Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Paradoxonok

Diplomamunka

Kövesdi Péter

Matematika tanári szakirány

Matematika BSc

Témavezet®:

Hermann Péter

Algebra és Számelmélet Tanszék

Budapest, 2016

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

2. Kiválasztási axióma 4

3. Csoportelméleti alapok 4

3.1. Csoport fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Csoporthatás, paradox csoporthatás . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3. Szabad csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Haussdor�-paradoxon 10

4.1. Paradoxitás és szabad csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2. Független forgatások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3. Haussdor�-paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Banach-Tarski paradoxon 18

5.1. Átdarabolhatóság geometriai értelemben . . . . . . . . . . . . 18

5.2. Halmazok átdarabolhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3. Banach - Tarski paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. További érdekesség 23

6.1. Laczkovich M. - Kör négyszögesítése . . . . . . . . . . . . . . 23

1. Bevezetés

Szakdolgozatom középpontjában az �aranycsináló�-paradoxonként elhí-

resült Banach � Tarski paradoxon áll. Ez szemléletesen megfogalmazva azt

mondja ki, hogy ha egy tömör gömböt a megfelel® módszerrel feldarabolunk,

akkor az így kapott részeket össze tudjuk úgy rendezni, hogy végeredmény-

ként két, az eredetivel azonos gömböt kapunk. Azaz a paradoxon szerint

képesek vagyunk megkett®zni a tömör gömböt.

A témát csoportelméleti összefüggésben tárgyalva ez nem jelent mást,

mint hogy egy halmazt, ami a gömb pontjait tartalmazza, egy módszer se-

gítségével megkett®zzük, pontosabban látható lesz, hogy ekkor kétféle mó-

don állítjuk el®. Azonban ezek belátásához szükség van a csoportelmélet ide

vonatkozó összefüggéseinek ismeretére, melyeket a dolgozat elején összegy¶j-

töttünk.

Az állítás paradox mivolta nem kérdéses, teljesen ellentmond a minden-

napi életben tapasztaltaknak. Azonban nagyon érdekes, hogy a matematika

megenged ilyen állításokat.

Annak szemléltetésére, hogy a tárgyalt paradoxon nem az egyetlen ilyen

�valótlanságot� igazoló állítás, az utolsó fejezetben megemlítésre kerül egy

hasonlóan érdekes matematikai tartalommal bíró eredmény.

3

2. Kiválasztási axióma

Mindenek el®tt ismertetjük a halmazelmélet legvitatottabb axiómáját, a

kiválasztási axiómát, ugyanis ezen alapszanak a dolgozatban tárgyalt para-

doxonok. El®ször Ernst Zermelo mondta ki axiómaként a jólrendezési tétel

bizonyításában, amit újra kellett fogalmaznia, mivel nagy vitát váltott ki a

matematikusok körében. Amellett hogy sok pozitív, a tudományt el®re viv®

következménye volt, akadtak szép számmal olyanok is, amelyek a valóságnak

ellentmondó állításokat eredményeztek. Erre jó példa a Banach-Tarski pa-

radoxon. 1963-ban Paul Cohen igazolta, hogy független a többi axiómától,

azokból nem lehet levezetni. Ezáltal a kiválasztási axiómát elfogadottnak

tekinthetjük.

2.1. Kiválasztási axióma (Axiom of Choice - AC). Ha {Ai : i ∈ I} nem-

üres halmazok rendszere, akkor ∃f függvény, amelyre D(f) = I és f(i) ∈Ai ∀i ∈ I-re. Az f függvény neve kiválasztási függvény, minden Ai-b®l kivá-

laszt egy elemet.

2.1. Megjegyzés. Az axióma egy ekvivalens megfogalmazása:

Páronként diszjunkt halmazok bármely rendszeréhez létezik olyan halmaz,

amelynek az összes nem üres halmazzal pontosan egy közös eleme van.

A dolgozatban a 4.1.1. Tétel bizonyításánál, és annak következmé-

nyeinél fogjuk felhasználni, amelyek a Haussdor� illetve a Banach-Tarski

paradoxon igazolásához egyaránt szükségesek lesznek.

3. Csoportelméleti alapok

Ez a fejezet a probléma megértéséhez szükséges ismereteket tartalmazza,

illetve foglalja össze, elindulva a csoportok de�níciójától, egészen a szabad

csoportok de�níciójáig.

4

3.1. Csoport fogalma

Ebben a részben a témához szorosan kapcsolódó alapde�níciók csak fel-

sorolás szintjén kerülnek megemlítésre. Ezek az el®adásokon tanultak szerint

a következ®k:

3.1.1. De�níció (Csoport). Legyen a G :6= ∅ halmaz, rajta egy m¶velet (·):∀a, b ∈ G-re értelmezett a · b ∈ G úgy, hogy:

1. Asszociativitás: ∀a, b, c ∈ G : (a · b) · c = a · (b · c)

2. Egységelem: ∃e ∈ G : ∀x ∈ G e · x = x · e = x

3. Inverz: ∀c ∈ G ∃c−1 ∈ G c · c−1 = c−1 · c = e

A 3.1.1. De�nícióban nem tettük fel, hogy a m¶velet kommutatív.

Ezt a tulajdonságot az alábbi de�níció tartalmazza:

3.1.2. De�níció (Abel-csoport). Azokat a csoportokat, amelyekben a m¶-

velet kommutatív, azaz ∀a, b ∈ G esetén a∗ b = b∗a teljesül, Abel-csoportnak

hívjuk.

Ezen de�níciók ismeretében kezdhet® meg a bonyolultabb csoportelméleti

összefüggések tárgyalása.

3.2. Csoporthatás, paradox csoporthatás

A halmazok paradox felbontásának létrehozásához szükséges a csoport-

hatás fogalmának bevezetése.

