Pasivní odpory(tření)

Rovnováha těles s ohledem na pasivní odpory

Při vyšetřování rovnováhy a pohybu tělesa s ohledem na tzv. pasivní odpory se setkáváme s pojmem „styčná plocha“- plocha dvou navzájem se dotýkajících těles.

Při dotyku dvou dokonale hladkých „ideálních těles“ působí mezi nimi jen síly(akce tíhová síla G a reakce N) ve směru normály a to i při pohybu.

N

G

Třecí síla

Ale ze zkušenosti je známo, že vyrobit ideálně hladký povrch pevné látky je nemožné. I tzv. „zrcadlově“ hladký povrch kovu se nám při dostatečném zvětšení jeví jako hrbolatý (viz obr.), tzn. má určitou drsnost.

1500 x zvětšený povrch vyleštěné ložiskové oceli

G

N vv

F

Skutečné povrchy mají tedy určitou drsnost a také určitou adhezi (přilnavost). Tyto faktory způsobují vznik: - statických třecích sil (za klidu)- a třecích sil (za pohybu) - odporu proti pohybu

Praktické zkušenosti ukázaly, že k uvedení tělesa do pohybu je potřeba větší sílynež k jeho udržení v rovnoměrném pohybu tření za pohybu je menší než za klidu.Při uvedení tělesa do pohybu musíme překonat tření za klidu, které je asi o 20—30 % větší než za pohybu. Velikost a směr třecí síly za klidu nejsou jednoznačné. Statická třecí síla může mít v tečné rovině libovolný směr a velikost.Tato velikost se může pohybovat od nuly až do hodnoty adhezní síly Ta.

Ta – mezní hodnota tečné reakce, kterou může vazba za klidu přenášet Ta = f0 . N (f0=koeficient statického tření za klidu).

NR

G

Ta

Závislost síly tření (koeficientu tření f ) na tažné

síle (čase).

Ta

klidTF a

- materiál třecích ploch a drsnost povrchu třecích ploch (vlastnosti obou materiálů – materiálu, ze kterého je pohybující se těleso i materiál,po kterém se toto těleso pohybuje). To nám vyjadřuje tzv. součinitel tření f. Jeho hodnota např. mezi kovem a dřevem je 0,5 a mezi ocelí a ledem pouhých 0,027.

- přítlačná síla Fpř, která těleso přitlačuje na plochu. Je zcela lhostejné, zda tato

síla vyjadřuje hmotnost tělesa nebo je to nějaká vnější síla. Jestliže se síla přitlačující těleso k ploše zvětší např. 2x, také třecí síla se 2x zvětší.

Na čem závisí velikost třecí síly?

Tření je složitý jev závisející na mnoha faktorech, ale nejvýznamnějšími jsou:

Pozor velikost plochy nemá na velikost třecí síly žádný vliv !!!

U hladkých leštěných povrchů může být f=0,05 nebo i méně. U běžných povrchů typicky f=0,2, u drsných povrchů např. f=0,7. Speciálně vyvinuté materiály pak mohou mít koeficient tření f >1.

Kromě toho koeficient tření závisí na řadě dalších faktorů: - rychlosti pohybu, - měrném tlaku na dotykových plochách, - teplotě povrchů atd. Vliv těchto faktorů nelze jednoduše vyjádřit, není však zdaleka tak významný, jako vliv drsnosti povrchů.

Třecí síly jsou rozdělovány na síly: - tření smykového, - tření čepového, - vláknového,

- a valivého odporu.

  Z jiného hlediska dělíme tření na:- suché (bez použití maziv)- a mokré (s použitím maziv).

Kontaktní plochy při tření suchém

Způsoby mazání  můžeme rozdělit do tří skupin:

a)      Mazání pomocí tenkého kapalného filmu. V ideálním případě takového mazání jsou obě třecí plochy vzájemně odděleny tenkou vrstvičkou vhodné

kapaliny. Mezera mezi oběma plochami bývá velká ve srovnání s jejich drsností. Koeficient tření je v tomto případě dán vlastnostmi mazací kapaliny, zejména její viskozitou. Proto hovoříme o tzv. hydrodynamickém mazání.   

