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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE D’ORAN ES-SENIA
FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
MEMOIRE
Présenté par
Melle Souâd SEBA
Pour obtenir
LE DIPLOME DE MAGISTER
Spécialité : Physique Option : BioPhysique Mathématique & Simulations
Intitulée :
Propagation d’une Maladie dans un Réseau de Petit Monde (Effet de Corrélation)
soutenu le :…...……………..à la salle de conférences de la Faculté des Sciences devant le jury composé des membres suivants : DJEMAÏ Abed-El-Farid : Professeur à l’Univ. d’Oran Es-sénia, Algérie (Président) ZEKRI Noureddine : Professeur à l’USTO-MB, Oran, Algérie (Rapporteur) BOUAMRANE Rachid : Maître de Conf. à l’USTO-MB, Oran, Algérie (Examinateur) HACHI Mustapha : Maître de Conf. à l’Univ. d’Oran Es-sénia,Algérie (Examinateur)
Résumé
Le modèle de petit monde est l’un des modèles les plus adéquats pour étudier
la propagation dans une population. Plusieurs études de propagation des
maladies Sur ce réseau ont été réalisées depuis 1998 et la transition de phase
épidémie/endémie semble concorder avec réalité du terrain. Nous proposons
d’étudier les effets de corrélation (désordre) sur cette propagation.
Mots clés : Petit monde (réseau), propagation des épidémies, transition de phase.
REMERCIEMENTS
J’exprime ma profonde gratitude et sincère reconnaissance envers monsieur Zekri
Nouredinne pour m’avoir orientée vers ce sujet, de même je le remercie pour tous les
conseils qu’il m’a prodigués.
J’exprime également ma profonde gratitude au professeur Djemai Abd El Farid pour
l’honneur qu’il me fait en présidant le jury ; je tiens à le remercier pour toute l’aide qu’il
m’a apportée lors de la réalisation de ce mémoire.
Je remercie vivement professeur M. Hachi et Monsieur R.Bouamrane d’avoir bien
voulu accepter de juger ce travail en tant que membres du jury.
Je remercie vivement Monsieur L.Zekri, Monsieur D.Boukrdimi et Melle A.Seba pour
leurs soutiens et leurs encouragements.
A mes parents, mes frères et mes sœurs
Sommaire
Introduction générale.....................................................................................................02
Chapitre I: Généralités sur la théorie de percolation
I.1. Introduction ..............................................................................................................05
I.2. Exemple de percolation ...........................................................................................06
I.3. Définition...................................................................................................................06
I.4.Seuil de percolation...................................................................................................09
I.5. Grandeurs caractéristiques .....................................................................................12
I.5.1.Nombre d'amas de taille S normalisé ........................................................12
I.5.2.Probabilité d'appartenir à l'amas infini .....................................................13
I.5-3.Taille moyenne des amas finis ...................................................................14
I.6.Lois d’echelles et exposants critiques ....................................................................15
I.6.1.Lois d’échelle ................................................................................................15
I.6.2.Exposants critiques ......................................................................................17
I.7. Dimention fractale...................................................................................................20
Chapitre II :Généralités sur les maladies transmissibles
II.1. Introduction .............................................................................................................23
II.2.Transmission de maladie ........................................................................................24
II.2.1.Période d'incubation.....................................................................................24
II.2.2.Période latente ...............................................................................................24
II.3.Modeles de transmission ........................................................................................24
II.3.1.Modele de type SI…………………………………………………………….24 II.3.2.Modele de type SIR…………………………………………………………..25 II.3.2. Autres modeles……………………………………………………………..............26 II.4.Le taux de reproduction..........................................................................................27
II.5.La transmission des infections ...............................................................................27
II.5.1.L’agent infectieux..........................................................................................27
II.5.2.La voie de transmission ...............................................................................28
Sommaire
II.5.3.L’hote réceptif...............................................................................................29
II.6.Exemple d'une maladie transmissible ..................................................................30
Chapitre III: Le réseau de petit monde
III.1.Introduction.............................................................................................................35
III.2.Les propriétés de réseau ........................................................................................36
III.2.1. La distance moyenne entre les paires de noeuds...................................36
III.2.2. Le coefficient d'amas ..................................................................................38
III.2.3. La distribution des degrés.........................................................................46
III.3.Modèle basé sur le réseau de petit monde..........................................................47
Chapitre IV:Application du RPM pour l'étude de la dynamique du propagation
des maladies
IV .1.Introduction............................................................................................................52
IV.2.Simulation................................................................................................................53
IV.3.Résultat et discussion.............................................................................................55
conclusion générale ........................................................................................................67
Bibliographie ...................................................................................................................69
Liste des figures Liste des figures
FIG 01 : Réseau carré de sites à différentes échelles…………………………………07
FIG 02 : Réseau régulier à différentes géométries……………………………………08
FIG 03 : (a) et (b) percolation de sites et (c) percolation de lien…………………….09
FIG 04 : Exemple de percolation sur un réseau carré de lien pour différent (25*25site)..10
FIG 05 : Exemple de percolation sur un réseau carré de liens pour différent p…..10
FIG 06 : Probabilités de percolation…………………………………………………...12
FIG 07 : Les différents modèles de transmissions……………………………………26
FIG 08 : Modalité de transmission de la rougeole…………………………………...32
FIG 09 : Paramètre démographique et âge à la transmission de la rougeole…….33
FIG 10 : Exemple de calcul de la distance entre les paires de nœuds……………..37
FIG 11 : Exemple de calcule de coefficient d’amas………………………………….39
FIG 12 : Exemple de réseau aléatoire…………………………………………………40
FIG 13 : Exemple de réseau régulier………………………………………………….42
FIG 14 : Exemple 1 de réseau de petit monde basé sur l’addition des raccourcis
au sein d’un réseau régulier…………………………………………………43
FIG 15 : Exemple 2 de réseau de petit monde basé sur l’addition des raccourcis
au sein d’un réseau régulier………………………………………………….44
FIG 16 : Exemple 1 de réseau de petit monde basé sur l’addition d’un nœud
dont le degré est élevé au sein d’un réseau régulier………………………45
FIG 17 : Exemple 2 de réseau de petit monde basé sur l’addition d’un nœud
dont le degré est élevé au sein d’un réseau régulier………………………46
FIG 18 : Distribution selon une loi de puissance…………………………………….47
FIG 19 : Variation de la taille moyenne du plus grand amas avec p ……………..49
FIG 20 : Évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés…………………50
FIG 21 : Distribution de court circuit pour différents paramètres σ …………….55
FIG 22 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés………………….56
FIG 23 : le comportement de l’exposant γ en fonction de la concentration p……57
FIG 24 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux infectés pour p=0. 1…………58
FIG 25 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux infectés pour 0.2p = ……….59
Liste des figures FIG 26 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux infectés pour p=0. 3 ………..60
FIG 27 : Le comportement de l’exposant γ en fonction de σ Pour p=0.1, 0.2 et 0.3......62
FIG 28 : Evolution temporelle du nombre de nouveaux pour p=0.1, 0.2 et0.3.....64
FIG 29 : Le comportement de l’exposant γ en fonction de σ Pour trois situations :
p=0.1, 0.2 et0.3………………………………………………………………..65
Liste des tableaux Liste des tableaux
TAB 01: Valeur du seuil de percolation…………………………………………………..11
TAB 02 : Valeur d’exposant critique …………….……………………………………….19
TAB 03 : Liste des périodes latentes et d’incubation de quelque maladie infectieuse….......24
TAB 04 : La transmission direct de la maladie………………………………………......29
TAB 05 : La transmission indirect de la maladie………………………………..……….29
TAB 06: Comparaison des propriétés structurelles des différentes catégories de réseaux….41
Introduction générale
Introduction générale
~ 2 ~
Introduction La théorie de percolation est caractérisée par une transition de phase du
seconde ordre et des exposants critiques universels. Le champ d’application de
cette théorie dépasse largement le domaine de la science des matériaux. Ce
modèle mathématique décrit aussi de nombreux phénomènes tels que les feux de
forets [01] et l’épidémie [02].
L’étude de quelque épidémie indique que les le mouvement et les interactions
entre les individus et la distribution spatial de la population jouent un rôle
important sur la dynamique de propagation de plusieurs maladies infectieuses.
Pour modéliser la propagation d’une épidémie, il est nécessaire de définir un
réseau social reliant deux individus. Les propriétés attendues de ce réseaux
doivent d’une part permettre la création d’amas (ce qui exclu les graphes
aléatoires)[3] et d’autre part permettre la connexion de deux individus
aléatoirement choisit après un nombre fini d’étapes (ce qui exclu les réseaux
réguliers avec seulement les plus proches voisins).
Notre travail consiste à étudier l’effet de corrélation dans un réseau de petit
monde en prenant l’exemple de propagation d’une maladie.
Dans le premier chapitre, nous introduisons un contexte à savoir les concepts
fondamentaux du modèle de percolation tels que le mécanisme de percolation et
ses types, le seuil de percolation ainsi les caractéristiques statistiques (lois
d’échelle, exposants critiques et dimensions fractals).
Introduction générale
~ 3 ~
Le deuxieme chapitre présente une généralité sur la propagation d’une
maladie tel que les periodes latente et d’incubation , les modes de transmission
etc….
Le troisieme chapitre donne une vue générale sur Le réseau de petit monde,
sur lequel on observe un effet de seuil pour la transmission d’un virus et on
présente aussi une étude similaire sur un model d’échelle libre qui a donné des
résultats différent, en particulier l’effet de seuil disparaît.
Le quatrieme chapitre est consacré à l’étude d’effet de corrélation dans un
réseau de petit monde sur la dynamique de la propagation d’une maladie.