3.2.1. De�níció (Csoporthatás). Legyen adott egy G csoport és egy H hal-

maz. Ekkor G hat H-n, ha: ∀g ∈ G és h ∈ H esetén hg ∈ H értelmezett úgy,

hogy:

1. ∀a, b ∈ G és ∀h ∈ H-ra hab = (ha)b

2. ∀h ∈ H-ra he = h, ahol e a G egységeleme

5

A kés®bbiekben szükségünk lesz a csoporthatás pályájának és stabilizá-

torának fogalmára, így ezeket is de�niáljuk.

3.2.2. De�níció (Pálya és stabilizátor). Legyen G a H halmazon ható cso-

port, továbbá g ∈ G és h ∈ H. Ekkor:

1. A h pont orbitja (pályája) G-nél OrbG(h) = {hg|g ∈ G} , vagyis azoka pontok, ahová h-t G elemei el tudják vinni.

2. A h stabilizátora G-ben Gh = {g ∈ G|hg = h}, vagyis azok a csoport-

elemek, amik �xen hagyják h-t.

3.2.1. Megjegyzés. G hatása H-n tranzitív, ha csak egy pálya van. Ez azt

jelenti, hogy ∀h1, h2 ∈ H ∃g ∈ G, amire hg1 = h2.

3.2.2. Megjegyzés. Speciális eset: amikor G ≤ SH .

Itt SH tetsz®leges H halmaz önmagára ható bijektív leképezései, transzformá-

ciói.

SH csoportot alkot a kompozíció m¶veletére nézve, ezt a H-n ható szimmetri-

kus csoportnak nevezzük, aminek G részcsoportja, úgynevezett transzformá-

ciócsoport (G elemei is transzformációk).

Maga a hatás már tisztázott, ami még maradt, az a paradoxitás kérdése.

3.2.3. De�níció (Paradox csoporthatás). Legyen G csoport, ami hat az L

halmazon, és legyen H ⊆ L. Ekkor a H halmaz G-paradox, ha ∃n,m ∈ Z+ és

∃X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym ⊆ H amelyek páronként diszjunktak és ∃a1, . . . , an,b1, . . . , bm ∈ G:

H =n⊔

i=1

Xaii es H =

m⊔j=1

Ybjj .

6

3.3. Szabad csoportok

A következ®kben de�niáljuk a szabad csoportokat, egészen pontosan a

kétgenerátoros szabad csoportokat. Ezek segítségével hozunk létre paradox

csoporthatást.

3.3.1. De�níció. Legyen G csoport és g ∈ G. Ekkor a g elem egész ki-

tev®j¶ hatványaiból álló részcsoportot a g elem által generált részcsoportnak

nevezzük, jele: 〈g〉.

3.3.2. De�níció. Tetsz®leges G csoport esetén az X ⊆ G által generált

részcsoport a legsz¶kebb X-et tartalmazó részcsoportja G-nek, jele: 〈X〉. Az

X halmazt G generátorrendszerének nevezzük (X generálja G-t), ha 〈X〉 = G.

A fenti de�nícióban szerepl® legsz¶kebb elem alatt egy halmazrendszer

azon elemét értjük (egy halmazt), ami a halmazrendszer minden elemének

részhalmaza.

3.3.1. Tétel. Legyen G csoport és X ⊆ G. Ekkor 〈X〉 a G azon elemeib®l

áll, melyek fölírhatók az X elemeib®l és azok inverzéb®l képzett akárhány

tényez®s szorzatként.

Szabad csoport konstrukciója:

Vegyünk el®ször egy nemüres X halmazt. Ezt követ®en ∀x ∈ X-hez ren-

deljünk hozzá egy x−1-gyel jelölt elemet amelyekre teljesül, hogy x 6= x−1

és x−1 /∈ X. Ha ezeket az elemeket hozzávesszük a kezdetben meglév® x

elemekhez, akkor megkett®ztük az X halmazt.

Az x és x−1 elemeket nevezzük �bet¶knek� és képezzünk ezekb®l a bet¶kb®l

véges sorozatokat. A kapott véges karaktersorozatokat, melyeknek minden

eleme x vagy x−1 nevezzük el �szavaknak�.

Ha például X = {x, y}, akkor egy lehetséges szó:

xxyxxxxy−1y−1y−1y−1x−1x−1yyyxy−1x−1x−1x−1

A következ®kben az xxx . . . x︸ ︷︷ ︸n

:= xn jelölést fogjuk alkalmazni, így a fenti szó

rövidebb alakban az alábbi formában írható fel:

7

x2yx4y−4x−2y3xy−1x−3

Az így értelmezett szavakat tartalmazó halmazt jelöljük S-sel. A követ-

kez® lépésben az S halmaz segítségével szeretnénk csoportot alkotni. Ehhez

teljesítenie kell a csoportaxiómákat, azaz kell egy asszociatív m¶velet, egy

egységelem, továbbá az inverzképzésre való zártság.

Lássuk el a halmazt a következ® m¶velettel: képezzük a halmazban szerepl®

s, t ∈ S szavakból az st kifejezést, ami jelentse a szavak ebben a sorrendben

történ® egymás után írását.

Tekintsük egységelemnek az úgynevezett �üres szót�, azt az elemet, aminek

egyetlen bet¶je sincs. A továbbiakban jelöljük 1-gyel.