Mokré (vazké) třeníPraxe nám ukazuje, že suché tření lze značně snížit, použijeme – li maziv. Použití kapalin jako maziv značně snižuje tření obou  třecích ploch. Názorně si to lze představit tak, že se po sobě již nepohybují obě plochy, ale tenké vrstvičky kapaliny (maziva) – tzv. mokré tření.

Snížení tření mazáním

b) Mazání pomocí vytvoření povrchové vrstvičky. Tento způsob mazání spočívá ve vytvoření dvou povrchových vrstviček na obou třecích plochách tak, aby nedošlo ke vzájemnému kontaktu . Zmíněné vrstvičky jsou vytvořeny pomocí adsorpce různých maziv (minerální či rostlinné oleje, tuky, mastné kyseliny, mýdla apod.). Tento způsob mazání se používá většinou při nižších teplotách a tlacích. Pro vysoké teploty a tlaky se tyto vrstvičky vytvářejí pomocí různých aditiv, přidávaných do minerálních olejů (fosfor, chlór a síra). Tak vzniknou poměrně pevné vrstvičky (soli), které mají vysokou teplotu tání a brání přímému kontaktu obou kovů mezi sebou.

c)      Mazání pomocí tuhých maziv. Mezi tuhá maziva řadíme grafit, sirník molybdenu a teflon. Tyto látky aplikujeme ve formě prášku, který přilne k oběma třecím plochám a chemicky s nimi reaguje. Posláním těchto maziv je oddělit od sebe obě třecí plochy prostředím s malým koeficientem tření. Tohoto způsobu mazání se používá při vysokých teplotách a tlacích a v agresivním prostředí, kde jsou jiné druhy maziv neefektivní.

Tření hraje v našem běžném životě důležitou roli, např. bez tření bychom nemohli ani chodit ani se přepravovat dopravními prostředky (kolovými) atd.

Tření má také negativní účinky – způsobuje velké energetické ztrátysnižuje účinnost strojů a zařízení (např. část mechanické energie je třením přeměněna na energii tepelnou).

1P

Puž

                               Materiál

        f

                                    Materiál

            f

 Dřevo – dřevo (suché)    0,40   Kov – kov (olej)    0,05

 Dřevo – dřevo (namydlené)    0,20   Velmi dobře vyleštěné plochy    0,03

 Kov – dubové dřevo (suché)    0,55   Ocel – achát (suché)    0,20

 Kov – dubové dřevo (mokré)    0,25   Ocel – achát (olej)    0,11

Kůže - dub    0,32   Ocel – křemen (suché)    0,50

 Kůže – kov (suché)    0,56   Pneumatika –beton (suché)    0,70

 Kůže – kov (mokré)    0,36   Pneumatika – beton (mokré)    0,25

 Kůže – kov (olej)    0,15   Dřevo - kámen    0,40

 Kov – kov (suché)    0,17   Teflon - teflon    0,07

 Kov – kov (mokré)    0,30   Nylon - nylon    0,25

Hodnoty koeficientů tření pro některé v praxi používané dvojice materiálů

Smykové tření je nejběžnějším a nejjednodušším případem pasivního odporu.Jeho mechanismus spočívá v tom, že drobné (mikroskopické) nerovnosti na tělesezapadají do drobných nerovností na podložce.Aby se těleso pohybovalo, musí být na překonání těchto nerovností vyvozena ve směru pohybu jistá tažná síla, která musí překonat třecí sílu – odpor proti pohybu, která při pohybu vzniká.Smykové tření se projevuje tak, že proti směru pohybu působí třecí síla T.Velikost této třecí síly je :

kde f je bezrozměrný koeficient tření, Fpř je přítlačná síla.

Smykové tření

T = f . Fpř

Pojem přítlačná síla vyžaduje podrobnější vysvětlení.

