L ? H J < ? J H Y L G H K L ? C - Росметод...

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Кумертауский филиал

федерального государственного

бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

(Кумертауский филиал ОГУ)

Строительный факультет

Кафедра общеобразовательных дисциплин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания по выполнению практических работ

для студентов экономического направления

Кумертау 2014

УДК 519. 2

ББК 22.17

Утяганова З.З. Теория вероятностей: методические указания по

выполнению практических работ для студентов экономических

направлений. – Кумертау, Кумертауский филиал ОГУ, 2014. - 45 с.

В методических указаниях рассмотрены примеры решения типовых

заданий по некоторым разделам теории вероятностей, а также представлены

задания для самостоятельной работы и вопросы для самоподготовки.

Пособие направлено на формирование профессиональной компетентности

студентов при изучении разделов высшей математики. При возникновении

проблем при освоении материала можно обратиться к литературе, список

которой прилагается.

Методические указания предназначены для студентов экономических

направлений дневной формы обучения.

© Кумертауский филиал ОГУ, 2014

© Утяганова З.З.

ВВЕДЕНИЕ

Практическое занятие – одна из основных форм организации учебного

процесса, заключающаяся в выполнении студентами под руководством

преподавателя комплекса учебных заданий с целью усвоения научно-

теоретических основ учебной дисциплины.

Целью проведения практических занятий является закрепление

приобретенных теоретических знаний, а также осуществление связи теории с

практикой.

Методические указания предназначены для проведения практических

работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов 2 курса направления подготовки 080100.62 «Экономика».

Содержание практических работ позволяет освоить:

методы вычисления вероятностей по классической и

неклассической схеме;

теоремы сложения и умножения вероятностей;

способы вычисления полной и условной вероятности;

применение формул Бернулли, Пуассона, локальную и

интегральную теоремы Муавра-Лапласа;

методы определения числовых характеристик случайной

величины;

определение закона распределения, плотности и функции

распределения случайной величины и т.п.

На практические занятия в 3 семестре отводится 36 часов.

В методических указаниях к выполнению практических работ

представлены подробные решения задач, подобраны подобные задания, а

также предложены задания для самостоятельной работы. Каждая

практическая работа включает в себя также вопросы для самоподготовки.

Практическое занятие №1

Тема: «Классическое, геометрическое, статистическое определение

вероятностей. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в

классической схеме»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Классическое,

геометрическое, статистическое определение вероятностей. Комбинаторный

метод вычисления вероятностей в классической схеме».

Задания для практического занятия

Задание 1.

Вычислить а) Р5 ; б) Р7.

Решение:

а)

Задание 2.

Вычислить а) ; б)

Решение:

а)

;

Задание 3.

Вычислить а) ; б)

Решение:

а)

;

Задание 4.

а) В магазин поступило 30 холодильников, 5 из них имеют заводской дефект.

Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того,

что он будет без дефекта.

б) Датчик случайных чисел генерирует двузначное число. Какова

вероятность того, что сгенерированное число делится на 5?

Решение.

а) n=30, m=25,

.

Задание 5.

а) В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность

того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется

внутри круга?

б) Мишень для выстрелов в тире представляет собой круг радиуса 50 см.

Стрелок выбивает 10 очков, если попадает в малый круг в центре с радиусом

5 см. Какова вероятность выбить 10 очков при одном выстреле?

Решение.

а) По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна

отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади

прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.

Задание 6. Решить задачу.

а) В урне находятся 13 белых и 17 черных шаров. Извлекаются 5 шаров.

Найти вероятность события А={извлечено два белых шара}.

б) В аналитическом отделе фирмы 8 менеджеров и 12 финансистов. Для

выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек.

Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет ровно два.

http://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par13

Решение.

а) Найдем общее число исходов. Речь идет о сочетаниях по 5 элементам из 30

(так как порядок безразличен), т.е.

.

Найдем число исходов, благоприятствующих событию А. Исход

благоприятствует А, если из 13 белых шаров извлечем 2, а из 17 черных

шаров – 3, причем порядок извлечения безразличен. Поэтому, согласно

правилу произведения, число исходов, благоприятствующих А, равно

. Вероятность равна

.

Задание 7. Решите задачу.

а) С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов

в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме

собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100

клиентов. Результаты обследования представлены в таблице.

Время

обслуживания,

мин.

Менее

2

2–4

4–6

6–8

8–10

10–12 Более

12

Итого

Число

клиентов 6 10 21 39 15 6 3 100

Найти вероятность того, что время обслуживания очередного клиента

составит более 8 минут.

б) Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной

бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических

данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные

данные представлены в таблице.

Количество

дней

пребывания

на

больничном

листе

Менее

3

3–5

5–7

7–9

9–11

Более

11

Итого

Число

сотрудников 6 13 24 39 8 10 100

Найти вероятность того, что очередной сотрудник пробудет на больничном

листе менее 7 дней.

Решение.

а) р1 = 0,06; р2 = 0,1; р3 = 0,21; р4 = 0,39; р5 = 0,15; р6 = 0,06; р7 =0,03.