Ahhoz, hogy csoportot hozhassunk létre, a csoportelemek inverzeinek meg-

határozása is szükséges. El®ször is azt szeretnénk, hogy x és x−1 egymás

inverzei legyenek, azaz xx−1 = 1 teljesüljön. Azonban ehhez az egyenl®ség

szerint az xx−1-et és az x−1x-et az üres szóval kell azonosítanunk. Ennek kö-

szönhet®en a szavak rövidebb alakra egyszer¶södhetnek. Tekintsük például

az xyy−1x−1x és y−1yx szavakat:

xyy−1 x−1x︸ ︷︷ ︸1

= x yy−1︸ ︷︷ ︸1

= x

y−1y︸ ︷︷ ︸1

x = x

Az inverzek de�niálása miatt ezek egyenl®k, mindkett® az x szóvá egyszer¶-

södik. Ily módon egy ekvivalenciarelációt értelmeztünk a szavak halmazán,

amely szerint minden szóhoz létezik egy legrövidebb szó, amivel a szó maga

ekvivalens. Az így leegyszer¶södött szavakat redukált szavaknak nevezzük.

3.3.1. Állítás. Egy adott szót akárhogy egyszer¶sítünk, mindig ugyanazt a

redukált szót kapjuk.

3.3.1. Következmény. A 3.3.1. Állítás miatt ezek a redukált szavak egyér-

telm¶en meghatározottak.

8

Ennek alapján nem vehetjük egyszer¶en S halmaz elemeit, hanem az

egyes szavakból képzett redukált szavak adják a kívánt csoportelemeket. En-

nek a módosításnak az egységelemre nincs kihatása, azonban a m¶veletet

újra meg kell határoznunk, mivel a csoportelemek szerkezete megváltozott,

pontosabban mostanra alakult ki. Így a fenti m¶velet már nem teljesíti az

elvárásokat. Vegyük például az s = x3y−2x−4y6 és t = y−4x2yx−5 redukált

szavakat. Ekkor az st = x3y−2x−4y6y−4x2yx−5. Jól látható, hogy az egy-

szer¶ egymás után írással nem redukált szót, azaz nem csoportbeli elemet

kaptunk. Viszont ha a m¶veletet még kiegészítjük azzal, hogy az egymás

után írást követ®en redukáljuk is a kapott szót, akkor már csoportbeli ele-

met fogunk kapni.

Az ily módon el®állított redukált szavakból álló halmaz, ellátva a kib®vített

m¶velettel és az egységelemmel már csoportot, úgynevezett szabad csoportot

alkot.

3.3.1. Megjegyzés. A fenti 3.3.1. Tétel ismeretében látható, hogy a példá-

ban szerepl® X halmaz generálja a kapott szabad csoportot. Vagyis a megal-

kotott szabad csoport nem más, mint 〈X〉.

Belátható a következ® állítás:

3.3.2. Állítás. G kétgenerátoros szabad csoport, ha minden eleme pontosan

egyféleképpen áll el® az X ⊆ G halmaz elemeib®l és azok inverzéb®l (az egység-

gel való b®vítéseket leszámítva). Azaz ∀g ∈ G-hez ∃! a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ Zkitev®k, hogy x, y = X esetén: g = xa1yb1xa2yb2 ...xanybn, ahol ∀ai, bj 6= 0

(kivéve a1, bn).

Az itt szerepl® x, y elemeket szabad generátoroknak nevezzük.

3.3.2. Megjegyzés. A továbbiakban csak azokkal az esetekkel fogunk fog-

lalkozni, ahol az X halmaz két elemb®l áll, azaz ahol két elem generálja a

csoportot. Ezt a csoportot F2-vel jelöljük.

9

4. Haussdor�-paradoxon

Ebben a fejezetben felhasználva az eddig megismert csoportelméleti fogal-

makat, további tételek és következtetések segítségével juthatunk el a Haussdor�-

paradoxonig. Ehhez a térbeli forgatások mátrixokkal való leírását is részle-

tezzük, mivel a paradoxon a térbeli, origón áthaladó egyenesek körüli forga-

tások (SO3) csoportjával kapcsolatos.

4.1. Paradoxitás és szabad csoportok

A következ® állítás tárgyalása el®tt vizsgáljuk meg a csoporthatás egy

speciális esetét. Válasszuk a 3.2.1. De�nícióban szerepl® H halmazt ma-

gának a G csoportnak. Azaz ekkor G csoport hasson önmagán úgy, hogy a

G-beli (c) tárgyelemet jobbról megszorozzuk egy G-beli (a) elemmel. Vagyis

∀c ∈ G elemnek az a ∈ G elemnél vett képére ca := c · a teljesül.

4.1.1. Megjegyzés. Az így de�niált hatást természetes hatásnak nevez-

zük.

Ennek a hatásnak a segítségével megmutatjuk, hogy az F2 csoport F2-

paradox.

4.1.1. Állítás. Az F2 szabad csoport önmagán való természetes hatása pa-

radox.

Bizonyítás. Jelöljék az F2 szabad csoport két generátorát x és y. Ekkor

az F2 minden eleme egyértelm¶en el®áll x és y elemekb®l és inverzeikb®l,

azaz az x, x−1, y, y−1 bet¶k redukált szorzataként. Ha az s ezen négy bet¶

valamelyike, akkor jelentse aW (s) halmaz az F2 csoport azon elemeit, azokat

a redukált szorzatokat, amelyek s-sel végz®dnek. Például:

y−1xyyx−1y ∈W (y) vagy x−1yxxy−1y−1x−1 ∈W (x−1).

