Předmět studia klasické fyzikywebfyzika.fsv.cvut.cz › PDF › prednasky › intro.pdf ·...
Transcript of Předmět studia klasické fyzikywebfyzika.fsv.cvut.cz › PDF › prednasky › intro.pdf ·...
Předmět studia klasické fyziky
mechanika,termodynamika,elektrodynamika,optika
klasickáfyzika
teoretickáfyzika
experimentálnífyzika
teorie relativity
statistickáfyzika
kvantováfyzika
modernífyzika
Předmět studia klasické fyzikyFyzika obecně zkoumá strukturu hmoty a její zákony, a chování „přírody“ se snaží kvantitativně popsatpomocí vhodných fyzikálních modelů.
používá induktivní i deduktivní přístup
teoretická formulacezákonů a poznatků
experiment
matematickýaparát
ověření teoretických modelů
vyvození nových poznatků
empirické zákony
pokus o vytvořeníodpovídajícího teoretického
modelu
Rozdělení fyzikálních přístupů
Makroskopický přístup(nepřihlíží k mikrostruktuře látek ani k interakcím mikročástic – klasická fyzika)
Mikroskopický přístup(zkoumá vnitřní strukturu látek a fyzikální jevy na základě vlastností mikrofyzikálních částic – kvantová, jaderná, atomová fyzika, molekulová fyzika, fyzika pevných látek)
Fyzikální veličiny a poleFyzikální veličina – je určena rozměrem (jednotkami) a velikostí, např.délka L = 13 m.
Skalární veličina – vyjádřena jedním číslem (např. teplota, tlak, objem, hmotnost,energie,…)
Vektorová veličina – vyjádřena velikostí a směrem (např.rychlost, síla, …) – obecně 3 složky
prostorové rozložení určité fyzikální veličiny lze nazvat fyzikálním polem (např. silové, vlhkostní, teplotní, tlakové pole,…)
Mezinárodní SI soustava
délka [m]
hmotnost [kg]
čas [s]
elektrický proud [A]
teplota [K]
látkové množství [mol]
svítivost [cd]
Fyzikální veličiny a pole
Skalární pole – popsáno skalární veličinou v prostoru (např. teplotnípole)
Vektorové pole - popsáno vektorovou veličinou v prostoru (např. pole rychlosti proudění)
Homogenní pole – fyzikální veličina se v prostoru nemění
Stacionární pole – veličina nezávisí na čase
Typy fyzikálních polí:
Typy fyzikálních prostředí:
Homogenní prostředí – prostředí, jehož vlastnosti jsou stejné ve všech místech
Izotropní prostředí – prostředí, jehož fyzikální vlastnosti jsou stejnéve všech směrech, tj. nezávisí na směru
Základy vektorového počtukartézská soustava souřadná (pravoúhlá, pravotočivá)
• vektor je popsán svými třemi průměty ax, ay, az do souřadných osa ortogonálními vektory báze
)0,0,1(=ir
)0,1,0(=jr
)1,0,0(=kr
kajaiaaaaa zyxzyx
rrrr++== ),,(
velikost vektoru: 222zyx aaaa ++=
vektor:vektory báze:
rr
xy
z
α β
γ
ir j
rkr
Polohový vektor:
kzjyixzyxrrrrr
++== ),,(
rz
=γcosry
=βcosrx
=αcos
1coscoscos 222 =γ+β+α
Základy vektorového počtu
v praxi existují i jiné (křivočaré) souřadné soustavy (sférické, válcové, eliptické,…)
kzjyixzyxrrrrr
++== ),,(
sférické souřadnice:
rr
xy
z
ϕ
ϑ
ir j
rkr
rz
=ϑcosϕϑ= cossinrx
ϕϑ= sinsinry
ϑ= cosrz ry
=ϕsin
rx
=ϕcos
Základy vektorového počtuSkalární součin dvou vektorů
abba rrrr⋅=⋅
0=⋅⇒⊥ babarrrr
abbaba =⋅⇒⎥⎥rrrr
- výsledkem je číslo (skalár)
( ) ∑=++=ϕ=⋅=k
kkzzyyxxba babababababaS rr
rr cos
Vektorový součin dvou vektorů
( )zyx
zyxbaba
bbbaaakji
nbababac
rrr
rrrrrrrrrr =ϕ==×= sin],[
abba rrrr×−=×
- výsledkem je vektor, kolmý na oba vektory
bababaS rr
rrϕ=×= sinplocha:
bcacrrrr
⊥∧⊥
0rrrrr
=×⇒⎥⎥ babaar
brcr
barrϕban rr
r
Základy vektorového počtuDvojnásobný vektorový součin:
( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr⋅−⋅=××
Smíšený součin vektorů : -při cyklické permutaci vektorů se nemění
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dacbdbcadcbarrrrrrrrrrrr
⋅⋅−⋅⋅=×⋅× ][][
Dále platí identita
( )zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
cba =×⋅rrr ( ) ( ) ( )bacacbcba
rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅
( ) ( )bcacbarrrrrr
×⋅−=×⋅
Dyadický (tenzorový) součin vektorů :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
bababababababababa
bacrrr- výsledkem je matice
Základy vektorového počtuvelikost oblouku
ϕ= dd Rs
Elementární otočení vektoru kolem osy:
1=cr-jednotkový vektor ve směru osy otáčení:
-otočení o elementární úhel dϕ
-pootočený vektor:
-vektor pootočení:
-změna vektoru:
ϕ==α⋅=×
dd
dd
ddsin)( a
saR
aaaac
rr
r
rrr
)d(d)(d aaacaaaa rrrrrrrrr×ϕ+=ϕ×+=+=′
ϕ⋅=ϕ dd crr
aa rrr×ϕ= dd
o
cr
ara′r
ardϕd
R
α
Základy vektorového počtuOrtogonální transformace souřadnic (rotace):
aa rr T=′zyx TTTT =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ψψψ−ψ=
cossin0sincos0001
xT rotace kolem osy x o úhel ψ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ϑϑ−
ϑϑ=
cos0sin010
sin0cos
yT rotace kolem osy y o úhel ϑ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ϕϕϕ−ϕ
=1000cossin0sincos
zT rotace kolem osy z o úhel ϕ
Užitečné matematické vztahy...