Р(А) = р5 + р6 + р7 = 0,15 + 0,06 +0,03 = 0,24

Задание 8.

Построить множество элементарных исходов и выразить через эти исходы

элементарные события:

а) Кубик (игральная кость) подбрасывается один раз. События: А={на

верхней грани выпало четное число очков}, В={на верхней грани выпало

число очков, кратное 3};

б) Одновременно подбрасываются две монеты. События: А={герб выпадет на

одной монете}, В={герб выпадет на двух монетах}.

Решение.

а) Множество элементарных исходов ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

А={2, 4, 6}, В={3, 6}.

Задание 9. Выяснить смысл событий.

а) Три изделия проверяются на стандартность. Вводятся события: А={все

изделия стандартны}, В={хотя бы одно изделие нестандартно}. Выяснить

смысл событий: А+В, АВ, , А\В.

б) Два шахматиста играют одну партию. Вводятся события: А={выигрывает

первый игрок}, В={выигрывает второй игрок}. Выяснить смысл событий:

АВ, , , А+В+ .

Решение.

а) А+В=, АВ=, =А, А\В=А

Самостоятельная работа

1. Менеджер рассматривает кандидатуры 8 человек, подавших заявления

о приеме на работу. Сколько существует способов приглашения

кандидатов на собеседование в случайном порядке?

2. Покупая карточку лотереи «Спортлото», игрок должен зачеркнуть 6 из

49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи

он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму

денег. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6,

если порядок чисел безразличен?

3. На 9 вакантных мест по определенной специальности претендуют 15

безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько

возможно комбинаций выбора 9 из 15 безработных?

4. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет

следующий вид:

Структура Женщины Мужчины

Администрация 25 15

Операционисты 35 25

Если один из служащих выбран случайным образом, то какова

вероятность, что он: а) мужчина-администратор; б) женщина-

операционист; в) мужчина; г) операционист?

5. Известно, что телефонный звонок должен последовать от 11 ч. до

11ч.30 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в

последние 10 минут указанного промежутка, если момент звонка

случаен?

6. Имеются выборочные данные о распределении вкладчиков по размеру

вклада в Сбербанке города.

Размер

вклада, тыс.

руб.

До 40 40–60 60–80 80–100 Свыше

100 Итого

Число

вкладов 32 56 92 120 100 400

Найти вероятность того, что очередной клиент откроет в Сбербанке

города вклад на сумму свыше 60 тыс. руб.

7. В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова

вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются

дефектными?

Вопросы для самоподготовки

1. Какое событие называют случайным?

2. Какое событие называют достоверным? Приведите пример.

3. Какое событие называют невозможным? Приведите пример.

4. Что называется суммой событий? Приведите пример.

5. Что называется произведением событий? Приведите пример.

6. Что называется разностью событий? Приведите пример.

7. Какое событие называется противоположным? Приведите пример.

8. Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт – бросание симметричной монеты; события: А1 – появление

герба, А2 – появление цифры.

б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – появление двух гербов,

В2 – появление двух цифр, В3 – появление одного герба и одной цифры.

в) опыт – бросание игральной кости; события: С1={появление не менее

трех очков}, С2 ={появление не более четырех очков}.

9. Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 –

появление цифры

б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – появление герба на

первой монете, В2 – появление цифры на второй монете.

в) опыт – два выстрела по мишени; события: С0 – ни одного попадания,

С1 – одно попадание, С2 – два попадания.

10. Образуют ли полную группу следующие группы событий:

а) опыт – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 –

появление цифры

б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – появление двух гербов,

В2 – появление двух цифр.

в) опыт – два выстрела по мишени; события: С0 – ни одного попадания,

С1 – одно попадание, С2 – два попадания.


Тема: «Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Теоремы

сложения и умножения вероятностей».



а) На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из

них 3 книги по теории вероятностей, 3 – по математическому анализу и 4 –

по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу.

Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или

линейной алгебре?

б) Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: 4 – с

первого, 5 – со второго, 7 – с третьего и 4 – с четвертого. Случайным образом

выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с

первого или с третьего склада?

Решение.

а) А={студент взял книгу по теории вероятностей}

В={студент взял книгу по линейной алгебре}

Необходимо найти Р(А+В). События А и В несовместны, поэтому искомая

вероятность находится как сумма вероятностей.

Р

Р

Р

Задание 2. Решить задачу

а) В аналитическом отделе фирмы 8 менеджеров и 12 финансистов. Для

выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек.

Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет не менее одного.

б) В городе предполагается открыть 6 предприятий и 15 индивидуальных

предпринимательств. Для этой цели банк города в один месяц планирует

выделить крупные кредиты пяти клиентам. Найти вероятность того, что

среди них будет не более 3 индивидуальных предпринимателей.

Решение:

а) Пусть В1={Среди выбранных 3-х человек один менеджер}

В2={Среди выбранных 3-х человек два менеджера}

В3={Среди выбранных 3-х человек три менеджера}

Обозначим событие B={Среди выбранных 3-х человек будет не менее одного

менеджера}=В1+В2+В3. События В1, В2, В3 несовместные, значит, по теореме

сложения вероятностей:


а) В первом ящике находится 2 белых и 5 чёрных шаров, во втором ящике – 3

белых и 2 чёрных шара. Из каждого ящика вынимают по одному шару. Найти

вероятность того, что оба вынутых шара – чёрные.

б) Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных

деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу вынимают

по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали

окажутся стандартными.

Решение.

а) Пусть событие А={вынули чёрный шар из первого ящика}, В={вынули

чёрный шар из второго ящика}.

Необходимо найти Р(АВ). Так как А и В независимые события, то

,


а) Контролёр проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что

вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9. Какова вероятность

того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если

события появления стандартных изделий независимы? Какова вероятность

того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?

б) Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет

0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова

вероятность того, что только один из них будет оформлен правильно?

Решение.

а) А1={первое изделие стандартное}, А2={второе изделие стандартное}. Так

как события А1 и А2 независимы по условию задачи, то

По первому вопросу: Р(А1А2)=Р(А1)Р(А2)=0,9·0,9=0,81

По второму вопросу:

Пусть В1={только первое изделие стандартное}= ,

В2={только второе изделие стандартное}=

Событие В1 и В2 несовместные, поэтому

Р Р Р Р Р Р Р =0,9·(1-0,9)+0,9·(1-

0,9)=2·0,9·0,1=0,18


а) На склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго

сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второсортных

изделий, в продукции второго предприятия – 25%, в продукции третьего

предприятия – 30%. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по

одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два

изделия?

б) В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение смены для

станков соответственно равна 0,1; 0,2 и 0,15. Найти вероятность того, что в

течение смены безотказно проработают два станка.

Решение.

а) Обозначим события: А1={изделие первого предприятия оказалось

первосортным}, А2={изделие второго предприятия оказалось

первосортным}, А3={изделие третьего предприятия оказалось

первосортным}.

Пусть В1 = , В2 = , В3= . События В1, В2, В3

несовместные. События А1, А2, А3 независимые. Тогда вероятность того, что

среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся

первосортными два изделия равна:

Самостоятельная работа:

1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на

100 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб.,

на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные.

Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

2. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень.

Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и

0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень:

а) будет поражена дважды;

б) не будет поражена ни разу;

в) будет поражена хотя бы один раз;

г) будет поражена ровно один раз.

3. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов.

Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5

и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта А или от пункта В,

считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но

совместными.

4. Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них.

Каждому студенту предлагают два вопроса, которые выбираются случайным

образом. Положительная оценка ставится в том случае, если студент

правильно ответил хотя бы на один вопрос. Какова вероятность успешной

сдачи экзамена?

Вопросы для самоподготовки:

1. Какие события являются несовместными при однократном бросании

игрального кубика: А={ выпадение нечетного числа очков}, В={ выпадение

числа очков, кратных трем}, С= { выпадение четного числа очков }, D={

выпадение нечетного числа очков}?

2. Как найти вероятность суммы конечного числа несовместных событий?

3. Чему равна вероятность противоположного события?

4. Как найти вероятность суммы совместных событий?

5. Являются ли события независимыми:

А) при бросании игрального кубика два раза в первый раз выпало 2 очка,

второй раз – 5 очков;

Б) при вытаскивании из урны шариков два раза – оба раза шарики оказались

белого цвета?

6. Как найти вероятность произведения независимых событий?

7. Вероятность появления события в n независимых испытаниях хотя бы один

раз.


Тема: «Формулы условной и полной вероятностей. Формула Байеса»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Формулы

условной и полной вероятностей. Формула Байеса».



а) На экзамене по теории вероятностей было 30 билетов. Студент дважды

извлекает по одному билету из предложенных билетов (не возвращая их).

Студент подготовился лишь по 25 билетам. Какова вероятность того, что во

второй раз студент извлечет «удачный билет», если в первый раз он извлек

«неудачный билет»?

б) В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды

берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того,

что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь, если в

первый раз была извлечена нестандартная деталь.

Решение.

а) А={Студент в первый раз извлек «неудачный билет»}

В={Студент во второй раз извлек «удачный билет»}


а) В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката

сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова

вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

б) В студенческой группе 25 человек. У семи из них есть шпаргалки к

экзамену. Студент случайным образом обращается за помощью к двум

студентам. Какова вероятность того, что у обоих окажутся шпаргалки?

Решение.

а) А={в первом поселке находится пункт проката}

В={во втором поселке находится пункт проката}

Р

Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло и найдем

условную вероятность:

Р

Искомая вероятность найдется как произведение двух вероятностей:

Р Р Р


а) На экзамене по теории вероятностей было 34 билета. Студент дважды

извлекает по одному билету из предложенных билетов (не возвращая их).

Студент подготовился лишь по 30 билетам. Какова вероятность того, что он

сдаст экзамен, выбрав первый раз «неудачный билет»?

б) В колоде 36 карт. Игрок дважды вытаскивает по одной карте (не

возвращая их). Какова вероятность того, что оба раза будут вытащены

«тузы»?