Přítlačná síla Fpř je složka výslednice všech sil, působících na těleso, mající směr kolmý ke směru pohybu (složka ve směru pohybu tento pohyb urychluje nebo zpomaluje, tření však neovlivňuje).

Podle zákona akce a reakce je tato přítlačná síla rovna normálové reakci N, působící opačným směrem

Třecí síla pak je :

N = Fpř

T = N . f

Jestliže je těleso v klidu, povrchy stýkajících se těles se vůči sobě nepohybují (nedochází k prokluzu), tato vazba je druh valivé vazby, tzn. přenáší stejné účinky jako valivá vazba (3. přednáška). Přenáší jak reakci N ve směru kolmém k podložce (zvolený směr osy y), tak reakci R ve směru rovnoběžném s podložkou (zvolený směr osy x).

Velikost těchto reakcí se vypočítá z rovnic rovnováhy :

ixFR iyFN

Smykové tření za klidu

Jak je zřejmé, velikost obou reakcí (N ani R) nijak nesouvisí s koeficientem tření za pohybu f.

R je reakce, nemůže být libovolně velká, její maximální velikost je dána velikostí mezní adhezní síly Ta (závisí na přítlačné síle, drsnosti povrchu a přilnavosti stýkajících se ploch).

Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí

Je-li tato podmínka splněna, k prokluzu nedojde.

Není-li splněna, začne se těleso po podložce pohybovat (klouzat). Proti směru pohybu pak působí třecí síla :

NfR .

T = f . N

Tato „dvojakost“ projevu tření se týká všech případů pasivních odporů, které budou dále popsány.Shrňme ještě jednou. Zabýváme-li se třením, musíme vždy uvažovat dvě situace :

• těleso prokluzuje po podložce (pohybuje se)• těleso leží na podložce bez prokluzu (je v klidu)

těleso prokluzuje po podložce (pohybuje se)

Proti směru pohybu působí třecí síla, která pohyb brzdí.

Kolmo k podložce působí normálová reakce, jejíž velikost je dána silovou rovnováhou.

T = N . f

iyFN

těleso leží na podložce bez prokluzu (v klidu)

Rovnoběžně s podložkou působí reakce, jejíž velikost se vypočte z rovnice rovnováhy.

Kolmo k podložce působí normálová reakce, jejíž velikost je dána silovou rovnováhou.

Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí :

NfR .

ixFR

iyFN

Příklad

Těleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce,skloněné o úhel α=22º. Koeficient tření mezi tělesem a podložkou je f=0,3.Na těleso dále působí vodorovná síla F.

Určete velikost této síly F aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů;

b) těleso zůstalo v klidu (bez pohybu) na podložce;

c) těleso se pohybovalo konstantní rychlostí vzhůru.

a) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně dolů, působí proti směru pohybu třecí síla : T= f. NVelikost normálové reakce je dána rovnicí rovnováhy ve směru kolmém k podložce (v tomto směru zvolíme směr osy y) :

Má-li se těleso pohybovat rovnoměrně (konstantní rychlostí), musí nastat rovněž rovnováha sil ve směru podélném (v tomto směru zvolíme směr osy x) - ve směru nakloněné roviny :

Z uvedených rovnic vyplývá brzdná síla :

Nf

fGF 91,0

sincos

cos.sin

sin.cos.0 FGNFiy

TFGFix cos.sin.0

N = 9,44 NT = 2,83 N

y

x

b) Nebude-li se těleso pohybovat, bude mezi ním a podložkou působit kromě normálové reakce N (ve směru osy y) také podélná reakce R (rovnoběžná s podložkou, s osou x).Velikost obou reakcí (není přímo závislá na koeficientu tření !) je dána rovnicemi rovnováhy

Nemá-li dojít k prokluzu tělesa po podložce, musí být splněna podmínka neproklouznutí :

neboli :

Pokud by však síla F byla příliš velká, nastal by pohyb směrem vzhůru.

