Pca Dirigida No 9 _10.Analisis_de_sensibilidad a Partir Del Simplex

8/16/2019 Pca Dirigida No 9 _10.Analisis_de_sensibilidad a Partir Del Simplex

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FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACION OPERATIVA

RACTICA DIRIGIDA N° 9-10

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Ing. JORGE CACERES TRIGOSO

LIMA-2016

1


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• xB vector de variables básicas• xN vector de variables no básicas• cB vector de costos básicos• cN vector de costos no básicos

•B matriz de coeficientes tecnológicos básicos

• B−1 la matriz inversa de B• N matriz de coeficientes tecnológicos no básicos• B vector de recursos• I matriz identidad• 0 vector cero

En relación a sus dimensiones, con m restricciones y n variables (contandovariables de decisión y aumentadas)

• z es un escalar • xB vector de m componentes• xN vector de n-m componentes• cB vector renglón de m componentes• cN vector renglón de n-m componentes• B matriz mxm componentes• B−1 matriz de mxm componentes• N matriz de mx(n-m) componentes• b vector columna de m componentes• I matriz identidad mxm

• 0 vector cero de m componentes (“en la tabla Simplex)

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

! partir de la definición por producto de matrices y vectores de una tablasimplex óptima se tiene "ue#

(CBB−1N $ CN) ( 0 y B−1b ( 0,

para el vector de variables básicas óptimo#

xB*% B−1b&

!s', el análisis de sensibilidad determinará los intervalos devalores para cada parámetro en el modelo "ue permita mantener alconjunto de variables básicas en estas condiciones&

CAMBIOS EN LOS RECURSOS

)


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uando se modifica el valor de las componentes del vector de recursos de#

b a (b *b), sólo debe verificarse "ue se siga manteniendo la factibilidadde las variables básicas, esto es, al *acer el cambio se debe tener "ue #

B

−1

(b *

b)(

0& ! partir de la ley distributiva para la suma se tiene (B−1b B−1*b ) ( 0&

Este es un sistema de inecuaciones "ue nos permite determinar todas lasposibles combinaciones para los cambios en b&

+e esta ltima expresión, despu-s de realizar las correspondientes

operaciones, se define *b tal "ue permita en todo caso mantener como no.negativas a todas las variables óptimas en xB/&

!nalizando sólo con el cambio de uno de los recursos a la vez se tiene#

siguiendo estas condiciones para mantener la factibilidad de la solución básica

óptima se encuentra el rango de valores para cada recurso bi .

0a solución es el rango de valores "ue satisfacen (B−1b B−1*b ) ( 0&

CAMBIOS EN LOS COSTOS

0os cambios en los costos tienen un efecto tal "ue depende del tipo devariable al cual correspondan, ya sea, de una variable básica, o de una variable

no básica1 sólo corresponde a las variables de decisión y no a las *olguras&

ada uno de estos casos tendrá una implicación distinta en su cálculo, pero enambos casos se debe mantener#

(CBB−1N $ CN) ( 0&

CAMBIOS EN LOS COSTOS BSICOS

Si es la modificación de un costo básico se utilizará ( cB *c ), de talforma "ue en el renglón cero de la tabla simplex se siga manteniendo la

+


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propiedad 2(cB *c)B−1N $ cN3 ( 01 de forma similar al utilizar la leydistributiva se obtiene#

(CBB−1N $ cN *CB−1N) ( 0

este sistema encuentra todo el espacio de posibles soluciones para loscambios simultáneos en las componentes del vector de costos básicos&

!nalizando sólo el cambio de cada uno de los costos básicos a la vez, se tiene#

siguiendo estas condiciones para mantener las condiciones óptimas de la

solución básica se encuentra el rango de valores para cj .

0a solución es el rango de valores "ue satisfacen#

(CBB−1N $ CN *cB−1N) ( 0&

CAMBIOS EN LOS COSTOS NO BSICOS

uando se tiene la modificación de un co!"o no b#!$co se utilizará( CN *C ), de tal forma "ue en el renglón cero de la tabla simplex se sigamanteniendo la propiedad 2CBB−1N $ (CN*c)3 ( 01 sólo restando lost-rminos, se tiene#

(CBB−1N $ CN $ *C) ( 0

este sistema encuentra todo el espacio de posibles soluciones para loscambios simultáneos en las componentes del vector de costos nobásicos.

