Solución al 1-A

BAXBXABAXXBAXAXXAXBAXX 1)3()3(32323

Cuando exista la inversa de 3+A la ecuación tiene solución. En el caso particular pedido:

51

15

24

1

51

15

51

15

12

123

1

. Luego hay inversa y por tanto solución:

012

111

149

543

51

151

X

Solución al 2-A

Cuando la derivada es positiva la función es creciente, cuando negativa decreciente. Si la derivada

primera es nula y en ese punto la segunda es positiva, la función tiene un mínimo y si es negativa un

máximo.

absoluta máxima altura 5, instante elen Altura 22)5(

vuelodel Comienzo cero. instante elen Altura 2)0(

m 2 segundos 3 los2)A (3,en relativo Mínimo 06)3(''

(1,6)f(1)) (1,en relativo Máximo 06)1(''126)(''

decrece. 3) , (1En crece.5) , (3y )1,0(En )3)(1(39123)(' 2

mf

mf

f

fxxf

xxxxxf

Solución al 3-A

Tipo Básico Lujo

Número Y X

Precio unidad 300 1000

Restricciones 0<=Y<=50

y>=2x

x>=10

x e y enteros

Coste 300y+1000x<=28000 Maximizar y+x

La región factible es la sombreada. El número de ordenadores básicos que debemos fabricar es 35 y el

de ordenadores de lujo 17. Con ello no agotamos el presupuesto, nos sobran 500 €

Para encontrar este punto desplazamos la recta y+x=k sin que se salga de la región factible

(aumentamos k). Cuando k=52 está dentro. Cuando k=53 está fuera

Solución al 4-A

Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,97 en nuestro

caso). x la media de la muestra, ahora 40; la desviación típica, ahora 10; n el tamaño de la muestra,

36.

)985,0015,01( que ya17,2015,02/03,097,01 2/z .Ver tabla

Luego el intervalo pedido es:

62,43,38,366

1017,240,

6

1017,240·,· 2/2/

nzx

nzx

Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 97 % que la duración media de uno cualquiera de

esos componentes electrónicos estará entre 36,38 y 43,62 horas.

Si quisiéramos un intervalo de confianza más estrecho manteniendo el nivel de confianza deberíamos

aumentar el tamaño de la muestra, porque el radio del intervalo es menor cuanto mayor sea n, ya que

n figura en el denominador.

Cuando sea más grande (el nivel de confianza más pequeño) también disminuye el intervalo, porque

2/z es más pequeño

Solución al 1-B

El planteamiento y resolución del sistema sería como sigue (tenemos en cuenta que en toda división,

el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto):

6

19196

1724

1

1724

1726

17

172

3

yyry

ry

ry

ryry

ryx

ryx

ryx

3

35

6

3217

6

13

6

1917;

6

131

6

19xr . La pega es que las soluciones no son números

enteros y en la definición de fracción el numerador y denominador son números enteros.

Solución al 2-B

La función se compone de tres trozos de parábolas sencillas. Su gráfica es como sigue:

A la vista de la gráfica, podemos asegurar que no es continua en -1 y tampoco en 1.

En -1 el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha 3. En 1 el límite por la izquierda es 3 y el

límite por la derecha 1. No coinciden los límites luego no es continua

En cuanto a extremos relativos, tiene un mínimo en x=0 que vale 2, ya que en un entorno de 0 vale

más de 2 a ambos lados. También tiene un máximo absoluto en x=1 que vale 3 y un mínimo absoluto

en x=-1 que vale 1 (para calcular el valor en x=-1 se emplea el primer tramo)

Solución al 3-B

Llamemos P al suceso “elegir un paquete pequeño” y G al suceso “elegir un paquete grande”.

Entonces, el suceso R “que se rompa un paquete” es )()( RGRPR . Como los sucesos

)()( RGyRP son incompatibles )()()( RGpRPpRp . Si tenemos en cuenta la

probabilidad condicionada y los datos:

016,010000

160

100

40·

100

1

100

60·

100

2)()/()()·/()()()( GpGRpPpPRpRGpRPpRp

El 1,6% de los paquetes se romperán.

También nos piden )/( RGp .

Volvemos a la probabilidad condicionada 25,04

1

160

40

)(

)()/(

Rp

RGpRGp .

La probabilidad de que no se rompa un paquete pequeño es 1 menos la de que sí se rompa:

98,0100

98

100

21)/(1)/( PRpPRp .

Si queremos saber la probabilidad de que enviando dos no se rompa ninguno, se trata de sucesos

repetidos y la probabilidad es el producto: 0,982 = 0,9604

Solución al 4-B

Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,978 en nuestro

caso). x la media de la muestra, ahora 7,5; la desviación típica, ahora 1; n el tamaño de la muestra,

100.

)989,0011,01( que ya29,2011,02/022,0978,01 2/z .

Ver tabla de la normal tipificada más arriba.

Luego el intervalo pedido es:

729,7,271,710

129,25,7,

10

129,25,7·,· 2/2/

nzx

nzx

Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 97,8 % que la puntuación media estará entre 7,271 y

7,729.

Si los vecinos encuestados hubiesen sido elegidos en el horario 10 a 14 el intervalo no sería válido

porque la elección no es aleatoria en el tiempo. Esta forma de hacer la encuesta excluiría a cierto tipo

de vecinos y no representaría bien a la comunidad vecinal.