BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemodelan...
Transcript of BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemodelan...
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pemodelan Matematika
Istilah pemodelan matematika (mathematical modeling) tidak memiliki satu
definisi yang diterima oleh semua matematikawan (Ledder, 2005, p1). Pandangan umum
mengatakan bahwa pemodelan matematika adalah usaha menggunakan matematika
untuk menggali dan menelaah topik-topik di luar matematika (Ledder, 2005, p31).
Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model
matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem. Oleh karena itu, pemodelan
matematika selalu terkait dengan bidang-bidang ilmu yang lain. Model-model
matematika tidak hanya digunakan dalam ilmu-ilmu alam atau teknik rekayasa (seperti
fisika, biologi, meteorologi, dan ilmu-ilmu teknik rekayasa), melainkan juga dalam
ilmu-ilmu sosial (seperti ekonomi, psikologi, sosiologi, dan ilmu politik, bahkan
sejarah). Eykhoff mendefinisikan suatu model matematika sebagai ‘representasi unsur-
unsur pokok dari suatu sistem yang ada (atau suatu sistem yang sedang dibangun) yang
menyajikan sistem tersebut dalam bentuk yang dapat dipakai untuk menjelaskan
keadaan sistem tersebut.’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model). Model-
model matematika dapat mengambil berbagai macam bentuk, termasuk di antaranya,
namun tidak terbatas pada, sistem-sistem dinamis, model-model statistikal, persamaan
differensial, atau model-model teori permainan (game theory models).
Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang
saling berhubungan, yang dapat digambarkan pada bagan berikut ini.
10
Gambar 2.1 Bagan Proses Pemodelan Matematika (Sumber: Vries, tanpa tahun, slide6)
Dari bagan di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model
matematika tidak pernah berhenti, terus bergerak antar tahap-tahap itu, untuk
menghasilkan model yang lebih baik. Gerda de Vries menegaskan bahwa tidak ada
model yang paling baik, hanya ada model yang lebih baik (Vries, tanpa tahun, slide6).
Akhirnya, model matematika sendiri dapat didefinisikan sebagai representasi matematis
dari suatu proses, alat, atau konsep, dalam bentuk sejumlah peubah yang didefinisikan
sebagai pengganti dari masukan, keluaran, dan proses-proses internal dari proses atau
alat yang direpresentasikan, dan serangkaian persamaan dan pertidaksamaan yang
menggambarkan interaksi antar peubah tersebut.
2.2 Persamaan Differensial
Dibandingkan dengan pemodelan matematika, pengertian persamaan differensial
sudah lebih pasti (Ledder, 2005, p1). Persamaan differensial adalah persamaan
matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang
menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai
Data Dunia-nyata
Model Matematika
Kesimpulan Matematika
Prediksi/ Penafsiran
perumusan
analisis
penafsiran
pengujian
11
derajat turunan (Ledder, 2005, p16). Persamaan differensial muncul dalam berbagai
bidang sains dan teknologi: apabila suatu relasi deterministik melibatkan beberapa
besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan dengan fungsi) dan laju perubahan
besaran itu dalam ruang atau dalam waktu (dimodelkan dengan turunannya) diketahui
atau diandaikan. Dalam mekanika klasik, persamaan differensial dipakai dalam
penggambaran gerak tubuh dalam kaitannya dengan posisi dan kecepatannya
berdasarkan perubahan waktu. Hukum Newton memungkinkan orang menghubungkan
posisi, kecepatan, percepatan, dan berbagai gaya lain yang bekerja pada tubuh dan
menyatakan relasi atau hubungan ini sebagai suatu persamaan differensial dari posisi
tubuh yang tak diketahui sebagai fungsi dari waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan
differensial semacam ini (yang disebut persamaan gerak tubuh) dapat diselesaikan
secara eksplisit.
Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika semua
turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan differensial
parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Orde dari persamaan
differensial adalah derajat tertinggi dari turunan dalam persamaan yang bersangkutan.
Himpunan dari n persamaan differensial orde-satu dengan n menyatakan banyaknya
persamaan yang tidak diketahui disebut sistem persamaan differensial orde-satu; n
adalah dimensi dari sistem yang bersangkutan. Satu pengertian lain yang perlu diketahui
adalah persamaan differensial otonom. Suatu persamaan differensial biasa atau suatu
sistem persamaan differensial biasa disebut otonom jika peubah bebasnya tidak tampak
secara eksplisit dalam persamaannya (Ledder, 2005, p16).
12
Secara matematis, persamaan differensial dipelajari dari beberapa sudut pandang
yang berbeda, sebagian besar dari sudut pandang yang beragam itu berminat dengan
hasil dari persamaan differensial yang dipelajari, yaitu serangkaian fungsi yang
memenuhi persamaan differensial yang diberikan. Hanya persamaan differensial yang
paling sederhana memungkinkan penyelesaian berdasarkan rumus eksplisit; akan tetapi,
beberapa sifat penyelesaian dari suatu persamaan differensial yang diberikan dapat
ditentukan tanpa menemukan bentuknya yang tepat atau eksak. Jika suatu rumus yang
dapat ditentukan penyelesaiannya tidak tersedia, hampiran terhadap penyelesaiannya
dapat ditentukan secara numerik dengan bantuan komputer. Berikut ini salah satu
metode penghitungan secara numerik penyelesaian persamaan differensial, yang akan
dipakai dalam program aplikasi yang dirancang.