Chapitre I
Généralités sur la
théorie de percolation
~ 5 ~
Généralités sur la théorie de percolation
Dans ce chapitre, nous introduisons un contexte à savoir les concepts fondamentaux du modèle de percolation tels que le mécanisme de percolation et ses types, le seuil de percolation ainsi les caractéristiques statistiques (lois d’échelle, exposants critiques et dimensions fractal)
I.1. Introduction
Le terme percolation vient de la latin percolatio qui signifie filtration. Utilisé dans
un grand nombre de situations, il évoque les notions de propagation et
d’agglutination dans des milieux aléatoires partiellement interconnectés. A été
introduit en 1957 par les mathématiciens BROADBENT et HAMMERSLEY [04,05] qui
étudiaient le problème de passage d’un fluide dans un filtre partiellement obstrué.
Ces auteurs ont donné un cadre mathématique et rigoureux au phénomène de la
percolation dont le concept avait déjà été abordé par des chimistes FLORY et
STOCKMAYKER qui s’intéressaient aux réactions de polymérisation réticulaire
tridimensionnelle de chaîne polymère.
FLORY note en particulier le passage soudain de l’état de solution à celui de gel
pour certain avancement de la réaction. Il montre que cette transition correspond à
l’apparition d’une structure macroscopique de chaînes branchées [04].
Le terme percolation est utilisé pour une grande variété de situation et fait appel à
la notion de diffusion dans un système aléatoire partiellement connecté. L’eau qui
Chapitre I :
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 6 ~
s’écoule à travers le café dans un percolateur, la propagation d’une maladie, la
propagation des feux de foret ou encore l’extraction pétrolière dans les roches
poreuses (percolation d’invasion) et autant de phénomène qui sont décrits par les lois
de percolation [04, 05, 06 ,07].
I.2. Exemple de percolation
L'exemple étymologie est celui du café [08] le percolateur est une machine à café
force du café, se règle en serrant plus ou moins le filtre de l'appareil. Ainsi, lorsque
l'on augmente la pression du filtre la densité du marc de café s'accroît suite à
l'agglomération des fines particules qui le compose. Le temps nécessaire pour que
l'eau traverse la poudre de café et par suite la durée pendant laquelle l'eau est en
contact avec le café dépend de cette densité. L'expresso obtenu est alors plus ou
moins « serré » selon la pression appliquée au café par le filtre du percolateur.
Toutefois, il existe une densité au dessus de la quelle l'eau ne peut plus traverser le
filtre. Cette densité est appelée le seuil de percolation.
Ce phénomène peut se modéliser par un réseau de canaux entre les particules de
café, canaux qui sont ouvert ou fermé de façon aléatoires [09] lorsque la densité
augmente, le nombre de canaux fermés s'accroît et l'eau passe alors plus difficilement.
Le seuil de percolation est atteint lorsque qu'il n'existe plus de chemins permettant
l'écoulement de l'eau à travers les cannant ouverts.
I.3. Définition
Les problèmes de percolations les plus simples sont ceux dit "percolation sur
réseau". (FIG 01), nous avons représenté un réseau régulier carré deux dimensions
mais il existe de nombreuses géométries différentes, par exemple, réseau triangulaire,
réseau nid d'abeille à deux dimensions ou encore réseau cubique ou hexagonal
compact en trois dimension (FIG 02). On distingue deux types de percolation :
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 7 ~
• Percolation de sites (FIG 03 (a) et (b))
Dans un graphe, c'est-à-dire un ensemble des sites et liens, on dit que deux
sites sont plus proche voisins s’ils sont relies par un lien, on peut élaborer un
labyrinthe aléatoire en affectant aux sites, l’un des deux états possible 1ou 0,
actif non actif, conducteur ou isolant, occupé ou vide, etc. chaque site est
conducteur avec la probabilité p et isolant avec la probabilité pq −= 1 . Un
amas est un ensemble de point juxtaposé. On dit que deux sites qu’ils
appartiennent de même amas s’il existe au moins un chemin conducteur entre
deux sites.
Percolation de liens (FIG 03 (c))
Ou deux sites sont reliés par eux un lien. La création d’un labyrinthe se fait en
affectant aux liens l’un de deux états possible 1ou 0, actif ou inactif, occupé ou
vide, conducteur ou isolant, etc. chaque lien est actif avec la probabilité p est
inactive avec la probabilité pq −= 1 . L’amas sera dans ce cas l’ensemble de
traits pleins qui se touchent. On dit que deux liens appartiennent au même
amas s’il existe au moins un chemin conducteur entre les trois sites ainsi
reliées.
Figure01 : réseau carré de sites à différentes échelles
FIG 01 : Réseau carré de sites à différentes échelles.
(a) (10*10 sites) (b) (25*25 sites) (c) (50*50 sites)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 8 ~
(a) réseau cubique
FIG 02 : Réseau régulier à différentes géométries.
Réseau Cubique simple Réseau cubique centré Réseau cubique faces
(b) Réseau triangulaire de sites
(C) réseau nid d’abeille de sites
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 9 ~
I.4. Seuil de percolation
La percolation représente le modèle de base pour un système structurellement
désordonné [04,10]. Pour la simplicité, considérons un réseau carré, ou chaque site est
occupé aléatoirement avec une probabilité p ou est vide avec une probabilité pq −= 1 .
Pour une valeur critique de p , appelée seuil de percolation et noté cp , un amas
particulier qui s'étend dans toutes les directions de l'espace se forme. Cet amas
permet de connecter les "bords"du réseau. Dans le cas ou l'on considère l'écoulement
d'un fluide sur le réseau (eau, courant ….) Cette amas permet le passage d'un coté à
l'autre du réseau; c'est l'amas infinis (ou amas percolant). Alors le seuil de percolation
cp se définit comme la concentration p à la quelle un amas de taille infinie apparaît
dans un réseau de taille infinie. Pour ⟩p cp une chaîne s'étend d'un coté à l'autre du
système alors que pour p < cp , il n'existe pas de chemin de ce type.
(FIG 04) montre l'apparition de l'amas percolant à p = cp dans un réseau carré de
site au fur à mesure que la proportion d'activité p s'accroît, la taille des amas
Augmente mais reste des tailles finies. À partir d'une valeur déterministe, on observe
l'apparition d'un amas qui joint les bords opposés. Cet amas est l'amas percolant et la
valeur de cette probabilité critique correspond au seuil de percolation. Les sites
éléments de l'amas infini sont représentés en noir pour mettre en relie la jonction des
cotes opposé. Les sites en gris sont les sites actifs distincts au l'amas percolant.
(a) Sites aux cases (b) sites aux intersections (c) lien
FIG 03 : (a), (b) percolation de site et (c) percolation de lien.
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 10 ~
(FIG 05) illustre l'apparition de l'amas percolant dans un réseau carré de liens
( cp =0.5 pour un réseau carré de liens).l'amas infini est représenté en gras lorsqu'il
existe. On retrouve la même évolution que le problème de sites. Lorsque p < cp les
amas sont de taille finie et lorsque p > cp un amas reliant les bords opposés apparaît.
(a) p =0.4 (b) p = 0.6≈ cp (c) p =0.8
FIG 04 : Exemple de percolation sur un réseau carré de sites pour différent p
(25*25site)
(a) p =0.35 (b) p = 0.5≈ cp (c) p =0.65
FIG 05: Exemple de percolation sur un réseau carré de liens pour différents p
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 11 ~
Réseau Site lien
Carré 0.593 0.500
Triangulaire 0.500 2sin ( 18Π )
Nid d'abeille 0.697 1-2sin ( 18Π )
Cubique simple 0.307 0.247
Cubique centrée 0.243 0.178
Cubique à face centrée 0.195 0.119
TAB 01:Valeur du seuil de percolation [11]
Dans la théorie de percolation, l’existence du seuil est fondamentale. Cette valeur
critique se caractérise par [12] :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⟩⟩
⟨
∞
c
c
pppour
pppour
pP
0
0
)(
Le seuil de percolation cp se définit alors comme la première valeur de p ou la
probabilité de percolation )( pP∞ n’est pas nulle, ce qui traduit de façon formelle par :
{ }0)(:sup == ∞ pPppc
La forme générale de la fonction de probabilité de percolation )( pP∞ est supposée
évoluer selon le schéma de (FIG 06)
(I.1)
(I.2)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 12 ~
FIG 06: probabilité de percolation.
I.5. Grandeurs caractéristiques
Dans un contexte statistique, la situation d’un problème de percolation se décrit à
travers quelques grandeurs fondamentales comme le nombre d’amas de tailles S , la
probabilité d’appartenir à l’amas infini, la taille moyenne des amas finis et les
longueurs caractéristique. [13 ,14]
I.5-1. Nombre d’amas de taille S normalisé par site
La plus simple des grandeurs caractéristiques du problème de percolation est le
nombre sn d’amas de taille S , dans un échantillon fini comportant N sites, sn est la
moyenne du nombre d’amas de taille S , et pour le réseau infini sn est la limite de cette
moyenne lorsque le nombre de sites tend vers l’infini
Pour un échantillon fini de N sites
NStailledeamasdtotalnombrens
'=
(I.3)
0
(1,1)
P(p)
p1
1
Pc
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 13 ~
Pour un réseau de taille infinie
NStailledeamasdtotalnombren
Ns
'lim∞→
=
La probabilité pour qu’un site arbitraire soit actif et élément de même amas de taille
S est par conséquent sSn .