Решение:

а) А= {В первый раз вынут неудачный билет}

В={Во второй раз вынут удачный билет}

События А и В зависимые. Требуется найти вероятность события АВ.

По формуле условной вероятности Р(АВ)=РА(В)Р(А)

Задание 4.

а) В ящике 4 красных и 6 синих шаров. Вытаскиваются два шара. Какова

вероятность того, что хотя бы один из вытащенных шаров окажется

красным?

б) Имеются два независимых устройства, сигнализирующих об аварии.

Вероятность срабатывания первого устройства составляет 0,8, вероятность

срабатывания второго – 0,7. Найти вероятность того, что сигнал об аварии

будет подан.

Решение.

а) А={первый из вытащенных шаров красный}

В={второй из вытащенных шаров красный}

А и В – совместные события и зависимые (вероятность появления события В

зависит от появления события А)

Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ)=Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В) = 0,4 + 0,4 – 0,4·3/9 =

2/3


а) Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии,

остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей –

6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что

выбранная лампа – бракованная.

б) Компьютеры одной марки производят 2 предприятия. первое предприятие

выпускает ¾ всех компьютеров, второе – ¼. На первом предприятии 1%

брака, на втором – 2%. найти вероятность того, что купленный вами

компьютер исправен.

Решение

а) Введем полную группу независимых гипотез:

Hi = {Лампа принадлежат i -ой партии}, i =1,2,3 .

Тогда Р(Н1)=0,38, Р(Н2)=0,27, Р(Н3)=0,35.

Введем событие A = {Лампа бракованная}.

По условию даны вероятности:

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

Задание 6. Решите задачу

а) В турслете участвуют 70% девятиклассников и 30% десятиклассников.

Среди девятиклассников 60% мальчиков, а среди десятиклассников 40%

мальчиков. Все мальчики по очереди дежурят у костра, сменяясь каждый

день. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день у костра

дежурит девятиклассник.

б) На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая

- 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет

соответственно 5, 4 и 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался

дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй,

третьей машиной?

Решение

а) Пусть событие А = {У костра дежурит мальчик},

событие Н1 = {У костра дежурит кто-то из девятиклассников};

событие Н2 – {У костра дежурит кто-то из десятиклассников}.

Тогда .

Следовательно, по формуле Байеса


1. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев

маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию

выйдет трамвай маршрута №1?

2. Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6; 8 – с

вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок

произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего

принадлежал этот стрелок?

3. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время

ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они

оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом

рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса.

Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с

вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова

вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

4. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали,

поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2%

брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3

раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем

второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на

конвейере?


5. Формула условной вероятности.

6. Приведите пример случайных событий, образующих полную группу.

7. Формула полной вероятности.

8. Формула Байеса.


Тема: «Формулы Бернулли, Пуассона. Локальная и интегральная

теоремы Муавра-Лапласа»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Формулы

Бернулли, Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа».



а) Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2.

Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном

станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

б) Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2.

На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой

партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Решение.

А) Пусть А={Выпущено изделие без брака}

Р(А)=0,8

Нужно определить Р10(k)

Имеем: n=10, p=0,8, q=0,2

Найдём вероятность того, что в партии все детали бракованные (k=0):

Только одна деталь без брака (k=1):

Бракованных деталей нет вообще (k=10):


а) Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента

вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01.

Найдите вероятности следующих событий:

1. в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

2. в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию;

3. в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

б) На телефонной станции неправильное соединение происходит с

вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений

произойдет:

1. ровно одно неправильное соединение;

2. меньше чем три неправильных соединения;

3. больше чем два неправильных соединения.

Решение.

а) Так как p=0,01 мало и n=400 велико, q=0,99, npq=3,96<10, то будем

пользоваться приближенной формулой Пуассона:

1.

2.

считается аналогично предыд щем п нкт

3.


а) Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найти вероятность того, что

среди 100 новорождённых будет ровно 51 мальчик.

б) Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное

изделие окажется бракованным, постоянна и равна 0,05. Какова вероятность

того, что в партии из 1000 изделий ровно 40 окажется бракованными?

Решение.

а) Итак, всего испытаний по схеме Бернулли n = 100. Кроме того, p = 0,512, q

= 1 − p = 0,488.

Поскольку n = 100 – это достаточно большое число, будем работать по

Локальной теореме Муавра — Лапласа. Заметим, что n · p · q = 100 · 0,512 ·

0,488 ≈ 25 > 20. Имеем:

Задание 4. Решите задачу

а) Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном

выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число

попаданий будет не менее 210, но не более 230?

б) Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что

из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

Решение:

По условию задачи .

Для нахождения вероятности воспользуемся интегральной

формулой Муавра-Лапласа.

, тогда

Следовательно,


1. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове

равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность девяти

«сбоев».

2. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить

деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей.

Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

3. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия

отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти

вероятности событий: В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных

изделий; С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.

4. Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность

изготовления бракованной детали p=0,0001. Найти вероятность того, что за

смену будет изготовлено не более 5 бракованных деталей.

5. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того,

что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.


1. Приведите пример вероятностного эксперимента, соответствующего

схеме Бернулли.