2.3 Metode Runge-Kutta Orde 4
Untuk menyelesaikan suatu persamaan differensial biasa berbentuk
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
−
1
1
2
2
,...,,,, n
n
n
n
dxyd
dxyd
dxdyyxf
dtyd
diperlukan serangkaian syarat atau kondisi. Jika semua kondisi diberikan pada satu nilai
x dan penyelesaiannya dicari berdasarkan nilai x yang diberikan itu, keadaan ini disebut
dengan masalah nilai awal (initial-value problem). Jika kondisi-kondisinya diberikan
pada beberapa nilai x yang berbeda, keadaannya disebut dengan masalah nilai batas
(boundary-value problem). Sebarang persamaan differensial dapat diganti dengan
serangkaian persamaan differensial orde-satu (Akai, 1994, p229). Karena itu,
penyelesaian secara numerik ini menyangkut persamaan differensial orde-satu.
13
Metode penyelesaian persamaan differensial secara numerik yang dipakai di sini
adalah metode Runge-Kutta. Istilah Metode Runge-Kutta sendiri sebenarnya mengacu
pada salah satu dari sekelompok metode, tidak dipakai sebagai sebutan untuk satu
metode tertentu saja (Akai, 1994, p238). Beberapa anggota metode Runge-Kutta adalah
metode Euler termodifikasi, metode titik tengah, dan metode Runge-Kutta orde 2, orde
3, sampai Runge-Kutta orde-n. Mereka semua merupakan metode satu-langkah (one-
step methods), yaitu metode yang menggunakan informasi penyelesaian pada satu lokasi
xn untuk mendapatkan solusi pada lokasi berikutnya xn+1. Dipilih metode Runge-Kutta
orde 4, karena orde yang lebih tinggi melibatkan penghitungan yang makin rumit dan
tidak efisien (Akai, 1994, p239).
Metode Runge-Kutta Orde 4 adalah metode numerik yang dipakai untuk
menyelesaikan persamaan differensial dengan problem nilai-awal dalam bentuk
0)0(),,( yyytfdtdy
== .
Penghitungan dengan metode Runge-Kutta Orde 4 diberikan dalam rumus
hKKKKyy nn )( 432161
1 ++++=+ (2-1)
htt nn +=+1 .
dengan ),(1 nn ytfK = ,
),( 121
21
2 KyhtfK nn ++= ,
),( 221
21
3 KyhtfK nn ++= , dan
),( 34 KyhtfK nn ++= .
14
Dari rumus di atas, terlihat bahwa nilai y yang berikutnya (yn+1) ditentukan oleh nilai y
sekarang (yn) ditambah hasil kali dari ukuran selang (h, galat pemotongan) dengan suatu
perkiraan kemiringan atau gradien. Kemiringan ini merupakan rataan terbobot dari
beberapa kemiringan:
a. K1 adalah kemiringan pada awal selang,
b. K2 adalah kemiringan pada titik tengah dari selang, menggunakan kemiringan K1
untuk menentukan nilai y pada titik t + ½h,
c. K3 juga merupakan kemiringan pada titik tengah selang, namun kali ini
menggunakan K2 untuk menentukan nilai y, dan
d. K4 adalah kemiringan pada akhir selang.
Dalam menentukan rataan dari keempat kemiringan ini, bobot yang lebih besar
diberikan pada kemiringan di titik tengah selang, memberikan rumus (2-1) di atas.
Dengan metode Runge-Kutta orde 4 ini, dapat dilakukan penghitungan terhadap
penyelesaian suatu sistem persamaan differensial orde-satu, yang merupakan análisis
kuantitatif terhadap model matematika yang berbentuk demikian.
2.4 Sistem Dinamis
Sistem dinamis dalam konsep matematika adalah formalisasi matematis dari
sebarang aturan baku yang menggambarkan ketergantungan waktu dari posisi suatu titik
dalam ruangnya yang berubah (ambient). Konsep ini menyatukan berbagai macam tipe
aturan dalam matematika yang dapat digunakan dalam formalisasi tersebut: pilihan yang
berbeda dapat diambil mengenai bagaimana waktu akan diukur dan sifat-sifat khusus
15
dari ruangnya yang berubah dapat memberikan gambaran akan luasnya kelas objek yang
dapat digambarkan dengan konsep ini. Teori sistem-sistem dinamis menekankan analisis
kualitatif dari sistem yang digambarkan dengan persamaan differensial. Sistem epidemis
yang menjadi fokus penelitian skripsi sederhana ini merupakan salah satu contoh dari
sistem dinamis.
Secara umum ada dua jenis sistem dinamis: yang pertama digerakkan oleh
persamaan differensial dan lebih bersifat geometris, sedang yang kedua lebih digerakkan
oleh teori ergodik, yaitu cabang dari matematika yang mempelajari sistem dinamis
dengan ukuran invarian beserta masalah-masalah yang berkaitan dengannya
(http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodic_theory), dan lebih bersifat pengukuran teoretis.
Sistem epidemis yang menjadi fokus penelitian skripsi sederhana ini lebih condong pada
jenis yang pertama dengan penekanan pada analisis bidang-fase (phase-plane analysis)
dari aspek geometris persamaan differensialnya. Jika analisis kuantitatif dari sistem
dinamis bermodelkan persamaan differensial akan dilakukan dengan penghitungan
penyelesaian persamaan differensialnya menggunakan metode Runge-Kutta orde 4,
analisis kuantitatif terhadap modelnya dilakukan berdasarkan representasi visual dari
perhitungan penyelesaian persamaan differensial itu dalam bentuk diagram berdasarkan
waktu (time-plot diagram) dan analisis bidang-fase.
2.5 Sistem Epidemis
Penyakit menular adalah kenyataan hidup, terutama sejak manusia mulai hidup
dalam kelompok yang besar. Suatu penyakit bersifat epidemis jika jumlah orang yang
16
terjangkit dalam suatu populasi bertambah besar seiring dengan bertambahnya waktu.
