Straits, Passages and Chokepoints: A Maritime Geostrategy ...
Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment :...
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p.1
Passages “micro-macro” dans les polycristaux
Ph. Pilvin : [email protected]
Michel ClavelX. Feaugas
Dominique FrançoisC. Prioul
E. AndrieuG. Cailletaud
S. Forest
A. Pineau
D. Carron
Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
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p.2
D'après [Fivel, Forest, 2004]
Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
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p.3Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Mécanismes de déformation plastique : Ok ?
Passage au polycristal : un problème de transition d’échelles ?
Vers une meilleure connaissance du comportement sous sollicitations complexes (multiaxial, fatigue, rochet, DSA)
Plasticité des métaux
[Rautenberg, 2009] [Rautenberg, 2009]
[Micrographie EBSD Zy-4] [Micrographie MET Zy-4]
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p.4Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Objectif : Relier contrainte et déformation à l’échelle macroscopique
Σ Evp
σϕ ε ϕ
vp
Modélisation micro-mécanique =
mécanismes de déformation + texture cristallographique
Modélisation macroscopique
Modélisation micromécanique
Modélisation en micro-mécanique
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p.5
> grand nombre de « phases » : tous les grains de même #> désordre relatif (chaque phase « voit » toutes les autres) > isotropie de la distribution des phases (ou pas)> joints de grains « idéaux » (par hypothèse)
Polycristal = milieu continu hétérogène spécifique
Milieu Homogène
EquivalentPolycristal (VER)
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p.6
Choix d’une échelle élémentaire représentative grain (considéré comme un milieu continu)
Polycristal monophasé « phase » = grains de même orientation cristalline
(FDOC = angles d'Euler et fraction vol. : ϕ1,Φ, ϕ2, fg)
Comportement mécanique de chaque phase Systèmes de glissement associés à la structure cristalline
Autres modes de déformation possibles (pas ici...)
Polycristal : milieu continu hétérogène « simplifié »> Description incomplète…> A priori non périodique
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p.7
Milieu Homogène
EquivalentPolycristal (VER)
+…=+MHE
Σ
ΣMEVP
Σ
ΣΣ
Σ
MEVP
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p.8
- Le reconnaissez-vous ?
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p.9
Inclusion ellipsoïdale avec déformation « libre » uniforme dans l’inclusion (volume: VI) noyée dans un milieu infini de (matrice) sans déplacement ni contrainte imposés à la frontière
Ω
Solution du problème de l’inclusion ellipsoïdale d’Eshelby
VΩ
=4/3π a1a
2a
3
SE(x) est le tenseur d’Eshelby
Cijkl0
Cijkl0
a1, a2, a3: demi-axes de l’ellipsoïde
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p.10
Les résultats d’Eshelby (1957,1959) et le tenseur d’Eshelby
En considérant l’inclusion Ω :
Le tenseur d’Eshelby des points intérieurs à Ω est :
Le tenseur d’Eshelby SE dépend de la morphologie et des propriétés C0 du milieu infini homogène (matrice)
Les contraintes sont alors uniformes à l’intérieur de Ω :
E E Eijkl jikl ijlkS =S =SavecS
ijklE =P
ijmnΩ C
mnkl0
Eshelby, J.D., Proceedings of the
Royal Society London A 241 (1957) 376–396.
Eshelby, J.D., Proceedings of the
Royal Society London A 252 (1959) 561–569
σijΩ = - C
ijkl0 I
klmn- S
klmnE( )εmn
* I
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p.11
Expression du tenseur d’Eshelby :
Dans le cas d’une déformation libre incompressible :
Inclusion sphériqueen élasticité isotrope
SijklE =
α-β
3δ
ijδ
kl+
β
2δ
ikδ
jl+δ
ilδ
jk( )
avec α=1
3
1+ν 0
1-ν 0; β=
2
15
4-5ν 0
1-ν 0
εijΩ = βε
ij*
σijΩ = −2µ 1− β( )εij
*
ν = 0,33 alors β ≈ 0,5⇒σijΩ ≈ −µε
ij*
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p.12Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Règles de transition d’échelle Modèle de Sachs [1929] (« isoS » : contrainte uniforme)
Modèle de Lin [1957] (« isoE » : déformation uniforme, plasticité incompressible)
Modèle de Kröner-Weng [1961]
• Hypothèse : accommodation élastique des interactions avec la matrice (Eshelby !)