2. При каких значениях n и p применяется асимптотическая формула

Пуассона?

3. Сформулируйте теорему Пуассона о вычислении вероятности того, что

в серии большого числа испытаний Бернулли заданное число

испытаний закончится успехом.

4. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа о вычислении

вероятности того, что в серии большого числа испытаний Бернулли

заданное число испытаний закончится успехом.

5. Может ли локальная формула Лапласа заменить формулу Пуассона?

6. В чем состоит несоответствие условий теоремы Пуассона схеме

Бернулли?


Тема: «Контрольная работа №1»

Цель: проверить знания по темам «Классическое, геометрическое,

статистическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения

вероятностей. Формулы условной и полной вероятности. Формула Байеса,

Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа»


Вариант 1

1. Вероятности выполнения плана бригадами соответствено равна 0,8 и 0,9.

Найти вероятность того, что выполнят план: а) обе бригады; б) хотя бы одна

бригада; в) только одна бригада.

2. Всхожесть семян свёклы первой партии 90%, а второй – 80%. Перед посевом

смешали 2 ц семян первой партии и 3 ц семян второй партии. а) какова

вероятность всхода, если наугад посадили одно семя; б) Семя взошло. Какова

вероятность того, что оно из первой партии?

3. Рабочий изготовливает за смену 400 деталей. Вероятность того, что деталь

окажется первого сорта, равна 0,9. Какова вероятность того, что деталей

первого сорта будет ровно 372 штуки.

4. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаниях

равна 0,8. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится

от 72 до 84 раз.

5. Прядильщица обслуживает 1500 веретен. Вероятность обрыва нити на одном

веретене в течение 1 минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в

течение 1 минуты обрыв произойдет на 4 веретенах.

Вариант 2

1. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы в

течение месяца для первого станка равна 0,8, для второго – 0,9, для

третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение месяца без

остановки будут работать: а) все станки; б) только два станка; в) хотя бы

один станок.

2. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый

автомат дает 3% брака, второй – 2%, третий – 4%. А) найти вероятность

попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата

поступило 1000, со второго – 2000 и третьего – 2500 деталей. Б) деталь

оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на

третьем автомате.

3. Рабочий изготовляет за смену 625 деталей. Вероятность того, что деталь


первого сорта будет ровно 370 штук.

4. Вероятность появления события А в каждом из 300 независимых

испытаниях равна 0,75. Найти вероятность того, что в этих испытаниях

событие появится от 210 до 225 раз.

5. Среднее число вызовов, поступающих в справочную службу в одну

минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 4

вызова.

Вариант 3

1. Исследователь разыскивает нужные ему сведения в трех справочниках.

Вероятность того, что эти сведения находятся в первом, втором и третьем

справочниках соответственно равны 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того,

что требуемые сведения содержатся: а) только в одном справочнике; б)

хотя бы в одном справочнике; в) во всех справочниках.

2. На ферме содержат 40% коров костромской породы и 60% башкирской. В

районе эпидемия ящура. Вероятность заболеть ящуром у коров

костромской породы 0,6; у башкирской породы – 0,7. Для обследования

случайным образом взята одна корова. А) найти вероятность того, что она

больна ящуром. Б) корова больна ящуром. Найти вероятность того, что

она башкирской породы.







5. Среднее число самолетов, приземляющихся на аэродром в одну минуту

равно двум. Найти вероятность того, что за 3 минуты приземлятся 5

самолетов.

Вариант 4

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.

Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна

0,15. Проверено три изделия. Какова вероятность того, что среди

бракованных: а) все три изделия; б) только два; в) хотя бы одно.

2. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные

детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго –

0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один

ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго,

а третьего в два раза меньше, чем второго. Из ящика наудачу взята одна

деталь. А) какова вероятность того, что деталь будет бракованной? Б)

деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она

произведена на первом станке.







5. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того,

что среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стандартных.


Тема: «Дискретная случайная величина»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Дискретная

случайная величина»



а) Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадет выигрыш в

сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50

рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения

вероятностей случайной величины Х – выигрыша на один билет.

б) Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и

уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Определить закон

распределения вероятностей случайной величины Х, если сделано 3

выстрела.

Решение.

а) По условию задачи возможны следующие значения случайной

величины Х: 0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50)=915.

Тогда Р(Х=0)=915/1000=0,915

Аналогично находим все другие вероятности:

Р(Х=10)=50/1000=0,05; Р(Х=50)=20/1000=0,02; Р(Х=100)=10/1000=0,01;

Р(Х=500)=5/1000=0,005.

Полученный закон представим в виде таблицы:

хi 0 10 50 100 500

Pi 0,915 0,05 0,02 0,01 0,005

Проверим: 0,915+0,05+0,02+0,01+0,005=1


а) Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при

бросании игральной кости.

б) Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X,

заданной следующим законом распределения:

Случайная величина X 2 4 5 10

Вероятность p 0.3 0.1 0.4 0.2

Решение.

а) Случайная величина Х числа очков принимает значения 1,2,3,4,5,6.