Namun, definisi sederhana ini belum menyatakan semua aspek yang ada (Robeva et.al.,
2008, p56). Model untuk sistem epidemis dalam skripsi sedehana ini bersifat kontinu,
dan perilakunya akan digambarkan dengan beberapa persamaan differensial. Masing-
masing persamaan menggambarkan perilaku salah satu bagian (compartment) dari
populasi, bentuk yang biasa disebut dengan model kompartmen. Multi-compartment
model adalah jenis model matematika yang digunakan untuk menggambarkan
bagaimana materi atau energi dipindahkan di antara bagian-bagian (compartment) dari
suatu sistem (Capasso, 2008, p7; Roberts dan Heesterbeek, 2003, p19;
http://en.wikipedia.com/wiki/Multi-compartment_model). Dalam model epidemis, dua
kelompok besar yang menjadi bagian dari satu populasi adalah Susceptibles (S) atau
kelompok yang rentan terinfeksi dan Infectives (I) atau kelompok yang terinfeksi.
Hipotesisnya adalah bahwa laju infeksi adalah sebanding dengan jumlah kontak yang
dibuat antara S dengan I, dan bahwa perpindahan dari S menjadi I terjadi dengan angka
αSI, di mana α > 0 berupa suatu konstanta; angka perpindahan ini sebanding dengan
hasil kali ukuran kedua kelompok tersebut.
Selain hipotesis dasar di atas, sebelum menganalisa apa yang terjadi bila terdapat
sekelompok orang yang terinfeksi dalam populasi, perlu diketahui beberapa hal
mengenai penyakitnya dan lingkungannya. Sebagai contoh, apakah mereka yang telah
sembuh (R – Recovered) menjadi kebal, atau mereka kembali rentan terhadap
penyakitnya? Apakah penyakitnya memiliki masa inkubasi (sehingga terdapat
penundaan untuk sementara waktu, D – delay)? Apakah mereka yang terinfeksi
17
disendirikan, dikarantina, atau tersebar bebas dalam populasi? Semua faktor ini
mempengaruhi model matematika yang dibangun. Skripsi sederhana ini hanya akan
membahas dua model pokok, model SIS (Susceptibles – Infectives – Susceptibles) dan
model SIR (Susceptibles – Infectives – Recovered).
2.6 Model SIS
Model ini cukup sederhana. Asumsi dasarnya adalah bahwa populasi dibagi
menjadi dua kelompok yang saling asing – kelompok yang terjangkit penyakit dan dapat
menularkan penyakit (I), dan kelompok yang tidak terjangkit penyakit namun dapat
terjangkiti penyakit yang bersangkutan (S). Model matematika yang dibangun bertujuan
menggambarkan perubahan ukuran S dan I dalam waktu. Maka, dibuat asumsi-asumsi
sebagai berikut.
a. Besar populasi tetap dan terdiri dari N individu. Tidak ada kelahiran atau
kematian, dan tidak ada perpindahan baik masuk maupun keluar populasi.
b. Tidak ada masa inkubasi untuk penyakit yang bersangkutan.
c. Kedua kelompok – S dan I – tersebar merata dalam populasi.
d. Begitu sembuh dari penyakitnya, individu yang bersangkutan menjadi rentan
kembali – menjadi anggota S lagi -, dengan kata lain, tidak terjadi kekebalan.
Kendati asumsi-asumsi di atas tampaknya sewenang-wenang, namun model yang
paling sederhana ini bukannya tidak ada dalam kenyataan sehari-hari. Seandainya
ditengarai terjadi wabah sindrom pernafasan akut berat dalam populasi penghuni satu
unit rumah susun, dan seketika rumah susun yang bersangkutan dikarantina dalam
18
jangka waktu, katakanlah, tiga bulan, asumsi-asumsi model SIS di atas terpenuhi
sehingga ia dapat dipakai sebagai sebuah model yang representatif.
Andaikan pada suatu populasi yang besarnya tetap, N, sejumlah kecil terjangkit
penyakit menular I(0), wabah akan menular dalam populasi itu, dan perubahannya dalam
waktu dapat dinotasikan sebagai:
S(t) = jumlah orang yang rentan pada waktu t,
I(t) = jumlah orang yang terjangkiti pada waktu t.
Berdasarkan asumsi bahwa besar populasi N adalah tetap, yang berarti S(t) + I(t) = N,
maka: 0=+dtdI
dtdS .
Sebelumnya, sudah diandaikan bahwa besarnya perubahan orang yang rentan
menjadi terjangkiti sebesar αSI. Bilangan α > 0 ini disebut angka/kecepatan infeksi
(infection rate), yang dapat didefinisikan sebagai peluang seorang rentan ditulari oleh
seorang yang terjangkiti dalam setiap satuan waktu. Individu yang sembuh dari penyakit
langsung bergabung kembali dengan kelompok rentan. Jika diandaikan bahwa peluang
orang yang disembuhkan dari penyakit adalah β, maka angka/kecepatan kesembuhan
(recovery rate) adalah βI. Artinya, aliran kembali dari I ke S terjadi dengan kelajuan βI.
Memperhitungkan kelajuan baik yang keluar dari dan yang masuk kembali ke dalam
kelompok S, laju perubahan ukuran S adalah:
ISIdtdS βα +−= . (2-2)
Karena 0=+dtdI
dtdS , laju perubahan ukuran I adalah:
19
ISIdtdI βα −= . (2-3)
Dua persamaan (2-2) dan (2-3) membentuk satu model matematika yang biasa disebut
dengan model SIS. Berikut ini diagram yang merepresentasikan model ini.
Gambar 2.2 Diagram model SIS (sumber: Robeva, 2008, p61)
Laju kesembuhan per orang β pada model SIS ini berhubungan dengan lama rata-
rata seorang terjangkit penyakit ini, dilambangkan dengan d . Hubungannya dinyatakan
dengan: β1
=d . Jadi, makin kecil nilai β, makin lama jangka waktu rata-rata penyakit
ini menjangkiti seseorang.
