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Prueba de Evaluacin a Distancia 1

Grado en Fsicas

Mtodos Matemticos IV

Cdigo: 61043012

Julio Barrientos Galn

DNI: 25667364P

24 de Enero de 2015

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Problema 1 (1 punto)

Calcule la base natural (formada por los vectores t1 y t2) del espacio tangente a esta superficie genrica

correspondiente al sistema de coordenadas generalizadas dado por s y . Calcule la primera forma fundamental de esta superficie y explique de manera justificada si es ortogonal el sistema de coordenadas

propuesto.

Solucin:

Tenemos que la superficie est representada por el vector R que es denotado por el vector x en la

literatura de Lipschutz.

= {, sin , } Tenemos como hiptesis del enunciado que la s es un parmetro natural con lo que tambin tenemos:

+

= + = 1 Las coordenadas sern denominadas tambin en el desarrollo como = ; = Por definicin, los vectores de la base natural del espacio tangente son (recordar que la notacin negrita

son vectores):

= = =

,

sin ,

= , sin , ! ; " =

=

= {$%, , 0}

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Lo siguiente que se nos pide calcular es la primera forma fundamental I que tiene la forma segn

nomenclatura de Lipschutz:

' = ()()* + 2()(,*- + (,(,- Traducido a nuestra nomenclatura y entendiendo el subndice en este caso de R como derivada con

respecto al parmetro en el subndice, tenemos:

' = ././ + 2./.0 + .0.0 = 1 + 22 + 3 ./ = = =

= , sin , ! ; .0 = " =

=

= {$%, , 0}

1 = = = + $% + = + = 1 2 = " = = = $% + $% + 0 = 0

3 = " " = = $% + + 0 = [] Quedando finalmente la primera forma fundamental como:

' = + [] Una de las cosas que podemos deducir de este anlisis es por un lado que F=0 y por lo tanto los vectores

t1 y t2 son ortogonales.

Problema 2 (1 punto)

Calcule la curvatura y torsin de las lneas coordenadas.

Solucin:

Aplicaremos dos mtodos para calcular la curvatura de las lneas coordenadas. El primer mtodo es hallar

directamente el vector k derivando progresivamente desde R. La otra alternativa ser usar el teorema 4.2

que aparece en la pgina 64 de Lipschutz. Vayamos con el primer mtodo.

2.1 Curva coordenada de s con 7 = 78=constante. Sabemos que s es un parmetro natural, con lo que el vector de curvatura k es:

9 = = = : = ; = {;, sin ; , }

9 = : = {:;, : sin ; , :} Siendo la curvatura el modulo del vector k:

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?

+ > ?

Ahora apliquemos el teorema 4.2 para comprobar su validez:

< = C =D : D

D DC

= ;, sin ; , ! ; D D = + = 1 ; : = {:;, : sin ; , :} : = {:$% :$%, : + :, 0}

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El producto triple del numerador queda como:

L : JM = :K; sin ; + J:; sin ; + :J; sin ; :K; sin ; J:; sin ; :J; sin ; = 0

I = 0 Como habamos supuesto.

2.2 Curva coordenada de 7 con N = N8=constante. Como podemos ver en la figura anterior, estas lneas coordenadas definen una circunferencia de radio f(s0)

con lo que esperamos que su curvatura sea el inverso y la torsin tambin igual a cero. Veamos cmo:

= {; , ; sin , ;} Recordemos que cuando el parmetro no es natural no podemos derivar solamente sino que tenemos que

dividir por el mdulo de la derivada respecto al parmetro del siguiente modo:

= OOP ; =

= {;$% , ; cos , 0} O

O = ;

= {$%, cos , 0} 9 = O

OP =

1; {, sin , 0}

< = |9| = 1;

Ahora calculemos la curvatura con el Teorema 4.2:

= {, $%, 0} < = C =

{0,0, ;};C =;;C =

1;

Que coincide con nuestra suposicin del inverso del radio de curvatura de los crculos de s constante.

Para confirmar que la torsin es cero por estar la curva en un plano (circulo de s constante) vamos a

aplicar de nuevo el Teorema 4.5:

I = [] ; = {$%, , 0} = Como = , dos filas del determinante del numerador son linealmente dependientes y el determinante y por ende la torsin son nulas como habamos supuesto en un principio.

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Problema 3 (1 punto)

Indique el nmero de smbolos de Christoffel TUV (sin tener en cuenta relaciones de simetra como TUV = UTV) que empleamos para calcular derivadas sobre esta variedad. Calcule los smbolos de Christoffel TUV de esta variedad en el sistema de coordenadas indicado.