!nalizando sólo el cambio de cada uno de los costos no básicos a la vez, setiene#

siguiendo estas condiciones para mantener las condiciones óptimas de lasolución básica se encuentra el rango de valores para cj &

0a solución es el rango de valores "ue satisfacen#

(CBB−1

N $ CN $ *C) ( 0


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E%EMPLO DE APLICACI&N

onsidere el problema#

4ax Z = 2 x1 + x2

S'(e"o )

x 5 6 7 x 8 6 97 x 5 : x 8 6 9:

x 5, x 8 ; <

En forma aumentada#

4ax z % 8 x 5 x 8

S'(e"o A

x 5 x = % 7 x 8 x 9 % 97 x 5 : x 8 x > % 9:

x5, x8, x=, x9, x> ?% <

on tabla de solución óptima#

-


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8/29

/


9/29


10/29

En resumen& @ara mantener como conjunto de variables óptimas1xB* %( x1 , x4 , x2), y se puedan aplicar los precios sombra# +%(>A9,


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CONCLUSIONES

Como se observó la definición matricial de la tabla Simplex essolamente la solución de un sistema de ecuaciones por el método de la inversa, que verifica condiciones óptimas en lafunción objetivo.

A partir de está definición, un análisis de sensibilidad lo quebusca es el rango de valores para los parámetros del problemaque mantengan al vector óptimo de solución como no-negativo se sigan satisfaciendo las condiciones óptimas.

E%EMPLO DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD

SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LAFUNCI&N OB%ETI,O - C(

G/#$c)en"e !e o!"/)/# en e2 !$3'$en"e e(e42o 2o! eec"o! de c)b$)/ 2o!coe$c$en"e! de 2) F'nc$5n Ob(e"$6o.

E%EMPLO DE APLICACI&N

Un) #b/$c) de )/"7c'2o! 4)/) e2 8o3)/ )n')c"'/) do! )/"e)c"o! A 9 B.Abo! !'/en : 4/oce!o! en e2 $!o o/den ;'e !on ) M);'$n)do< bA/)do< 9 c Mon")(e

L) d$!4on$b$2$d)d de $n'"o! de c)d) 4/oce!o !on =>0< ?00 9 =@0/e!4ec"$6)en"e.

E2 )/"e)c"o A de() 'n bene$c$o de S. 100 'n$d)d en ")n"o ;'e e2 B4/o4o/c$on) S. 10 'n$d)d.E2 c')d/o de coe$c$en"e! de "/)n!o/)c$5n e! e2 ;'e !e $nd$c) )con"$n')c$5n

T/)n!o/)c$5n A B D$!4on$b$2$d)d

11


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M);'$n)do = > =>0A/)do @ ? ?00Mon")(e 1 > @=0

Bene$c$o 100 10

C')n"o! )/"e)c"o! de A 9 B deben 4/od'c$/ 4)/) ob"ene/ e2 #x$o debene$c$o

SOLUCI&N

M)x 100 x1 10 x S'(e"o )

=x1 >x =>0@x1 ?x ?001x1 >x @=0H1 < x 0

G/#$c)en"e !e "$ene.

EFECTOS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCI&NOB%ETI,O

Dnterpretados gráficamente estos coeficientes determinan la pendiente de la funciónobjetivo la cual puede ser una l'nea ( dos variables, un plano ( tres variables oun *iperplano ( cuatro o más variables)&

En este ejemplo la función objetivo se representa gráficamente como una l'nea ya"ue solo *ay dos variables ( x5, x8)& 0a solución óptima da un valor de F,>A8 unidades de G5 y 88>A9 unidades de de G8

1'


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!"n cambio del coeficiente de #$ o de x% dar&a una l&nea con diferente pendiente. 'a solución óptima puede situarse en un punto determinado(asta que por alguna ra)ón sea desviada (acia una intersección diferente.*sta desviación puede ser ocasionada por un cambio de la pendiente dela función objetivo.

0as siguientes figuras presenta la solución del ejemplo utilizando varias funcionesobjetivos diferentes pero conservando el mismo conjunto de restricciones&

En 0a figura !, se observa "ue un incremento del coeficiente de la variable G8desde 58< *asta 5>< no desplaza la solución óptima manteni-ndose en x5 % F&>y x8 % >7&8>, aun"ue el valor de la función objetivo *a aumentado *asta 5:F&>soles&

FIGURA ACAMBIO EN EL COEFICIENTE DE H DE LA FUNCI&N OB%ETI,O

DE 10 A 1@0

En la siguiente figura H se ilustra el efecto de un pe"ueIo cambio del

coeficiente de la variable G5, pasando de 5


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DE 100 A 10

EFECTO DEL COEFICIENTE DE LA FUNCI&N OB%ETI,O CUANDO OCURREUN CAMBIO CONSIDERABLE< COMO PARA DESPLAAR LA SOLUCI&N&PTIMA

En la siguiente figura , cuando el coeficiente de costo G8 disminuye de 58< a

7 y G8 %


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El análisis de sensibilidad responde la pregunta de "ue tanto pueden variarseestos coeficientes antes "ue tenga lugar este desplazamiento, esto es antes de"ue pueda obtenerse una nueva !o2'c$5n 54"$)