Approche de Berveiller-Zaoui [1979]
• Hypothèses : trajets de chargement monotones et radiaux et « isotropie »
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p.13
> Approche heuristique (sollicitations complexes)> Introduction de variables internes « d'accommodation » > Lois d'évolution ? Forme ? Signification physique ?
Règles de transition d’échelle
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p.14Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Calculs d'agrégats polycristallins
Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010
I. Description des calculs EF
II. Estimation de la réponse moyenne d’une « phase »
III. Confrontation avec modèles champs moyens
Depuis 2010, analyses via FFT...
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p.15Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Comment effectuer la transition d’échelle ?
Calculs EF en champ complet d’agrégats
Objectifs
Construction de solutions de référence
Confrontation aux résultats prédits des modèles à champ moyen
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p.16Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Processus d’estimation de la réponse moyenne d’une phase
Analyse des champs mécaniques moyens dans un grain
Réponse moyenne d'une phase
[Champ de contrainte dans un grain]
[Voisinage d’un grain]
[Estimation EF de la réponse moyenne d’une phase]
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p.17Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Description des calculs EF
Maillage des agrégats sous CAST3M
[collaboration S. Pascal, CEA]
• Découpage d’un cube unitaire en cellules de Voronoï
• Discrétisation par triangulation de Delaunay
• Distance de répulsion isotrope entre germes Obtention d’une microstructure équiaxe
Orientations cristallines des grains
• Aléatoire ou distribuée suivant une texture
cristallographique
Sollicitations (CL variées...)
• Cyclique
• Non proportionnelles
• ...
[Maillage d’un grain]
[Représentation EBSD]
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p.18Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Démarche en élasticité cubique
Traction isochore / N réalisations indépendantes / 343 grains
Calcul de l’estimation auto-cohérente de la réponse moyenne d’une phase
Comparaison avec différentes approches
Validation en élasticité anisotrope
Estimation par EF des champs moyens… (voir atelier 3 !)
[Convergence de l’estimation EF]
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p.19Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Loi de plasticité cristalline
• Cristallo => systèmes de glissement
• Tenseur d’orientation :
• Cission résolue :
• Taux de cisaillement :
• Écrouissage : Loi d’Orowan avec seuil
• Vitesse de déformation viscoplastique :
Source animations :DD, Micromégas
M. Fivel et al.
[Production de boucles]
[Arbres de la forêt]
[Cisaillement d’un monocristal]
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p.20Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Règles de transition d’échelle
Modèle de Kroner-Weng [1961]
• Hypothèse : accommodation élastique de la matrice
Modèle de Berveiller-Zaoui [1979]
• Hypothèses : trajets de chargement monotones et radiaux et isotropie
Comparaison avec d’autres modèles … (Brenner et al, Masson et al.)
>> travaux en cours…
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p.21Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Intérêts des calculs d'agrégats
Analyse de la transition d’échelle dans les polycristaux par calculs EF (ou FFT) d’agrégats
Possibilité d’étalonnage pour modèles à champs moyens
Versatilité des lois de comportement intragranulaire
Grandeurs moyennes et distribution des champs mécaniques
Mais... joints de grains « idéaux »
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p.22Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Effet de forme
Impact de la forme polyhédrique des grains ?
Utilisation du tenseur d’inertie pour caractériser la forme
Nécessité d’un schéma itératif sur la forme des grains centraux pour estimer la réponse
moyenne d’une phase (grains équiaxes)
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p.23Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Modèles polycristallins à champ moyen
Exemples d'application (industrielle ?)