Ekkor az F2 csoport el®áll a következ® alakban:

F2 = 1 ∪W (x) ∪W (x−1) ∪W (y) ∪W (y−1),

10

ahol 1 az üres szó, a további halmazok pedig az adott bet¶re végz®d® redukált

szavakat tartalmazzák. Ezek egymástól páronként diszjunkt részhalmazok,

hiszen a négy különböz® végz®dés szerint válogattuk szét a szavakat. Továb-

bá megmutatható, hogy

F2 = W (x) ∪W (x−1)x es F2 = W (y) ∪W (y−1)y. (1)

Ennek igazolásához elég belátni a két felbontás közül az egyiket, a másik

elem szerinti felosztást ennek mintájára el lehet végezni. A bizonyításhoz te-

kintsük az F2 = W (y) ∪W (y−1)y el®állítást. Vagyis ha megmutatjuk, hogy

a W (y−1)y halmaz tartalmazza az összes nem y-ra végz®d® redukált szót,

akkor beláttuk az egyenl®séget.

Ehhez el®ször vegyük a h ∈ F2 \W (y) elemeket. Ezekre biztosan igaz, hogy

nem y-ra végz®dnek, hanem a y−1, x, x−1 bet¶k valamelyikére. Szorozzuk

meg ezeket a h szavakat az F2 csoport y−1 elemével jobbról. A kapott szava-

kat nem tudjuk egyszer¶síteni, mivel az így létrejött három lehetséges végz®-

dés: ......y−1︸ ︷︷ ︸h

y−1 vagy ......x︸ ︷︷ ︸h

y−1 vagy ......x−1︸ ︷︷ ︸h

y−1. Emiatt hy−1 ∈ W (y−1).

Ha ezekre az y ∈ F2 elem hat jobbról, akkor h = (hy−1)y ∈W (y−1)y teljesül,

vagyis a nem y-ra végz®d® h szavak benne vannak a W (y−1)y részhalmaz-

ban.

Tudjuk tehát, hogy W (y) és W (y−1)y halmazok együttesen tartalmazzák

az összes lehetséges redukált szót, továbbá a két halmaz diszjunkt, ennek

alapján: F2 = W (y) ∪ W (y−1)y teljesül. Hasonlóan belátható az F2 =

W (x) ∪W (x−1)x egyenl®ség is.

A paradoxitás könnyen ellen®rizhet® felidézve a 3.2.3. De�níciót és kéttagú

unióra felírva:

H = Xa11 ∪X

a22 = Y b1

1 ∪ Yb22

Ha vesszük a H = F2, valamint a1 = 1, X1 = W (x), a2 = x,X2 = W (x−1)

és b1 = 1, Y1 = W (y), b2 = y, Y2 = W (y−1) helyettesítéseket, akkor éppen

(1)-et kapjuk. Ez pedig azt jelenti, hogy az F2 halmaz F2-paradox. �

11

4.1.2. Megjegyzés. Ha egy G csoport önmagán való természetes hatása

paradox, akkor röviden azt mondjuk, hogy a G csoport paradox.

A következ® jelent®s lépés az, amikor egy G csoport �xpont nélkül hat

egy H halmazon (∀h ∈ H-ra hg = h ⇐⇒ g = e ∈ G), azaz ∀h ∈ H esetén

Gh = {e}.

4.1.1. Tétel. Ha a G paradox csoport hat a H halmazon, továbbá ∀h ∈ HGh = {e}, akkor a H halmaz G-paradox.

Bizonyítás. Mivel G paradox, így önmagán hatva el®áll a következ® alakban:

G = ∪Xaii = ∪Y bj

j , ahol ai, bj ∈ G és Xi, Yj ⊆ G ∀i = 1...n és ∀j = 1...m-re.

Használjuk fel a 3.2.2. De�níciót, ami alapján egy h ∈ H pont pályája

OrbG(h) = {hg | g ∈ G}. Mint jól tudjuk ezek a pályák páronként diszjunk-

tak vagy megegyeznek.

Vegyük az összes h ∈ H elemhez tartozó OrbG(h) halmazokból álló páron-

ként diszjunkt halmazrendszert. A kiválasztási axióma miatt ∃M halmaz,

aminek az összes orbittal pontosan egy közös eleme van. Hasson erre az

M halmazra G minden eleme jobbról. Az így kapott halmazok uniójára⋃Mgi = H teljesül.

Mivel ∀h ∈ H Gh = {e}, azaz G �xpont nélkül hat H-n, ezért ∀a, b ∈ G-reazt kapjuk, hogyMa∩M b = ∅. Ugyanis tegyük fel indirekt, hogy ∃m1,m2 ∈M , amikre ma

1 = mb2. Hasson ezekre jobbról b−1, ekkor mab−1

1 = m2, az-

az ugyanabban az orbitban vannak. Tehát igaz az, hogy m2 = mc1, ahol

c ∈ G. Ezt behelyettesítve a feltételbe, miszerint ma1 = mb

2, a következ®

adódik ma1 = (mc

1)b = mcb

1 , ekkor ha a−1 hat jobbról, akkor m1 = mbca−1

1

azaz lenne olyan e 6= g = bca−1 ∈ G, ami m1-et helyben hagyná, ez pedig

ellentmond azzal, hogy G �xpont nélkül hat.

Ha ezt beláttuk, akkor vegyük X∗i =⋃{Mg|g ∈ Xi} és Y ∗j =

⋃{Mg|g ∈

Yj}. Ekkor mivel H paradox felbontásában ∀i, j : Xi ∩ Yj = ∅, emiatt

X∗i ∩ Y ∗j = ∅. Továbbá X∗i ∪ Y ∗j =⋃{Mg|g ∈ G} = H .

12

Mivel G = ∪Xaii = ∪Y bj

j és G hat a H = X∗i ∪ Y ∗j halmazon, ezért H

el®áll:

H =⋃

(X∗i )ai és H =⋃

(Y ∗j )bj

alakban, ami azt jelenti, hogy a H halmaz G-paradox. �

4.1.1. Következmény. Ha az F2 kétgenerátoros szabad csoport �xpont nél-

kül hat a H halmazon, akkor a H halmaz F2-paradox.