!*S+AS /+*0*SA1S */ */C/+0A0 'S 0A/2S 1* 3A0AC4/

1* *S+S C*5C*/+*S. C"A/1 'S C*5C*/+*S 6"* 0*70*S*/+A/ CS+S, 8*/*5CS, +*7, etc, +A/ /131"A'*/+* C"A'6"*0 3A'0 1*/+0 1* *S+* 0A/2, 'AS'"C4/ S2"* S*/1 47+A9

Seguidamente pasaremos a encontrar estos rangos de variación de loscoeficientes , a partir del ltimo tablero del SD4@0EG&

ANLISIS DE SENSIBILIDAD A PARTIR DEL MJTODOSIMPLEH

El análisis de sensibilidad concierne al estudio de posibles cambios en la solución

optima disponible como resultado de *acer cambios en el modelo original& !l alterarse

nuestra situación actual y proporcionar nuevos datos, sobre estos podemos *acernos

la pregunta KC5o 4'ede )2"e/)/ c)d) !$"')c$5n 2) !o2'c$5n o4"$) )c"')2 , concierta reflexión, sus respuestas podrán contestarse en alguna de las dos categor'as

siguientes#

5)0a solución actual puede volverse infactible y

8)0a solución actual puede volverse no optima&

0as categor'as están basadas en los cálculos primales duales, de los cuales

observamos los siguientes#

I L) $n)c"$b$2$d)d de 2) !o2'c$5n 4'ede oc'//$/ !o2o !$ 5) Se altera la disponibilidad de los recursos bj y

8) Se agregan nuevas restricciones Gn

II L) no o4"$)2$d)d de 2) !o2'c$5n )c"')2 4'ede oc'//$/ !o2o !$ 5) Se cambia la contribución j1

8) Se cambia los coeficientes tecnológicos aij y

=) Se aIaden nuevas actividades Gj

P/oced$$en"o 3ene/)2# on base en lo antes propuesto, el procedimiento generalpara realizar el análisis de sensibilidad se puede resumir de la manera siguiente#

1 Empleando el m-todo simplex, resolver el modelo de programación lineal yobtener su tabla simplex optima

j 5 8 & & & j < < & < Kunción objetivo Lj bj G5 G8 & & & Gj M5 M8 & & Mj

1-


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5 G5 m5 8 G8 m8

& & && & & H.5 ! H.5

& & &j Gj mj

Nj HGH HH.5 ! . j HH.5

j.Nj

+onde# H.5 % 4atriz inversa (comprendida solo por las variables de *olgura Mj) HH.5 % Lector dual (comprendido solo por las variables de *olgura Mj)

@ara el o los cambios propuestos en el modelo original, volver a determinar losnuevos elementos de la tabla optima actual mediante el uso de los cálculosprimales duales& Estos consisten en restablecer la tabla simplex optima delproblema original e introducirle los cambios del nuevo problema&

: Si la nueva tabla no es optima, ir al paso O9, si es infactible, ir al paso O>, de locontrario anotar la solución en la nueva tabla como el nuevo optimo&

= !plicar el m-todo simplex a la nueva tabla para obtener una nueva soluciónoptima&

@ !plicar el m-todo dual a la nueva tabla para recobrar la factibilidad&

I. CAMBIOS EN LOS RECURSOS b(

CASO I

Si la disponibilidad de los procesos de 4a"uinado, !rmado y 4ontaje aumentantodos en 100 $n'"o!, K)ec") 2) !o2'c$5n 54"$) e2 c)b$o de d$c8o/ec'/!o

@ara dar respuesta a esta pregunta generamos el tablero óptimo del simplex#

L) ")b2) 54"$) )42$c)ndo e2 "odo !$42ex )2 e(e42o e!.

Iden"$$c)ndo 2)! )"/$ce! en e2 ")b2e/o !e "$ene

1


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B−1=[

0.1875 0 −0.0625

−0.50 1 −0.25

−0.1250 0 0.1250 ]

P)/) d)/ /e!4'e!") ) e!") $n"e//o3)n"e< Se c)2c'2) 2) n'e6)!o2'c$5n o4"$) HB < e42e)ndo 2) ec')c$5n )"/$c$)2

HB B1 -b( b(.