Вероятность того, что выпадет одно из данных значений, равна 1/6. Закон

распределения представим в виде таблицы:

хi 1 2 3 4 5 6

pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Найдем математическое ожидание величины Х:


а) Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить

закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте,

построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения

F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию

и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

б) В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение

года составляет 20%. Составьте закон распределения числа банков,

которые могут обанкротиться в течение следующего года, построить

многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и

построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и

среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение.

а) Дискретная случайная величина Х = {Число отказавших элементов в

одном опыте} имеет следующие возможные значения:

х1=0 (ни один из элементов устройства не отказал),

х2=1 (отказал один элемент)

х3=2 (отказало два элемента)

х4=3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого

элемента равны между собой, поэтому применим формулу Бернулли.

Учитывая, что по условию n=3; p=0,1; q=1-p=0,9, определим вероятности

значений:

Проверка: 0,729+0,243+0,027+0,001=1

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет

вид:

xi 0 1 2 3

pi 0,729 0,243 0,027 0,001

Для построения многоугольника распределения строим прямоугольную

систему координат. По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а

по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим все

точки. Соединив эти точки отрезами прямых, получаем многоугольник

распределения.

Найдем функцию распределения F(x)=P(X<x):

Для x≤0 имеем F(x)=P(X<0)=0

Для 0<x≤1 имеем F(x)=P(X<1)=Р(Х=0)=0,729

Для 1<x≤2 имеем F(x)=P(X<2)=Р(Х=0)+Р(Х=1)=0,729+0,243=0,972

Для 2<x≤3 имеем F(x)=P(X<3) = Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2) =

0,729+0,243+0,027 = 0,999

Для x>3 имеем F(x)=1, т.к. событие достоверно

Итак, функция распределения:

График функции F(x):

Для биномиального распределения Х:

Математическое ожидание M(X)=np=3·0,1=0,3

D(X)=npq=3·0,1·0,9=0,27

σ(x)=√D(X)=√0,27≈0,52


Задание 1. Составить закон распределения и построить многоугольник

распределения для случайной величины X – числа бракованных изделий в

выборке объема 3. Вероятность того, что деталь окажется бракованной,

равна 0,1. Определить, что в выборке будет бракованных: а) 2 детали; б)

не более 2 деталей; в) более 2 деталей. Найти математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Задание 2. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается

число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается

дискретная случайная величина Х – число выпадений гербов на обеих

монетах. Записать закон распределения случайной величины Х.

Задание 3. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

iх 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ip 0,1 0,2 0,4 Р4 0,1

Чему равна вероятность Р4? Построить многоугольник распределения.

Задание 4. Дискретная случайная величина Х задана законом

распределения

iх 2 4 7

ip 0,5 0,2 0,3

Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Задание 5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на

«отлично», наугад извлекают 3 работы. Найти функцию распределения

дискретной случайной величины Х, равной числу оцененных на «отлично»

работ среди извлеченных. Используя функцию распределения найти

вероятность события 21 Х .


1. Определение дискретной случайной величины. Примеры.

2. Числовые характеристики дискретной случайной величины

(математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное

отклонение).

3. Закон распределения дискретной случайной величины.

4. Функция распределения дискретной случайной величины. Ее свойства.


Тема: «Непрерывная случайная величина»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Непрерывная

случайная величина»

Задание 1.

а) Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х

.5,1

,53,)3(4

1

,3,0

)( 2

хесли

xеслиx

хесли

xF

Найти:

1) плотность распределения )(xp ;

2) }43{)( XP P .

б) Случайная величина Х задана функцией распределения

х

хсоsх

х

xF

,1

,0,2

)1(

,0,0

)( .

1) Найти ее плотность распределения. 2) Найти вероятность того, что в

результате испытания величина Х примет значение из интервала (3,2).

Решение.

а) Плотность распределения

.5,0

,53),3(2

1

,3,0

)()(

хесли

xеслиx

хесли

xFxp

4

34

1)3(

2

1}43{ dxxXP или

4

10

4

1)3()4(}43{ FFXP .

Задание 2.

а) Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х равна

Найти функцию распределения F(X), математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

б) Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией

.2,0

,20,2

,0,0

)(

х

хх

х

xp

Найти функцию распределения F(X), математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х, вероятность

того, что в результате испытания величина х примет значение из интервала

(1,2).

Решение.

а) Построим функцию распределения случайной величины Х.

При

.

При

При

Значит,

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х равно:

Дисперсию величины Х находим по формуле

:

Среднее квадратическое отклонение величины Х равно:


Задание 1. Дана функция

.0,1

02

,

2,0

)(

хесли

xеслисosx

хесли

xF

. Показать, что эта

функция является функцией распределения некоторой случайной величины

Х. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения

из интервала )0;3

(

.


.2,1

20,

0,0

)( 2

хесли

xеслиx

хесли

xF Является ли эта

функция функцией распределения некоторой случайной величины?

Задание 3. Случайная величина Х задана функцией распределения

.3,1

30,3

0,0

)(

хесли

xеслих

хесли

xF .

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет

значение из интервала (2; 3).