4.1.2. Következmény. Legyen G csoport és R ⊆ G részcsoport. Ekkor ha

R paradox, akkor G is paradox.

Bizonyítás. Vegyünk egy G csoportot, továbbá legyen R ⊆ G olyan csoport,

melynek önmagán való természetes hatása paradox. Hasson R a G halmazon

a következ®képpen: ∀g ∈ G-re és ∀r ∈ R-re gr := g · r. Tegyük fel, hogy

∃r ∈ R ami egy g ∈ G elemre úgy hat, hogy gr = g. Ekkor ha mindkét oldalt

megszorozzuk balról g−1 elemmel, akkor g−1gr = g−1g adódik. Azaz r = e,

ami azt jelenti, hogy R �xpontmentesen hat G-n. Ekkor alkalmazhatjuk a

4.1.1. Tételt a következ® helyettesítéssel: a tételben szerepl® X halmaznak

válasszuk magát a G csoportot, és hasson ezen az R paradox csoport �xpont

nélkül. Ebb®l megkapjuk, hogy a G csoport R-paradox.

A paradox csoporthatás de�níciójából (3.2.3. De�níció) következik, hogy

G paradox módon el®áll, mivel léteznek olyan G-beli elemek, amelyekkel a

paradox felbontás létrehozható. Ezek éppen a fenti R ⊆ G elemei, amikr®l

tudjuk, hogy �xpont nélkül hatnak G-n, vagyis azt kaptuk hogy a G csoport

G-paradox is. �

4.1.3. Következmény. Legyen G csoport és F2 ⊆ G. Ekkor G paradox.

13

4.2. Független forgatások

4.2.1. Tétel. SO3-ban ∃X,Y forgatások, amelyek egy kétgenerátoros szabad

csoportnak a szabad generátorrendszerét alkotják.

Bizonyítás. Vegyük az x és y tengely körüli arccos 13 szöggel történ® forga-

tásokat. Jelölje ezeket X és Y . Lineáris algebrában tanultak alapján X-nek

és Y -nak megfeleltethet® egy-egy 3x3-as mátrix, amik a következ® alakúak:

X±1 =

1 0 0

0 13 ∓2

√2

3

0 ±2√2

313

és Y ±1 =

13 0 ∓2

√2

3

0 1 0

±2√2

3 0 13

ahol X−1 és Y −1 a megfelel® tengely körüli negatív szög¶ forgatások.

Azt kell bizonyítanunk, hogy X,Y szabad generátorai az általuk generált

részcsoportnak SO3-ban. Ez ekvivalens azzal, hogy nincs olyan x±1, y±1

bet¶kb®l képzett w redukált szó, amikbe értelemszer¶en X,Y -t he-

lyettesítve (triviális esett®l eltekintve) az egységmátrixot kapnánk.

Ennek igazolásához:

• Tegyük fel indirekt, hogy létezik ilyen w szó. Jelölje a behelyettesítéssel

kapott transzformációt W .

• Feltehet®, hogy a szavunk y±1-re végz®dik (ellenkez® esetben w-t he-

lyettesítsük y∓1wy±1-gyel).

• Azt állítjuk, hogy (1 0 0)W éppen (a b√

2c)/3k alakú, ahol a,

b, c ∈ Z és 3 - c, valamint k ≥ 1 a w szó hossza.

• Ez azt jelenti, hogy (a b√

2c)/3k = (1 0 0)W 6= (1 0 0), mi-

vel ekkor c√

2 = 0 ⇐⇒ c = 0 adódna, ami ellentmond azzal, hogy

3 - c, így W nem lehet identitás.

A harmadik •-ban szerepl® állítást a w szó hossza szerinti teljes indukcióval

bizonyítjuk.

14

1. Legyen k = 1, azaz w = y±1(1 0 0

)Y ±1 =

(1 0 0

)13 0 ∓2

√2

3

0 1 0

±2√2

3 0 13

=(

13 0 ∓2

√2

3

)=

= 13

(1 0 ∓2

√2)

k = 1-re láthatóan teljesülnek a feltételek.

2. Tegyük fel, hogy minden legfeljebb k − 1 hosszú v szóra teljesül az

állítás, miszerint (1 0 0)V = 13k−1 (a′ b′

√2c′), ahol a′, b′, c′ meg-

felel® tulajdonságúak.

3. Ezek ismeretében kell belátnunk, hogy k hosszú w szóra is teljesül.

Ehhez vizsgáljuk meg, hogyan áll el® v-b®l w: w = v · x±1 vagy w =

v · y±1, azaz ezen négy lehetséges el®állításnál kell végeredményként a

megfelel® egészeket kapnunk.

(∗)(

1 0 0)V ·X±1 = 1

3k−1

(a′ b′

√2c′

)1 0 0

0 13 ∓2

√2

3

0 ±2√2

313

=

= 13k−1

(a′ (13b

′ ±√2c′·2

√2

3 ) (∓2√2

3 b′ + 13

√2c′)

)=

= 13k−1

(a′ 1

3(b′ ± 4c′) 13

√2(∓2b′ + c′)

)=

= 13k

(3a′ b′ ± 4c′

√2(c′ ∓ 2b′)

)

(∗∗)(

1 0 0)V ·Y ±1 = 1

3k−1

(a′ b′

√2c′

)13 0 ∓2

√2

3

0 1 0

±2√2

3 0 13

=

= 13k−1

((13a′ ± 2

√2√2c′

3 ) b′ (∓2√2

3 a′ + 13

√2c′)

)=

= 13k

(a′ ± 4c′ 3b′

√2(c′ ∓ 2a′)

)Látható, hogy minden esetben a megfelel® egészeket kaptunk, azonban még

igazolnunk kell, hogy 3 - c. A fenti 3. pont alapján a következ®ket kapjuk:

3 - c ⇐⇒ 3 - c′ ∓ 2b′ (∗) illetve 3 - c ⇐⇒ 3 - c′ ∓ 2a′ (∗∗)

15

Ehhez nézzük meg, hogy a k − 1 hosszú v szavak koordinátái hogyan állnak

el® k − 2 hosszú u szavakból, amik az indukciós feltétel miatt a következ®

alakúak:

(1 0 0)U = (a′′ b′′ c′′√

2)/3k−2

A v szavak kétféleképpen állíthatók el®: v = u·x±1 vagy v = u·y±1. Ezekbenaz esetekben az egyes koordináták kiszámítása ugyanazon az elven történik,

mint a korábbi 3. pontban. Ennek alapján:(1 0 0

)U ·X±1 = 1

3k−2

(a′′ b′′

√2c′′

)1 0 0

0 13 ∓2

√2

3

0 ±2√2

313

=

= 13k−1

(3a′′ b′′ ± 4c′′

√2(c′′ ∓ 2b′′)

)(∗) eset: c = c′ ∓ 2b′ = c′ ∓ 2(b′′ ± 4c′′) = c′ ∓ 2b′′ − 8c′′ = c′ + (∓2b′′ +

c′′)−9c′′ = c′+ c′−9c′′ = 2c′−9c′′. Ekkor az indukciós feltevés szerint

3 - c′ és 3 - c′′ =⇒ 3 - 2c′ és 3 | 9c′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · x±1 · x±1.

(∗∗) eset: c = c′ ∓ 2a′ = c′ ∓ 2(3a′′) = c′ ∓ 6a′′. Ekkor az indukciós feltevés

szerint 3 - c′, továbbá 3 | 6a′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · x±1 · y±1.

Hasonlóan(

1 0 0)U · Y ±1 = 1

3k−1

(a′′ ± 4c′′ 3b′′

√2(c′′ ∓ 2a′′)

)(∗) eset: c = c′ ∓ 2b′ = c′ ∓ 2(3b′′) = c′ ∓ 6b′′. Ekkor az indukciós feltevés

szerint 3 - c′, továbbá 3 | 6b′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · y±1 · x±1.

(∗∗) eset: c = c′ ∓ 2a′ = c′ ∓ 2(a′′ ± 4c′′) = c′ ∓ 2a′′ − 8c′′ = c′ + (∓2a′′ +

c′′)−9c′′ = c′+ c′−9c′′ = 2c′−9c′′. Ekkor az indukciós feltevés szerint

3 - c′ és 3 - c′′ =⇒ 3 - 2c′ és 3 | 9c′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · y±1 · y±1.

A bizonyítás során felhasznált állítást igazoltuk, ezáltal a tétel bizonyításával

is végeztünk. �

16

A 4.2.1. Tételben el®állított X, Y forgatások szabad csoportja legyen

F2. Ennek elemei egyes R3-beli pályákon minden pontot helyben hagynak,

így a 4.1.1. Tétel még nem alkalmazható.

Azonban ha vesszük az S2 egységgömbhéját, akkor a rajta ható F2 cso-

portban minden, az identitástól eltér® forgatásnak két �xpontja lesz S2-vel.

Nevezetesen a forgatás tengelyének a gömbhéjjal való metszéspontjai. Le-

gyen az összes ilyen pontot tartalmazó halmaz D. Ekkor mivel F2 megszám-

lálható, így a D halmaz is megszámlálható. Ha vesszük az S2 \ D pontok

halmazát, (melyekre F2 csoport hat,) akkor ebben az esetben F2 már �xpont

nélkül hat.

Ebben vegyük a P ∈ S2 \D pontot, amire X ∈ F2 hat. Ekkor PX ∈ S2 \D,

mivel ha ∃Y ∈ F2, amire (PX)Y = PX , akkor ha jobbról X−1 hat:

((PX)Y )X−1

= PXYX−1= PXX−1

= P

Így P �xpont lesz XYX−1-nél, azaz P ∈ D, ami ellentmond annak, hogy

P ∈ S2 \D. Továbbá mivel F2 paradox csoport, így a 4.1.1. Tétel alapján

az S2\D halmaz F2-paradox. Ennek egy b®vített változatát fogalmazza meg

a Haussdor�-paradoxon.

4.3. Haussdor�-paradoxon

4.3.1. Tétel (Haussdor�-paradoxon). ∃D ≤ S2megszámlálható részhalmaz,

melyre az S2 \D halmaz SO3-paradox.

Bizonyítás. A tétel igazolásához az eddig leírtak mellett két, korábbi állítást/

tételt kell csak felhasználnunk. Azt tudjuk, hogy S2\D F2-paradox. A 4.1.1.

Tétel miatt F2 ⊂ SO3, emellett a 4.1.3. Következmény miatt, mivel F2

paradox, így SO3 is paradox ⇒ S2 \D SO3-paradox. �

17

5. Banach-Tarski paradoxon

5.1. Átdarabolhatóság geometriai értelemben

5.1.1. De�níció. Két sokszög geometriai értelemben véve átdarabolható, ha

az egyikük szétbontható véges sok sokszög darabra, majd ezeket távolságtartó

leképezések felhasználásával átrendezve a másik sokszöget kapjuk.

5.1.1. Megjegyzés. A geometriai értelemben vett átdarabolhatóságon azt

értjük, mikor a sokszög szétbontásának során keletkezett sokszög darabok ha-

tárpontjai közösek.

Az e�éle átdarabolhatóság tranzitív m¶velet, mivel ha A átdarabolható

B-be és B átdarabolható C-be, akkor A átdarabolható C-be.

