parte 3 apostila.doc
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Descrio de um fluido em Movimento:
27
1. Equao Geral do Balano
O campo dos Fenmenos de Transporte ocupa-se basicamente com a predio das variaes de temperatura, concentrao e velocidade dentro de um meio. Para obter estes perfis, empregam-se dois conjuntos de equaes.
a. Equaes de Balanos (ou de conservao)
b. Equaes de Taxas ou Leis de FluxoA equao geral do balano para um determinado sistema :
Taxa de entrada - Fluxo que entra no sistema atravs de suas fronteiras.
Taxa de sada - Fluxo que sai do sistema atravs de suas fronteiras.
Taxa de transformao - Toda produo ou consumo no interior do sistema.
Taxa de variao - Taxa de variao da quantidade total de massa, energia ou quantidade de movimento do sistema.
1.1Equao Geral do Balano na Forma Integral:
(Balano Geral, Balano Macroscpico)Considerando-se no sistema um volume de controle fixo no espao (sistema aberto, mtodo Euleriano) e que
( = Fluxo de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/rea.Tempo]
( = Concentrao de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Volume]
(t = Gerao de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Tempo.Volume]
Ento, para a figura a seguir,
A taxa de transferncia de quantidade de movimento, energia ou massa atravs de dA dada por:
o vetor normal que aponta para fora da superfcie de controle
a componente de perpendicular a dA
EMBED Equation.3Integrando-se sobre a rea, obtm-se o fluxo lquido de quantidade de movimento, energia ou massa que atravessa a superfcie de controle.
O elemento de volume dV contm unidades de quantidade de movimento, calor ou matria. Portanto, o volume de controle contm unidades de quantidade de movimento. A taxa de variao de uma dessas quantidades no volume de controle, ser portanto:
para um volume de controle fixo no espao, pode-se escrever tambm que
Desta forma,
Para o elemento de volume dV a taxa de transformao . Conseqentemente para o volume de controle esta taxa ser:
Substituindo as equaes (2), (5) e (6) em (1) obtm-se a equao geral do balano na forma integral, a volume de controle fixo.
1.2 Equao Geral do Balano na Forma Diferencial:
(Balano Microscpico)Pelo teorema da divergncia de Gauss, sabe-se que
Substituindo a equao (8) na (7) tem-se:
Como o volume de controle arbitrrio e as funes so contnuas, pode-se escrever:
A equao obtida a equao geral do balano na forma diferencial.
2. Equaes de Fluxo
As equaes que descrevem os fluxos moleculares e convectivos so respectivamente:
Obs.:
Se considerarmos que
onde o fluxo total da propriedade ( e o fluxo devido a outros mecanismos alm de difusivo e convectivo (ex.: radiao), pode-se escrever que:
3. Combinao entre as Equaes de Balano e as de Fluxo
3.1 Forma Integral:Substituindo-se a equao para o fluxo total (14) na equao geral EGBI (7) obtm-se:
onde mantido na notao original para facilitar a anlise integral.
3.2 Forma Diferencial
Substituindo-se a equao para o fluxo total (14) na EGBD (10) obtm-se:
desenvolvendo,
Como
e para ( constante
ento, pode-se escrever a equao (17) na seguinte forma:
As equaes (15) e (20) so bsicas no estudo dos fenmenos de transporte conforme veremos a seguir.
Obs.: O produto escalar de
4. Balano Integral (Global, Macroscpico) de Massa:
Aplicaremos agora a equao (15) para conservao global de massa. Neste caso ( = ( = [massa total/volume] e portanto,
O primeiro termo desta equao representa a taxa de variao temporal da massa total contida no volume de controle e ser representado por . O segundo termo desta equao representa a taxa lquida de massa que atravessa a superfcie de controle por conveco. Para sistemas de um nico componente ou com contradifuso mssica (fluxo mssico da espcie A = - fluxo mssico da espcia B) no h fluxo lquido de massa devido ao transporte molecular () e portanto o terceiro termo nulo.
Se no existirem outros mecanismos no balano de massa integral, e o quarto termo nulo, o quinto termo nulo independentemente da presena de qualquer reao qumica. O termo (t diferente de zero apenas na presena de raees nucleares que convertem massa em energia.
Se tanto e forem nulos, ento a equao (21) assume a seguinte forma:
Para escoamento incompressvel (( ( constante), tem-se
Exemplo 1: Considerando escoamento em regime permanente atravs do seguinte reservatrio, realize um balano global de massa no volume de controle indicado pelas linhas tracejadas. O restante da superfcie de controle chamamos de A3.
Em regime permanente o BGM dado pela equao (23).
para fluidos incompressveis, resulta que
Exemplo 2: Considere o caso do escoamento incompressvel no qual a rea do escoamento circular e o perfil de velocidade parablico, variando de acordo com a expresso:
vmx ( velocidade no centro do tubo
r ( raio qualquer
R ( raio do tubo
Atravs de um BGM determine a velocidade mdia do fluido escoando no tubo.