!2)(
!1)()()( 200
00 xxfxxfxfxxf ∆′′
+∆′
+=∆+Taylorův rozvoj:
ε±=ε± nn 1)1(počítání s malými čísly: 1<<ε
...53
sin53
−α
+α
−α=α
...42
1cos42
−α
+α
−=α
...21
12
+++=xxex
ϕ+ϕ=ϕ sincos ieiEulerův vztah:
Re
Im
1
ϕie
ϕ1−
i
i−
1−=i
Základy vektorového počtuzměna nějaké veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu
ve fyzice často veličiny závisí na jiných veličinách (např.na čase, atd.) a pro změnu vektorové funkce skalárního argumentu platí:
∑= ∂
∂=
N
ii
i
XXfY
1dd
kt
ajt
ai
ta
ta
ta
ta
tta zyxzyx
rrrr
dd
dd
dd)
dd,
dd
,d
d(d
)(d++==
totální diferenciál:
xfxf
dd)( ≡′
derivace
Vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce f
zyx akajaita ddd)(drrrr
++=diferenciál vektoru:
Základy vektorového počtuPříklad: (výpočet změny objemu a povrchu válce)
h
r2
VVV ∆+
pokud budou změny rozměrů∆D a ∆h dostatečně malé:
hrV 2π= 222 rrhS π+π=
objem: povrch:
hrrrhhhVr
rVV ∆π+∆π=∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ 22&Změna objemu:
hrrrhhhSr
rSS ∆π+∆π+π=∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ 2)42(&Změna povrchu:
Základy vektorového počtuderivace součinu:
[ ]taSa
tStatS
t dd
dd)()(
dd r
rr+=
[ ]tbab
tatbta
t dd
dd)()(
dd
rrrrrr
+=
[ ]tbab
tatbta
t dd
dd)()(
dd
rrrrrr×+×=×
diferenciál součinu:aata rrr d2])([d 2 ⋅=
babatbtarrrrrr dd])()([d ⋅+⋅=
babatbtarrrrrr dd])()([d ×+×=×
umožňuje určit, jak se nám změnívýsledný součin (skalární, vektorový)
při malé (infinitezimální) změnědílčích veličin
Základy vektorového počtuzaveďme nyní zcela zvláštní “vektor”, tzv. Hamiltonův operátor(nabla)
symbolicky též můžeme místo ∇ psát také
dále si zaveďme další symbolický diferenciální operátor, tzv. Laplaceův operátor ∆
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇rrr
∇≡rrd
d
jedná se o symbolický diferenciální operátor, který umožňuje zjistit změnu dané
veličiny v závislosti na prostorových souřadnicích x,y,z
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇⋅∇=∇=∆
Základy vektorového počtuderivace složené vektorové funkce vektorového argumentu:
pokud platí:
potom časová změna veličiny
))(,( tbtarr
),,()d
d,d
d,
dd(
dd
zyxzyx ccc
ta
ta
ta
tac ===r
r
tb
ba
tb
ba
tb
ba
ta
tac z
z
xy
y
xx
x
xxxx ∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
==d
d
))(),(),(()()( tztytxtrtb ==rr
avta
tac rr
rrr
⋅∇⋅+∂∂
== )(dd
),( rta rr
jedná se o častý praktický případ, kdy nám veličina závisí na poloze a čase, např. rychlost, teplota,…t
rvddrr
=
atb
ta
tac r
rrrr
⋅∇⋅+∂∂
== )dd(
dd
Základy vektorového počtugradient skalární funkce:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
==⋅∇=zS
yS
xS
rSSS ,,
ddgrad r
• výsledkem této diferenciální operace je vektor
)( 22
),( yxexyxfz +−⋅==
gradient vyjadřuje vektor směru maximální
prostorové změny skalárníveličiny S,
tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná
veličina (např.teplota) nejvíce narůstá