).0(0,

,0,0)(

хприсе

хприxр

х При каком

значении с функция р(х) является плотностью распределения вероятностей

некоторой случайной величины Х?

Вопросы для самоподготовки

1. Какую случайную величину называют непрерывной?

2. Что называется функцией распределения и плотностью распределения

вероятностей непрерывной случайной величины? Каковы их свойства?

3. Как связаны между собой функции распределения и плотности

распределения вероятностей непрерывной случайной величины?

4. Как определить вероятность попадания непрерывной случайной

величины в заданный интервал?

5. Какими числовыми характеристиками характеризуется непрерывная

случайная величина?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8

Тема: «Важнейшие распределения дискретной случайной

величины»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Важнейшие

распределения дискретной случайной величины»

Задание 1.

а) 30% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждается в

дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 200 изделий. Найти среднее

значение и дисперсию случайной величины X – числа изделий в выборке,

нуждающихся в регулировке.

б) В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 400

деталей. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины X –

числа нестандартных деталей в выборке.

Решение.

а) Случайная величина X имеет биномиальное распределение. Здесь

n=200, p=0,3, q=0,7. Таким образом, находим: 603,0200)( XM ,

427,03,0200)( XD .

Задание 2.

а) Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300

вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно

два вызова?

б) В среднем в магазин приходит 3 покупателя в минуту. Найти

вероятности того, что магазин посетят за минуту 1, 4 и 10 посетителей.

Решение.

а) За одну минуту АТС в среднем получает 560

300 вызовов. Считая,

что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,

подчиняется закону Пуассона, найдем искомую вероятность

09,02

5

!2)2(

5

22

2

eepXP

.


Задание 1. В цехе работают четыре станка. Вероятность остановки в

течение часа каждого из них равна 0,8. 1) Найти закон распределения

случайной величины Х – числа станков, остановившихся в течение часа. 2)

Найти вероятность остановки в течение часа: а) более двух станков; б) от

одного до трех станков.

Задание 2. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны

четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной

случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех

отобранных.

Задание 3. Случайная величина X подчинена закону Пуассона с

математическим ожиданием а = 3. Построить многоугольник распределения

и функцию распределения случайной величины X. Найти: а) вероятность

того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем ее

математическое ожидание; б) вероятность того, что величина X примет

положительное значение.

Задание 4. Поток заявок, поступающих на телефонную станцию,

представляет собой простейший (стационарный пуассоновский) поток.

Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность

того, что за минуту поступит не менее двух вызовов.

Задание 5. Завод отправил на базу 500 доброкачественных

изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002.

Найдите закон распределения случайной величины Х , равной числу

поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

А – повреждено менее 3 изделий;

В – повреждено более 2 изделий;

С – повреждено хотя бы одно изделие.

Задание 6. По мишени стреляют 10 раз, причем вероятность попадания

при одном выстреле равна 0,2. Выполнить следующие задания:

1) Составить закон распределения случайной величины Х – число

попаданий в цель.

2) Изобразить графически закон распределения.

3) Найти наименее вероятное число попаданий.

4) Найти наиболее вероятное число попаданий.

5) Определить вероятность того, что число попаданий

а) m > 6; б) m < 5; в) менее 4; г) не менее 8; д) более 2, но не более 7


1. Какие распределения может иметь дискретная случайная величина?

2. В каком случае дискретная случайная величина имеет биномиальное

распределение?

3. Как определяются математическое ожидание и дисперсия случайной

величины, имеющей биномиальное распределение?

4. В каком случае дискретная случайная величина имеет распределение

Пуассона?


величины, имеющей распределение Пуассона?

6. При каких условиях вероятность, определяемая по формуле Бернулли,

стремится к вероятности, определяемой по формуле Пуассона?

7. В каком случае закон распределения Пуассона является хорошим

приближением биномиального закона?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9

Тема: «Важнейшие распределения непрерывной случайной величины»

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Важнейшие

распределения непрерывной случайной величины»

Задание 1.

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания

прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при

отсчете будет сделана ошибка:

а) превышающая 0,04;

б) меньше 0,04.

Решение.

а) Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную

величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя

соседними делениями. Плотность равномерного распределения имеет вид из

формулы:

, где (b-a) – длина интервала, в котором заключены

возможные значения Х. Вне этого интервала f(x)=0. В рассматриваемой

задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна

0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей

Тогда ошибка отсчета превысит 0,04, если она будет заключена в

интервале (0,04; 0,2).

Вычислим вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка,

превышающая значение 0,04:

.

Задание 2.

а) Троллейбусы идут с интервалом движения 20 мин. Найти

вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать

очередной троллейбус менее 7 мин. Найти характеристики М(Т), D(Т), (Т).

б) Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты.

Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти

плотность распределения случайной величины Т – времени, в течение

которого ему придется ожидать поезда; характеристики М(Т), D(Т), (Т).

Найти вероятность того, что ждать придется не больше полуминуты.

Решение.

а) Время, которое пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать

очередной троллейбус можно рассматривать как случайную величину Х,

которая распределена равномерно в интервале между двумя троллейбусами.