[ x2

x 4

x1] [

0.1875 0 −0.0625

−0.50 1 −0.25

−0.1250 0 0.1250 ][

580

700

640]

[ 0.1875∗580+0∗700−0.0625∗640

−0.5∗580+1∗700−0.25∗640

−0.1250∗580+0∗700+0.1250∗640] [68.75

250

7.50 ] 0En"once! e2 )x 100-.@10-?>.@ @0>@0 S. 000

Conclusión: Si los recursos de disponibilidad de tiempo cambian

de

[

480

600

540

]minutos a

[

580

700

640

]minutos ; trae cambios en la manufactura

de los productos de tipo 8 pasando de ;;?? soles a @??? soles como se demostró anteriormente.

CASO II

S$ 2) d$!4on$b$2$d)d de2 "$e4o en e2 4/oce!o de MAQUINADO< c)b$) de =>0MINUTOS ) ?00 MINUTOS 2) d$!4on$b$2$d)d de2 "$e4o en e2 4/oce!o deARMADO < c)b$) de ?00 MINUTOS ) :00 MINUTOS < 9 2) d$!4on$b$2$d)d de2"$e4o en e2 4/oce!o de MONTA%E c)b$) de @=0 MINUTOS ) =00 $n'"o!KAec") ) 2) !o2'c$5n o4"$) e2 c)b$o en 2o! /ec'/!o! d$!4on$b2e!

@ara analizar si la solución óptima cambia o no debido al cambio de losrecursos disponibles, nuevamente utilizamos el tablero óptimo del primal, el "uese presenta a continuación#

1/


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Iden"$$c)ndo 2)! )"/$ce! en e2 ")b2e/o !e "$ene

B−1=[

0.1875 0 −0.0625

−0.50 1 −0.25

−0.1250 0 0.1250 ]

P)/) d)/ /e!4'e!") ) 2) $n"e//o3)n"e 42)ne)d) en e2 CASO II<Se c)2c'2) 2) n'e6) !o2'c$5n o4"$) HB < e42e)ndo 2) ec')c$5n)"/$c$)2

HB B1 -b( b(.

[ x2

x 4

x1] [

0.1875 0 −0.0625

−0.50 1 −0.25

−0.1250 0 0.1250 ][

600

300

400]

[ 0.1875∗600+0∗300−0.0625∗400

−0.5∗600+1∗300−0.25∗400

−0.1250∗600+0∗300+0.1250∗400] [

87.50

−100

−25 ] 0

Coo HB [87.50

−100

−25 ] 0 1 en 'no o #! de !'! e2een"o!< 2) n'e6)

!o2'c$5n o4"$) e! $n)c"$b2e< 4o/ 2o ")n"o !e debe/# )42$c)/ e2 "odod')2 4)/) /e!")b2ece/ 2) n'e6) ")b2) 54"$).

!plicando el m-todo simplex restablecer la tabla óptima, de acuerdo el siguiente

procedimiento#

5) ambiar los valores del vector LH, por los nuevos# HB [87.50

−100

−25 ]

8) 0uego la tabla "uedará de la siguiente manera

10


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100 10 0 0 0C( x( b H1 H 1 :

10 H :F&>< < 5 < .


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= x1 > x ?00=-0 ?-@0 ?00

:00 ?00 -C'42e

En 2) !e3'nd) /e!"/$cc$5n

@ x1 ? x :00

@-0 ?-@0 :00

:00 :00 -C'42e

En 2) "e/ce/) /e!"/$cc$5n

1 x1 > x @=0

1 -0 >-@0 @=0

=00 @=0 -C'42e

CONCLUSI&N

*l cambio de los recursos disponibles en los procesos de A6"/A1,

A0A1 /+A*, de: [480

600

540]minutos a [

600

300

400]minutos la

producción sufre cambios. *l numero de productos A disminue de #$B >.;? unidades a cero unidades, mientras que la producción del producto 8disminue de #% B ;;?? a S.


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8&. 0a nueva formulación del problema, considerando la nueva restricción ser'a#

M)x 100 x1 10 x S'(e"o )

=x1 >x =>0@x1 ?x ?001x1 >x @=0

H 0H1 < x 0

:. An#2$!$! 0a nueva restricción G8≥8< 1 satisface la solución optima actualG8% >7&8> artefactos del tipo H es decir, la nueva restricción, no produce cambios en la

solución optima, por lo tanto se puede concluir "ue#

CONCLUSI&N

1ebido a que la nueva restricción # % ≥%? , satisface la solución

optima, entonces la solución optima no sufre cambios.