Dengan berjalannya waktu, perilaku jangka panjang penyakit menular ini dapat
dimodelkan sebagai berikut.
Berdasarkan kondisi S(t) + I(t) = N, persamaan (2-3) dapat ditulis dengan:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
αβα
αβα INISI
dtdI .
Berikutnya, jika 0>−αβN , sisi kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai:
IKIrI
NINIBNIINI ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− 11
αβα
ββα
ααβα ,
S IαSI
βI
20
di manaαβ
−= NK , dan 0>−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= βα
αβα NNr . Jadi, persamaan (2-2) mengambil
bentuk: IKIr
dtdI
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 1 , yang merupakan persamaan logistik, yaitu persamaan yang
menyatakan bahwa laju pertumbuhan tidaklah tak-terbatas, tergantung pada daya
tampung (carrying capacity) ekosistem dari populasi yang bersangkutan (Robeva, et.al.,
2008, p12-16).
Akhirnya, diberikan di bawah ini beberapa simpulan mengenai model SIS.
a. Waktu-hidup rata-rata suatu infeksi adalahβ1 .
b. Bila 0>−αβN , penyakit yang bersangkutan masih menyebar (endemic) dalam
populasi yang bersangkutan.
c. Bila 0≤−αβN , tidak terjadi epidemi dalam populasi yang bersangkutan.
2.7 Model SIR
Salah satu asumsi dari model SIS adalah bahwa orang yang sembuh dari penyakit
tetap rentan terhadap penyakit menular yang bersangkutan. Model SIS cocok untuk
beberapa penyakit, khususnya PMS (Penyakit Menular Seksual), seperti syphilis dan
gonorrhea. Namun, model SIS tidak cocok untuk penyakit-penyakit yang memberikan
kekebalan pada mereka yang disembuhkan, seperti cacar air dan campak. Oleh karena
itu, dikembangkan model lain, yang mengakomodasikan sifat terakhir ini, yaitu bahwa
setelah sembuh, orang yang bersangkutan menjadi kebal terhadap penyakit yang
21
bersangkutan. Model ini disebut model SIR, dengan R (Recovered) adalah kelompok
ketiga dari populasi, yang terdiri dari orang yang sudah sembuh dari penyakit menular
dan tidak rentan lagi terhadap penyakit yang bersangkutan. Maka, model SIR dibangun
atas dasar asumsi-asumsi sebagai berikut.
a. Besar populasi tetap dan terdiri dari N individu. Tidak ada kelahiran atau
kematian, dan tidak ada perpindahan baik masuk maupun keluar populasi.
b. Tidak ada masa inkubasi untuk penyakit yang bersangkutan.
c. Sebagaimana dalam model SIS, kedua kelompok pertama – S dan I – tersebar
merata dalam populasi.
d. Begitu sembuh dari penyakitnya, individu yang bersangkutan menjadi kebal
secara permanen.
Sekali lagi, asumsi-asumsi di atas menggambarkan situasi yang ideal. Sekarang,
sebagaimana model SIS, proses dimulai dengan adanya sejumlah kecil terjangkit
penyakit menular I(0), wabah akan menular dalam populasi itu, dan perubahannya dalam
waktu dapat dinotasikan sebagai:
S(t) = jumlah orang yang rentan pada waktu t,
I(t) = jumlah orang yang terjangkiti pada waktu t.
R(t) = jumlah orang yang sembuh pada waktu t.
Dengan asumsi bahwa ukuran populasinya adalah konstan, maka:
S(t) + I(t) + R(t) = N,
yang mengakibatkan 0=++dtdR
dtdI
dtdS , untuk semua nilai t.
22
Selanjutnya diperlukan persamaan-persamaan yang menggambarkan perubahan
pada masing-masing kelompok. Sebagaimana model SIS, diandaikan bahwa laju infeksi
adalah αSI, namun pada model SIR tidak ada arus kembali ke dalam kelompok S, karena
mereka yang telah sembuh menjadi kebal. Oleh karena itu, persamaan differensial yang
pertama akan berbentuk:
SIdtdS α−= .
Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada kelompok R. Jika diandaikan
bahwa angka kesembuhan perorang adalah β, laju perubahan pada kelompok R adalah:
IdtdR β= .
Kelompok I, menerima perpindahan dari kelompok S sebesar αSI dan melepaskan
menuju kelompok R sebesar βI. Menggabungkan laju perubahan dari ketiga kelompok
penyusun model SIR ini, didapatkan sistem persamaan differensial berikut ini.
SIdtdS α−= (2-4a)
ISIdtdI βα −= (2-4b)
IdtdR β= . (2-4c)
Berikut ini diagram yang merepresentasikan model ini.
Gambar 2.3 Diagram model SIR
(sumber: Robeva, 2008, halaman 66)
αSI S I RβI
23
Catatan yang perlu diberikan di sini adalah bahwa parameter α dan β memiliki
arti yang sama dengan yang terdapat pada model SIS.
Untuk mengetahui apakah terjadi epidemi atau tidak, titik tolaknya adalah
kriterium bahwa epidemi terjadi bila jumlah mereka yang terjangkit dalam populasi
makin bertambah besar. Maka, dari persamaan (2-4)
)( βαβα −=−= SIISIdtdI ,
jumlah mereka yang terjangkit akan bertambah bila αS(t) – β > 0; dengan kata lain, bila
αS(t) > β. Sebaliknya, bila αS(t) < β, maka jumlah mereka yang terjangkit akan menurun.
Karena ukuran S(t) paling besar terjadi saat t = 0, epidemi tidak terjadi bila
αS(0) – β < 0, yang setara dengan S(0) < αβ .