Solucin:

Exactamente habr n3 smbolos siendo n la dimensin de la variedad en este caso 2. Por lo que hay 8

distintos smbolos de Christoffel. Esto se puede observar por la propia definicin del smbolo de Christoffel

WU = $XY 9 ; = 111 + 112 " ;

= 121 + 122 "

"1 = + " ; "2 = + "

Tenemos dos mtodos para calcular los smbolos de Christoffel:

1. El primero es por la frmula 10.4 de la pgina 202 del Lipschutz:

2. El segundo mtodo es la ecuacin 5.9 de los apuntes de la asignatura.

Dado que ya hemos calculado E=1, F=0 y G=[f(s)]2 procederemos a usar el primer mtodo y comprobaremos la

validez del segundo en un par de casos. Tambin recordemos que u=s y v= = = = = = 0

= = 22 = ; =

22 =

Siendo las derivadas siempre respecto a s.

Sabemos que E=1=, F=0= = , G=, g=EG-F2=G, y aplicando las relaciones de tensor mtrico dos covariante y dos contravariante tenemos que = 3/=1, = = 2/ =0, =1/ =[f(s)]-2 Aplicamos el segundo mtodo a un par de smbolos de Christoffel para comprobar su validez

= 12 +12 0 + 0 0 = 0 \*] = 0

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= 12 +12 E2 + 0 0F =

1 =

Problema 4 (1 punto)

Dado un mvil que se desplaza sobre esta superficie con velocidad v = t1 + t2 es constante la velocidad

de este mvil? razone su respuesta. Calcule su aceleracin en caso contrario.

Solucin:

Aunque las componentes de la velocidad en la base del espacio tangente es siempre la misma (1,1),

veremos que la aceleracin no es nula con lo cual la velocidad no ser constante. Para demostrar este

punto haremos uso de la ecuacin 5.74 de los apuntes de la asignatura en la que vemos que:

^ = E: V + TUV T UF9 Para calcular esto debemos saber cules son las primeras y segundas derivadas de yi respecto al tiempo.

_ = ` =` +

` " = + " = + "

Con lo que deducimos que (ojo, los exponentes de y no son potencias sino superndices que indican la

componente del vector):

= 1 ; = 1 ; : = 0 ; : = 0 ^ = E: V + TUV T UF9 = E: + TU T UF + E: + TU T UF"

= : + + + 2 + : + + + 2 " Sustituyendo los valores de derivadas y Christoffel vemos que la aceleracin no ser nula:

^ = + 2 " = EF + >2 ? "

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Problema 5 (1 punto)

Calcule el vector normal unitario y la segunda forma fundamental de esta superficie.

Solucin:

Podemos calcular el vector normal unitario como el producto vectorial normalizado de los dos vectores

base del espacio tangente:

a = b _b _ =N 7N 7 =

" " ; = , sin , ! ; " = {$%, , 0} " = {, $%, }

" = L + M = a = {, $%, }

Podemos comprobar fcilmente que su norma es 1 y que N es un vector perpendicular a la superficie

tangente, y por lo tanto a t1 y t2.

La segunda forma fundamental se escribe del siguiente modo:

'' = c* + 2d*- + e- = c + 2d + e Siendo L, M y N:

c = a f)) = a // // = = {:, :$%, :} d = a f), = a /0 /0 = " = = {$%, , 0} e = a f,, = a 00 00 = " = {, $%, 0}

Multiplicando escalarmente los vectores tendremos:

c = a // = : : d = a /0 = $% $% = 0 e = a 00 =

Resultando la segunda forma fundamental en:

'' = L: :M +

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Problema 6 (1 punto)

Calcule las curvaturas gaussiana y media de esta superficie. Explique de manera razonada las condiciones

que deben cumplirse para que un punto de esta superficie sea parablico, elptico o hiperblico

(respectivamente)

Solucin:

Para calcular las curvaturas media y gaussiana usaremos las formulas 9.23 y 9.24 de la pgina 184 de

Lipschutz:

g = 1e 3c 22d213 2 ; h =ce d13 2

Y usando los valores calculados de E, F, G, L, M y N llegamos a:

g = e 3c23 = : :

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h = ce3 =: :

=: :

=: + :

=:

Ahora clasificaremos al punto en base a LN-M2 = LN = : que es exactamente el mismo signo que K puesto que EG-F2 > 0 y f(s)>0. Entonces la clasificacin se har en base a :

El punto ser PARABOLICO si : = 0 ya que recordemos que f(s) no puede ser cero. El punto ser HIPERBOLICO si : > 0 ya que LN-M2 < 0 El punto ser ELIPTICO si la segunda derivada de f: : < 0 ya que LN-M2 > 0

Veamos qu significa esto desde el punto de vista grfico. Para ello vamos a representar en una grfica

:

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Figura 1

La lnea roja representa la curva de revolucin, vemos como en las zonas donde hay un mximo, tenemos

puntos elpticos y en la zona con mnimos tendremos puntos hiperblicos, lo cual hace sentido si

imaginamos la lnea roja girando en torno al eje horizontal y generando una superficie de revolucin.