Le nombre total d’amas de toute taille, noté )( pG
∑=s
snpG )(
I.5-2. Probabilité d’appartenir à l’amas infini
Soit )( pP∞ la probabilité qu’un site appartienne à l’amas infini. Dans un
échantillon de taille finie, la probabilité qu’un site soit un élément de l’amas percolant
se détermine en faisant le rapport du nombre de sites dans l’amas infini par le
nombre total de sites actifs :
actifssitesdenombre
inFiniamasldesitesdenombrepP ')( =∞
Pour la probabilité d’appartenir à l’amas fini : dans un échantillon, cela revient à
rapporter le nombre de sites actifs en amas fini au nombre total de sites :
nonouactifssitesdetotalnombre
inFiniamasensitesdenombreSns
s =∑
(I.4)
(I.5)
(I.6)
(I.7)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 14 ~
Sachant )( pP∞ , la probabilité qu’un site ne soit pas élément de l’amas infini est 1-
)( pP∞ .pour qu’un site appartienne à un amas fini, il faut qu’il soit actif. En
conséquence, la probabilité pour qu’un site fasse partie d’un amas fini est :
))(1( pPpSns
s ∞−=∑
Pour p < cp , il n’existe pas d'amas infinie d'ou )( pP∞ =0.
Alors :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−∝
≤=
∞
∞
cc
c
pppourpppP
pppourpP
β)()(
0)(
I.5-3. Taille moyenne des amas finis
La probabilité qu’un site quelconque appartienne à un amas de taille S est sSn , et
celle qu’il fasse partie de n’importe quel amas fini est ∑s
sSn .soit sw la probabilité que
l’amas auquel appartient un site actif arbitraire contienne exactement S sites :
∑=
ss
ss Sn
Snw
La somme sSn De la, la taille moyenne des amas finis se calcule telle que
∑ =s
s pSn
(I.8)
(I.9)
(I.10)
(I.11)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 15 ~
∑ ∑∑ ==s
ss
s
ss n
nSSwS2
I.6. Lois d'échelles et exposants critiques
I.6.1. Lois d’échelle
Au voisinage de cp , l’insensibilité du comportement des grandeurs
caractéristiques d’un problème de percolation aux détails microscopiques de la
structure sur lequel il évolue, se résume dans les relations appelées « lois
d’échelle » [15,13]. Celles-ci concernant principalement ( )pξ , ( )pP∞ , ( )pS et ( )pns .
Pour des valeurs inférieures au seuil aussi bien que pour des valeurs supérieures, la
taille linéaire des amas finis se caractérise par la longueur de corrélationξ . Elle se
définit comme la distance moyenne entre deux sites du même amas. Au voisinage
de cp , c’est-à-dire lorsque cpp − est faible, la longueur de corrélation augmente [14] :
( ) vcppp −−∝ξ Pour cpp →
L’exposant v est identique pour cpp⟩ et cpp⟨ et il ne dépend que de la dimension
d. Autrement dit, la longueur de corrélation croit au dessous du seuil de la même
façon critique qu’elle décroît au dessus du seuil [11].
Pour un site, la probabilité d’appartenir à l’amas infini ( )pP∞ dépend de la
proportion d’éléments actifs. Au voisinage du seuil de critique, la décroissance
de ( )pP∞ vers 0 s’effectue selon une loi puissance de cpp − au fur et à mesure que
p tend vers cp par valeurs supérieurs [18]
( ) βcpppP −∝∞ pour cpp ↓
Le cœfficient β dépend lui aussi de la dimension d du modèle, mais
contrairement à la longueur de corrélation, la loi d’échelle n’est valide que pour
(I.12)
(I.13)
(I.14)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 16 ~
des valeurs supérieures au seuil. En effet, la probabilité d’existence d’un amas
infini est nulle pour p < cp d’où une probabilité nulle d’en faire partie.
Au voisinage du seuil de percolation, seuls les amas de taille voisine de ξ une
influence notable sur le comportement global du système. La taille caractéristique
ξS diverge à la percolation suivant une loi :
La taille moyenne des amas finis ( )pS suit également une loi d’échelle. Au voisinage
de cp , son évolution est supposée diverger selon la relation suivante [17] :
( ) γ−−∝ cpppS pour cpp →
Là aussi, le cœfficient γ dépend de la dimension ou évolue le problème. De plus, la valeur
de γ est identique au dessus et au dessous de percolation. Le moment zéro correspond au
nombre moyen d'amas normalisé par site.
α−−∝≡∑ 2
0 )( csS
pppnM
A cpp = , le nombre d’amas de taille est supposé défférentiable deux fois mais pas trois.
On postule alors que la troisième dérivée de sn satisfait la relation [18] :
α−−−∝ 1''''cs ppn pour cpp →
Avec α≤−1 < 0. Une nouvelle fois, l’exposant α est dépendant de la dimension du
modèle et il est identique lorsque p tend vers cp par valeur inférieur ou supérieur.
σξ
1−
−∝ cpps (I.15)
(I.16)
(I.17)
(I.18)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 17 ~
Les lois d’échelles insistent sur le caractère critique de la transition de percolation.
Elles rendent compte de l’évolution de certaines grandeurs statistiques au voisinage
du seuil de percolation. La caractéristique principale de ces lois d’échelle est leur
universalité, car les exposants qui sont liés à chacune d’entre elles ne dépendent que
de la dimension du problème et pas des détails du réseau [12].
I.6.2. Exposants critiques : relation et valeur estimées
La valeur des grandeurs obtenues dans un problème de percolation dépend des
éléments microscopiques du système comme par exemple la coordinence. Cependant
au voisinage du seuil critique, la plupart de ces grandeurs ont des comportements qui
sont indépendants de la structure du réseau et des détails microscopiques.
Chaque exposant critique étant lié à une loi d’échelle particulière, nous
évoquerons enfin les relations qu’entretiennent les divers exposants ainsi que les
estimations de leurs valeurs respectives.
Le nombre d’amas de taille S pour une concentration en sites donnée )( pns est
proportionnel au nombre d’amas au voisinage de cp soit )( cs pn par le moyen d’une
fonction d’échelle notée F:
)/()()(
ξSSFpnpn
cs
s ∝
Par ailleurs
τ−∝ Spn cs )(
En écrivant maintenant les moments d’ordre L:
τξ
−+∝⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑ L
sL
s
SnS 1
(I.19)
(I.20)
(I.21)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 18 ~
Compte tenu de la relation (I.15), on peut écrire que :
στ )1( −+−−∝⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑ L
csL
s
ppnS (I.22)
Pour L=0 :
στ )1( −−−∝⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑ cs
sppn (I.23)
Pour L=1 :
στ )2( −−−∝⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑ cs
sppSn (I.24)
Pour L=2:
στ )3(2 −−−∝⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑ cs
s
ppnS (I.25)
A partir les relations (I.17), (I.23), (I.14), (I.24), (I.16) et (I.25) en déduit:
στγ −
=3 (I.26)
στβ 2−
= (I.27)
στα 12 −
=− (I.28)
Il existe d'autres relations [19]
γβσ
+=
1 (I.29)
γββτ+
+= 2 (I.30)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 19 ~
γβσ
τα +=−
=− 212 (I.31)
La validité de ces relations d'échelle n'est généralement pas contestée [18] .Elle montre
ainsi que tous dépend de deux exposants, peu importe qu'il s'agisse
de et ou etσ τ β ν car de ces deux exposants il est possible de déduire tous les autres
(04). De (I.31) par exemple, on détermine νβα etdeàpartir .ces relations sont
utilisées depuis 1960dans les problèmes de transition de phase thermique, elles ont été
étendues à la percolation en 1969 par P.W KASTELEYN et C.M. FORTUIM.
αν −= 2d (I.32)
Les lois d'échelles et d'hyper échelle pour se combiner pour déterminer les valeurs
des exposants. (TAB 02) reprend les résultats des estimations pour divers composants
critiques.
Exposant d=2 d=3
α -2/3 -0.62
β 5/36 0.41
γ 43/18 1.80
ν 4/3 0.88
σ 36/91 0.45
τ 187/91 2.18
TAB 02 : valeur d’exposant critique [15,16]
Les relations entre exposants du type loi d'échelles ou loi d'hyper échelle. Ont
illustrés l'indépendance des diverses grandeurs les unes par rapports au autres. La
notion de classe d'universalité a aussi été évoquées en indiquant qu'au voisinage de
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 20 ~
cp et pour une classe particulière, les détails microscopiques du réseau été négligé .en
conséquence, la valeur des exposants critiques n'est apparue dépendre que la
dimension du problème et pas de la forme de la structure sur laquelle se posait le
modèle. Cette dimension euclidienne d qui a été utilisée jusqu'à présent, n'est
cependant pas la seule dimension liée à la notion de percolation .en effet, certaines
propriétés structurelles proviennent de la géométrie fractale et possèdent une
dimension fractale.
I.7. Dimension fractale : [13,19]
De part et d’autre de seuil de percolation, les grands amas infini sont
extrêmement ramifiés et sont caractérisé par une dimension fractale différente de la
dimension géométrique classique ou euclidienne. Cette dimension fractale, qui
caractérise partiellement la morphologie de l’amas peut être reliée aux exposants
critiques morphologiques.
Le rayon d’un S-amas fractal est relié à sa masse par la relation :
DfsRS = (I.33)
Si l’on définit la longueur de corrélation comme la distance moyenne entre deux sites
de même amas, on a :
∑∑=s
sss
S nSnSR ..2 2222ξ (I.34)
Le numérateur diverge enDf
cpp)23( +−−
−τ
, le dénominateur en στ )3( −−− cpp , soit
Pour la longueur de corrélation :
Df
cppp σξ 22 )( −−∝ (I.35)
Chapitre I Généralités sur la théorie de percolation
~ 21 ~
Et comme par ailleurs vcppp −−∝)(ξ , on obtient finalement
σν1=fD (I.36)
Pour l’amas infini, dont le rayon diverge. On peut procéder à un calcul similaire sur
la densité de l’amas. On obtient alors :
νβ−= DD f (I.37)
Chapitre II
Généralités sur les
maladies
transmissibles
~ 23 ~
Généralités sur des maladies transmissibles
Dans ce chapitre, nous introduisons un contexte à savoir la transmission des maladies (période d’incubation et période latente) ainsi que ses modèles avec un exemple de rougeole.
