingga
Peluang adalah
.
Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan
adalah
.
2) Dua mata uang logam dilempar secara bersamaan. Berapakah
peluang munculnya?
a) Tepat dua angka
b) Angka dan gambar
c) Paling sedikit satu angka.
Penyelesaiaan:
Ruang sampel percobaan ini dapat ditentukan dengan diagram
pohon dibawah ini.
12
Jadi, ruang sampel percobaan ini adalah
sehingga
a) Misalnya, kejadian muncul tepat dua angka maka
dan . Peluang kejadian adalah
. Jadi, peluang muncul tepat dua angka adalah
.
b) Misalnya, kejadian muncul angka dan gambar maka
dan
Peluang kejadian adalah
. Jadi, peluang
muncul angka dan gambar adalah
.
c) Misalnya, kejadian muncul paling sedikit satu angka maka
dan . Peluang kejadian adalah
. Jadi, peluang muncul paling sedikit satu
angka adalah
.
B. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari suatu kejadian adalah harapan banyaknya
muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan
. Frekuensi harapan diperoleh dengan cara mengalikan nilai kemungkinan
suatu kejadian dengan banyaknya percobaan. Frekuensi harapan dinotasikan
dengan . Secara matematis ditulis sebagai berikut:
13
dengan peluang kejadian
banyaknya percobaan
Contoh 5:
Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak kali. Dalam sekali
pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah
.
Dari pelemparan uang logam sebanyak kali, kalian dapat
mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak kali. Namun,
memungkinkan pula dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka
sebanyak kali, kali, kali, atau kali. Harapan munculnya sisi
angka sebanyak kali dari kali pelemparan uang logam disebut
frekuensi harapan.
Contoh 6:
1) Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak kali. Berapa frekuensi
harapan munculnya mata dadu bernomor ?
Penyelesaian:
Ruang sampel sehingga .
Misalkan, kejadian munculnya mata dadu bernomor sehingga
Banyaknya lemparan kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor dari kali
pelemparan adalah kali.
2) Dua buah dadu dilempar kali. Berapa frekuensi harapan munculnya
mata dadu berjumlah lebih dari sepuluh?
Penyelesaian:
Ruang sampel sehingga .
Misalkan, kejadian munculnya mata dadu berjumlah lebih dari
sepuluh maka sehingga .
Peluang adalah
.
14
Banyaknya lemparan kali.
kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah lebih dari
sepuluh dari kali pelemparan adalah kali.
3) Dua keping uang logam dilempar bersama sebanyak kali. Frekuensi
harapan munculnya paling sedikit satu gambar adalah...
Penyelesaian:
Ruang sampel sehingga
Misalkan, G adalah kejadian muncul paling sedikit satu gambar maka
maka .
Peluang adalah
.
Banyaknya lemparan kali.
kali.
Jadi, frekuensi harapan muncul paling sedikit satu gambar dari kali
pelemparan adalah kali.
4) Tiga buah mata uang logam yang sama dilemparkan secara serempak
sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan ketiganya muncul angka adalah...
Penyelesaian:
Ruang sampel
sehingga .
Misalkan, adalah kejadian ketiganya muncul angka maka
sehingga .
Peluang adalah
.
Banyaknya lemparan kali.
kali.
Jadi, frekuensi harapan ketiganya muncul angka dari kali pelemparan
adalah kali.
15
Daftar Pustaka
Dwi Susanti, Wahyudin Djumanta. 2008. Belajar Matematika Aktif dan
Menyenangkan. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan
Nasional.
Nuniek Avianti Agus. 2008. Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat
perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.