Parte prima: Gli obiettivi della politica economica (SEGUE)

Capitolo 4: Le scelte pubbliche: gli obiettivi secondo la funzione del benessere sociale

• Misure, regole, funzione del benessere sociale di Bergson-Samuelson e altri criteri

• Il teorema dell’impossibilità di Kenneth-Arrow

• La scelte pubbliche e gli obiettivi della politica economica

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La funzione di benessere sociale

z1, z2, .., zn

Stati del mondo

W(z1, z2, .., zn) W: n

Per fare questo:

• rappresentazione delle preferenze individuali• ipotesi sulla loro misura• ipotesi sulla possibilità di effettuare confronti• definire la regola di aggregazione W

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La rappresentazione delle preferenze individuali

Gli operatori di preferenza:

• preferenza stretta: xPy (x > y)

• indifferenza: xIy (x = y)

• preferenza debole: xRy (x y)

Proprietà di un ordinamento:

1) Forte• completezza: per ogni (x, y) devo

potere dire se xRy, yRx, xRy & yRx => xIy

• transitività: xRy & yRz => xRz

2) Debole• quasi-transitività: xPy & yPz =>

xPz

• aciclicità: xPy & yPz => xRz

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Ipotesi sulla misura delle preferenza

Definizione di una funzione di utilità U(.)

• utilità cardinale: la misura ammette tutte le operazioni numeriche fondamentali

U: n• utilità ordinale: la misura

ammette solamente valutazioni di maggiore, minore o uguale

U(x) U(y) sse xRy

In termini algebrici:• cardinale in scala assoluta: U(.)

non ammette alcuna trasformazione

• cardinale in scala relativa:

U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x), k > 0

• cardinale:

U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x) + h,

k > 0

• ordinale:

U’(x) = U(x) se U’(x) = f(U(x)),

f ’ > 0

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Ipotesi sul confronto (interpersonale) delle preferenze

• confrontabilità piena (o assoluta): possiamo confrontare i livelli di utilitàdegli individuiUA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =)

• confrontabilità parziale (o relativa): si possono confrontare solo gli incrementidi utilità ma non i livelliUA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =)

• inconfrontabilità: nessuna informazione sulle utilità di due individui è confrontabileUA(.) vs UB(.), UA(.) vs UB(.) ecc. con sv =(?)

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Il senso della ricerca teorica

I modelli che assumono le ipotesi più forti giungono a conclusioni che sono più deboli, mentre i modelli che assumono le ipotesi più deboli giungono a conclusioni che devono essere accreditate come più forti

Il senso della ricerca è di indebolire le ipotesi per cercare conclusioni forti, le ipotesi più deboli sonole funzioni di utilità ordinali & l’inconfrontabilitàinterpersonale

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Le regole di aggregazione delle preferenze

• Il criterio di Vilfredo Pareto• Il criterio di Nicholas Kaldor• La funzione di benessere sociale di Bergson-

Samuelson• La funzione di benessere sociale di Bernoulli-

Nash• La funzione di benessere sociale di Rawls• Il teorema di Kenneth Arrow (impostazione assiomatica)

• Il teorema di Amartya Sen (impostazione assiomatica)

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Il criterio di Pareto

I presupposti: individualismo etico; misura ordinale delle utilità; inconfrontabilità personaleEnunciazione: debole: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando situazione se tutti gli individui hanno livelli più alti di utilità (cfr. la regola dell’unanimità in senso forte)forte: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando situazione se almeno un individuo sta meglio mentre nessuno sta peggio (cfr. la regola dell’unanimità in senso debole)

UA

UB

a

b

c

d

e

fNB: Il criterio consente solo un ordinamento parziale:dPa , ePa

b, f, c vs a con vs = (?)d vs e con vs = (?)

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Il criterio di Kaldor (principio della compensazione)

ae

UA

UB

Il passaggio da a ad e:

UB < 0 & UA > 0è irresolubile per Pareto

Enunciazione: si introduce l’ipotesi di un indennizzo da A verso B(T), se il vantaggio di A è così grande che può risarcire B e rimanere con un vantaggio netto, allora ePa.