II.1.Introduction
L’étude des épidémies est au carrefour des disciplines [20]: elle appartient en premier
lieu à la médecine, mais aussi à la géographie humaine par ses modes de propagation, à la
démographie et à l’histoire par ses effets. Même les mathématiques sont concernées [21] :
le calcul différentiel et intégral est le langage du changement, et ce langage va nous
permettre d’étudier les épidémies d’une manière plus approfondie que ne le permet la
langue naturelle.
Une épidémie est l’apparition brusque et à large échelle d’une maladie. Les
épidémies humaines sont souvent propagées par contact avec des personnes infectées. La
variole, la poliomyélite, la rougeole, la rubéole sont des maladies contagieuses qui se
propagent par contact fortuit avec une personne infectée.
Chapitre II :
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 24 ~
II.2. Transmission de maladie
Propagation d’une épidémie dans un milieu d’êtres humains est caractérisée par
[22, 23, 24] :
II.2.1. Période d’incubation
La période d’incubation c’est la période pendant laquelle le virus est actif
(c’est la période ou le virus développe ou s’installe dans le corps humain).
II.2.2. Période latente
La période latente c’est la période ou le virus détruit une partie de corps
humain et peut se transmettre à un autre corps humain.
Maladie infectieuse Période d’incubation Période latente
Rougeole 8-16 6-9
Oreillons 12-26 12-18
Rubéole 14-21 7-14
Hépatite B 30-80 13-17
Poliomyélite 7-12 1-3
Grippe 1-3 1-3
Variole 10-15 8-11
TAB 03 : liste des périodes latente et d’incubation de quelque maladie infectieuse.
II.3. Modèles de transmission
II.3.1. Modèle de type SI
Il s’agit du modèle que W.H. HAMER a développé en 1906[25]. Il postule au départ
qu’il n’y a ni décès ni guérison. Les sujets qui sont infectés le restent et demeurent
contagieux. De plus les populations d’individus sains et d’individus infectés sont
en permanence en contact. L’infection s’établit par contact direct entre un
individu infecté et un individu sain.
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 25 ~
Ce modèle comprend donc deux compartiments :
S = Sains ou Susceptibles c’est à dire les individus réceptifs à l’agent infectieux qui
ne sont pas contaminés mais peuvent le devenir.
I = Infectés, ce sont les individus atteints et qui sont donc contagieux.
Un flux s’établit entre S et I. Il dépend du nombre d’individus sains, du nombre
d’individus contagieux et d’un coefficient de proportionnalité ß appelé taux
d’infection ou taux de contagion .L’effectif de S sera appelé x et l’effectif de I sera
appelé y. Le nombre de nouveaux cas atteints par l’infection pendant l’intervalle
de temps dt sera ß x y. Dans le même temps la population d’individus sains
diminuera du même nombre .Cela conduit à deux équations différentielles :
dx/dt = - ß x y
dy/dt = ß x y , avec x + y = N la population totale.
II.3.2. Modèle de type SIR
Il s’agit du modèle proposé par KERMACK et MC KENDRICK au début du XXème
siècle[26]. C’est un modèle à trois compartiments :
On retrouve les compartiments S (Susceptibles) et I (Infectés). On introduit un
nouveau compartiment, R (Retirés) qui correspond à la population qui quitte le
compartiment des infectés par guérison, décès causé par la maladie, mort
accidentelle…
Le flux s'établissant entre I et R dépend du nombre d'infectés et d'un coefficient de
proportionnalité y appelé taux de retrait déduit des observations .L’effectif de R
sera appelé z. Le nombre d’individus entrant dans le compartiment R pendant
l’intervalle de temps dt sera γ y. Dans le même temps la population d’individus
infectés diminuera du même nombre.
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 26 ~
On aboutit aux trois équations différentielles suivantes :
dx/dt = - ß x y
dy/dt = ß x y - γ y
dz/dt = γ y
avec x + y + z = N la population totale
II.3.3. Les autres modèles Ils découlent tous des mêmes principes de base énoncés précédemment mais
introduisent des degrés de complexité variés :
- SIRS : immunisation temporaire ; les individus du groupe R réintègrent après
un délai le groupe des susceptibles.
- SEIR : introduction d'une période de latence et donc d'un nouveau
compartiment avant la déclaration des symptômes.
l'être humain et un parasite, des infections avec des groupes à risque différents
parmi les susceptibles ainsi que de nombreux autres cas très variés.
FIG 07 : les différents modèles de transmissions.
SI SIS
SIR SIRS Recovered/immunise Infectieuse Susceptible (exposé)
SEIR InfEcted Infectieuse Recovered/immunisé Susceptible (exposé)
Infectieuse Susceptible (exposé)
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 27 ~
II.4. Le taux de reproduction de base (R0) et net R
Le taux de reproduction de base, défini comme le nombre de cas secondaires
générés à partir de l’introduction d’un premier cas infecté dans une population
d’hôte sensible, traduit la notion du seuil pour qu’une maladie se propage ( 0R >1)
ou non 0(R 1) dans une population. L’utilisation de cet indicateur permet ainsi
d’étudier l’équilibre endémie/épidémie de manière simple. [27, 28]
R=R0.x ; x étant la proportion en % de susceptible.
Si maladie à prvention vaccinale : x= 1 - f ; f = % de vaccinés
• R=R0. (1 – f)
• Niveau minimal de f pour contrôler la transmission
- R=R0. ( 1 - f ) < 1 ; f < 1- ( 1/ R0)
- R0= 15 (rougeole ) ; f =93.3% ; R0=5 ; f=80%
II.5. La transmission des infections [29, 30, 31, 32, 33, 34,35]
Pour transmettre une infection, trois éléments doivent être présents en même
temps : un agent infectieux, une voie de transmission et un hôte réceptif.
II.5.1. l’agent infectieux, c’est le microbe qui causer une infection, comme un virus ou une bactérie. II.5.2.La voie de transmission : implique deux importantes notions :
La façon dont l’agent infectieux sera transportée d’une personne à une autre
(directement, par un contact de peau à peau, ou indirectement, par l’intermédiaire
d’un objet contaminée) et la porte d’entré qu’il utilisera pour pénétrer dans
l’autre personne (la peau, par une blessure a travers la peau ou par les muqueuses
Nombre de contact par unité
de temps
Probabilité de transmission par contact
Durée de la période e
contagiosité R0 = * * = ß.p.d
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 28 ~
des yeux, du nez et de la bouche).il existe plusieurs voies de transmission : par
contact, par gouttelette et par voie aérienne.
La transmission par contact peux se faire, entres autres, par la voie sanguine et
par la voie fécale-orale. Dans la voie sanguine (VIH, hépatites, etc.), l’agent
infectieux présent principalement dans le sang d’une personne infectée doit
s’introduire dans le système sanguin d’une autre personne par contact avec ses
muqueuses ou par une blessure à travers sa peau. Dans la voie fécale- orale,
l’agent se retrouve dans les selles de la personne infectée. Le plus souvent la
transmission s’effectue lorsqu’une porte ses mains contaminées par des selles à sa
bouche.
Dans la transmission par gouttelettes (grippe, méningite, etc.), l’agent survit
dans les gouttelettes de salive et de sécrétions nasales d’une personne infectée,
gouttelettes qui sont projetées par la parole, la toux et l’éternuement.ces particules
sont grosses et voyagent sur une courte distance. Elles entrent chez l’hôte par les
musque uses des yeux, du nez et de la bouche.
Dans la voie aérienne (tuberculose, varicelle, etc.), les particules sont
microscopiques et demeurent en suspension dans l’air. Elles sortent des voies
respiratoires d’une personne infectée et elles entrent par la bouche ou le nez d’un
hôte lorsqu’il respire.
II.5.3. L’hôte réceptif, c’est la personne susceptible d’être infecté. Son état de santé,
l’état de son système immunitaire et son statut immunitaire font qu’une personne
sera plus ou moins fragile face à un agent infectieux.
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 29 ~
Alors la transmission de virus peut se faire de deux manières différentes :
• Transmission direct : personne à personne
Voie Exemples
Aérienne Grippe
Cutanée Gale
Manuportée Typhoïde
Sexuelle VIH
Sanguine VIH
TAB 04 : la transmission direct de la maladie.
• Transmission indirect
Voie Exemples
Eau Cholera, typhoïde
Sol Tétanos
Air Penicillium
Produits animaux Charbon
TAB 05 : la transmission indirect de la maladie.
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 30 ~
II.6. Exemple d’une maladie transmissible
La rougeole est une maladie dangereuse qui sévit dans le monde entier [36].
Dans les pays en développement la rougeole est la principale cause de la mortalité
infantile : chaque année, plus 700000 enfants ne meurent de cette maladie. Aux
pays- bas, le nombre de malades et décès dus à la rougeole a connu une baisse
spectaculaire après l’introduction de la vaccination anti-rougeole dans le
programme national de vaccination (1976). Il arrive cependant qu’une épidémie se
déclare a quelques années d’intervalles.
Agent pathogène
L’agent responsable de la rougeole est un virus des voies respiratoire qui ne
rencontre que dans l’espèce humaine.
Contamination le virus de la rougeole est extrêmement contagieux.il diffuse par
les gouttelettes en suspension dans l’air, par contact direct mais aussi à grandes
distances. Chaque malade peut contaminer au moins dix autres personnes.la
contamination est presque toujours suivie de la maladie. Un patient est contagieux
pendant 1 à 3 jours avant et 15 jours après l’apparition des éruptions cutanées.
Comme la rougeole est contagieuse, on ne peut éviter des épidémies que si
presque tout individu est vacciné. Parmi les malades de l’épidémie de 1999/2000,
aucun d’eux n’était entièrement vacciné, c’est-à-dire n’avait eu deux vaccinations.
Cette épidémie a ainsi montré encore une fois qu’une seule vaccination ne suffit
pas.
Temps d’incubation
le temps qui s’écoule entre la contamination par le virus de la rougeole et
l’apparition des premiers symptomes de la maladie est généralement de 8-13
jours.il se passe en moyenne 14 jours entre la contamination et l’apparition des
éruptions cultanées.
