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A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
Estática de fluidos
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de ReologiaDepartamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
agosto de 2010
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
SumárioA equação básica da estática de fluidos
conceitos básicosbalanço de forças em um fluido estáticocasos particulares
esforços em superfícies submersas planasforçamomentoponto de aplicação
flutuação e estabilidadeflutuaçãoestabilidade
fluidos em movimento de corpo rígidobalanço de forçasexemplos
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
gradiente de um campo escalar p(x)vetor cuja direção é aquela de variação máxima de p(x), e cujaintensidade é proporcional a esta variação:
∇p = ı∂p∂x
+ ∂p∂y
+ k∂p∂z
• variação dp devida a um deslocamentodx = ıdx + dy + kdz:
dp = dx · ∇p
=(ıdx + dy + kdz
)·(
ı∂p∂x
+ ∂p∂y
+ k∂p∂z
)
ou dp = dx∂p∂x
+ dy∂p∂y
+ dz∂p∂z
dx
▽p
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
teorema da divergência∫S
pndA =
∫∀∇p d∀
• caso 1-D:∫S
pndA = Aıp(L)+A(−ı)p(0)
= Aı[p(L)− p(0)]
∫∀∇p d∀ =
∫ L
0ıdpdx
Adx
= Aı
∫ p(L)
p(0)dp = Aı[p(L)−p(0)]
n
pn
dA
dV
V
^
^
S
L
x dx
dV =Adx
p(0)nA
A
p(L)nA
p(x+dx)Ap(x)A
V=AL
n n
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
forças em um volume material ∀forças sobre ∀:• peso: ∫
∀gρd∀
• força de pressão:∫S−pndA
balanço de forças:∫∀
gρd∀+
∫S−pndA = 0
n
t = n.T = -pn
dA
profundidade h
g = -gkgρdV
dV
z
p = pozo
V
^ k^
^
^^
S
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
equação básica da estática de fluidos (ebef)
usando o teorema da divergência,∫∀
gρd∀ −∫∀∇p d∀ = 0
ou ∫∀(−∇p + ρg) d∀ = 0
como ∀ é arbitrário,
∇p = ρg
n
t = n.T = -pn
dA
profundidade h
g = -gkgρdV
dV
z
p = pozo
V
^ k^
^
^^
S
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
ebef escalar 1-Dem coordenadas cartesianas,
ı∂p∂x
+ ∂p∂y
+ k∂p∂z
= −ρgk
logo
∂p∂x
= 0;∂p∂y
= 0; ⇒ p = p(z)
edpdz
= −ρg;
como dh = −dz,
dpdh
= ρg;
h
z
p = pozo
dh dzgρAdh
p(h+dh)A= (p(h)+dp)A
p(h)Aárea A
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
fluido incompressível (ρ = constante)
dpdh
= ρg ⇒ dp = ρgdh
logo, integrando de 0 a h,∫ p(h)
p(0)dp′ = ρg
∫ h
0dh′ ⇒ p − po = ρgh
oup = po + ρgh
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
fluido barotrópico (ρ = ρ(p))
dpdh
= ρg ⇒ dpρ(p)
= gdh
exemplo: módulo de compressibilidade Ev constante
Ev ≡ ρdpdρ
= const. ⇒ dp =Ev dρρ
logo, integrando de 0 a h (ρo ≡ ρ(0)),
Ev
∫ ρ(h)
ρ(0)
dρ′
ρ′2= g
∫ h
0dh′ ⇒ Ev
3
[1ρ3 −
1ρ3
o
]= gh
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
logo,
ρ =1[
3ghEv
+ 1ρ3
o
] 13
a pressão se obtém em função de h integrando∫ p(h)
p(0)dp′ = p − po = g
∫ h
0
dh′[3gh′Ev
+ 1ρ3
o
] 13
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
gás perfeito (ρ = p/RT )
dpdz
= −ρg ⇒ dpp
= − gR
dzT (z)
exemplo: T varia linearmente com z
T (z) = To − k(z − zo) ⇒ dT = −kdz ⇒ dz = −1k
dT
logo,dpp
=g
kRdTT⇒
∫ p
po
dp′
p′=
gkR
∫ T
To