UB + TUB = 0 & UA - TUA > 0 ePa

NB: il principio dell’indennizzo è un criterio “intellettuale” che non risolve problemi “distributivi”

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La funzione di Bergson-Samuelson

Principio di utilità (utilitarismo di Bergson): gli stati del mondo x,y .. (definiti su n variabili zi) vengono valutati per l’utilità che inducono nei soggetti, Ui(z1,

z2, .., zn) con U:n

W = W(U1 ; U2 ; ... ; UN), W:NW(U1(x), U2(x) ... ; UN(x)) > W(U1(y), U2(y) ... ; UN(y)) sse xPy

Funzione di benessere sociale rispetto della condizione W/Ui 0 Principio della somma: che può essere

•semplice: W = U1 + U2 + … + U3 = i=1N Ui

•ponderata: W = a1U1 + a2U2 + ... + aNUN   = i=1N  aiUi , ai 0

NB: Chi sceglie ai 0? Se il dittatore è benevolente

ai = 1

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La funzione di Samuelson comporta la comparazioneinterpersonale delle utilità

Esempio: il gioco delle 6 mele

x = {(6,0) (5,1) (4,2) (3,3) (2,4) (1,5) (0,6)} con x = (qA , qB )

W = UA(x) + UB(x) quindi W = UA(qA) + UB(qB ) con   qA + qB  = 6

max W ==> dW/dqA  = dUA/dqA  + dUB/dqB dqB/dqA  = 0

ma dqB/dqA = - 1 ===> dUA/dqA  - dUB/dqB = 0

Il problema può essere risolto solo tramite una comparazione delle utilità di A & B.

NB: La regola di aggregazione della funzione di benessere sociale è una regola debole poiché implica delle ipotesi forti sulla misura e sul confronto delle utilità

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Altre funzioni di benessere sociale

• La funzione Bernoulli-Nash propone il principio del

prodotto, che può essere:• semplice:

W = U1 U2 ... UN   = i=1N Ui

• ponderato:

W = i=1N (Ui)a

i

Esempio: max W =>

(dUA/dqA):UA - (dUB/dqB):UB = 0comporta un confronto delle utilità,

in senso relativo

NB: Chi sceglie ai 0?

• La funzione di Rawls

la valutazione di uno stato sociale dipende solo dal benessere dell’individuo che si trova nella situazione peggiore

W (U1; U2; ... ; UN) = min (Ui)

NB: La visione del mondo è quella del più sfortunato

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L’impostazione assiomatica (Arrow & Sen)

Sia X = (x1, x2, .., xn) l’insieme degli stati del mondo, con n 3Sia C una collettività di N individui, con N 2

Sia Ri un ordinamento di preferenza per l’individuo i.mo

Si dice profilo di preferenza ogni N-pla [R1, R2, …, RN]

Una regola di scelta collettiva (RSC) è una relazione funzionale funzionale che specifica una, e soltanto una, relazione di preferenza sociale R per ogni profilo di preferenza, ossia per ogni insieme di ordinamenti individuali ==> R = F([Ri])

• Una funzione del benessere sociale (FBS ) è una regola di scelta collettiva RSC il cui codominio è ristretto alle R che generano degli ordinamenti

• Una funzione di decisione sociale (FDS) è una regola di scelta collettiva RSC il cui codominio è ristretto  alle R che generano una funzione di scelta.

di cui

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Gli assiomi di Arrow:

• Condizione T di completezza della relazione binaria di preferenza sociale debole R (xRy  o  yRx  oppure entrambe) e di transitività di R (xRy  e  yRz allora xRz)• Condizione U del dominio universale: il dominio della funzione f deve comprendere tutti gli ordinamenti individuali possibili; la società dovrebbe darsi una struttura normata per risolvere tutte le possibili controversie• Condizione P del principio di Pareto debole o dell’unanimità: se ciascun individuo preferisce strettamente x ad y, allora anche la società deve preferire x ad y• Condizione I dell’indipendenza dalle alternative irrilevanti: la scelta sociale tra ogni coppia di alternative deve dipendere dagli ordinamenti individuali su quelle due alternative soltanto, e non anche dagli ordinamenti individuali sulle altre alternative. Questo assioma è stato imposto da Arrow  soprattutto per un'esigenza di “economia” di informazioni• Condizione D di non-dittatorialità: non deve esserci alcun individuo la cui preferenza stretta su ogni coppia di alternative sia sistematicamente rispecchiata nella relazione sociale di preferenza stretta.

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Teorema dell’impossibilità di Arrow:

prima versione: Non esiste alcuna funzione del benessere sociale (FBS) che soddisfi le condizioni T, U, P, I, Dseconda versione: Qualunque funzione del benessere sociale (FBS)  che soddisfi le condizioni  T, U, P, I  pone un agente nelle condizioni di essere un dittatore.

Alef: xPuPvPy

Bet:vPyPxPu

v

y

x

u

x

u

w

y

v

z

xPu & uPv & vPy => xPy

unanimità

NeutralitàuPv => xPy

Bet

Alef

Q1Q2

Q3

Q4

x

Alef è il dittatore

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L’indebolimento degli assiomi di Arrow:poiché il teorema di Arrow è vero, non è possibile scappare da esso se non rigettando o indebolendo alcuni assiomi.

I più discussi: condizione U (eccessiva, poiché non tutte le situazioni sono ugualmente probabili); condizione I (eccessiva, poiché troppo restrittiva); condizione T (si propongono indebolimenti, quasi-transitività, aciclicità).Altra strada: richiedere che la RSC sia una FDS (non una FBS)

• Teorema della possibilità di Sen: Per un insieme di stati sociali finito, esiste una funzione di decisione sociale (FDS) che soddisfa le condizioni U, I, P, D  e la transitività della sola relazione di preferenza sociale stretta P.

Inoltre, un teorema più generale che ritorna all’ideologia di un’oligarchia (caso più generale della dittatura):

Teorema di  Gibbard: Ogni funzione di decisione sociale (FDS) che genera una R quasi transitiva e che  soddisfa le rimanenti condizioni di Arrow, deve essere oligarchica.

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Teorema dell’impossibilità di Sen: gli assiomi di Sen:

•Aciclicità ==> FDSCondizione P di unanimità: se ogni individuo preferisce l'alternativa  x  all'alternativa y, allora la società deve preferire x  ad y•Condizione U di dominio non ristretto: ogni insieme logicamente possibile di ordinamenti individuali è incluso nel dominio della regola di scelta collettiva (RSC)•Condizione L del liberalismo: per ogni individuo i, esiste almeno una coppia di alternative (x, y) in X tale che, se questo individuo preferisce x a y, allora la la società deve preferire x a  y, e se questo individuo preferisce y a x, allora la la società deve preferire y a x

Teorema dell'impossibilità di Sen: non esiste alcuna funzione di decisione sociale (FDS), che possa soddisfare simultaneamente le condizioni  P, U  e L

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Un solo volume: Amante di Lady Chatterly, Alef il puritano, Bet il libertinox: Alef legge il libro y: Bet legge il libroz: nessuno legge il libro

Principio liberale (L) : ogni individuo è libero di leggere ciò che vuole

Dimostrazione:z P x per il principio liberale (L) applicato ad Alef

y P z per il principio liberale (L) applicato a Bet

x P y per la condizione di unanimità (P)

Alef: z P x P yBet: x P y P z

x P y & y P z ==> x P zma il principio liberale è in contraddizione con ilprincipio di Pareto

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UN COROLLARIO: la scelta sociale può essere “coerente” (non ciclica)se un principio morale (ideologia) verrà imposto per tutta la collettività

•se prevale l’integralismo di Alef : z P x per la collettività

z P x & x P y ==> z P y la società pone all’indice il libro impedendo la lettura a Bet