Selanjutnya, ingin diketahui berapa banyak orang yang rentan dapat tertulari oleh
seorang yang terjangkiti. Secara intuitif, dapat diambil kesimpulan bahwa hal ini
tergantung dari banyaknya orang yang rentan dan berapa lama seorang terjangkiti oleh
penyakit yang bersangkutan.
Untuk memperkirakan banyaknya rata-rata penularan sekunder, dapat digunakan
contoh berikut. Andaikan banyaknya rata-rata penularan yang disebabkan oleh satu
individu terjangkiti setiap satuan waktu adalah dua orang per jam, maka, jika seorang
tertulari tetap sakit selama enam jam, secara rata-rata, dia dapat menulari
(6 jam) × (2 orang rentan per jam) = 12 orang rentan.
Dalam model SIR, laju perubahan orang rentan yang terinfeksi adalah
SIdtdS α−= . Mengingat bahwa keluarnya orang dari kelompok S sama dengan masuknya
24
orang itu ke dalam kelompok I, laju perubahan orang terinfeksi baru adalah αSI = (αS)I,
artinya laju infeksi rata-rata perorang pada waktu t adalah αS.
Jika I(0) = 1, akan diperoleh bahwa pada t = 0, )0()0()0( SISdtdS αα −=−= .
Karena S(0) adalah nilai terbesar dari S(t), seorang yang terjangkiti dapat menulari,
secara rata-rata, tidak lebih dari αS(0) orang rentan per satuan waktu. Diingatkan juga
bahwa lamanya rata-rata orang terinfeksi adalah β1 . Jadi, rata-rata penularan sekunder
yang dihasilkan oleh seorang yang tertulari pada kelompok S(0) orang rentan paling
besar adalah Sβα .
Sekarang, ingin diketahui perilaku jangka panjang penyakit dengan model SIR.
Akan ditunjukkan bahwa pada akhirnya jumlah orang yang terjangkiti akan menuju pada
0. Dari persamaan S(t) + I(t) + R(t) = N, diketahui bahwa pada saat t →∞, S(∞) ada dan
mendekati 0, dan R(∞) ada dan mendekati N. Yang sedikit rumit adalah I(∞). Telaah
mengenai hal ini dapat dimulai dengan
I(∞) = )(lim tIt ∞→
= N – S(∞) – R(∞).
Karena S(∞) ada dan R(∞) ada, maka I(∞) juga ada. Ada dua kemungkinan untuk I(∞):
I(∞) > 0 atau I(∞) = 0. Menggunakan pembuktian dengan kontradiksi, akan ditunjukkan
bahwa I(∞) = 0.
Andaikan I(∞) > 0. Karena IdtdR β= , jika I(∞) > 0, maka akan didapatkan
0)(lim >∞=∞→
IdtdR
tβ ,
25
yang berarti bahwa R(t) akan menuju tak-hingga. Hal ini tak mungkin terjadi, karena
R(t) ≤ N, untuk setiap nilai t. Jadi, tak mungkinlah bahwa I(∞) > 0, dan hal ini
mengimplikasikan bahwa I(∞) = 0 berlaku (Johnson, 2009, p2).
Dari uraian di atas, dapat diringkaskan sifat-sifat model SIR sebagai berikut.
a. Epidemi terjadi jika dan hanya jika S(0) < αβ .
b. Waktu-hidup rata-rata suatu infeksi adalahβ1 .
c. Di bahwa kondisi optimal, angka rata-rata penularan sekunder dari tiap orang
yang terjangkit dalam populasi yang sepenuhnya rentan adalah )0(Sβα .
d. Penyakitnya akan menghilang, dan tidak semua yang rentan akan tertulari
penyakit yang bersangkutan.
Pada model SIR, tidak mungkinlah mendapatkan penyelesaian eksplisit untuk
S(t), I(t), dan R(t). Yang lebih penting diketahui adalah bagaimana suatu kelompok
bereaksi terhadap perubahan yang terjadi pada kelompok lain. Jika terdapat dua
kelompok yang terlibat, suatu diagram bidang-fase akan sangat menolong.
2.8 Bidang-fase dan Analisis terhadapnya
Pada penjelasan tentang sistem dinamis di atas telah disebutkan bahwa analisis
kualitatif terhadap model matematika dari sistem epidemis dilakukan pada representasi
visual penyelesaian modelnya dalam bentuk kurva terhadap waktu (time-plot diagram)
dan dalam bentuk diagram bidang-fase. Time-plot diagram adalah diagram yang
26
melukiskan perubahan nilai setiap kompartmen dari modelnya terhadap perubahan
waktu. Semua bagian yang terlibat digambarkan pada satu sistem koordinat sehingga
dapat langsung terlihat perubahan dari masing-masing bagian atau kompartmen seiring
dengan bertambahnya waktu.
Sementara, yang disebut bidang-fase adalah sistem koordinat Cartesius, di mana
sumbu koordinatnya adalah peubah-peubah yang dipakai, misalkan pada model SIS,
adalah S – I. Bila, pada suatu waktu, biasanya t = 0, dapat diperoleh nilai S dan I untuk
persamaan-persamaan (2-3) di atas, dapat ditentukan pula titik (S(0), I(0)) pada bidang-
fase (S-I). Dapat juga dihitung berapa nilai turunan pertama S dan I pada suatu waktu
tersebut, untuk mengetahui ke arah mana titik itu akan bergerak. Sebagai contoh, jika
diberikan titik awal (S(0), I(0)), dan jika dtdS < 0 dan
dtdI > 0, maka S akan berkurang dan
I akan bertambah, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Gambar 2.4 Bidang-fase untuk menentukan arah lintasan.