A sokszögek átdarabolhatóságával kapcsolatos tétel Bolyai Farkas nevéhez

f¶z®dik.

5.1.1. Tétel (Bolyai - Gerwien). Két sokszög geometriai értelemben véve

átdarabolható egymásba ⇐⇒ a sokszögek azonos terület¶ek.

Bizonyítás. A tétel =⇒ iránya könnyen látható, ugyanis - ahogy az a

de�nícióban szerepel - az átrendezés során csak távolságtartó leképezéseket

használunk fel, melyeknek pontosan az a lényege, hogy az alakzat pontjai

közti távolságot nem változtatja meg, ezáltal az adott sokszög darab terüle-

tét sem.

A⇐= iránynál a tranzitivitás miatt elegend® azt megmutatni, hogy bármely

sokszög átdarabolható egy vele megegyez® terület¶ négyzetbe. Ennek igazo-

lásához az alábbi ábra nyújt segítséget.

Az (a) rész azt mutatja, hogy bármely háromszög átdarabolható egy tég-

lalapba. (Tompaszög¶ háromszög esetén a tompaszögb®l húzott magasság

felez®pontján keresztül men®, a szöggel szemközti oldallal párhuzamos egye-

nes esetén megoldható.)

A (b) ábra szemlélteti azt, hogy minden olyan téglalap, melynek hosszabb

18

oldala legfeljebb négyszerese a rövidebb oldalnak, az megfelel®en szétbontva

négyzetté alakítható.

Abban az esetben, amikor nem teljesül a b ≤ 4a feltétel, a (c) ábrán látható

módon a téglalapot félbe vágva és a hosszabb oldalak mentén összeillesztve

kedvez®bb oldalarányú téglalapot kapunk. Ezzel az eljárással kialakítható a

kívánt alakzat.

Az utolsó ábrán a Pitagorasz-tétel igazolása látható. Eszerint két négyzet

megfelel® darabokra bontásával ezek a darabok átrendezhet®k egy, a kiindu-

lási négyzetek területösszegével azonos terület¶ négyzetté. (c2 = a2 + b2)

Ezek ismeretében a bizonyítás lépései a következ®k:

1. Az adott sokszöget háromszögekre bontjuk ⇒ n csúcs esetén n − 2

darab háromszögre

2. Minden háromszögb®l kialakítható a vele megegyez® terület¶ téglalap.

((a)ábra)

3. Tetsz®leges téglalapot szét tudunk úgy bontani, hogy a darabjaiból egy

négyzetet kapjunk. ((b)-(c) ábrák)

4. A sikeresen négyzetté rendezett darabokat egyetlen nagy négyzetté ala-

kítjuk. ((d) ábra)

19

Ennek alapján az eredeti sokszög átdarabolható a kapott négyzetbe (és

visszafelé hasonlóan). �

5.1.2. Megjegyzés. A tétel térbeli megfelel®je, azaz az átdarabolhatóság

sokszögek helyett poliéderekre kimondva nem teljesül.

5.2. Halmazok átdarabolhatósága

Térjünk vissza a dolgozat elején tárgyalt fogalmakhoz, melyek az átda-

rabolhatóság halmazelméleti megfelel®jének bevezetésével általánosabb kon-

textusba helyezhet®k.

5.2.1. De�níció. Legyen G csoporthatás a H halmazon, és X,Y ⊆ H. Ekkor

X és Y G-átdarabolhatók, ha:

X =⋃Xi és Y =

⋃Yi ∀i = 1, ..., n

Xi ∩ Xj = ∅ = Yi ∩ Yj ha i < j ≤ n és ∃g1, ..., gn ∈ G, melyekre ∀i ≤ n

esetén Xgii = Yi.

5.2.1. Megjegyzés. Ezt követ®en az A ∼G B jelölés fogja azt jelenteni,

hogy az A halmaz átdarabolható G révén a B halmazba.

Ezen új fogalom felhasználásával a paradox csoporthatás de�níciója (3.2.3.

De�níció) a következ®képpen írható fel:

5.2.1. Állítás. Hasson a G csoport az L halmazon. Ekkor a H ⊆ L halmaz

G-paradox ⇐⇒ ∃X,Y ⊆ H, ahol X∩Y = ∅, melyekre X ∼G H és Y ∼G H

teljesül.

5.2.1. Tétel. Hasson a G csoport az L halmazon, továbbá legyenek H,H ′ ⊆L, melyekre H ∼G H ′. Ekkor ha a H halmaz G-paradox, akkor H' is.

5.2.2. Tétel. Ha a D ⊆ S2 megszámlálható részhalmaz ⇒ S2 és S2 \ DSO3-átdarabolható.

Jelöléssel: S2 ∼SO3 S2 \D

20

Bizonyítás. A tétel igazolása az alábbi két részb®l áll:

1. Keressünk olyan f ∈ SO3 forgatást a gömbfelületen, melyre aD,Df , Df2, ...

halmazok páronként diszjunktak. Ha ez létrehozható, akkor innent®l

S2 = D⋃

(S2 \ D) ∼SO3 (D)f⋃

(S2 \ D) = S2 \ D teljesül, ahol

D =⋃{Dfn |n = 0, 1, ...}

2. f megadása

Legyen l egy origón áthaladó egyenes, ami nem tartalmazza a meg-

számlálható D halmazt.

Legyen A az olyan θ szögek halmaza, melyekhez ∃n > 0 és ∃P ∈ D,

hogy (P )f ∈ D, ahol f az l egyenes körüli forgatás nθ radiánnal.