•se prevale l’ideologia lasciva di Bet: y P z per la collettività

x P y & y P z ==> x P z la società costringe Alef a leggere il libro

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Dalle scelte pubbliche agli obiettivi

X v X C(v)

Agenda fissa (v = X) OBIETTIVI FISSI

Agenda variabile OBIETTIVI FLESSIBILI

funzione

corrispondenza

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Esempio: burro Q = 20 Lq , quindi   Lq = 20-2 Q2

esercito E = Le

Lq + Le = 100

possibilità di produzione (curva di trasformazione): E = 100 - 20-2 Q2 = T(Q)

A) Agenda fissa v* = (E,Q) | E T(Q) ==> obiettivo fisso C(v*)

B) Agenda variabile v X = (E,Q) E Em e Q Qm ==> obiettivo flessibile W = F(E, Q)

Q

E

W°

T

C(v*)

P = max W

W

Q

E

F: 2

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I teoremi “fondamentali” del dittatore benevolente

A) L’ottimo sociale del mercato di concorrenza perfetta

W° = a1R + a2 , con a1 , a2 > 0 = Profitto del produttore

R = Rendita del consumatore

W = q f(x) dx - pq + (pq - C(q)) con = a2 /a1 0

max W ===> dW/dq = 0 cioè p = C’ + f ’q (1 - )/

= 1 ==> p = C’ > 1 ==> p > C’ < 1 ==> p < C’ ==> p + f’q = C’ , Rma= C’

NB: il teorema dell’efficienzadella concorrenza perfetta èsostenuto dall’ipotesi deldittatore benevolente

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B) L’ottimo sociale del sistema economia-ambiente

W° = a1B(q) - a2C(q) B= beneficio privato del consumo di q

C = esternalità pubblica del consumo di q

W = B(q) - C(q)

max W ==> dW/dq = 0 ==> B’(q) = C’(q)

= 1 ==> B’(q*) = C’(q*), q* = livello ottimo del consumo sociale > 1 ==> B’ < C’, q < q* < 1 ==> B’ > C’ , q > q*

NB: Il teorema del consumoottimo del sistema economico-ambientaleè sostenuto dall’ipotesi del dittatorebenevolente

A) e B) dimostranoA) e B) dimostranoche l’ideologia èche l’ideologia èdeterminante!determinante!

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Le (più usate) funzioni di preferenza sociale

x = x1 , x2, …, xn W: n

• lineare: W(x) = q0 + i=1n qi xi

• quadratica generale: W(x) = q0 + i=1n qi xi + i=1

n j=1n qij xi xj

• quadratica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1

n qii xi2

• cubica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1

n qii xi2 + 1/3 i=1

n rii xi3

• esponenziale: W(x) = q0 + i=1n e q

ix

i

• logaritmica: W(x) = q0 + i=1n qi log xi

• integrale, ecc.

W(x) = q0 + q’x + x’Qx

eclettiche

q0 0qi, qii, qij ponderazionidella politica

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Le funzioni di perdita: P(x) = (x - x*)’Q (x - x*)x* valori dello state of bliss

Esempio: P = ½(v - v*)2 + ½(u - u*)2 , valori desiderati (u*, v*)

NB: le funzioni di preferenza possono essere obiettivi flessibili di massimo (benessere, profitti) o di minimo (costi sociali); le funzioni di perdita sono sempre obiettivi flessibili di minimo

State ofbliss

u

v

u*

v*

S

u*u**

v*

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obiettivoUomo economicoFunzioni di utilità

Uomo politicoFunzioni di preferenza

?A) perché i politici non sempresono capaci di esplicitarleB) perché non hanno quasi mai convenienza da esplicitarle

Metodi1) metodo diretto ==> intervista “fittizia”,desunta dai programmi2) metodo indiretto ==> “indotta” dalle azioni (funzione di reazione) Problema duale

dell'economiapolitica

della politicaeconomica