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Prueba de Evaluacin a Distancia 2

Grado en Fsicas

Fsica Cuntica II

Cdigo: 61043070

Julio Barrientos Galn

DNI: 25667364P

10 de Mayo de 2015

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Solucin:

La funcin de onda del estado fundamental del tomo de hidrogeno depende tan solo

de r:

, , = 1 = = = 2

Ahora bien, desde el punto de vista clsico, una partcula siempre debe estar en el

seno del potencial donde est inmersa. Por ello la energa de la partcula debe ser

menor que dicho potencial en el modelo clsico. El potencial atractivo del ncleo del

tomo de hidrgeno en este caso es:

= Busquemos el valor del radio para el cual estamos en la zona clsicamente prohibida.

Para ello hagamos uso de la desigualdad de zona prohibida en la que V(r) > E100: = > 2 = 1 > 12 1 < 12 2 < Que nos da una zona clsica prohibida de r > 2a0

Veamos esto de forma grfica:

En verde vemos la zona clsicamente permitida de la partcula y en rojo la zona

prohibida. El eje y es energa medida en unidades de ER y el eje x es el radio

medido en unidades de a0. Concluimos que para r>2a0 aunque hay alguna

probabilidad de hallar al electrn, en la aproximacin clsica ser imposible.

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Hallemos ahora el valor esperado de r.

#$ = %||' = ( ) ( ||)+ = 4 ( 1 )+ = = 4 ( - . )-+ = 4 ( - . )-+ = 32 = 1.5

Donde hemos hecho el cambio de variables r = u a0

El valor esperado del radio en el estado fundamental del tomo de hidrogeno es 1.5

a0. Mirando en la grfica anterior vemos que es una posicin completamente

compatible con la interpretacin clsica y fuera de la zona clsicamente prohibida.

El valor esperado ser siempre el mismo independientemente de la medicin, ya que

no tiene sentido hacer una medicin del valor esperado por ser una variable

estadstica. Por lo tanto, tenemos que con una probabilidad del 0%, el valor

esperado de r estar en la zona clsicamente prohibida. El valor esperado ser

con un 100% de probabilidad 1.5 a0

Ahora bien, si lo que se pregunta es la probabilidad de que, al medir el valor de r,

el resultado de la medida sea un valor que se encuentra en la regin clsicamente

prohibida, entonces el problema es otro que pasamos a analizar seguidamente.

La funcin de onda al cuadrado nos da una densidad de probabilidad de hallar la

partcula en la posicin r. Por lo tanto, integrndola con la variable radio de cero a

infinito, tendremos por normalizacin la probabilidad uno. Para averiguar cul es la

probabilidad de hallar la partcula en una medida del radio, de 2a0 a infinito (regin

clsicamente prohibida), cambiaremos los lmites de integracin, y as:

( ||)2 = 1 34 = ( ) ( ||)+ = 4 (

1 )+ = 4 ( -. )-+ =

= 4 ( - .)- =+ 4 134 5 = 135 = 0.2381 Donde hemos hecho el cambio de variables r = u a0

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As que la probabilidad de hacer una medida del radio (no del valor esperado del

radio) y obtener un resultado en la regin clsicamente prohibida es de 23.81%.

Podemos decir que es bastante probable ver un comportamiento no clsico al medir

la distancia del electrn al ncleo.

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Solucin:

Primero escribamos el estado fundamental del oscilador armnico. La funcin de

prueba (ya normalizada) ser:

89 = : 1;?>

Usemos el mtodo variacional paramtrico para hacer esta demostracin. La cota

superior a la energa que depende del parmetro ; ser: ; = %89|@|89' = A89BCDB89E + A89BGB89E

Ahora bien, K es la energa cintica del hamiltoniano que es igual para el

hamiltoniano que estamos evaluando que para el hamiltoniano del oscilador

armnico. As tenemos:

A89BCDB89E = H89I J2L I89M Pero por el teorema de virial, el valor esperado de la energa cintica es igual al valor

esperado del potencial si dicho potencial varia cuadrticamente con x (como de

hecho lo hace el potencial del oscilador armnico simple), de modo que:

A89BCDNOPQRSNB89E = A89BGNOPQRSNB89E Como la suma de ambos es la energa total del estado fundamental del oscilador,

concluimos que el valor esperado de K es la mitad de la energa total del estado

fundamental:

A89BCDB89E = 2 = 12 U2 = U4 = U;4; = 4L; ; = V LU As que la cota superior de la energa fundamental del potencial en cuestin ser:

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; = %89|@|89' = A89BCDB89E + A89BGB89E = 4L; + GW = = 4L; + ( 9 X++ |89|)9

Ahora estimemos la mejor cota superior E(;) minimizando la cota y derivando respecto a ;:

);); = 0 = 2 4L; + ( 9 )|89|);X++ )9 Ya que V(x) no depende de ;. Sustituyendo el valor de la funcin de onda:

2L; = ( 9 ) Z[ 1;\5 =>?>Z

);X++ )9 = ( 9 ) ][ 1;\ =>?>^);X++ )9

= ( 9_``a

) ][ 1;\^); =>?> + : 1;< ) b=>?>c); d

eefX++ )9= ( 9 b 1; =>?> + 2; 9; =>?>cX++ )9= ( 9 1; =>?> b29; 1;cX++ )9 = ( 9h89i b29; 1;cX++ )9= 2; ( 99h89i)9X++ 1; ( 9h89iX++ )9

Pero en la parte derecha de la ecuacin identificamos un trmino casi idntico a E(;) ( 9 X++ |89|)9 = ; 4L;

Sustituyendo ya que la funcin de onda es real mayor que cero y podemos obviar el

valor absoluto:

2L; = 2; ( 99h89i)9X++ 1; b; 4L;c

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Multiplicando por ;: 2L; = 2; ( 99h89i)9X++ ; + 4L; Y reordenando:

; = 2; ( 99h89i)9 4L;X++ < 0 Y vemos que los dos trminos de la izquierda son estrictamente negativos puesto que

V(x)

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Solucin:

a) El potencial propuesto es claramente el de un oscilador en 3D NO istropo.

Reescribimos el potencial para ver esto de un modo ms claro:

9 = 12 LU29 + 12 LU1l + 12 LU3m= 12 L2U9 + 12 LUl + 12 L3Um As que vemos que en la direccin x tenemos una frecuencia doble que en direccin

y, y en z una frecuencia triple que la direccin y

U= = 2Un Un = U Uo = 3Un Como vemos el Hamiltoniano del sistema es la suma de tres hamiltonianos que

conmutan por lo que la energa del sistema ser la suma de las energa de los

hamiltonianos parciales que son osciladores armnicos unidimensionales:

= = + n + o = 2U :12 + =< + U :12 + n< + 3U :12 + o< Siendo ni los nmeros cunticos de los osciladores unidimensionales.

= U :22 + 2= + 12 + n + 32 + 3o< = Uh3 + 2= + n + 3oi Notaremos los estados con los nmeros cunticos del siguiente modo:|=no' es el estado con nmeros cunticos nx, ny y nz

Las energas de los cuatro primeros niveles combinando los 3 nmeros cunticos

sern:

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= |' = 3U = |' = U3 + 0 + 1 + 0 = 4U = |' = U3 + 2 + 0 + 0 = 5U = |' = |' = U3 + 2 + 1 + 0 = U3 + 0 + 0 + 3 = 6U Vemos que el cuarto estado esta doblemente degenerado pues hay dos estados

distintos con la misma energa. Sin embargo, los tres primeros estados NO estn

degenerados.

Ahora vamos a construir las funciones de onda de esos cinco estados

(|000', |010', 100', |110', |001'). Por la misma propiedad de potenciales que conmutan por ser ortogonales, la funcin de onda total del sistema ser el producto

de las funciones de onda de los osciladores armnicos unidimensionales.