Mivel A megszámlálható, így választhatunk egy ϑ /∈ A szöget, emellett

legyen f továbbra is a megfelel® forgatás l körül. Ekkor (D)fn ⋂

D =

∅, ha n > 0 (azaz az elforgatott pont D-n kívülre fog esni), amib®l az

következik, hogy ∀0 ≤ m < n-re (D)fm ⋂

(D)fn

= ∅, ami pontosan a

keresett feltétel.

�

5.3. Banach - Tarski paradoxon

Ezen fejezet végére sikerült az összes olyan de�níciót, tételt összegy¶jteni,

melyek segítségével a dolgozat csúcspontját jelent® Banach-Tarski paradoxon

megérthet® és igazolható. A tétel egyszer¶bb kimondásához és igazolásához

a térbeli egybevágóságok csoportját ezt követ®en G3-mal fogjuk jelölni.

Nem maradt más hátra, ismerkedjünk meg a paradoxonnal.

5.3.1. Tétel. S2 gömbhéj SO3-paradox, csakúgy mint bármely origó közép-

pontú gömbhéj.

Továbbá bármely R3-beli tömör gömb G3-paradox és R3 is G3-paradox.

21

Bizonyítás. A 4.3.1. Tétel (Haussdor�-paradoxon) állítása szerint az S2\Dhalmaz SO3-paradox, ha ∃D ≤ S2 megszámlálható részhalmaz, ami a térbeli

forgatások �xpontjait tartalmazza.

Ha ehhez hozzávesszük az 5.2.2. Tétel állítását, miszerint S2 és S2 \ Degymásba SO3-átdarabolhatók (S2 ∼SO3 S

2 \ D), akkor az 5.2.1. Tétel

miatt azt kapjuk, hogy S2 SO3-paradox.

Az eddigi eredmények egyike sem függött a gömbhéj méretét®l, ezért tetsz®-

leges sugarú gömbhéjra belátható a paradox felbontás.

Az tétel második részét elég az O origó középpontú B-vel jelölt gömbök-

re belátni, mivel G3-ban benne van az összes térbeli eltolás is. Tekinthetjük

továbbá az egységgömböt, mivel a bizonyítás alkalmazható lesz tetsz®leges

méret¶ gömbre. Mivel SO3 ⊂ G3, így a tétel els® feléb®l következik, hogy

S2 is G3-paradox.

Vegyük azt a bijekciót, ami ∀P ∈ S2 ponthoz hozzárendeli a P -hez tartozó

sugarat: P −→ {αP : 0 < α ≤ 1}, a hozzárendelésb®l kihagyjuk a gömb

középpontját. Így azt kaptuk, hogy B \ {0} G3-paradox. Ekkor ha belát-

juk, hogy B ∼G3 (B \ {0}), akkor az 5.2.1. Tétel alapján a B halmaz

G3-paradox, amivel megkaptuk a tételünket.

Tekintsük a P = (0, 0, 1/2) ponton áthaladó olyan egyenest, ami nem tar-

talmazza O-t. Legyen ϕ ezen egyenes körüli, irracionális szög¶ forgatás. Ha

vesszük D = {(O)ϕn |n ≥ 0}, akkor (D)ϕ = D \ {O}.

Így mivel ϕ ∈ G3, ezért teljesül B ∼G3 (B \ {0}).Ha a sugár szerinti megfeleltetésnél S2 pontjainál az összes R3 \ {O} pontotvesszük, akkor R3 \ {0} ∼G3 R3 teljesül. �

Ennek alapján egy térbeli tömör gömböt feldarabolva, majd a darabokat

eltolva, elforgatva (azaz távolságtartó transzformációkat felhasználva) két

gömböt kaptunk végeredményül.

22

6. További érdekesség

6.1. Laczkovich M. - Kör négyszögesítése

A Bolyai Farkas által bizonyított 5.1.1. Tételnek egy er®sebb meg-

fogalmazása az Alfred Tarski által felvetett probléma, aminek bizonyítása

Laczkovich Miklós nevéhez f¶z®dik. Ebben az esetben a feldarabolás során

nem engedünk meg közös határpontokat, vagyis minden pontot csak egyszer

veszünk.

Azt kellett igazolni, hogy felbontható-e a négyzet A1, A2, ..., An és a kör

B1, B2, ..., Bn diszjunkt halmazokra úgy, hogy ∀i = 1, ..., n-re Ai egybevágó

legyen Bi-vel. A sík minden részhalmazához hozzárendelhetünk egy számot

(mérték), amit területnek nevezünk. Ez a terület végesen additív, vagyis két

közös pont nélküli halmaz területe a két halmaz területének összege. Emel-

lett egybevágóság-invariáns, azaz két egybevágó alakzat területe egyenl®. Így

az állítás az alábbi formában is megfogalmazható: két síkbeli alakzat egy-

másba átdarabolható =⇒ területük megegyezik.

A síkbeli mértékre vonatkozó állítások térben (térfogat esetén) már nem tel-

jesülnek. Ennek az az oka, hogy amíg a G2 csoport (sík transzformációinak

csoportja) nem tartalmaz szabad csoportot, addig a térben éppen a G3-ban

lév® szabad csoport létezése biztosította a paradox el®állítást. Emiatt a

Banach - Tarski paradoxonnak ugyan nincs R2-beli megfelel®je, azaz nem

lehet megkett®zni egy körlapot, de egy további érdekesség, hogy Laczkovich

bizonyítása során az egybevágóságok közül csak eltolásokat használ.

23

Hivatkozások

[1] Stan Wagon - The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press,

1985

[2] Kiss Emil - Bevezetés az algebrába, Typotex 2007

[3] www.wikipedia.hu

[4] www.brody-bp.sulinet.hu/pub/Tananyag/Matematika/Geom/cikk4.htm

[5] www.math.u-szeged.hu/ hajnal/courses/UnivHalmazelmelet/halmaz99/axiomak.htm

24