PéldatárEgyenes egyenlete a síkban

III.Csoport: Birta Bernadett Boros Zoltán Didi Emese Katona Árpád

“Cserey-Goga” Iskolacsoport Kraszna2010, október, 5-6

Berni Árpi

EmeseZoltán

Mi a szerepe a matematikának a mindennapi életben?

“A társadalomtudományok is modellekkel dolgoznak, és sokszor matematikai

modellekkel. A társadalomtudósok azonban sohasem gondolták, hogy erre azért van

szükség, mert a társadalom (vagy mondjuk a gazdaság) "könyve" a matematika nyelvén

íródott.” ~ Mérő László~

Egyenes egyenlete a síkban 1.Az egyenes iránytényezője:-az egyenesnek az ox tengellyelbezárt szögének tangense:m = tg α.-ha:αE(0o;90o)=>m>0 αE(90o;180o)=>m<0 α=0o=>m=0 α =90o nem értelmezett-ha m>o=>az egyenes novekvő m<0=>az egyenes csökkenőPl: α=45o =>m=tg45o=1>0=> az egyenes novekvő

2.Két pont által meghatározott egyenes iránytényezője:

-az egyenes két ponton halad keresztül: A(x1,y1), B(x2,y2), x1 = x2 , ekkor az iránytényező egyenlő:

mAB = y2-y1

x2-x1

Pl: A(2;4); B(5;1)mAB=1-4= -3=-1

5-2 3

Egyenes egyenlete a síkban

3. Két egyenes szöge a sikban- két egyenes által (d1 és d2) közrezárt

szög egyenlő:

tg α= m1-m2

1+m1m2

-ha d1 d2 m1m2=-1

-ha d1 d2 m1=m2

Pl: d1->m1 = 1; d2 ->m2 =-2

tgα= 1+2 = 3 = -3 = 3=> α=27o

1-2 -1d1 d2 ha m1m2=-1=>1(-2)=-2=-1=>d1 d2

d1 d2 ha m1=m2=>1=-2=>d1 d2

4.Egy pont és egy iránytényező által meghatározott egyenes egyenlete

-az m iránytényezőjű, P(x1; y1) ponton átmenő egyenes egyenlete y − y1 = m (x − x1) .

Pl: A (1;3) E e; me=2

e:y-3=2(x-1)=>y-3=2x-2=>=>-2x+y-1=0

Egyenes egyenlete a síkban

5.Két ponton áthaladó egyenes egyenlete

-az A(x1,y1) és B(x2,y2) pontokon áthaladó egyenes egyenlete:

d: y-y1 = x-x1

y2-y1 x2-x1

Pl: A(1,3), B(2,1)AB: y-3=x-1=> -2 1-2x+2=y-3=>-2x-y+5=0

6.Egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja

-a tengelymetszeteken átmenő egyenes egyenlete: A(a,0),B(0,b)

d: x + y -1 =0 a b

Pl: A(-2,0) , B(0,1)d: x + y - 1=0/(-2)=> x + -2y + 2=0=> -2 1 =>x-2y+2=0

Egyenes egyenlete a síkban

7.Egyenes egyelnletének általános alakja

-egy d egyenes általános alakja:ax+by+c=0y= -a x – c b bmd=-a bPl: d:2x-3y+1=0 a=2; b=-3Md: -2 = 2 -3 3

8. Két egyenes kölcsönös helyzete a síkban-adott d1:a1x+b1y+c1=0 és d2:a2x+b2y+c2=0

a) d1 és d2 azonos, ha: a1 = b1 = c1 = k

a2 b2 c2

b) d1 és d2 párhuzamos, ha: a1 = a2

b1 b2

c) d1 és d2 merőleges, ha: a1 a2=-b1 b2

d) d1 metszi d2 : az egyenleteikből egyenletrendszert alkotunk

Pl: d1: -x + 3y + 2 = 0

d2: x + y – 6 = 0

4y – 4 = 0 => y=1 X + 1 – 6 = 0 => x = 5

Alkalmazás más területenFeladat:Egy polc két deszkájának egyenlete: d1: 3x-2y+1=0

d2: 9x-6y+10=0.