RFGFix cos.sin.0

NFGFiy sin.cos.0

y

x

NfR .

c) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně vzhůru působí opět proti směru pohybu třecí síla : T = N . fRovnice rovnováhy ve směru osy y:

Rovnice rovnováhy ve směru podélném (ve směru nakloněné roviny a osy x) však má tvar :

Tlačná síla F pak je :

NFGFiy sin.cos.0

TFGFix cos.sin.0

xy

V souvislosti se smykovým třením je třeba definovat ještě jeden pojem. Uvažujme těleso, ležící

na vodorovné podložce (s koeficientem tření f). Na těleso působí šikmá přítlačná síla F, skloněná od svislé osy (osa y) pod úhlem α, (tíhovou sílu v tomto idealizovaném případě neuvažujeme).

Jednoduchým rozborem dospějeme k závěru, že je-li :

těleso se nebude pohybovat.

To nás vede k tomu, že definujeme tzv. třecí úhel φ :

Pak platí, že je-li těleso se nebude pohybovat.

Je-li naopak těleso se dá do pohybu.

ftg )( farctg

ftg

Tření v klínové drážceSe smykovým třením se kromě základní formy, popsané výše, setkáváme v různých modifikacích. Jednou z těchto modifikací je klínové těleso, uložené v klínové drážce. Vrcholový úhel tělesa i drážky je 2·α.Těleso je do drážky vtlačováno přítlačnou silou Fpř, kolmo k dotykovému povrchu tělesa a drážky působí normálové reakce N (po jedné z každé strany).Vlivem tažné síly Ftah se těleso pohybuje ve směru drážky.Z rovnice rovnováhy pro svislý směr vyplývá vztah pro normálovou reakci :

Proti pohybu působí na dvou dotykových plochách dvě třecí síly :

Srovnání tohoto výrazu s řešením smykového tření v základní podobě nás vede k tomu, že definujeme tzv. koeficient tření v klínové drážce :

Má-li se těleso pohybovat rovnoměrně,musí být tyto dvě třecí síly vyrovnány tažnou silou:

Zavedením této substituce (v níž f vyjadřuje skutečné tření,úhel α pak vliv geometrie) převádíme tření v klínové drážcena základní model smykového tření - proti směru pohybu působí celková třecí síla :

N

NFpř 2α

sin2sin.20 př

přiy

FNFNF

sin2.. přFfNfT

přtah Ff

TFsin

.2

sin

ffkl

přkl FfT .

Čepové třeníUvažujeme těleso, uložené čepem v třecím ložisku (kruhový otvor), otáčející se jistým směrem.Těleso je zatíženo přítlačnou silou Fpř, proti směru pohybu působí třecí síla T.Dotykový bod čepu v ložisku se rotací posune mimo nositelku přítlačné síly(čep se po kruhové podložce „vyšplhá“ poněkud vzhůru).

Vlivem toho jak normálová reakce N, tak třecí síla T působí šikmo pod úhlem φ.Rovnice rovnováhy pro směr normály (směr osy y) a tečny (směr osy x) jsou:

Kromě toho samozřejmě : T = f.NDosazením rovnic rovnováhy do vztahu pro třecí sílu dostáváme velmi logický výsledek

protože přítlačná síla samozřejmě působí vůči normále v dotykovém bodě pod třecím úhlem.

cos0 přiy FNF

tanφ = f

sin0 přix FTF

Uvážíme-li dále vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Poznámka: Při malých hodnotách koeficientu tření se jmenovatel ve výrazu pro moment čepového tření blíží jedničce. Zjednodušíme-li jej na prosté

dopouštíme se při f = 0,1 chyby 0,5 %. Při f = 0,2 je chyba již 2 % a při f = 0,5 chyba narůstá na 12 %.

21sin

tg

tg

21

1cos

tg

a dosadíme je do rovnic rovnováhy, je třecí síla:

21.

f

fFT př

Proti směru rotace tedy působí moment čepového tření:

čpřč rf

fFM .

1.