I. Mise en forme de tôles en acier inoxydable CFC
II. « pause » => domaine d'élasticité initial
III. Alliages de zirconium (HCP) avec défauts d'irradiation
IV. Modélisation du rochet pour un acier AISI 316L
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p.24
A polycrystalline model for stress-strain behaviour of SS 316L
Ph. Pilvin1, S. Gallée2
1Université de Bretagne-Sud, Lorient (France)
2UBS PhD (2005), now at ESI-France, Lyon (France)
Outline:
• Material, Exp. tests
• Polycrystal modelling
• Hydraulic bulging
Context:
• Forming process (deep drawing)
• Constitutive equations for austenitic stainless steel
• No 3D yield functions...
Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
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p.25
Material : AISI 316L Stainless Steel
• Thin sheet: 500 mm x 500 mm x 0.8 mm
• Mean grain size: 40 µm
• Rolled annealed plate
>>> 20 grains in the thickness <<<10x10x10 grains
Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
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p.26
Material : AISI 316L Stainless Steel
>>> (initial) orthotropic sheet
RD
> Crystallographic texture: X-ray diffraction
RD
Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
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p.27
Material : AISI 316L Stainless Steel
>>> ODF : 1593 orientations
> Texture description: Vector method [Ruer and Vadon, 1982]
> Vector of 2016 orientations for FCC polycrystals
Pole figure <111>
> need all orientations?> huge CPU time for FE !
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p.28
Characterization tests: AISI 316L
> R-values to 10 % plastic strain
> Tensile and shear tests
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p.29
Characterization tests: AISI 316L
>>> Large database for identification
> Shear tests
> Cyclic shear tests (Bauschinger)
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p.30
Polycrystalline modelling: FCC alloy
> 12 slips systems> Finite transformation using local objectives frames> Texture evolution (rotation of lattice frames)
[1] Forest and Pilvin, 1999
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p.31
Crystal constitutive equations:
Dislocations glide => Schmid law (FCC)
Kinematic hardening
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p.32
Parameter identification:
> Isotropic elasticity> 10-12 parameters> Validation of localization rule with FE
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p.33
Parameter identification:
> influence of the number of orientations (NbOr)> good description for all tests
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p.34
Parameter identification:
> strong influence of the NbOr for strain anisotropy> Evolution of R-values needed full ODF
Nominal transverse strain vs Nominal axial strain
UT test along DD (45°/RD)
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p.35
Evolution of R-values:
> strong influence of the number of orientations
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p.36
Hydraulic bulging tests:
> Large strain : log(e0/e) = 0.4> post-mortem X-ray diffraction (near the pole)>
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p.37
FE analysis for hydraulic bulging:
> ABAQUS standard + UMAT (Runge-Kutta integration)> Huge number of Internal Variables (SDV)3744 SDV to 96 orientations (CPU time : 2 weeks in 2005)9360 SDV to 240 orientations (2 weeks in 2011)66088 SDV to 1593 orientations (3 weeks in 2016)> C3D8R elements, 3-5 elts in the thickness
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p.38
Conclusing remarks:
> Other applications for forming processes > Improve physical description of crystal plasticity (DD codes)> Use (Finite Element)2 for thin sheets
7x7x7 grains
![Page 39: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/39.jpg)
p.39Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Modèles polycristallins à champ moyen
Exemples d'application (industrielle ?)
I. Mise en forme de tôles en acier inoxydable CFC
II. « pause » => domaine d'élasticité initial
III. Alliages de zirconium (HCP) avec défauts d'irradiation
IV. Modélisation du rochet pour un acier AISI 316L
![Page 40: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/40.jpg)
p.40
Rôle de la texture (FDOC) => anisotropie
> Méthode vectorielle [Ruer and Vadon, 1982]
> 2016 orientations for FCC polycrystals> visualisation de surfaces de charge
Pole figure <111>
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p.41Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Modèles polycristallins à champ moyen
Exemples d'application (industrielle ?)