5. Balano Global de Quantidade de MovimentoO balano global de quantidade de movimento BGQM obtido pela substituio da concentrao ( da equao (15) por . Observe que neste caso ( e que um tensor de 2a ordem.
Analisa-se a seguir cada termo da equao (15).
Sistema para BGQM
( fluxo ; ( ( concentrao ()
O primeiro termo desta equao representa a taxa de variao temporal da quantidade de movimento no interior do volume de controle que ser representado por P. Observe que P tem as unidades de [QM/tempo] que so equivalentes a unidades de fora.
O segundo termo da equao (25) separado em duas integrais. Uma sobre A1 e outra sobre A2 (a integrao sobre A3 resultar em fluxo nulo). Portanto,
O terceiro termo da equao (25) surge devido as entradas e sadas de quantidade de movimento do sistema por transporte molecular. Existem trs contribuies para este termo: a primeira devida ao atrito entre as paredes estacionrias e o fluido em movimento(conhecida como atrito viscoso); a parcela mais significativa do fluxo molecular lquido que ser representada por .
Nesta anlise a fora que o fluido exerce sobre a superfcie slida. A segunda contribuio ao fluxo molecular devida a presso na entrada e sada do sistema. Ela expressa na seguinte forma.
A presso tambm contribui com um tipo de atrito (conhecido como arraste de forma) nas superfcies internas do sistema, este atrito ser includo em .
A terceira contribuio no transporte molecular est associada as foras viscosas na entrada e sada do volume de controle. Esta contribuio normalmente desprezvel, ento o terceiro termo da equao (25) torna-se:
Nesta equao a tenso cisalhante (tensor de segunda ordem). O produto escalar de resulta em um vetor como os demais termos da equao.
O quarto termo da equao (25) nulo porque no existem outras formas de transporte de quantidade de movimento para o sistema em questo.
O quinto termo, a transformao de quantidade de movimento, causada pela ao de foras externas sobre o fluido como por exemplo a fora da gravidade (neste caso, o campo gravitacional age como gerador de quantidade de movimento). Estes efeitos sero designados por . Se apenas foras gravitacionais so consideradas, .
Substituindo os resultados anteriores no Balano Global de Movimento a equao (25), obtm-se finalmente:
Realizando as integraes como no balano de massa, tem-se:
Obs.:
e
Observando-se o volume de controle as seguintes relaes so vlidas para a direo x.
n1x = cos (180( - (1) = -cos (1
n2x = cos (2
v1x = v1cos (1
v2x = v2cos (2
Portanto, para a direo x o BGQM assume a seguinte forma:
O balano global de quantidade de movimento na direo y obtido diretamente da equao anterior substituindo os cosenos pelos senos dos ngulos em questo.
6. Balano Global de Energia(Integral, Macroscpico)
Considere o seguinte sistema:
A energia total desse sistema consiste de 3 contribuies:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3Onde cada termo est dado em energia por unidade de massa. Desta forma, ((.E) energia/volume ou uma concentrao de energia. O balano global de energia obtido fazendo-se ( = ( E , na equao (15):
O primeiro termo desta equao a taxa de variao de energia E, dado em unidades de Joules/s no volume de controle.
O segundo termo
(no h fluxo convectivo atravs de outras reas)
O terceiro termo (entrada sada por transporte molecular) est associado ao fluxo lquido de energia ( q/A = [J/m2s]; ) que entra no sistema atravs da superfcie de controle. Quando integrado, este termo equivalente a taxa de variao de energia devido ao fluxo de calor e ser representado por Q [J/s].
O quarto termo representa o transporte de energia por outros meios atravs da superfcie de controle, ou seja, o trabalho que ser positivo se realizado pelo sistema.
O sistema recebe calor e realiza trabalho. Pela 1a lei da Termodinmica, a energia do universo constante. Portanto,
Existem trs tipos de trabalho que devem ser considerados: o primeiro o trabalho de eixo WS (ex.: bomba centrfuga atando sobre o volume de controle). O segundo tipo o trabalho de escoamento, W( que o trabalho feito sobre as vizinhanas para superar os esforos normais na superfcie de controle onde h escoamento. O terceiro tipo de trabalho um trabalho realizado para superar os esforos cisalhantes na superfcie de controle, designado como W(. Portanto, a taxa lquida de trabalho, W dada por:
Os esforos normais so causados por efeitos devido a presso e esforos viscosos:
Tanto o trabalho viscoso devido a tenses normais como o devido tenses cisalhantes representam uma perda de energia mecnica do sistema para superar os efeitos do atrito viscoso e sero agrupados em um nico termo, W(. Desta forma, W composto por:
que para o sistema em anlise, assume a seguinte forma:
O quinto termo, a transformao de energia, pode ser desprezado a menos que contribuies eltricas ou nucleares existam. A energia associada a reaes qumicas includa como uma variao da energia interna u que uma parte da energia total.