CASO N I,

Supongamos "ue en una de las semanas el cliente pidió la producción m'nima de 7<

artefactos del tipo H& Rpodr'a la E4@PES! satisfacer la petición del cliente En caso

de "ue no& R"u- debe *acer la E4@PES! para satisfacer la orden del cliente&

SOLUCI&N

5& El problema @rimal es de la forma#M)x 100 x1 10 x S'(e"o )

=x1 >x =>0@x1 ?x ?001x1 >x @=0H1 < x 0

uya solución óptima es segn el SD4@0EG, el "ue se muestra a continuación#

''


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8&. 0a nueva formulación del problema, considerando la nueva restricción ser'a#

M)x 100 x1 10 x S'(e"o )

=x1 >x =>0@x1 ?x ?001x1 >x @=0

H ?0H1 < x 0

:. An#2$!$!

0a solución optima, no satisface a la nueva restricción, es decir# H @?.@ ?0


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H = ?0

0H1H 0.1>@ 1 0 0.0?@ : @?.@

WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

0x1 0.1>@ 1 0 0.0?@ : = :.@

L'e3o e2 n'e6o /en325n 4)/) =

= 0x1 ox 0.1>@ 1 0 0.0?@ : :.@

d ,)2o/e! de 2) co2'n) = "odo! ce/o!< exce4"o e2 X2"$o< e2 c')2co//e!4onde ) 2) 'n$d)d.

$j 100 120 0 0 0 0$j vb X1 X2 H1 H2 H3 H4

120 X2 -.' 1 .1/

2.-'

0 H2 '' 2. 1 2.' 100 X1 . 1 2

.1' .1'

0 H4 2). 1 .1/

2

.-'

1

3 1 1' 1 Cj-Zj 0 0 -10 0 -5 0

!plicando el m-todo simplex, resolver nueva tabla (restablecida), bajo el siguiente

procedimiento#

) Sacar = :.@ -$n)c"$b2e < 5 < .


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BP5 % P5


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II. CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LAFUNCI&N OB%ETI,O

CASO I

S'4on3) ;'e e2 4/ec$o de2 ARTEFACTO B H< !e /ed'ce de S. 10 ) S.?@. KAec") ) 2) !o2'c$5n o4"$)

SOLUCI&N.

) L) !o2'c$5n 54"$) de2 4/ob2e) o/$3$n)2 e!"# d)do 4o/

H1 .@ 'n$d)de! H @?.@ 'n$d)de! Y @00 !o2e!.

b Si cambia 8% SA& 58< a (8∆ 8) % SA& 7> 1 entonces N8.8, cambia a# -C∆C

c E!")b2eceo! e2 n'e6o 4/ob2e) coo.

M)x 100 x1 ?@ x S'(e"o )

=x1 >x =>0@x1 ?x ?001x1 >x @=0

H1 < x 0

d) Extraer de la tabla simplex optima, el vector dual CBB1

Esto es& C BB−1= (10 5 )

e alcular el valor de -C∆C CBB1 ) -C∆ C

N8 .( 8∆ 8) % (5< >)

6

5

. 7> % : % 5> ? <

f) 0uego entonces omo -C∆ C 1@ 01Se restablece la tablasimplex optima, empleando el m-todo dual&

'-


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100 ?@ 0 0 0C( H( b( G5 G8 M5 M8 M=0 1 :00 < >&=== 5 < < =< 9< 8


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*l modelo de 7' generado a partir de la información anterior es el siguiente:

4!G N# >


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8&. Se *a concedido permiso a un nuevo tour operador para realizar vuelosentre 4adrid y las islas Haleares e interinsulares& @ara ello, debe comprar turborreactores con los "ue cubrir los vuelos entre 4adrid y las islas, as' comoaviones de *-lice yAo *elicópteros con los "ue servir los vuelos interinsulares&

El presupuesto de compra es de 8:& 0a compaI'adesea operar con coste de mantenimiento m'nimo&

a) Kormular un modelo de programación lineal "ue proporcione el plan óptimode compra&

b) Pesolverlo e interpretar la solución&

c) Si existe la posibilidad de contratar 5< pilotos más, Rcuál será la nuevasolución

d) Jn cambio en el contrato reduce el nmero m'nimo de aparatos a 59, Rcuál

es el efecto económico de esta modificación

=&. Jn fabricante de tejidos posee una má"uina "ue utiliza para lafabricación de diversos art'culos& @ara dos de ellos, denominados ! y H, lamá"uina está disponible durante 5F< *oras al mes& 0a cadencia de fabricacióndel art'culo ! es de >< por *ora, y la del H de :< por *ora& ada unidad de !proporciona un beneficio por venta de =

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