I. Mise en forme de tôles en acier inoxydable CFC
II. « pause » => domaine d'élasticité initial
III. Alliages de zirconium (HCP) avec défauts d'irradiation
IV. Modélisation du rochet pour un acier AISI 316L
![Page 42: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/42.jpg)
p.42
Modélisation du comportement EVP des alliages de zirconium
recristallisés
Ph. Pilvin, X. Feaugas, C. Prioul
Travaux co-financés par AREVA-CEA-EdF
Doctorats de F. Onimus (2003) et M. Priser (2011)
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p.43
Les alliages de Zr dans l’industrie nucléaire
Confinement du combustible tenue mécanique de la gaine
Assemblage combustible
Gaine en alliage de Zr
1 cm
Pastille de combustible
(UO2)
Cuve
Internes
Cœur du REP
Assemblages
Centrale nucléaire : Réacteur à Eau Pressurisée (REP)
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p.44
Origine de l’anisotropie des tubes
=[Maille hexagonale] [Laminage à pas de pèlerin]
[Figures de pôles]
[Robinet, 1995]
+
HCP + Texture cristallographique
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p.45
Mécanismes Micro
Mécanismes de déformation des alliages de Zr non irradiés
τP < τπ1<a> < τB < τπ1<c+a>
4 familles de systèmes de glissement :
Douglass (1971), Tenckhoff (1988), Geyer (1999), Ferrer (2000)
Pyramidal Π1
Basal B
Prismatique P
<c+a>
c
a2
a3a1
Pour des conditions standard de sollicitationsglissement des dislocations
P <a> 1010 1/3<1120>
Π1 <a> 1011 1/3<1120>
B <a> 1010 1/3<1120>
Π1 <c+a> 1011 1/3<1123>
Comportement Macro
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p.46
Observations MET [Rautenberg, 2011]
Glissement prismatique des dislocations vis
Activation non négligeable des systèmes ππππ1<a>
Glissement dévié des dislocations des plans prismatiques P<a> vers les
plans pyramidaux ππππ1<a>
Mécanismes en fluage multiaxial à 400°C
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p.47
Courbes isovitesses à 400°C (Zy-4 recristallisé) [Grosjean, 2009]
Surfaces équipotentielles
Normalité des vecteurs d’écoulement aux surfaces
isovitesses
Forte anisotropie de comportement en fluage
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p.48
Figures de pôles inverses & facteurs de Schmid
Distribution des facteurs de Schmid prismatiques Glissement majoritaire
Distribution des facteurs de Schmid pyramidaux Glissement dévié
[Distribution des facteurs de Schmid dans le triangle standard et texture cristallographique]
![Page 49: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/49.jpg)
p.49
0
100
200
300
400
500
600
700
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
Déformation circonférentielle
Co
ntr
ain
te c
irc
on
fére
nti
elle
(M
Pa
) M5-0ni-1M5-0i-1
Non irradié
Irradié
Eclatement à 350°C sur M5
•Durcissement induit par l’irradiation
Effets de l’irradiation sur le comportement mécanique des alliages de Zr
Comportement Macro Mécanismes Micro
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p.50
Effets de l’irradiation sur la microstructure
Amas lacunaire
Plans d’habitat des boucles
11201010
<1120>
b
Boucle de dislocation
Cascade de déplacements
Neutrons rapides
n
Pastille d’oxyde d’uraniumGaine en alliage de Zr
Neutrons rapides
200 nm
Non irradié
Irradié
50 nm
10 nm
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p.51
Observation de canaux (Coleman (1972), Williams (1974), Onchi (1977, 1980))
Pression interne canaux B (Pettersson (1982))
Traction sens travers canaux P et Π1 (Adamson (1982, 1985))
Traction sens travers canaux B et Π1 (Régnard (1998, 2000, 2002))
Mécanismes de déformation des alliages de Zr irradiés
Canal
Observation des canaux sur une lame
mince
Lame mince Canal
1 µm
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p.52
0
100
200
300
400
500
600
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000Temps (s)
Co
ntr
ain
te c
irc
on
fére
nti
ell
e (
MP
a) M5ni-2
M5i-2
Irradié
Non irradié0
100
200
300
400
500
600
0.0% 0.2% 0.4% 0.6% 0.8% 1.0% 1.2%Déformation plastique circonférentielle
Co
ntr
ain
te
cir
co
nfé
ren
tie
lle
(M
Pa)
Analyse du comportement mécanique
0
100
200
300
400
500
600
-0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%
Déformation plastique circonférentielle
Co
ntr
ain
te c
irc
on
fére
nti
elle
(M
Pa
) Zy-4ni-1Zy-4i-1
Irradié
Non irradié
Zy-4 et M5 en pression interne à 350°C
300 MPa
100 MPa
100 MPa
Canalisation Augmentation rapide de XTaux d’écrouissage élevé
Irradié
X<225 MPa
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p.53
Modélisation micromécanique
Etude du comportement mécanique
Modélisation micromécanique
Etude des mécanismes de déformation
MHEPolycristal
(1) Théorie des dislocations(2) Calculs EF d’un grain
(3) Modèle polycristallin
MICRO
MACRO
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p.54
Durcissement :
N : densité de boucles (m-3)d : diamètre des boucles (m)αi : force d’obstacle
d
Adoucissement :Ndbc αiµτ =τ0
+
& &NHb
N ss B
= −∈∑ γ
Comportement dans le canal
H
vNHN ρ−=&
vbργ =&
si γ=cst.