Symptomes
la rougeole commence par une forte fievre et la toux, le rhue et des yeux
rouges. Au premier stade, de petites taches apparaisent a l’intérieur des joues.ces
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 31 ~
taches sont blanches avec un point rouge.apres cette premiere phase, la fievre
augmente de plus en plus. Les enfants sont généralement très malades. En
quelques jours, des éruptions cutanées font leur apparition sur le visage, le cou et
la nuque. La fievre peut augmenter une seconde fois. Les éruptions
envahissentprogrissivement le bas du corps.il s’agit d’abord de petites et grandes
taches. Elle se fondent ensuit en une rougeur quasiment égale.les taches se situent
manifestement sur la peau.
Les modalités démographiques de transmission de la rougeole :
FIG 08 schématise les modalités de transmission de la rougeole : elles sont
conditionnées par le taux de natalités (renouvellement de la population réceptive)
et la densité de la population [37,38] .BARTLETT [39,40] a montré qu’une population
de 250.000 habitant était nécessaire pour que la transmission de la maladie ne
connaisse pas d’interruption (situation endémique). Dans les régions rurales, la
transmission se fait par vagues épidémiques, et dépend de la mobilité des
populations concernées : c’est le problème de l’Afrique sud-saharienne, ou les
enfants se déplacent avec leur mère se rend pour les travaux des champs.Cela
explique la précocité de la transmission de la maladie dans ces régions
L’âge a la transmission de la rougeole :
FIG 09 schématise le rôle des paramètres démographiques sur l’âge à la
transmission de la rougeole.
Par contre, les régions totalement isolées peuvent connaître des épidémies
atteignant toute la population, comme cela a eu lieu en Groenland en 1952 [41] ou,
plus spécifiques, en indes ou les enfants de castes différentes ne jouent pas
ensemble [43]. Seuls les enfants d’une caste sont contaminés.
Le calendrier scolaire peut aussi rythmer les épidémies [43]
Immunité
une personne qui a contracté la rougeole est ensuite immunisée à vie contre la
maladie .Parfois, une nouvelle infection peut survenir mais sans donner des
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 32 ~
symptômes .de même les deux vaccinations prévues par le plan national de
vaccination conféreraient une immunité à vie.
Traitement
il n’existe pas de traitement efficace contre la rougeole. Si la maladie
s’installe.il s’agit de laisser suivre son cours et de traiter les éventuelles
complications bactériennes. On ne peut rien faire contre une encéphalite.
Vaccination [44,45] la direction générale de la santé recommande depuis le 4eme
trimestre 1997 d’améliorer la couverture vaccinale contre la rougeole par vaccin
ROR avant l’âge de 2 ans et à 6 ans. L’objectif est d’obtenir une couverture
vaccinale de plus de 95% qui permettrait d’éradiquer la rougeole en Europe dans
les 10 ans. Cette décision a été prise suite à une étude montrant la nécessite d’une
seconde injection, qui n’est pas rappel, mais un rattrapage des échecs pour
atteindre ce taux de couverture.
FIG 08 : modalité de transmission de la rougeole.
Taux de natalité
Milieu urbain endémie
Milieu rural épidémie
Renouvellement de la population réceptive
Densité population réceptive
Population réceptive
Circulation du virus
Chapitre II Généralités sur des maladies transmissibles
~ 33 ~
Paramètres démographiques Age à la rougeole
FIG 09 : Paramètre démographique et âge à la transmission de la rougeole.
Modalité élevée
Natalité faible
Densité forte (milieu urbain)
Population isolées
Nourrisson
Préscolaire
Écoliers
Age plus précoce qu’en milieu rural
Age adulte
Natalité élevée +mobilité
Chapitre III
Réseau de petit monde
~ 35 ~
Le réseau de petit monde
Ce chapitre a pour but de définir Le réseau de petit monde offrant une bonne modélisation des réseaux sociaux à partir de leurs propriétés, ils présentent un grand intérêt pour l’étude de la diffusion d’une épidémie au sein d’une population.
III.1. Introduction Les systèmes complexes sont caractérisés par l’existence d’un grand nombre
d’éléments connectés par un ensemble d’interactions à différentes échelles, une
protéine, une cellule, un cerveau, une population d’être vivants, internet,…etc.
sont des systèmes complexes. depuis quelques années des réseaux à émergées
pour étudier les systèmes complexes à partir de la mise en relation de la structure
des interactions entre leurs éléments constitutifs .En science sociale par exemple
l’analyse des réseaux sociaux basés sur l’étude de la structure sociale à partir de sa
représentation sous la forme d’un système de relation sociale liant des entités
sociale les unes des autres à émergé dans les années (Moreno, 1937).depuis quelques
années suite à la publication de l’article de Watts et Strogatz (1998)qui a popularisé
l’idée que la topologie des interactions entre les composantes des réseaux n’étaient
ni complètement régulières ni complètement aléatoires c’est ce qu’on appelle
réseau du petit monde.
Chapitre III :
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 36 ~
III.2. Les propriétés de réseau
Un réseau peut être défini comme un ensemble d’entités, appelées nœuds, reliées
par un ensemble de connections, appelées liens. De nombreux réseaux représentent des
systèmes extrêmement divers partagent des propriétés communes. En particulier nombre
de systèmes sont des petits mondes et des réseaux sans échelle.
Les propriétés qui caractérisent les grands réseaux :
III.2.1.La distance moyenne entre les paires de nœuds
La distance entre deux nœuds, d, est définie comme le nombre de liens présents sur le
plus court chemin entre ceux-ci (FIG 10). La moyenne des distances, pour l’ensemble des
paires de nœuds du réseau, D, est une propriété globale du réseau, qui mesure la
séparation typique entre les nœuds. Cette mesure a attiré une attention considérable dans
le cadre des études sur le phénomène du petit monde [46, 47, 48, 49,50]. La découverte
apparemment surprenante d’une connaissance ou d’un ami commun entre deux
individus suscite presque invariablement l’exclamation : « que le monde est petit ! ». Dans
cette situation, les deux individus sont séparés par une distance d=2. Quelle est la
probabilité d’un tel événement à l’échelle d’une population, à l’échelle de la terre? A
partir de cette question, Pool et Kochen ont mis sur pied un agenda de recherche sur le
phénomène du petit monde dès les années 50 [48,49]. Quelques années plus tard, le
concept a été largement popularisé par les expériences de Milgram [46, 47] où environ 300
individus choisis aléatoirement dans les villes de Boston et Omaha (Nebraska) ont été
invités à faire parvenir une lettre à un individu cible travaillant à Boston. Si la personne
participante connaissait Personnellement l’individu cible, la lettre pouvait lui être
envoyée directement. Dans le cas contraire, hautement probable, elle recevait l’instruction
de poster la lettre à un individu qu’elle connaissait personnellement, qui aurait plus de
chance de connaître l’individu cible, et à qui la tâche d’atteindre la cible était également
confiée selon le même principe. La plupart des lettres ont été perdues en court de route,
mais environ 25% sont arrivés à destination en passant en moyenne par seulement 5
personnes Intermédiaires. Ces expériences ont permis d’avancer que deux personnes
quelconques vivant aux Etats-Unis, dont la population à l’époque était de l’ordre de
200.000.000 d’individus, peuvent être reliées par une courte chaîne de personnes qui se
connaissent personnellement. Plus récemment les conclusions de Milgram ont été
appuyées par une étude où plus de 60.000 utilisateurs du courrier électronique ont essayé
de rejoindre chacun un individu cible choisi parmi un total de 18, distribués dans 13 pays
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 37 ~
différents, en envoyant un message électronique à une personne connue personnellement
et qui, selon la personne qui envoie le message, serait plus proche de la cible [51]. En
moyenne, les messages qui ont atteint leur cible ont été retransmis par 5 personnes
intermédiaires.
d (A-B) =1, d (J-M) =4
FIG 10 : Exemple de calcul de la distance entre les paires de nœuds.
Ces recherches suggèrent que la population humaine forme un grand réseau reliant la
totalité des être humains par un ensemble de relations sociales et que le monde est petit,
c’est à dire qu’il existe un chemin relativement court entre l’ensemble des paires
d’individus. Elles ne fournissent cependant aucune information sur la structure du réseau
des relations sociales entre les être humains à l’échelle de la terre, ni sur les
caractéristiques distinctives des réseaux qui seraient nécessaires pour faire émerger la
propriété du petit monde. Dans la mesure où la collecte des données qui seraient
nécessaires à mise en évidence du réseau des relations sociales à l’échelle planétaire est
hors de portée, c’est le développement de différents modèles qui a permis de progresser
A E
L
B
N I
M
F
G
D
K H
J
C
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 38 ~
dans la connaissance de propriétés structurelles des réseaux qui possèdent les
caractéristiques du petit monde (appelés dorénavant réseaux petit monde).
Le modèle auquel les réseaux réels sont fréquemment comparés, est le modèle de réseau
aléatoire, où les liens entre les nœuds sont distribués au hasard [52]. Dans ce modèle, le
nombre de nœuds, N, est fini et chaque paire de nœuds est connectée aléatoirement avec
une probabilité p.