Kurva yang dihasilkan dari perbandingan antara dua peubah terikat yang terlibat
ini disebut lintasan (trajectory). Membandingkan satu persamaan differensial yang
divisualisasikan dalam kedua diagram, time-plot dan bidang-fase, dapat diambil
kesimpulan bahwa keduanya memberikan informasi tentang satu hal dengan cara yang
S
(S(0), I(0))
I
27
berbeda, dengan kelemahannya masing-masing. Diagram time-plot menunjukkan
perkembangan peubah terikat seturut perubahan waktu, namun tak menunjukkan
kecepatan perubahannya, kecuali didasarkan pada inferensi (=penarikan kesimpulan).
Sedangkan diagram bidang-fase menunjukkan hubungan antara perubahan-perubahan
yang terjadi pada peubah-peubah terikatnya, namun tak menunjukkan waktunya, kecuali
berdasarkan inferensi (Ledder, 2005, p300). Berdasarkan teorema keberadaan dan
keunikan nilai fungsi, dapat disimpulkan dua hal berikut ini berdasarkan analisis
terhadap bidang-fase:
a. Diberikan titik awal pada bidang-fase (S-I), ada lintasan (=penyelesaian) yang
mulai dari titik yang diberikan tersebut; dan
b. Lintasan yang berbeda tak pernah berpotongan.
Analisis bidang-fase sangat membantu dalam menentukan perilaku suatu lintasan di
sekitar titik keseimbangan (Robeva, 2008(1), p71). Jika lintasan dari sistem dua dimensi
yang tergambar pada bidang-fase itu berawal cukup dekat pada titik keseimbangannya
untuk setiap t > 0, maka titik itu disebut titik keseimbangan stabil, perilaku ini tidak
terjadi di sekitar titik keseimbangan yang tidak stabil (Robeva, 2008(1), p.77).
2.9 Perancangan Perangkat Lunak
Perangkat lunak adalah (1) perintah (program komputer) yang bila dieksekusi
memberikan fungsi dan unjuk kerja seperti yang diinginkan, (2) struktur data yang
memungkinkan program memanipulasi informasi secara proporsional, dan (3) dokumen
yang menggambarkan operasi dan kegunaan program. Menurut Ian Sommerville
28
(2007), perancangan perangkat lunak adalah disiplin perancangan yang berhubungan
dengan semua aspek dari produksi perangkat lunak dari tahap awal spesifikasi sistem
sampai dengan pemeliharaan setelah sistem dalam tahap berjalan.
2.9.1 Daur Hidup Perangkat Lunak
Salah satu model perancangan perangkat lunak adalah dengan menggunakan
model air terjun (waterfall model). Tahap-tahap utama dalam model ini, dilukiskan pada
Gambar 2.5, menggambarkan aktivitas dasar pengembangan perangkat lunak berikut.
a) Analisis dan penentuan kebutuhan (Requirement)
Kegiatan ini bertujuan untuk menentukan tugas, kendala, dan tujuan sistem yang
akan dirancang. Ditentukan juga dengan cara yang dapat dipahami mengenai
proses-proses yang seharusnya terjadi dalam sistem sesuai dengan tugas dan
tujuan yang telah dirumuskan.
b) Desain sistem dan perangkat lunak (Design)
Proses desain sistem terbagi dalam kebutuhan perangkat keras dan perangkat
lunak. Hal ini menentukan arsitektur perangkat lunak secara keseluruhan. Desain
perangkat lunak menggambarkan fungsinya dengan suatu bentuk yang dapat
ditransformasikan ke dalam satu atau lebih program yang dapat dijalankan.
c) Implementasi dan pengujian unit (Implementation)
Dalam tahap ini, desain perangkat lunak direalisasikan dalam suatu himpunan
program atau unit-unit program. Pengujian unit mencakup kegiatan verifikasi
terhadap suatu unit sehingga memenuhi syarat spesifikasinya.
29
d) Integrasi dan pengujian sistem (Verification)
Unit program secara individual diintegrasikan dan diuji sebagai suatu sistem
yang lengkap untuk memastikan bahwa kebutuhan perangkat lunak telah
terpenuhi. Setelah pengujian, sistem perangkat lunak disampaikan kepada
pengguna.
e) Pengoperasian dan pemeliharaan (Maintenance)
Secara normal, walaupun tidak selalu diperlukan, tahap ini merupakan bagian
siklus hidup terpanjang. Sistem telah terpasang dan sedang dalam penggunaan.
Pemeliharan mencakup perbaikan kesalahan yang tidak ditemukan dalam tahap-
tahap sebelumnya, meningkatkan implementasi unit-unit sistem, dan
mempertinggi pelayanan sistem karena ditemukannya kebutuhan baru.
Gambar 2.5 Waterfall Model (sumber : Sommerville, 2001, halaman 45)
30
2.10 Internet
Internet singkatan dari Interconnection Networking atau sering disebut juga
sebagai Cyberspace, adalah sebuah jaringan komputer yang terdiri dari berbagai macam
jaringan komputer di seluruh dunia dengan sistem operasi yang berbeda-beda. Namun
demikian, membayangkan internet sebagai sekedar jaringan komputer adalah tidak tepat,
sebaiknya diperhatikan bahwa internet adalah sebagai sumber daya informasi.
Internet berawal dari jaringan komputer yang dibentuk pada tahun 1969 yang
bernama ARPAnet. Nama jaringan ini diambil dari salah satu agen pada Departemen
Pertahanan Amerika Serikat, yakni Advanced Research Project Agency yang menanda-
tangani kontrak dengan Bolt, Beranek, dan Newman (BBN) untuk membangun suatu
jaringan WAN (Wide Area Network). Jaringan tersebut dimaksudkan untuk
menghubungkan empat universitas, yakni Stamford University, UCLA (University of
California in Los Angeles), UC Santa Barbara, dan University of Utah untuk keperluan
riset penelitian. Dari proyek ARPAnet ini dihasilkan Internet Protocol (IP).