![Page 55: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/55.jpg)
p.55
Simulation à l’échelle du grain
N
U
Densité initiale de boucles d’irradiation aléatoire (N)
& &N Hb
Ns
= −s B∈∑ γ
Ndbc αµτ =τ0+Milieu Environnant
Grain
Comportement élasto-visco-plastique macro Loi cristalline EVP
<N>= 5.1022 m-3 et 1.4 1022<N <8.6 1022m-3
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p.56
Simulation à l’échelle du grain
U
Loi de comportement adoucissante à l’échelle du grain Localisation de la déformation dans des canaux B
Glissement plastique cumulé Densité de boucles
U
8.1022 m-3
4.1020 m-3
![Page 57: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/57.jpg)
p.57Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles
Modèles polycristallins à champ moyen
Exemples d'application (industrielle ?)
I. Mise en forme de tôles en acier inoxydable CFC
II. « pause » => domaine d'élasticité initial
III. Alliages de zirconium (HCP) avec défauts d'irradiation
IV. Modélisation du rochet pour un acier AISI 316L
![Page 58: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/58.jpg)
p.58
> Ecrouissage à l'échelle des grains
> Structures de dislocations
> Variables d'écrouissage
-600-500
-400-300
-200-100
0
100200300
400500
600700
16 17 18 19 20
Contrainte
Déformation
Modélisation du rochet cyclique
(MPa))
(%)
![Page 59: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/59.jpg)
p.59
Doct. Ch. Gaudin (UTC, 2001) Dir. X. Feaugas
DésignationZ2 CND 17-12 316 L X2CrNiMo 18-14-3
Structure Cristallographique : CFCTaille de grains : Ø 53 µmEnergie de défaut d’empilement : 30 mJ.m-2
Densité de dislocations init.: 10+10 m-2
Polycristal sans texture
Système de glissement
Grains
VolumeElémentaireReprésentatifdu matériau
Intergranulaire
Intragranulaire
[001]
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p.60
Contraintes interne X et effective ΣΣΣΣef
Interactions à longue distanceContrainte polarisée cinématique
Interactions à courte distanceContrainte non-polarisée isotrope
X
ΣΣΣΣef
X
ΣΣΣΣef
Champ de contrainte
Distance parcourue par la dislocation mobile
Dislocation
Contrainte
Déformation
Eef
Domained'élasticité
ΣΣΣΣ ef
X
Σr
Domaine visco-plastique
Domaine visco-plastique en "retour"
Σ*
Σµ
Déformation
Contrainte
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p.61
Contraintes internes inter et intragranulaires
Modèle « biphasé »
Sw
eλf w=
e
e+λ
Densité de dislo. phase dure
Densité de dislo. phase molle
Fraction surf. phase durefw
ρs
ρw
τ=fw⋅τw+(1f
w)⋅τ
s
αs=α
w=α= 0,4
τ i=αi⋅µ⋅b⋅√ ρi
Σ=M⋅τ=M⋅τs+M⋅f
w⋅(τ
wτ
s)
=Σef+Χ
intra
∀ ∈i s w,
Χ int ra=M⋅f g⋅f w⋅α⋅µ⋅b⋅(√ ρw√ ρs )
Χinter=Χ
macroΧ
int ra
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p.62
Paramètres caractérisant le rochet
Sollicitation imposée
Réponse du matériau
ΣΣΣΣmax : contrainte maximaleΣΣΣΣm : contrainte moyenne