Da substituio dos resultados anteriores na equao (33) obtm-se:
A equao (32) utilizada para eliminar E na equao (34). Aps realizarmos as integraes, o resultado :
Em termos de vazo mssica , a equao anterior torna-se:
para o estado estacionrio e ; tambm da termodinmica sabe-se que:
Desta forma a equao (36) reescrita como:
A equao acima o balano global de energia para o sistema no estado estacionrio. O termo equao (37) pode ser substitudo por , onde ( o termo de correo da energia cintica, definido como:
ento, a equao (37) assume a seguinte forma:
Usualmente assume-se que ( = 1. No entanto isto nem sempre verdade. A figura abaixo mostra o grfico de ( X Re para o escoamento em um tubo. Observe que para escoamento laminar ( = . Enquanto que para escoamento turbulento ( = 0,88 em baixos Reynolds e aproxima-se de 0,96 a medida que o perfil de velocidade se achata em altos Reynolds.
Exemplo 1: Calcule o coeficiente de correo da energia cintica (, para o escoamento de gua entre duas placas paralelas quando a placa superior se move a velocidade de 1 m/s e a placa inferior estacionria. Admita regime permanente.
Soluo: para este escoamento o perfil de velocidade dado por v/v0 = y/y0 onde v0 ( velocidade da placa superior.
EMBED Equation.3Tambm,
EMBED Equation.3
Portanto, da equao (38) tem-se que
Exemplo 2: Um eixo est girando com uma velocidade angular constante ( no mancal apresentado na figura a seguir. O dimetro do eixo d e a tenso cisalhante (. Obtenha a taxa na qual a energia deva ser removida do mancal para o leo lubrificante entre o eixo e a superfcie estacionria no mancal permanea a temperatura constante.
Soluo: o volume de controle escolhido consiste de uma unidade de comprimento de fluido envolvendo o eixo como mostra a figura acima. O BGE para o volume de controle :
A partir da figura observa-se o seguinte:
1) o fluido no atravessa a superfcie de controle.
2) Nenhum trabalho de eixo atravessa a superfcie de controle
3) O escoamento estacionrio.
Ento,
(Todo o trabalho viscoso usado para superar as tenses cisalhantes)
Onde er e e( so os vetores unitrios nas direes r e ( respectivamente. O sinal resultante consistente com o conceito de trabalho positivo quando realizado pelo sistema sobre as vizinhanas. Como v( = (d/2, ento:
Que a taxa de transferncia de calor necessria para manter o leo a temperatura constante. Se o calor no removido do sistema ento Q = 0 e portanto:
Como somente a energia interna do leo aumenta com o tempo, ento
e portanto,
ou com o calor especfico a volume constante,
Integrando obtm-se a variao da temperatura com o tempo. Observe que:
1) o termo de trabalho viscoso envolve grandezas apenas na superfcie de controle.
2) Quando a velocidade na superfcie de controle zero o termo de trabalho viscoso nulo (W( = 0)
Exemplo 3: Na expanso brusca apresentada na prxima figura a presso que atua na seo1 considerada uniforme com o valor p1. Obtenha a variao da energia interna entre as sees 1 e 2 para um escoamento estacionrio e incompressvel. Despreze as perdas por atrito nas paredes e expresse U2 e U1 em termo de v1, A1 e v2. O volume de controle est indicado pela linha tracejada.
(Escoamento atravs de uma expanso brusca)
Soluo:
a)BGM:
Se a seo 2 escolhida numa distncia relativamente afastada a jusante, ento o balano global de massa para o escoamento estacionrio e fluido incompressvel assume a seguinte forma:
Como ( constante ento,
b) BGQM:
Admitindo-se ( = 1, resulta:
Para a direo x:
Tambm,
Desta forma:
ou
c) BGE:
A partir da equao (36), tem-se:
Admitindo-se ( = 1, essa equao assume a seguinte forma para regime permanente e escoamento incompressvel:
Os resultados dos 3 balanos (equaes (i), (ii) e (iii)), podem ser combinados para determinar-se (U; substituindo-se a equao (ii) para (p/( e a equao (i) para v2 e observando que z1 = z2, obtm-se:
A equao (39-a) fornece a variao da energia interna em uma expanso brusca. A variao de temperatura que corresponde a essa variao de energia interna insignificante, mas da equao (iii) pode-se observar que a variao na carga total igual a variao de energia interna. Portanto a variao da energia interna em um escoamento incompressvel designada como uma perda de carga hL e a equao da energia em escoamento estacionrio, adiabtico e incompressvel em um tubo escrita como:
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