Dans le cas du modèle du réseau aléatoire, la distance moyenne entre les nœuds, D, est
proportionnelle au logarithme du nombre de nœuds dans les réseaux et lorsque N et <k>
sont grands, Bollobas (1985) a démontré que D est approximativement égal à ln(N)/ln
(<k>). En conséquence, dans ce type de réseau, D augmente lentement avec le nombre
total de nœuds [53]. Une courte distance entre les nœuds ne semble donc pas, à première
vue, reposer sur l’existence d’une structure particulière du réseau. Cependant un réseau
aléatoire ne possède pas une des caractéristiques essentielles partagée par la majorité des
réseaux sociaux: un niveau élevé d’amas. Cette propriété est associée à la propriété de
transitivité fréquemment rencontrée dans le cas des relations sociales : si nœud A est lié
au nœud B et au nœud C, il existe une probabilité accrue que le nœud B soit aussi lié au
nœud C [54]. Pour prendre un exemple concret, si l’individu A connaît personnellement
les individus B et C, il existe une probabilité accrue que les individus B et C se connaissent
eux aussi personnellement. Un groupe de trois nœuds, où chacun des nœuds est connecté
aux deux autres, forme une triade fermée (un triangle) L’amas au niveau d’un réseau est
fonction de la densité de triades fermées en son sein [55]. Elle peut être mesurée grâce au
coefficient d’amas qui est la deuxième propriété qui a été amplement utilisée pour
comparer les réseaux.
III.2.2. Le coefficient d’amas
Si un nœud i possède v voisins, au maximum, il peut exister v (v -1) /2 liens entre ces
voisins. Le coefficient d’amas locale du nœud i, KC est la fraction des liens observés entre
les voisins de i par rapport au nombre de liens potentiels (FIG 10). Il s’agit de la propriété
locale de l’amas au sein d’un groupe de nœuds centré sur le nœud i. C, le coefficient
d’amas du réseau est la moyenne des c Pour l’ensemble des nœuds ∑= icNC 1 [50].
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 39 ~
: 11 FIG Exemple de calcul de coefficient d’amas
Le modèle de réseau aléatoire, possède un coefficient d’amas, C, égal à<k>/N (54). Un
réseau aléatoire où 1 >⟩⟩<⟩⟩ KN possède en conséquence un coefficient d’amas
relativement petit. La comparaison du coefficient d’amas entre différents réseaux et les
modèles de réseaux aléatoires qui leur correspondent (possédant le même nombre de
nœuds et de liens) a permis de confirmer que le modèle aléatoire ne reproduisait pas
l’amas élevée rencontrée dans la cas des réseaux sociaux [51, 57, 55] .La FIG 12 montre un
exemple de réseau, constitué de 200 nœuds, dont les liens entre ont été générés
aléatoirement avec une probabilité p = 0.02211 entre chaque paire de nœuds. Cette
probabilité a été déterminée de telle sorte qu’en moyenne un tel réseau possède 440 liens.
Les moyennes des valeurs de D et C est mesurées au niveau de 10 réseaux générés
aléatoirement en utilisant ces paramètres sont respectivement de 3.7 et 0.022. Les
formules ( ) ( ) NketkND ><><= lnln fournissent des valeurs très proches, soit D
= 3,6 et C = 0,022. Cet exemple illustre que l’existence d’un court chemin entre les paires
de nœuds et un coefficient d’amas relativement petit sont deux propriétés des réseaux
aléatoires. Le réseau de la figure 4 est présenté de telle façon que les nœuds se repoussent
tout en minimisant les variations entre les longueurs des liens. La table résume les
principales propriétés des différentes catégories de réseaux
( ) ,21
sin−
=ii
i vvinoeuddusvoilesentreliensdenombrec 5sin == idesvoinoeuddenombrevi
i i
i
110/10 ==iC4.010/4 ==iC0=iC
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 40 ~
FIG 12 : Exemple de réseau aléatoire
TAB 06: Comparaison des propriétés structurelles des différentes catégories de réseaux.
Comparaison des propriétés structurelles des différentes catégories de réseaux
Catégories des réseaux
Exemples aux réseaux appartenant aux différentes catégories
Caractéristiques de propriétés utilisées pour différencier les catégories de
réseau
Caractéristiques des différents exemples de
réseaux
Les exemples de réseau (Borgatti ,2002)
D C Distribution des
degrés
N
L
D
C
Valeurs calculés
3.6 0.022
valeurs mesurés
Réseau aléatoire
Petit
= D aléatoire
Petit
= C aléatoire
homogène
200
440
3.7 0.022
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 41 ~
Réseau régulier
Grand
D >> D aléatoire
Grand
C >>C
aléatoire
homogène
200
440
20.7
0.84
réseau petit
monde basé sur
l’addition de
raccourcis au sein
d’un réseau
régulier
Petit
D ≈ D aléatoire
Grand
C >>C aléatoire
homogène
200
460a
6.3
0.8
Réseau petit
monde basé sur
l’addition d’un ou
plusieurs nœuds dont le
degré est élevé d’un
réseau régulier
Petit
D ≈ D aléatoire
Grand
C >> C
aléatoire
hétérogène
201a
460a
4.5
0.82
N : nombre de nœuds ; L : nombre de liens ; D : distance moyenne entre les œuds ; C :
coefficient d’amas de réseau
a. L’addition d’un petit nombre de liens au modèle aléatoire ne modifie que très peu la
distance moyenne entre les nœuds et le coefficient d’amas. En effet, pour un réseau
aléatoire avec 200ou 201 nœuds et 460 liens. D calculé = 3.5 et C calculé = 0.023.
A l’opposé du modèle de réseau aléatoire se trouvent les modèles de réseaux dont les
éléments de base sont de petits groupes de nœuds tous connectés entre eux. Ces groupes
de nœuds sont arrangés de façon régulière de telle sorte que chaque groupe ne se trouve
relié qu’à deux groupes voisins [55, 58]. C’est ce qu’on appelle « réseau régulier ». Ce type
de modèle illustre, par Exemple, un ensemble de familles, dont les habitations sont isolées
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 42 ~
et distantes les une des autres, et qui n’auraient chacune des contacts qu’avec les familles
voisines les plus proches. Il reproduit bien l’amas élevé rencontrée dans la majorité des
réseaux sociaux, mais D, la distance moyenne entre les paires de nœuds, grandit de façon
très rapide avec le nombre total de nœuds. Un exemple de réseau régulier est le modèle
connecté de l’homme des cavernes au niveau duquel, D est proportionnel à K ><N et
donc grandit beaucoup plus vite avec le nombre de nœuds que dans le cas du modèle de
réseau aléatoire (Watts, 1999). FIG 13 présente un modèle dérivé du modèle connecté de
l’homme des cavernes qui illustre les propriétés d’un réseau régulier.
FIG 13 : Exemple de réseau régulier
Son unité de base est un groupe de 5 nœuds où chaque nœud est connecté aux 4 autres.
Les 40 groupes sont reliés entre eux pour former un cercle, où chaque groupe est relié à
deux groupes voisins par un seul lien. Ce réseau possède 200 nœuds et 440 liens et un
degré moyen égal à 4.4. Deux nœuds situés à des pôles opposés du réseau sont séparés
par un grand nombre d’intermédiaires et il est aisé de comprendre que la distance
moyenne entre les nœuds soit relativement grande. En effet, en moyenne deux nœuds
quelconques de ce réseau sont séparés par 20,7 liens (TAB 06). Le coefficient d’amas de ce
réseau est quant à lui particulièrement élevé (0.84) et traduit la connectivité de 100 % entre
les nœuds de chacun des groupes de 5 nœuds. Ni le modèle de réseau aléatoire, ni les
modèles de réseau régulier ne sont donc en mesure de reproduire « simultanément » les
propriétés rencontrées dans le réseau de relations humaines : l’existence d’un court
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 43 ~
chemin liant deux personnes quelconques et un haut degré d’amas. C’est à Watts et
Strogatz (1998) que revient le mérite d’avoir construit un modèle de réseau petit monde
qui possède à la fois une courte distance moyenne entre les nœuds, propriété des réseaux
aléatoires et un amas élevée, propriété des réseaux réguliers. Ce modèle a permis de
démontrer que la création d’un petit nombre de liens aléatoires au sein d’un réseau
régulier est une condition suffisante pour générer un réseau où la distance moyenne entre
deux nœuds quelconques diminue drastiquement pour se rapprocher de celle du modèle
aléatoire, tandis que le coefficient d’amas pour l’ensemble du réseau reste pratiquement
inchangé.
Suite à la publication du modèle de Watts et Strogatz, différents modèles alternatifs de
réseaux petit monde construits à partir d’un réseau régulier ont été proposés, soit par
déplacement de liens préexistants, soit par addition de nouveaux liens [55,58, 59,60]. Les
FIG 14 et 15 sont deux représentations du même exemple de réseau petit monde généré
par l’addition de 20 liens entre des nœuds distants au sein du réseau présenté à la FIG 13.
FIG 14 : Exemple 1 de réseau de petit monde
basé sur l’addition des raccourcis au sein d’un réseau régulier.
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 44 ~
L’addition des raccourcis n’affecte pratiquement pas le coefficient d’amas du réseau qui
reste très élevé, tandis qu’elle possède un impact considérable sur la distance moyenne
entre les nœuds qui diminuent considérablement et se rapproche de la valeur du modèle
aléatoire de la FIG 12 (TAB 06). La FIG 14 illustre le principe de l’addition des raccourcis,
tandis que FIG 15 facilite la comparaison avec les réseaux présentés aux FIG 12 et 13. Une
alternative au modèle WS basé sur la création de raccourcis aléatoires pour générer un
réseau petit monde à partir d’un réseau régulier, consiste à relier les nœuds distants dans
le réseau régulier par un ou quelque nœud dont le degré est très élevé [57, 61,62]. Dans le
réseau présenté à la FIG 16, 20 nœuds du réseau de la FIG 13 ont été reliés par
l’intermédiaire d’un seul nœud. Cette construction n’altère pratiquement pas l’amas du
réseau, tandis que D chute brutalement, générant ainsi un réseau petit monde (TAB 06).
La FIG 17 présente le même réseau que celui de la FIG 16.