εεεεr : déformation plastique de rochetεεεεa : amplitude de déformation plastique
f = 0,05 Hz
Σ
εp
Σmin
Σmax
Σa
Σmεr
2εa
εpinitiale
εpmin
εpmax
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p.63
Réponses observées (316L – 300K)
-80-60
-40-20
020
4060
80100
120140
160180
-0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Contrainte
Déformation
1E-12
1E-11
1E-10
1E-09
1E-08
1E-07
1E-06
1E-05
1E-04
0 100 200 300 400 500
Nombre de cycles
Vitesse de rochet 1E-07
1E-06
1E-05
1E-04
1E-03
1E-02
1E-01
1E+00
0 100 200 300 400 500
Nombre de cycles
Vitesse de rochet
IR IIR
0
50
100
150
200
250
300
350
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Contrainte
Déformation
1E-04
1E-03
0 100 200 300 400 500
Nombre de cycles
Vitesse de rochet
IR
IIR
IR'
-600-500
-400-300
-200-100
0
100200300
400500
600700
16 17 18 19 20
Contrainte
Déformation
![Page 64: Passages “micro-macro” dans les polycristaux · Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010 I. Description des calculs EF II. Estimation de la réponse moyenne d’une](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042307/5ed3c46083dc1f1791298d37/html5/thumbnails/64.jpg)
p.64
Domaine de non-rochet R0 : Echelle microstructurale
1E-11
1E-10
1E-09
1E-08
1E-07
1E-06
1E-05
1E-04
100 200 300
Stade I
R0
Σmax (MPa)
dεr / dt (s-1)
Statique
Cyclique
A l’issue du premier ¼ de cycle
Après rochet
280 nm
454 nm
Histoire : Stade I d’écrouissage en traction
ΣΣΣΣmax/ΣΣΣΣm=180/50
MPa
95 % Glissement
planaire
5 % Amas
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p.65
Domaines d’accélération cyclique (RI/RII) : Déstabilisation des structures de dislocations
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
εp
Σ (MPa) A
B
C
DEF
X
Σef
Σr
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
εnp
|X| (MPa)
Traction Continue
Décharges en retour
A
B
C
D
E
F
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
εnp
|Σef| (MPa)
Traction Continue
Décharges en retour
A
BC
D
E
F
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
|Xintra| (MPa)
εnp
A
BC D
E
F
Traction Continue
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
εnp
|Xinter| (MPa)
Traction Continue
A
B
C
D
E
F
Destruction puis formation de nouvelles structures polarisées
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01
Homogène
Cellules
Pourcentage de grains
εnp
A
B
C
DE
F
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p.66
Synthèse
Le glissement planaire est défavorable au rochet cyclique
La déformation progressive est le résultat de fluctuations des états de contraintes internes lors des cycles
Seules les fluctuations de Xintra associées à la déstabilisation des structures de dislocations polarisées sont favorables au rochet.
Les structures dipolaires restent stables lors du trajet de chargement inverse.