dT ′
T ′
ln(
ppo
)=
gkR
ln(
TTo
)⇒ p
po=
(TTo
) gkR
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
a razão de massas específicas fica
ρ
ρo=
pT
To
po=
ppo
To
Tou
ρ
ρo=
(TTo
) gkR−1
em função da altitude z,
ppo
=
(To − k(z − zo)
To
) gkR
eρ
ρo=
(To − k(z − zo)
To
) gkR−1
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
gás perfeito (ρ = p/RT ): exemploSabendo-se que no Rio (zo = 0 m) To = 26oC, epo = 1 atm = 101325 Pa, calcular a pressão p e a temperaturaT em Teresópolis, onde a altitude é z = 910 m. Considere quea temperatura cai com a altitude a uma razão dek = 0.0055oC/m, e que Rar = 287 J/kg.KSolução:
T = 273.15 + 26− 0.0055× (910) = 294.15K ou T = 21oC
p101325
=
(294.15
273.15 + 26
) 9.810.0055×287
entãop = 91238 Pa ou p = 0.9 atm
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
nomenclatura de pressão segundo o nível dereferência utilizado
• pressão absoluta: medida apartir do vácuo
• pressão atmosférica oubarométrica: é a pressãoabsoluta do ambiente
• pressão manométrica: medidaa partir da pressãoatmosférica vácuo
pressão barométrica ou atmosférica (local)
pressão absoluta
pressão manométrica
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
manômetro e barômetromanômetro: o desnível h fornece a pressãomanométrica
pmanométrica = pabsoluta − patmosférica = ρgh
barômetro: o desnível h fornece a pressão absolutado ambiente
pbarométrica = pv + ρgh
onde pv é a pressão de vapor do líquido. Maspv << ρgh. Logo,
pbarométrica ' ρgh
pv é conhecido (tabelado), não precisa desprezar
pabsoluta
patmosférica
patmosférica
pmanométrica
p≈0
≈patmosférica
manômetro
barômetro
h
h
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
força resultante sobre uma comporta plana
• pressão local:
p = po + ρg(D + y sin θ)
• força elementar em dA:
dF = −n(p − po)dA
ou
dF = −k(p − po)dxdy
p = po
h = D + y sinϴD
L
A
ϴx
y
z
y
dx
dy
dy
n = k^
dA
W
(x',y')
r
^
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
força resultante:
F =
∫dF
= −kρg∫ L
0
∫ W
0(D + y sin θ) dxdy
= −kρg∫ W
0dx∫ L
0(D + y sin θ) dy
ou
F = −kρgWL(
D +L sin θ
2
)≡ −kF
p = po
h = D + y sinϴD
L
A
ϴx
y
z
y
dx
dy
dy
n = k^
dA
W
(x',y')
r
^
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
momento resultante das forças sobre a comporta
• vetor posição:
r = x ı + y
• momento da força dF :
dM = r × dF
= −[(x ı+y )× k ](p−po)dxdy
ou dM = [x −y ı](p−po)dxdy
p = po
h = D + y sinϴD
L
A
ϴx
y
z
y
dx
dy
dy
n = k^
dA
W
(x',y')
r
^
j
i^
k^j
i^
k^
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
momento resultante:
M =
∫dM = ρg
∫ L
0
∫ W
0[x − y ı] (D + y sin θ) dxdy
M = ρg∫ L
0
∫ W
0x (D + y sin θ) dxdy
−ıρg∫ L
0
∫ W
0y (D + y sin θ) dxdy
M = ρg
(∫ W
0xdx
)︸ ︷︷ ︸
=W 2/2
(∫ L
0(D + y sin θ) dy
)︸ ︷︷ ︸
F/ρgW
−ıρg
(∫ W
0dx
)︸ ︷︷ ︸
W
(∫ L
0y (D + y sin θ) dy
)
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
M = ρgW 2
2F
ρgW− ıρgW
(L2
2D +
L3
3sin θ
)ou
M = W2
F − ıρgWL2(
D2
+L3
sin θ)
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