Pada awal tahun 80-an, Departemen Pertahanan Amerika Serikat memisahkan
ARPAnet kedalam dua jaringan komputer, yakni ARPAnet yang ditujukan untuk
penelitian dan MILnet yang digunakan untuk keperluan militer. Kemudian pada era
1980-an juga, National Science Foundation membentuk NSFnet, yang menghubungkan
setengah lusin superkomputer pada kecepatan tinggi pada waktu itu. NSFnet akhirnya
mengambil alih internet dari ARPAnet, dan perkembangannya untuk kebutuhan
masyarakat sipil maju pesat setelah pengambil-alihan ini terjadi (http://en.wikipedia.org/
wiki/Internet).
31
2.10.1 URL (Uniform Resource Locator)
Salah satu subjek Internet yang paling awal harus dikenal adalah URL (Uniform
Resource Locator). URL dapat didefinisikan sebagai sarana untuk menentukan alamat
yang akan dipakai untuk mengakses internet khususnya website. Dapat dianalogikan
sebagai alamat rumah yang tertulis pada amplop yang akan menuntun Pak Pos ke sana,
URL pun bekerja secara demikian. Ia akan mengantarkan browser ke alamat yang akan
dituju. Dengan begitu seluruh website pasti memiliki URL tertentu dan unik, karena jika
tidak, ia tak akan bisa dikunjungi, sama halnya dengan rumah tanpa alamat. Secara garis
besar URL terdiri dari jenis protokol yang akan dipakai, nama web server dan direktori.
2.10.2 HTTP (Hypertext Transfer Protocol)
Salah satu protokol yang sering kita gunakan adalah HTTP (Hypertext Transfer
Protocol). Protokol ini digunakan untuk berkomunikasi antara web browser dan web
server satu sama lain (client-server). HTTP ini akan kita gunakan jika kita hendak
mengakses suatu website tertentu. Dari singkatannya, HTTP memiliki tugas untuk
mentransfer dokumen berupa hypertext yang dalam pelaksanaannya lebih dikenal
dengan sebutan HTML. Dengan demikian HTTP akan mentransfer HTML ke browser
dari server tempat HTML tersebut disimpan.
2.10.3 WWW (World Wide Web)
WWW adalah sistem hypermedia pada internet. Dokumen-dokumen informasi
pada WWW disertai dengan grafik berwarna dan mendukung sistem multimedia dan
32
memiliki link ke sumber informasi lainnya. Untuk memperoleh dokumen WWW,
digunakan aplikasi browser seperti Internet Explorer.
Kehebatan WWW adalah kemudahan untuk mengakses informasi, yang
dibuhungkan satu dengan lainnya melalui konsep hypertext. Informasi dapat tersebar di
mana-mana di dunia dan terhubung melalui hyperlink.
2.10.4 Web Server
Untuk dapat memberikan dokumen web kepada komputer lain, diperlukan
software yang disebut dengan web server. Web server merpakan software server yang
mengerti protocol HTTP dan menunggu koneksi di port tertentu (umumnya port HTTP
80). Pekerjaan utama web server adakah menerima permintaan terhadap dokumen
tertentu yang ditulis dalam format alamat URL dan mencari file atau program yang
sesuai pada sistem file, membaca, dan memberikannya kepada si peminta.
2.10.5 HTML (Hypertext Markup Language)
HTML (Hypertext Markup Language) merupakan suatu script di mana dapat
ditampilkan informasi dan daya kreasi lewat internet. HTML sendiri adalah dokumen
teks biasa yang mudah dimengerti dibandingkan bahasa pemrograman lainnya, dan
karena bentuknya itu maka HTML dapat dibaca di platform yang berlainan seperti
Windows, UNIX, dan lainnya. Walaupun berberntuk dokumen teks biasa, HTML
memiliki perbedaan dengan dokumen lain seperti dokumen Word, misalnya.
33
Perbedaan yang paling mencolok adalah, pada dokumen Word, banyaknya
karakter akan terbatasi oleh besarnya kertas sehingga jika teks yang ada di dalamnya
banyak ia akan terdiri dari banyak halaman pula. Sedangkan HTML tidak memiliki
batasan teks, sehingga tidak ada pemisah halaman 1, 2, dan seterusnya.
HTML merupakan bahasa pemrograman yang lentur di mana dapat diletakkan
skrip dari bahasa pemrograman lain seperti Java, Visual Basic, C, dan lain-lain, jika
HTML tersebut tidak dapat mendukung suatu perintah pemrograman tertentu. Browser
tidak akan menampilkan kotak dialog ‘syntax error’ jika terdapat penulisan kode yang
keliru pada skrip HTML sepanjang kode-kode yang kita tuliskan merupakan kode-kode
HTML tanpa penambahan kode-kode dari luar seperti Java, C, dan lain-lain.
Oleh karena itu, juta terjadi syntax error pada skrip HTML, efek yang paling
jelas adalah HTML tersebut tidak akan ditampilkan pada jendela browser.
Hypertext dalam HTML berarti bahwa kita dapet menuju ke suatu tempat, misal
website atau halaman web lain, dengan cara memilih suatu link atau penghubung yang
biasanya digaris-bawahi atau diwakili oleh suatu gambar. Selain link atau penghubung
ke website atau homepage halaman lain, hypertext ini juga mengizinkan kita untuk
menuju ke salah satu bagian dalam satu teks itu sendiri.
Sedangkan markup language menunjukkan suatu fasilitas yang berupa tanda
tertentu dalam skrip HTML di mana kita dapat menentukan judul, membuat garis, tabel,
atau gambar dengan perintah khusus.
34
2.10.6 CGI
CGI adalah singkatan dari Common Gateway Interface yaitu sebuah antarmuka
atau protokol yang mengijinkan web site untuk dapet berkomunikasi dengan server, atau
juga dapat berarti, suatu metode dimana web server dapat memproses suatu data yang di
terimanya melalui browser lalu menyajikan atau mengirim data tersebut ke database
server, mail server atau menampilkan hasil prosesnya ke web browser.
