PATRULATERUL CONVEX

Definitie. Fie punctele distincte A, B, C, D situate n acelasi plan. Numim patrulater,

notat ABCD, figura geometrica formata din reuniunea segmentelor rABs, rBCs, rCDs, rDAs,astfel ncat:

oricare trei dintre punctele A, B, C, D sunt necoliniare; oricare doua dintre segmentele pABq, pBCq, pCDq, pDAq sunt disjuncte. (Figurile 1-a

si 1-b.)

Figura 1-a Figura 1-b

Patrulaterul ABCD are:

patru varfuri: punctele A, B, C, D; patru laturi: segmentele rABs, rBCs, rCDs, rDAs; patru unghiuri: ?DAB, ?ABC, ?BCD si ?CDA. doua diagonale: segmentele rACs si rBDs.Definitie. Interiorul unui patrulater convex ABCD, notat Int pABCDq, este multimea

punctelor din plan formata prin intersectia semiplanelor pAB,C; pBC,D; pCD,A; pDA,B.(Figura 2.)

Figura 2

Definitie. Spunem ca un patrulater este convex daca oricare ar fi doua puncte din interiorul

sau, segmentul care le uneste este inclus n interiorul patrulaterului. (Figura 3-a.)

Daca exista doua puncte n interiorul patrulaterului astfel ncat segmentul care le uneste nu

este inclus n interiorul sau, apunem ca patrulaterul este concav. (Figura 3-b.)

Fise cu teorie pentru gimnaziuPatrulaterul convex

1 Profesor Marius Damian, Braila

Figura 3-a Figura 3-b

Punctele unui patrulater convex ABCD mpreuna cu punctele din interiorul patrulaterului

formeaza o suprafata patrulatera convexa, notata cu rABCDs.Observatia 1. Fiecarei suprafete patrulatere convexe rABCDs i se asociaza un unic numar

pozitiv numit arie si notat ariarABCDs sau AABCD. Prin abuz de limbaj, vom mai folosi sidenumirea de arie a unui patrulater convex.

Observatia 2. Fiind dat un patrulater ABCD, cel putin una dintre diagonalele sale,

sa zicem rACs, are proprietatea ca determina cu laturile patrulaterului doua triunghiuri cuinterioarele disjuncte: 4ACB si 4ACD. Prin urmare, putem defini suprafata patrulaterarABCDs ca fiind reuniunea suprafetelor triunghiulare ce o compun: rABCDs rACBs YrACDs. Mai mult, aria unei suprafete patrulatere se poate scrie ca suma ariilor suprafetelortriunghiulare ce o compun. (Figurile 4-a si 4-b.)

Figura 4-a Figura 4-b

Teorema. Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360.Demonstratie. Consideram patrulaterul convex ABCD si construim diagonala rACs.

(Figura 5.) Tinand cont ca suma masurilor unghiurilor unui triunghi este egala cu 180, avem

m p?DACq `m p?DCAq `m p?CDAq 180 (1)

si

m p?BACq `m p?BCAq `m p?ABCq 180. (2)

Figura 5

Fise cu teorie pentru gimnaziuPatrulaterul convex

2 Profesor Marius Damian, Braila

Adunand, membru cu membru, relatiile (1) si (2), deducem ca

m p?DABq `m p?ABCq `m p?BCDq `m p?CDAq 360.

Definitie. Un unghi adiacent si suplementar cu un unghi al unui patrulater convex se

numeste unghi exterior al patrulaterului.

Fiecare patrulater convex are 8 unghiuri exterioare (cate doua unghiuri opuse la varf, deci

congruente, pentru fiecare varf al patrulaterului).

In figura 6 un unghi exterior al patrulaterului ABCD este ?ADP.

Figura 6

Definitie. Patrulaterul convex cu diagonalele perpendiculare se numeste patrulater orto-

diagonal. (Figura 7.)

Figura 7

Fise cu teorie pentru gimnaziuPatrulaterul convex

3 Profesor Marius Damian, Braila