As, si las funciones de onda unidimensionales normalizadas son:

8=9 = [LU= \5 qrs=> = :2LU

8nl = [LUn \5 qrtn> = [LU \5 qrn> 8om = [LUo \5 qruo> = :3LU 8=9 = [LU= \5 9V2LU= qrs=> = :2LU 8nl = [LUn \5 lV2LUn qrtn> = [LU \5 lV2LU qrn> 8om = [LUo \5 mV2LUo qruo> = :3LU Entonces las funciones de onda de los cinco estados en cuestin sern:

|Qvw' = 8=Q9 8nvl 8owm Y estarn debidamente normalizadas.

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b) Ahora aadimos una perturbacin y calculamos las nuevas energa a primer orden

de perturbaciones. Sabemos que, a primer orden de perturbaciones, la modificacin a

la energa es:

Q = xQQ = A8QBxD B8QE En concreto para nuestro caso:

Qvw = A|Qvw'BxD B|Qvw'E = A8=Q9 8nvl 8owmB;9ylymB8=Q9 8nvl 8owmE= ;%8=Q9|9y|8=Q9'A8nvlBlyB8nvlE%8owm|m|8owm' Volviendo a la nomenclatura de estados |=no':

Qvw = ;%z|9y|z'%{|ly|{'%||m||' Pero tambin sabemos que en un oscilador unidimensional el operador x conecta slo

estados contiguos por lo que %|9y|' = 0 Concluimos que los estados NO degenerados no tienen ninguna correccin de energa

a orden uno:

= = = 0 Sin embargo, no ocurre as con los dos estados degenerados |110' l |001'. Para estos, la correccin de la energa se halla buscando los autovalores de la matriz W que es:

bA110BxD B110E A110BxD B001EA001BxD B110E A001BxD B001Ec = b 0 A110BxD B001EA001BxD B110E 0 c Los elementos de la diagonal son cero por la misma razn discutida anteriormente.

Los otros dos elementos son:

A110BxD B001E = A001BxD B110E = ;%0|9y|1'%0|ly|1'%1|m|0' = ; ;=2 ;n2 ;o2 Siendo:

;= = V 2LU ;n = V LU ;o = V 3LU Por lo que finalmente:

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} =_``a 0 ;

143 : LU= V 2LU Resultando:

3 = 1 ( Qr V 2LU ) = 2LU ( Qr )

Calculemos la integral:

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( Qr ) = 1U hQrzU + 1 1i Buscando el modulo y elevando al cuadrado tras algunas operaciones trigonomtricas

tendremos:

( Qr ) = bUU + UU 1Uc + bUU UU c

= 2 + U 2U 2U UU5 As tenemos finalmente:

3 = 2LU 2 + U 2U 2U UU5 Que grficamente se ve como una oscilacin creciente de forma cuadrtica:

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Solucin:

Como tratamos las funciones de onda del tomo de hidrogeno en coordenadas

esfricas, lo primero que haremos ser reescribir la perturbacin de manera que nos

sea fcil buscar valores esperados en esas coordenadas. De ese modo tenemos:

x2 = 9 + l m = m m = m + Escribamos z en coordenadas esfricas y llamemos = + . tambin ser mucho menor que 1, y tendremos:

x2 = cos Ahora apliquemos a primer orden la perturbacin a los niveles n=1 y n=2.