Problema 7 (1 punto)

Explique de manera razonada las condiciones que deben cumplirse para que sean geodsicas las lneas

coordenadas s = cte y = cte. Solucin:

Para que las lneas coordenadas de s=cte y = cte sean geodsicas debe cumplirse que el vector curvatura k sea paralelo a la normal N de la superficie tangente, es decir, que el vector curvatura sea perpendicular

al plano tangente. Si el vector curvatura se descompone como k=kg+kn debemos ver en las geodsicas

que k=kn o kg=0.

En la ecuacin 11.3 del Lipschutz se calcula el mdulo de kg como el producto triple:

9k = [9a] 6.1 Curva coordenada de s con 7 = 78=constante. En este caso y tomando los datos de los problemas anteriores (problema 2) tenemos:

= ;, sin ; , ! ; 9 = :;, : sin ; , :! ; a = {, $%, }

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El producto tripe es el determinante de las componentes de los tres vectores, resultando que tenemos dos

columnas idnticas salvo una constante de proporcionalidad que es ; o $%;. As: 9k = 0

Independientemente de f(s) o de g(s). Por lo que la curva de ;=constante, coordenada en s SIEMPRE ser una geodsica.

6.2 Curva coordenada de 7 con N = N8=constante. En este caso y tomando tambin los datos del problema 2 tendremos:

= {$%, cos , 0} ; 9 = 1; {, sin , 0} ; a = {, $%, }

Y su determinante ser:

9k = $% + =

= 0

Es decir que las curvas circulares de s=s0 constante sern geodsicas si y solo si ; = 0 ya que sabemos que f(s) > 0. Esto ocurrir cuando f(s) pase por un mximo o un mnimo. Si vemos la figura 1 del

ejercicio anterior podremos ver las zonas de la figura de revolucin donde esto ocurre.

Problema 8 (1.5 puntos)

Escriba la ecuacin de continuidad de un fluido incompresible ( _ = 0) para un fluido con velocidad v cuyo movimiento est confinado a esta superficie (dado por v = v1t1 + v2t2).

Solucin:

La divergencia covariante de un vector es segn la ecuacin 6.6 de los apuntes:

_ = 1mn

nT Em -TF = 0 Asumiendo que g=EG-F2=f2(s) y que las componentes de la velocidad dependen tanto de s como de :

_ = 1n

n E -, F +1

nn -, = 0

n-n + - = n-n >

n-n +

n-n ? +

- = 0

Que podemos considerar la ecuacin diferencial de continuidad del fluido incompresible.

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Problema 9 (1.5 puntos)

Dado el campo de velocidades v del ejercicio anterior determine la forma que toma en el presente sistema

de coordenadas la condicin de flujo irrotacional, dada por:

p _ = 0 Para ello deber extender la definicin del anterior campo de velocidades al espacio R3, lo cual puede

hacerse por medio _ - + -" + -Ca, donde N es el vector unitario normal a la superficie y donde hemos definido la tercera componente de v como -C 0. Solucin:

Vemos que la tripleta , ", a forma un conjunto ortogonal de 3 vectores en el espacio R3. Claramente comprendemos que la tercera componente de la velocidad se anula puesto que es la velocidad que con la

que fluye de forma perpendicular contra las paredes del recipiente del lquido.

Haciendo uso de la ecuacin 6.11 de los apuntes para el rotacional y asignando valores al smbolo de Levi

Civita tenemos el determinante que se anula:

p _ = 1m sTUV-V;UW = 0 ; -V;U = n-

VnU

p _ = 1 LE-C; -;CF + E-;C -C;F" + E-; -;FtM

Teniendo en cuenta que t3=N , que v3=0 y que y3=n. Es decir el tercer parmetro del volumen es el parmetro longitudinal en la direccin del vector N. Obtendremos:

p _ = 1 LE-;uF + E-;uF" + E-;/ -;0FtM = 0

n-n% +n-n% " + >

n-n

n-n ? a = 0

Como los vectores son ortogonales, deducimos que todas las componentes son cero. As:

n-n% =

n-n% = >

n-n

n-n ? = 0

Llegando a la ecuacin final de Flujo Irrotacional:

n-n =

n-n