FIG 15 : Exemple 2 de réseau de petit monde
basé sur l’addition des raccourcis au sein d’un réseau régulier
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 45 ~
FIG 16 : Exemple 1 de réseau de petit monde
basé sur l’addition d’un nœud dont le degré est élevé
au sein d’un réseau régulier
Nous avons vu dans l’introduction qui précède que les termes « petit monde » ont été
utilisés dans des sens différents par divers auteurs. Ils ont d’abord été utilisés en
sociologie pour faire référence à la situation apparemment étonnante qui survient lorsque
deux étrangers découvraient qu’ils avaient un ami commun et étaient en conséquence
séparés par une distance égale à 2. Milgram s’est penché sur le « problème du petit monde
» où la question était de savoir comment est-il possible que n’importe quelle paire
d’individus sur terre puisse être reliée par un petit nombre d’intermédiaires malgré
l’existence des barrières sociales, culturelles et géographiques. Watts et Strogatz ont utilisé
la phrase « réseau petit monde » pour les réseaux qui possèdent à la fois une courte
distance moyenne entre les nœuds et un coefficient d’amas élevée.
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 46 ~
FIG 17 : Exemple 2 de réseau de petit monde
basé sur l’addition d’un nœud dont le degré est élevé
au sein d’un réseau régulier
Les modèles basés sur l’addition de raccourcis ou d’un ou quelques nœuds fortement
connectés à un réseau régulier sont tous deux en mesure de générer les propriétés du petit
monde. Ils sont cependant différents du point de vue d’une autre propriété des réseaux :
la distribution des degrés. Dans le premier cas la distribution est homogène, centrée sur
k, le degré moyen du réseau, dans le second cas la distribution des degrés est hétérogène,
certain nœuds possédant un degré beaucoup plus élevé que la moyenne. Cette
observation nous amène à nous tourner maintenant vers la distribution des degrés, qui est
la troisième propriété qui a été utilisée pour comparer un grand nombre de réseaux.
III.2.3. La distribution des degrés
La distribution des degrés, P(k), donne la probabilité qu’un nœud spécifique ait
exactement k liens. P(k) est obtenue en comptant le nombre de nœuds, N(k), qui ont k = 1,
2, 3… liens et en divisant ce nombre par le nombre total de nœuds N. La distribution des
degrés permet de distinguer différentes classes de réseaux. La découverte que la
distribution des degrés de divers réseaux, comme le WWW et le réseau de transmission
d’énergie électrique aux E.U., n’était pas du tout homogène, mais suivait une loi de
puissance [64]. La loi de puissance: ( ) γ−∝ kkp , où γ est une constante. Les réseaux qui
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 47 ~
possèdent une distribution des degrés qui suit une loi de puissance ont été appelé sans
échelle (Scale Free – SF).
FIG 18 : Distribution selon une loi de puissance
III.3.Model basé sur le réseau de petit monde
Plusieurs études ont était faites sur le réseau de petit monde et parmi ses études la
propagation d'une maladie.
La distribution des degrés et la propagation des maladies infectieuses et des virus
informatiques :
Les études concernant le rôle de la distribution des degrés sur la propagation des
maladies infectieuses et des virus informatiques [64,65,66,67]et sur l’efficacité des
stratégies d’immunisation pour les combattre [68,69] ont révélé des différences
fondamentales entre les réseaux dont la distribution est homogène et ceux dont elle est
hétérogène. La propagation des maladies infectieuses et des virus informatiques dans les
réseaux a été analysée en faisant usage du modèle SIS (susceptible – infecté – susceptible)
utilisé en épidémiologie. Chaque nœud dans le réseau correspond à un individu et
chaque lien une connexion au travers de laquelle l’infection peut se propager. A chaque
unité de temps, un individu susceptible peut être infecté à un taux ν , tandis qu’un
individu infecté peut retourner à l’état susceptible à un taux δ .
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 48 ~
Le développement d’une épidémie dépend, en conséquence, du taux de propagation de
l’infection δνλ = .
Au sein des réseaux dont la distribution est homogène, une épidémie se propagera et
l’infection sera persistante si λ dépasse ce qui est appelé le seuil épidémique, cλ . Siλ ,
est inférieur à cλ , l’infection disparaît rapidement. Dans cette situation, les interventions
dont l’objectif est de réduire la transmission seront efficaces si elles sont en mesure de
faire baisser le taux de propagation en dessous du seuil épidémique[69]. La FIG 19
représente la variation de la taille moyennes des amas qui deviennent non nulles au-delà
du seuil de percolation cp et varient en puissance avec p .la valeur de cp est en bon
accord avec la prédiction analytique du Newman [61] ils ont trouvée que le seuil de
percolation cp est donné par : c
kc
kpp 2)1( −
=φ ; k : le nombre de proche voisin, :φ court
circuit.
La FIG 20 présente l’évolution du nombre de nouveaux cas en fonction du temps pour
différentes phases : p=0.1 (situation endémique), p=0.15 et p=0.2 (situation
épidémique).nous remarquons que dans le cas endémique le nombre de cas est quasi
stationnaire. Au de-là de cp Le nombre de cas augmente exponentiellement. Le nombre
de contaminés diminue par la suite ce qui n’est pas le cas dans les résultats de Pastor –
Satorras[64].
Au sein des réseaux dont la distribution des degrés suit une loi de puissance et dont
l’exposant,γ , se situe entre 2 et 3, Pastor-Satorras et Vespigiani (2001) ont démontré en
utilisant un modèle dynamique de réseau, que l’infection se propagera et sera persistante
quelle que soit la valeur de λ . Ce résultat est en accord avec les données sur la
persistance extrêmement longue des virus informatiques au sein du réseau Internet qui
possède une distribution des degrés sans échelle[64].
L’utilisation de modèles de réseaux dynamiques a également permis d’évaluer
l’efficacité des stratégies d’immunisation en fonction d’hétérogénéité de la distribution
[68]. Dans le cas d’un réseau dont la distribution des degrés est homogène immunisation
uniforme sur une fraction des nœuds est efficace pour éliminer la propagation de
l’infection. Par contre, cette approche ne l’est pas du tout dans le cas d’un réseau dont a
distribution des degrés est sans échelle au niveau duquel la propagation n’est éliminée
que si pratiquement 100% de la population est immunisée. De plus, dans le cas des
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 49 ~
réseaux dont la distribution des degrés est homogène, une stratégie d’immunisation
ciblant préférentiellement les nœuds les plus connectés ne présente pas d’avantage
significatif par rapport à une immunisation uniforme. Elle apparaît par contre comme la
seule alternative réellement efficace pour réduire la propagation au sein des réseaux sans
échelle. Ces résultats trouvent une application dans le cas de la lutte contre la
transmission des virus informatiques tout comme des maladies infectieuses.
FIG 19 : Variation de la taille moyenne du plus grand amas avec p pour 3 valeurs de φ : 6
(pleine) ; 30 (tirés) et 30 avec δφ = 15 (pointillés). Le graphe inséré représente la
distribution (semi-logarithmique) des tailles d’amas dans le premier cas pour p = 0,01
(pleine) et 0,15 (tirés).
Chapitre III Réseau de petit monde
~ 50 ~
FIG 20 : Évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas
φ = 6 pour 3 situations : p = 0,1 (pleine), p = 0,15 (tirés) et p = 0,2 (pointillés).
Le même graphe (en log–log) est inséré.
Chapitre IV
Application du R.P.M pour
l’étude dynamique de la
propagation d’une maladie
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 52 ~
IV.1. Introduction Le modèle de percolation a été appliqué à plusieurs domaines. Nous nous
intéressons ici à son application à la propagation d’épidémie [2,64].
Parce que les petits mondes ont les mêmes caractéristiques que de nombreux
systèmes de la vie courante, ils constituent un bon modèle pour étudier la
propagation d'influences à travers un réseau. Par exemple, ces influences peuvent être
des épidémies se propageant au sein d'une population ou des virus informatiques
diffusés par messages électroniques.
Dans ce chapitre nous étudions la transmission des maladies en utilisant le réseau
de petit monde. Nous essayons de voir l’effet de corrélation sur l’évolution temporelle
des sites infectés et le comportement de l’exposant critique.
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 53 ~
IV.2. Simulation Les probabilités pij qu’un site j soit voisin du site occupé i pour un paramètre d’ordre σ sont données par :
(1 )OOP p pσ= − + ; (IV.01) L’ indice o représente un site occupé. Le paramètre d’ordre σ varie de -1 pour le cas
de la ségrégation (séparation) complète entre les sites occupés de différents types à 1
pour l’ordre total (corrélation total) en passant par 0 pour le désordre total . en fixant
une valeur du paramètre d’ordre σ , ceci permet de déterminer les différents ,i jP .
Mais pratiquement, si nous nous intéressons à un type de sites occupés, il suffit de
connaître la probabilité de trouver un site occupé voisin d’un site occupé ( )ooP pour
réaliser l’échantillon. Seulement , dans l’environnement local d’un site occupé, il est
impossible de réaliser la probabilité OOP pour chaque site occupé et avec une
concentration des sites occupés P dans l’échantillon. par exemple pour 0.5σ = et
0.5p = , alors 0.75ooP = . Ceci signifie que pour chaque site occupé, parmi les 6 sites
voisins, 4.5 doivent être des sites occupés ce qui est impossible à réaliser. Par
conséquent, pour 0.5, OOPσ = devrait fluctuer de 3/4 avec une variance dépendant de
la taille de l’échantillon et du nombre de proches voisins. On fait la même chose pour
les cours circuits.
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 54 ~
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
1000
2000
3000
4000
5000
fréq
uenc
e
n o m bre d e co u rt circu it (o ccu p és)
σ = − 0 ,4
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 80
5 0 0
1 0 0 0
1 5 0 0
2 0 0 0
2 5 0 0
3 0 0 0
σ = 0
fréq
uenc
e
n o m b re d e c o u rt c irc u it (o c c u p é s )
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
500
1000
1500
2000
2500
fréq
uenc
e
nom bre de court circuit(occupée)
σ=0,2
FIG 21 : distribution de court circuit pour différents paramètres σ :
a) ségrégationσ =-0.4, b) désordre total σ =0, c) arrangement local σ =0.2
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 55 ~
La FIG 21, nous montrons, pour une taille fixée à 100000 sites, la distribution des courts
circuits pour des valeurs de σ représentant la ségrégation, le désordre total et
l’arrangement local la principale remarque est que la valeur de court circuit obtenue
a partir de l’équation (IV.01) correspond à la valeur la plus probable dans la FIG. La
forme de ces distributions tend vers des piques quand le nombre de court circuit tend
vers l’infini.