Vers une simulation du rochet cyclique
Prise en compte des 2 échelles d’hétérogénéités
Description de l’écoulement plastique des 12 systèmes de glissement de la structure CFC
Prise en compte des 3 populations de dislocations
Polarisées MobilesDipolaires
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p.67
Description des étapes de changement d’échelles
Σ = ⋅∑ fgg
gσ & &E fp
gg
gp= ⋅∑ ε
& &ε γgp
ss
sm= ⋅∑ [ ]m n l l ns s s s s= ⋅ ⊗ + ⊗1
2
Xinter
[ ]σ β βg gB= + ⋅µ⋅ − ⋅ −Σ 2 1( )
Grains
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p.68
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
1.E+13 1.E+14 1.E+15 1.E+16
300K
623K
tract ion 300K (charge oudécharge)
tract ion 623K
essais de fat igue 300K
fw
ρ
τ σs g sm= :
fB
w
A
fwA A
fw
fw fw
= ⋅+
1
2
ρ
ρ
τ τ τµsi
s si
si
X*
,= − −
si=ρ
ms⋅b⋅ν
D⋅
1
√∑s= 1
12
ρsi
⋅exp[ ∆HO
kB⋅T ]⋅sh( τ si⋅V )
∀ ∈i c w,
Ecrouissage latent
τµ,si =α⋅µ⋅b⋅(∑
j=1
12
asj⋅|ρ
ji|)
Χ sc=f w⋅( τµ,s
w τµ,sc ) Χ s
w=(1f w )⋅( τµ,sw τµ,s
c )
Sw
eλf w=
e
e+λ
Plan de glissement
Système de glissement
1/2
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p.69
Lois d’évolution des densités de dislocations
dρsdip=[ 2⋅(d dip
. ye)b ]ρsc|dγ sc|
dρspw=[ βφb ]⋅√ρsc⋅dγ sc[ 2⋅ysb ]⋅|ρspw|⋅dγ sw
dρsc=[ 2
b⋅k0 ]⋅|dγ sc|+[ 2b⋅k ]⋅√ρct⋅|dγ sc|[2⋅ysb ]⋅ρ sc⋅|dγ sc|[ βΦb ]⋅√ ρsc⋅|dγ sc|ρct=∑
s=1
12
ρsc[ 2⋅(ddip ye)b ]⋅ρsc⋅|dγsc|
Densité de dipôles
Densité de dislocations polarisées
Densité de dislocations
mobiles
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5
74 dipôles coinsétudiés
hmin = 1,2 nm
hmoyen = 4,7 nm
hmax = 9,6 nm
Nombre de dipôles
Taille des dipôles coins, h (nm)
dρsw=dρ s
dip+dρs
pw
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p.70
1E-09
1E-08
1E-07
1E-06
1E-05
0 50 100 150 200 250 300
Expérience
Simulation
Σm (MPa)
dεr / dt (s-1
)
AB
Σmax=350 MPa
Efficacité du modèle à décrire le rochet cyclique
Polarisée
Dipolaire
Polarisée
Dipolaire
1E-10
1E-09
1E-08
1E-07
1E-06
1E-05
1E-04
1E-03
0 100 200 300 400 500 600 700
Expérience
Simulation
Σmax (MPa)
dεr / dt (s-1
)
R0
RI
RII
Σm=50 MPa
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p.71
Paramètres et identification du modèle
25 coefficients au total dont 19 sont estimés expérimentalement
fw ρ
c
ρw
Echelle et type Coefficients Valeurs
0,33195
399,30,838,68
0
1,64 eV
70 b3
Densité de dislocation initiale 10-10
m-2
0,0681
7,2512,2519,31,6
3,2 10-5
Densité de dislocations dans les chenaux 1,5 10-7
5,7415 nm
1
0,35
2,189,6 nm1,2 nm
1
Fraction de zone dure
Flux de dislocations mur/chenal
Formation des dipôles
Elasticité
Règle de localisation
Taux de cisaillement du système (s)
Écrouissage latent
ν
E
Dδ
'D
'δ
0H∆
V
0ρα
0a
1a
2a
3a
wf
wfA
wfB
0k
k
sy
syP
+Φβ
−Φβ
dipd
ey
dipP 6 coefficients à identifier
modèle
expérience
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p.72
En guise de synthèse...
>> Modèles polycristallins à champs moyens : vision simplifiée mais> bonne description de l'anisotropie (élastique et plastique) ;> variables d'écrouissage à base plus physique ;> prévision améliorée sous chargements multiaxiaux complexes ;> utilisables dans les codes de calcul de structures (Aster, Cast3M, ZéBuLoN).
>> Calculs d'agrégats EF ou FFT (très à la mode)> approches complémentaires ;> accès aux champs complets (hétérogénéité) ;> à cours terme, chaînage avec les approches DD ;> à moyen terme, utilisable en calculs de structures « pointus » (EF2).