Párhuzamosak vagy merőlegesek-e a deszkák?Megoldás:m1= -a = -3 = 3

b -2 2 m2= -a = -9 = -3 = 3

b -6 -2 2m1=m2 => d1 d2

Kitűzött feladatok1. Döntsd el, hogy eleme-e az e egyenesnek a P pont!• 1) e : 2x − y = 6 , P(5; 4); 2) e : x + 4y =10 , P(–2; 3);• 3) e :3y + 2x − 5 = 0 , P(–1; 3); 4) e : −3x = −y + 6, P(3; 14).Megoldás: Igen: 1) és 2), nem: 3) és 4).2. Add meg az 5x + y =12 egyenes tengelymetszeteit (vagyis azokat az

értékeket, amelyeknél az egyenes metszi a tengelyeket), és még 2-2 pontját ábrázolás nélkül!

Megoldás: (2,4; 0) és (0; 12).3.Adott egy háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: 2y + x + 4 = 0; x = y − 7; y + 2x = 4 . Ábrázold koordináta-rendszerben a háromszöget, add meg csúcspontjainak koordinátáit, és határozd meg a háromszög

területét!Megoldás: A csúcspontok leolvashatók: (–6; 1), (–1; 6), (4; – 4). A terület 37,5

területegység.

Kitűzött feladatok4. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek

meredeksége 0,4, és átmegy az (5; – 1) ponton!Megoldás: y = mx + b −1= 0,4 5 + b , ahonnan b = –3. Az egyenes ⇒ ⋅

egyenlete: y = 0,4x −3.5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a tengelyeket

az A és B pontokban metszi!a) A(3; 0), B(0; 6); b) A(–4; 0), B(0; 2); c) A(–6; 0), B(0; –5); d) A(3; 0), B(0; –5).Megoldás: a) 2x + y = 6 ; b) 2y = x + 4 ; c) 6y + 5x + 30 = 0 ; d) 5x − 3y = 15 .6. Adott A(3; –4), B(–5; –4) és C(0; 2). Írd fel az ABC háromszög legrövidebb

oldalának és a hozzá tartozó nevezetes vonalaknak (oldalfelező merőleges, magasság) az egyenleteit!

Megoldás: A legrövidebb oldal az AC. Egyenlete: y = −2x + 2 , az oldalfelező merőleges: − x + 2y = −3,5, a magasságvonal: 2y = x − 3 .

Kitűzött feladatok7. Adottak az A(–5; 4), B(1; 0) és C( 11; –6) pontok. Bizonyítsd be, hogy ez a

három pont nem esik egy egyenesbe!Megoldás: Az AB egyenes egyenlete: 2x + 3y = 2 . A C koordinátái nem teszik

igazzá az egyenletet.8. Válaszd ki, hogy p mely értéke mellett illeszkedik az A(4, –2) pont az e :3x + py = 20 egyenesre! a) 4; b) – 0,5; c) 0,25; d) – 4; e) 0.Megoldás: d) – 4.9. Melyik értéknél metszi az e :3x − 2y = p egyenes az y tengelyt, ha az

egyenes átmegy az R(6; 7) ponton?• a) 3; b) – 2; c) -3 ; d) 8 e) 2.• Megoldás: b) – 2.

Kitűzött feladatokMóricka siet az összepakolással, ezért elfelejti becipzározni a tolltartóját. A

tolltartójából minden kiesik, a kiesett dolgok a következő helyzetet veszik fel: a golyóstoll két pontjának koordinátája: A(4,2),valamint B(-7,7); a vonalzó koordinátája: C(4,-3); a ceruza egyik koordinátája D(4,5) és a radír pontjainak koordinátái: E(1,-6) és F(-1,-9).

Határozd meg a vonalzó egyenletét, tudva hogy párhuzamos a golyóstollal, illetve a ceruza egyenletét, ismerve hogy merőleges a golyóstollra.

Mennyi a golyóstoll és a radír szögének tangense, ha a hegyző merőleges a piros tollra (tudjuk, hogy a piros toll iránytényezője 0), tehát Mórickának van-e hegyzője?

Könyvészet

Iskolába megoldott feladatokwww.sulinet.hu