2

kde rč je poloměr čepu

Mč = Fpř·f·rč

Má-li těleso zůstat v klidu (bez otáčení),

musí být splněna podmínka neproklouznutí = moment všech sil ke středu rotace musí splňovat nerovnost :

čpři rf

fFM .

1.

2

Vláknové třeníPřes pevnou zaoblenou podložku je přehozeno vlákno, lano, popruh nebo jiný druh ohebného materiálu. Na obou stranách je popruh napínán tažnými silami Fvelká a Fmalá

.. fmalávelká eFF

kde e je základ přirozených logaritmů = 2,719 f je koeficient tření mezi popruhem (vláknem, lanem) a podložkou, α je tzv. úhel opásání, jež se dosazuje v obloukové míře (radiány).

Bez odvození (jež spočívá v integraci třecích sil na elementárních obloucích) uvedeme:

.180

rad

Tažná síla Fvelká, působící ve směru pohybu, však musí být větší, protože překonává tření.

Příklad

Přes trám kruhového průřezu je přehozeno lano, na jehož konci je zavěšeno břemeno o hmotnosti m = 0,102 kg (tíha G = m·g = 1 N).

Koeficient tření mezi lanem a trámem je f = 0,1.

Má-li být břemeno rovnoměrně (konstantní rychlostí) zvedáno, musí být lano taženo silou F, jež překonává jak tíhu břemene, tak tření :

protože úhel opásání je α = 180º

NeGeGF ff 37,1.. ..

rad14,3

PříkladMá-li být břemeno naopak rovnoměrně spouštěno dolů, musí být silou F přibrzďováno.Tření, které má vždy brzdný účinek, v tomto případě „spolupracuje“ se silou F.

.. feFG

Ne

GF

f73,0

.

Bude-li velikost síly v uvedeném rozmezí

37,1,....73,0Fzůstane břemeno v klidu.

PříkladPro praktickou úvahu ještě uvádím situaci, kdy je lano otočeno okolo trámu 1,5 x dokola.Úhel opásání je pak rad43,9.3540

3.. feFG

Ne

GF

f39,0

3.

NeGF f 57,2. 3. Bude-li velikost síly v rozmezí

NNF 57,2,...39,0 zůstane břemeno v klidu.

Jak je zřejmé, síla F, potřebná k překonání síly a tření (při pohybu břemene vzhůru), resp. k ubrzdění tíhy (při pohybu dolů) je podstatně větší, resp. menší, než když bylo lano jen přehozeno a ne omotáno.

Pohyb dolůPohyb vzhůru

Valivý odporS valivým odporem se setkáme všude tam, kde se povrch (obvod) tělesa valí po podložce.V důsledku poddajnosti (deformace) materiálů dochází k tomu, že materiál podložky je jistým způsobem „hrnut“ v jakési vlně před tělesem. Také těleso se zdeformuje (zploští). Následkem těchto deformací normálová reakce N (je v rovnováze se zatížením přítlačnou silou Fpř) nepůsobí na stejné nositelce jako přítlačná síla, ale o určitou vzdálenost před ní. Tuto vzdálenost nazýváme rameno valivého odporu, které značíme mmm;

.NM B Má-li být těleso udrženo v rovnoměrném pohybu, musí být taženo silou Ftah, která na rameni r vyrovnává brzdný moment

.. NMrF Btah Velikost této tažné síly tedy pak je

rNFtah

.

kde r je poloměr kruhového obvodu

Vyvolává tedy brzdný moment, který působí proti směru valení.

Jak je zřejmé, mechanizmus valivého odporu je zcela odlišný od smykového tření a přes to se často v literatuře uvádí jako „valivé tření“. Zavedeme-li totiž substituci kde fv = /r a nazveme jej koeficientem valivého odporu (valivého tření), bude se valivý odpor navenek projevovat stejně jako smykové tření – abychom těleso udrželi v pohybu, musíme jej táhnout silou NfF vtah .

u ideálních (nereálných) těles

u reálných těles