В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены

возможные значения Х, равна 20. Поэтому

.

Тогда вероятность того, что время, которое пассажир, подошедший к

остановке, будет ожидать очередной троллейбус менее 7 мин., если оно будет

заключено в интервале (0; 7), вычисляется по формуле:

.

Задание 3.

а) Случайная величина T – время работы радиолампы – имеет

показательное распределение. Определить вероятность того, что время

работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы

радиолампы 400 часов.

б) Случайная величина X, которая равна длительности работы

элемента, имеет плотность распределения 0,003,0)( 003,0 tet t . Найти:

среднее время работы элемента, вероятность того, что элемент проработает

не менее 400 часов.

Решение.

а) По условию задачи математическое ожидание случайной величины T

равно 400 часам, следовательно, 400

1 .

Тогда искомая вероятность

2231,0)1(1)600(1)600(1)600( 5,1400

600600

400

1

eeeFTPTP .

Задание 4.

а) Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону с

математическим ожиданием 6,1 и средним квадратическим отклонением

1 . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная

величина попадет хотя бы один раз в интервал (1,2)?

б) Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со

средним квадратическим отклонением 20мм и математическим ожиданием

равным 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений

ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4мм.

Решение.

а) Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал

(1,2) при одном испытании. Согласно формуле (16) имеем:

)21( XP

3811,02257,01554,0)6,0()4,0(1

6,11

1

6,120000

.

Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал

(1,2) при одном испытании равна 1-0,3811=0,6189, а при четырех испытаниях

1467,06189,0 4 . Значит, искомая вероятность 8533,01467,011 P .


Задание 1. Масса арбуза некоторого сорта – нормально распределенная

случайная величина с а=5 кг и =0,5 кг. Какова вероятность того, что в

партии весом 10 т находится не менее 1900 и не более 2100 арбузов?

Задание 2. Завод изготавливает шарики для подшипников,

номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен

и распределен по нормальному закону с а=10 мм и =0,4 мм. При контроле

бракуются все шарики, проходящие через круглое отверстие с диаметром 9,3

мм. Найти процент шариков, которые будут браковаться.

Задание 3. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00.

Время ожидания звонка есть непрерывная с.в. Х, имеющая равномерное

распределение на отрезке 19;20. Найти вероятность того, что звонок

поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.

Задание 4. Известно, что средний расход удобрений на один гектар

пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5

кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной

величиной, определить диапазон, в котором вносимая доза удобрений

попадает с вероятностью 0,98.

Задание 5. Математическое ожидание нормально распределенной

случайной величины – количества сыра, используемого для изготовлений 100

бутербродов, - равно 1 кг. Известно, что вероятностью 0,96 расход сыра на

изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100г. Определить

среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

Задание 6. Паром для перевозки машин через залив подходит к

причалу через каждые 2 часа. Считая, что время прибытия автомашин –

случайная величина Х – распределена равномерно, определить среднее

ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.


1. Какие распределения может иметь непрерывная случайная величина?

2. В каком случае непрерывная случайная величина имеет равномерный

закон распределение?

3. По какой формуле определяется функция распределения для

равномерно распределенной случайной величины?


величины, имеющей равномерное распределение?

5. По какой формуле определяется вероятность попадания равномерно

распределенной случайной величины X на интервал ],[),( ba ?

6. В каком случае непрерывная случайная величина имеет показательный

закон распределения?

7. Как определяются функция распределения и важнейшие числовые

характеристики показательного распределения?

8. Как найти вероятность того, что случайная величина X, имеющая

показательный закон распределения, примет значение, принадлежащее

интервалу (a, b)?

9. В каком случае непрерывная случайная величина имеет нормальный

закон распределения?

10. Как определяются важнейшие числовые характеристики случайной

величины, имеющей нормальное распределение?

11. Как определить вероятность попадания в интервал (a, b) случайной

величины X, подчиненной нормальному закону?

Литература

1. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. Пособие для

студентов втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 5-е изд. испр. – М.:

издательский центр «Академия», 2003. – 448 с.

2. Маценко П.К., Селиванов В.В. Руководство к решению задач по

теории вероятностей. Учебное пособие. – Ульяновск: УлГТУ, 2000. – 99 с.

3. Основы статистики с элементами теории вероятностей для

экономистов: руководство для решения задач / Ниворожкина П.П., Морозова

З.А., Герасимова П.А., Житников П.В. – Ростов н/Д: Феникс, 1999. – 320 с.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное

пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 575 с.

5. Теория вероятностей и математическая статистика: краткий курс

для экономистов: учеб. пособие / А.В. Солопахо. – Тамбов: Изд-во Тамбов.

гос. техн. ун-та, 2007. – 108 с.

6. Элементы теории вероятностей. Руководство к решению задач.

часть II. Случайные величины / Шишина В.Т., Филиппова Н.М.: Учебно-

методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,

2012 – 35 с.

L ? H J < ? J H Y L G H K L ? C - Росметод...

Documents

Transcript of L ? H J < ? J H Y L G H K L ? C - Росметод...