Secara mudahnya CGI adalah pemrograman untuk web. CGI program dapat
ditulis dengan banyak bahasa pemrograman seperti Perl, C/C++, Tcl, Apple script dan
masih banyak yang lain. Dengan bantuan CGI dapat dibuat berbagai aplikasi berbasis
web seperti program counter, guest book, web news/board, e-commerce, advertisement
classfield, web database dan masih banyak yang lain tergantung dari fungsi situs web
yang bersangkutan.
2.11 Microsoft Visual Studio
Microsoft Visual Studio merupakan sebuah perangkat lunak lengkap (suite) yang
dapat digunakan untuk melakukan pengembangan aplikasi, baik itu aplikasi bisnis,
aplikasi personal, ataupun komponen aplikasinya, dalam bentuk aplikasi console,
aplikasi Windows, ataupun aplikasi Web. Visual Studio mencakup kompiler, SDK,
Integrated Development Environment (IDE), dan dokumentasi (umumnya berupa
MSDN Library). Kompiler yang dimasukkan ke dalam paket Visual Studio antara lain
Visual C++, Visual C#, Visual Basic, Visual Basic .NET, Visual InterDev, Visual J++,
Visual J#, Visual FoxPro, dan Visual SourceSafe.
35
Microsoft Visual Studio dapat digunakan untuk mengembangkan aplikasi dalam
native code (dalam bentuk bahasa mesin yang berjalan di atas Windows) ataupun
managed code (dalam bentuk Microsoft Intermediate Language di atas .NET
Framework). Selain itu, Visual Studio juga dapat digunakan untuk mengembangkan
aplikasi Silverlight atau aplikasi Windows Mobile (yang berjalan di atas .NET Compact
Framework).
Visual Studio kini telah menginjak versi Visual Studio 9.0.21022.08, atau
dikenal dengan sebutan Microsoft Visual Studio 2008 yang diluncurkan pada 19
November 2007, yang ditujukan untuk platform Microsoft .NET Framework 3.5. Versi
sebelumnya, Visual Studio 2005 ditujukan untuk platform .NET Framework 2.0 dan 3.0.
Visual Studio 2003 ditujukan untuk .NET Framework 1.1, dan Visual Studio 2002
ditujukan untuk .NET Framework 1.0. Versi-versi tersebut di atas kini dikenal dengan
sebutan Visual Studio .NET, karena memang membutuhkan Microsoft .NET
Framework. Sementara itu, sebelum muncul Visual Studio .NET, terdapat Microsoft
Visual Studio 6.0 (VS1998).
2.12 C#
C# (dibaca: C sharp) merupakan sebuah bahasa pemrograman yang berorientasi
objek yang dikembangkan oleh Microsoft sebagai bagian dari inisiatif kerangka .NET
Framework. Bahasa pemrograman ini dibuat berbasiskan bahasa C++ yang telah
dipengaruhi oleh aspek-aspek ataupun fitur bahasa yang terdapat pada bahasa-bahasa
pemrograman lainnya seperti Java, Delphi, Visual Basic, dan lain-lain, dengan beberapa
36
penyederhanaan. Menurut standar ECMA-334 C# Language Specification, nama C#
terdiri atas sebuah huruf Latin C (U+0043) yang diikuti oleh tanda pagar yang
menandakan angka # (U+0023).
2.12.1 Tujuan Desain
Standar European Computer Manufacturer Association (ECMA) mendaftarkan
beberapa tujuan desain dari bahasa pemrograman C#, sebagai berikut:
Bahasa pemrograman C# dibuat sebagai bahasa pemrograman yang bersifat
general-purpose (untuk tujuan jamak), berorientasi objek, modern, dan sederhana.
Bahasa pemrograman C# ditujukan untuk digunakan dalam mengembangkan
komponen perangkat lunak yang mampu mengambil keuntungan dari lingkungan
terdistribusi.
Portabilitas programmer sangatlah penting, khususnya bagi programmer yang
telah lama menggunakan bahasa pemrograman C dan C++.
Dukungan untuk internasionalisasi (multi-language) juga sangat penting. C#
ditujukan agar cocok digunakan untuk menulis program aplikasi baik dalam sistem
klien-server (hosted system) maupun sistem tertanam (embedded system), mulai dari
program aplikasi yang sangat besar yang menggunakan sistem operasi yang canggih
hingga program aplikasi yang sangat kecil yang memiliki fungsi-fungsi terdedikasi.
Meskipun aplikasi C# ditujukan agar bersifat 'ekonomis' dalam hal kebutuhan
pemrosesan dan memori komputer, bahasa C# tidak ditujukan untuk bersaing secara
37
langsung dengan kinerja dan ukuran program aplikasi yang dibuat dengan menggunakan
bahasa pemrograman C dan bahasa rakitan.
Bahasa C# harus mencakup pengecekan jenis (type checking) yang kuat,
pengecekan larik (array), pendeteksian terhadap percobaan terhadap penggunaan
peubah-peubah yang belum diinisialisasikan, portabilitas kode sumber, dan
pengumpulan sampah (garbage collection) secara otomatis.
2.13 Active Server Pages .NET
Active Server Pages .NET (sering disingkat sebagai ASP.NET) adalah sebuah
teknologi layanan Web dinamis, aplikasi web, dan XML web service yang
dikembangkan oleh Microsoft sebagai pengganti Active Server Pages (ASP) yang telah
lama. Teknologi ini berbasis .NET Framework dan dibangun di atas Common Language
Runtime (CLR), sehingga para programmer dapat menulis kode ASP.NET dengan
menggunakan semua bahasa pemrograman .NET, meski yang populer digunakan adalah
bahasa C# dan Visual Basic .NET.