ponto de aplicação da força resultante• ponto de aplicação: r ′ = x ′ı + y ′ tal que:
r ′ × F = M
(x ′ı + y ′
)×(−kF
)= M
(x ′− y ′ı
)F =
W2
F − ıρgWL2(
D2
+L3
sin θ)
logo,
x ′ =W2
e y ′ =
(D2 + L
3 sin θ)(
D + L2 sin θ
)L
observação: se D = 0, então
y ′ =23
L
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
forças em um objeto submerso de volume ∀forças sobre o objeto:• peso P• força de pressão (empuxo):
E =
∫S−pndA
nota-se que E só depende daforma do objeto, e é igual àforça que atuaria no volume ∀se este estivesse ocupadopelo fluido:
n
t = n.T = -pn
dA
g = -gkpeso P
^
^
^^
S
Vobjeto
E =
∫S−pndA = −g
∫∀ρfluidod∀ ou E = k g
∫∀ρfluidod∀
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
observações:• o empuxo E atua na vertical
de baixo para cima (dir. −g), eé igual em módulo ao peso dofluido deslocado pelo objeto
• portanto E não tem qualquerrelação com o peso P
• P < E ⇒ o objeto bóia• P = E ⇒ o objeto não se
move• P > E ⇒ o objeto afunda
n
t = n.T = -pn
dA
g = -gkpeso P
^
^
^^
S
Vobjeto
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
estabilidadeo centro de massa deve ser suficientemente baixo para omomento de P e E ser sempre restaurador da posição neutra
centro de massa
pesoempuxo
centro de massa
peso empuxo
estável instável
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
altura crítica do centro de massa
altura máxima do centro de massa
pesoempuxo
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
balanço de forças em ∀
∫∀
gρd∀+∫
S−pndA =
ddt
∫∀
Vρ(r)d∀
∫∀
gρd∀ −∫∀∇pd∀ =
∫∀
dVdt︸︷︷︸=a
ρd∀
∫∀[∇p − ρ (g − a)] d∀ = 0
como ∀ é arbitrário,∇p = ρ (g − a)
n
t = n.T = -pn
dA
g
gρdV
dV
V
^
^^
S
a V
é como se o fluido estivesse estático em um campo“gravitacional” igual a (g − a)
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
aceleração linear constante∇p = ρ (g − a)
ı∂p∂x
+ ∂p∂y
+ k∂p∂z
= ρ(−g− ax ı)
logo
a = ax i-a
gg-a
x
y
po
AB
∂p∂x
= −ρax ;∂p∂y
= −ρg;∂p∂z
= 0
em superfícies de pressão constante, dp = 0
dp =∂p∂x
dx +∂p∂y
dy +∂p∂z
dz = 0
−ρaxdx − ρgdy = 0 ⇒ dydx
= −ax
g
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
logo, as superfícies de pressãoconstantes são dadas por
y = −ax
gx + C
cada valor de C define uma superfície.
a = ax i-a
gg-a
x
y
po
AB
Cálculo de pA − pB:
pA − pB =
∫ pA
pB
dp = −ρax
∫ xA
xB
dx − ρg∫ yA
yB
dy
oupA − pB = −ρ [ax(xA − xB) + g(yA − yB)]
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
recipiente cilíndrico em rotação
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
dx dz
drrdθ
dθ
em coordenadas cilíndricas,
dx = er dr + eθrdθ + ezdz
∇p = er∂p∂r
+ eθ1r∂p∂θ
+ ez∂p∂z
∇p = ρ (g − a) ; a = −rω2er
er∂p∂r
+eθ1r∂p∂θ
+ez∂p∂z
= ρ(−gez +rω2er )
⇒ ∂p∂r
= ρrω2;∂p∂θ
= 0;∂p∂z
= −ρg
r
zA
B
po-a
gg-a
ω
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
em superfícies de pressão constante, dp = 0
dp = dx · ∇p =∂p∂r
dr +∂p∂θ
dθ +∂p∂z
dz = 0
ρrω2dr − ρgdz = 0 ⇒ dzdr
=rω2
g
logo, as superfícies de pressão constantes sãodadas por
z =ω2
2gr2 + C r
zA
B
po-a
gg-a
ω
cada valor de C define uma superfície de pressão constante.