Recordemos que el nivel n=1 es NO degenerado pero el nivel n=2 es cudruplemente

degenerado. Por ello tendremos (los subndices indican nmeros cunticos n, l y m)

= 1: ,, = 2: ,, ,, ,, ,, Primero trabajemos con el caso n=1 que es ms fcil por no ser degenerado. Como

indicamos en un problema anterior:

= x = A,,BxD B,,E = A,,B cos B,,E= A,,BB,,E A,,B cos B,,E Calculemos por separado cada componente:

A,,BB,,E = AR,BBR,E = 3 donde hemos usado la siguiente relacin: A,,B cos B,,E = AR,BBR,E%Y| cos |Y' = 3 %Y| cos |Y'

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%Y| cos |Y' = (|Y| cos ) = 14 ( ) ( z) = 12 23 = 13 A,,B cos B,,E = AR,BBR,E%Y| cos |Y' = 3 13 = Finalmente nos queda:

= 3 > = 3 + = 2 Y la energa final a primer orden del estado fundamental es:

= + = + 2 Pasamos ahora a calcular como se ve afectada la energa de n=2, E2= - ER/4 frente a

la perturbacin a primer orden. Como este nivel energtico es cudruplemente

degenerado, necesitamos hallar los autovalores de la matriz W que es 4x4.

Para ello construimos primero la matriz del siguiente modo, denotando el estado |L':

_a` A200BxD B200E A200BxD B21 1E A200BxD B210E A200BxD B211EA21 1BxD B200E A21 1BxD B21 1E A21 1BxD B210E A21 1BxD B211EA210BxD B200E A210BxD B21 1E A210BxD B210E A210BxD B211EA211BxD B200E A211BxD B21 1E A211BxD B210E A211BxD B211E d

ef Empecemos por limpiar un poco la matriz. Como el operador de la perturbacin W

no tiene ningn termino en esto significa que el nmero cuntico m no va a ser cambiado y por ortogonalidad, cualquier conexin de dos estados con distinto m ser

cero con lo que nos queda:

_a`A200BxD B200E 0 A200BxD B210E 00 A21 1BxD B21 1E 0 0A210BxD B200E 0 A210BxD B210E 00 0 0 A211BxD B211Ed

ef Que queda bastante limpia. Adems de la diagonal queda el trmino que calculamos

seguidamente:

A200BxD B210E = A210BxD B200E = %200||210' %200| cos |210'= %R||'%Y|1|' %R||'%Y| cos |'= %R||'%Y| cos |'

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%Y| cos |' = ( Y cos ) = 14 12 V3 ( ) ( cos z) = 0 Con lo que A200BxD B210E = A210BxD B200E = 0 y la matriz queda solo con las diagonales:

_a`A200BxD B200E 0 0 00 A21 1BxD B21 1E 0 00 0 A210BxD B210E 00 0 0 A211BxD B211Ed

ef Los autovalores sern los valores en la diagonal y por lo tanto ellos sern las

correcciones de la energa a primer orden de n=2. Usando la relacin previa:

%R||' = 42 %R||' = 30 %Y| cos |' = (BY,B cos ) = 38 ( ) ( sin ) = 34 415 = 15 %Y| cos |' = (BY,B cos ) = 14 32 ( ) ( sin ) = 34 415 = 15 %Y| cos |' = (BY,B cos ) = 14 3 ( ) ( 5 z ) = 32 25 = 35

A200BxD B200E = %200||200' %200| cos |200'= %R||' %R||'%Y| cos |' = 42 42 13= 42 + 14 = 142 A21 1BxD B21 1E = %21 1||21 1' %21 1| cos |21 1'= %R||' %R||'%Y| cos |' = 30 30 15= 30 + 6 = 64 A210BxD B210E = %210||210' %210| cos |210'= %R||' %R||'%Y| cos |' = 30 30 35= 30 + 18 = 62 3

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A211BxD B211E = %211||211' %211| cos |211'= %R||' %R||'%Y| cos |' = 30 30 15= 30 + 6 = 64 Volvemos a tener una degeneracin como vemos ya que se repite una correccin a la

energa. La matriz queda:

2 _a72 0 0 00 34 0 00 0 32 3 00 0 0 34 d

f Y las energas de n=2 se desdoblan en 3 diferentes, una de ellas degenerada

doblemente:

= 4 + 142 = 4 + 62 3 = 4 + 64

La ultima energa es la doblemente degenerada.