IV.3. Résultats et discussions
Etude dynamique de la propagation d’une maladie Nous réalisons 100 configurations du réseau [46, 50] avec une taille fixée à 100000
sites. Le nombre moyen de proches voisins est fixé à k =2 et le nombre de court
circuit fixé à ϕ =30.
Supposant que l’épidémie commence par se propager à partir d’un seul site
infecté. Alors, dans un temps tΔ il transmettra la maladie à tous les sites occupés
(exposés) qui lui sont connectés, après tΔ2 ces sites la transmettrons aux seconds
connectés et ainsi de suit. En ne supposant que le temps de transmission de l’épidémie
tΔ est constant, nous pouvons ainsi déterminer l’évolution du nombre de cas
contaminés en fonction du temps nous restreignons à 30=φ .
Dans la FIG 22 nous montrons l’évolution du nombre de nouveau cas en fonction
du temps pour différentes valeurs de p. nous remarquons que le nombre de cas
augmente exponentiellement et diminue par la suite (ce qui n’est pas le cas dans les
résultats de Pastor-Satorras [65] ou il sature, car dans leur cas un site ayant été
contaminé plusieurs fois).
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 56 ~
0 10 20 30 40 500
400
800
1200
1600
2000
2400
nom
bre
de c
as
temps
p = 0,08p = 0,1p = 0,12
FIG 22: évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés
Pour différentes valeurs de p
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,300,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
expo
sant
γ
concentration p
FIG 23: le comportement de l’exposant γ en fonction de la concentration p
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 57 ~
Ce résultat pourrait permettre aux services de prévention de détecter une épidémie
une épidémie en évaluant systématiquement le nombre de cas en fonction du temps et
de les ajuster à une exponentielle.
1. Effet de corrélation entre les courts circuits
Dans cette partie et pour la partie (effet de corrélation entre les voisins) on
étudie l’effet de corrélation sur la dynamique de la propagation d’une maladie.
Donc on suppose aussi que l’épidémie commence par se propager à partir d’un
seul site infecté.
Dans les FIG 24, FIG 25 et FIG 26 nous montrons l’évolution du nombre de
nouveau cas en fonction du temps pour différentes valeurs de σ et pour
différentes valeurs de p et aussi le comportement de l’exposant γ en fonction de σ
(FIG 27). Nous remarquons que le nombre de cas augmente exponentiellement et
diminue par la suite.
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 58 ~
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
temps
σ = 0 σ = 0,05 σ = 0,1 σ = 0,2 σ = 0,3
p=0,1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
temps
σ = 0σ = -0,05σ = -0,1
p = 0,1
FIG 24 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas 30=φ
Pour différentes valeur de σ pour p=0.1
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 59 ~
2 4 6 8 10 12 14-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
σ = 0 σ =- 0,05 σ = -0,1 σ = -0,15 σ = -0,2
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
temps
p=0,2
2 4 6 8 10 12-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
nom
bre
de s
ites
infe
cté
temps
σ = 0 σ = 0,1 σ = 0,2 σ = 0,3
p=0,2
FIG 25 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas
30=φ Pour différentes valeur de σ pour 0.2p =
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 60 ~
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0
5000
10000
15000
20000
25000
nom
bre
de s
ite
infe
ctés
temps
σ = 0 σ = 0,05 σ = 0,1 σ = 0,2 σ = 0,3
p=0,3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5000
10000
15000
20000
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
temps
σ = 0 σ =-0,05 σ =-0,1 σ =-0,2 σ =-0,3
p=0,3
FIG 26 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas 30=φ
Pour différentes valeur de σ pour 3.0=p
Nous remarquons aussi que Pour σ >0 le nombre de cas contaminés augmente et
diminue pour σ <0.
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 61 ~
-0 ,1 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,30 ,3 0
0 ,3 5
0 ,4 0
0 ,4 5
0 ,5 0
0 ,5 5
expo
sant
γ
σ
p = 0 ,1
- 0 ,2 - 0 ,1 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,30 ,6 6
0 ,6 8
0 ,7 0
0 ,7 2
0 ,7 4
0 ,7 6
0 ,7 8
0 ,8 0
0 ,8 2
expo
sant
γ
σ
p = 0 ,2
-0 ,3 -0 ,2 -0 ,1 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,3
0 ,9 0
0 ,9 1
0 ,9 2
0 ,9 3
0 ,9 4
0 ,9 5
0 ,9 6
0 ,9 7
0 ,9 8
expo
sant
γ
σ
p = 0 ,3
FIG 27 : le comportement de l’exposant γ en fonction de σ
Pour trois situations : p=0.1, 0.2 et 0.3
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 62 ~
Alors l’exposant γ augmente en augmentant la valeur de σ et son augmentation
semble linéaire lorsque p est petit (0.1). Plus il y a d'arrangement plus il y a de
contacts et donc la vitesse de propagation augmente. Pour la ségrégation c'est l'inverse
car il y a moins de connexions.
2. L’effet de corrélation entre Les voisins
On a fait la même chose que les cours circuits, dans la FIG 28 nous montrons aussi
l’évolution du nombre de nouveau cas en fonction du temps pour différents valeurs
de σ pour trois cas de concentration p=0.1, 0.2, et 0.3. Nous remarquons que le
nombre de cas augmente exponentiellement. Le nombre de contaminés diminue par la
suite. Et vérifier le comportement de γ en fonction σ (FIG 29)
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 63 ~
2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6- 5 0 0
0
5 0 0
1 0 0 0
1 5 0 0
2 0 0 0
2 5 0 0
3 0 0 0
3 5 0 0
4 0 0 0
4 5 0 0
5 0 0 0
5 5 0 0
6 0 0 0
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
t e m p s
σ = 0 σ = 0 ,2 σ = 0 ,4 σ = - 0 ,1
p = 0 ,1
2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
0
5 0 0 0
1 0 0 0 0
1 5 0 0 0
2 0 0 0 0
2 5 0 0 0
3 0 0 0 0
σ = 0σ = - 0 ,2 = 0 ,2 σ = 0 ,5
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
t e m p s
p = 0 ,3
FIG 28 : évolution temporelle du nombre de nouveaux infectés dans le cas 30=φ
Pour différentes valeur de σ
2 4 6 8 1 0 1 2 1 4- 2 0 0 0
0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 4 0 0 0
1 6 0 0 0
nom
bre
de s
ites
infe
ctés
t e m p s
σ = 0 σ = 0 , 2 σ = 0 , 4 σ = 0 , 5 σ = - 0 , 2
p = 0 , 2
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 64 ~
- 0 ,2 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,00 ,3 5
0 ,4 0
0 ,4 5
0 ,5 0
0 ,5 5
0 ,6 0
0 ,6 5
expo
sant
γ
σ
p = 0 ,1
-0 ,2 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0
0 ,6 5
0 ,7 0
0 ,7 5
0 ,8 0
0 ,8 5
0 ,9 0
expo
sant
γ
σ
p = 0 ,2
-0 ,4 -0 ,2 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,00 ,9 0
0 ,9 2
0 ,9 4
0 ,9 6
0 ,9 8
1 ,0 0
1 ,0 2
1 ,0 4
1 ,0 6
expo
sant
γ
σ
p = 0 ,3
FIG 29 : le comportement de l’exposant γ en fonction de σ
Pour trois situations : p=0.1, 0.2 et0.3
Chapitre IV Application du R.P.M pour l’étude dynamique de la propagation d’une maladie
~ 65 ~
Nous remarquons aussi que pour σ >0 le nombre de cas contaminés augmente
et diminue pour σ <0 et l’exposant γ augmente an augmentantσ .Lorsque on a plus
d'arrangement plus γ augmente et son augmentation semble linéaire lorsque p est
petit. Plus il y a d'arrangement plus il y a de contacts et donc la vitesse de propagation
augmente. Pour la ségrégation c'est l'inverse car il y a moins de connexions.
Alors L’étude de quelque épidémie indique que les mouvements et les
interactions entre les individus et la distribution de la population jouent un rôle
important sur la dynamique de propagation de plusieurs maladies infectieuse.
Conclusion générale
Conclusion générale
~ 67 ~
Conclusion générale
Dans notre travail Le champ d’application de la théorie de percolation dépasse
largement le domaine de la science des matériaux et décrit aussi de nombreux
phénomènes tels que l’épidémie [2].
Ainsi que L’application de ce modèle mathématique dans les réseaux réguliers afin
’étudier des phénomènes réel compliqué est insuffisante. La relation entre les individus dans
les réseaux sociaux par exemple n’est plus régulière, donc la propagation d’une épidémie
suit une procédure différente et plus compliquer en comparant avec la conduction
électrique dans un réseau réguliers. Dans le cas d’épidémie l’utilisation de ces réseaux ne
permet pas d’inclure des effets à longue distance [50].
On a étudié dans ce mémoire l’effet de corrélation sur la dynamique de
propagation d’une maladie en utilisant le réseau de petit monde.
On a vu l’évolution en fonction du temps du nombre de cas contaminés et le
comportement de l’exposantγ . On a trouvée que le début d’une épidémie est
caractérisé par une augmentation exponentielle du nombre de cas avec le temps
On a montré que l’arrangement augmente le pouvoir de propagation alors que
la ségrégation la diminue. Ce résultat s’explique par le fait que la dynamique de
propagation dépend essentiellement de la connectivité du réseau.
Bibliographie
Références et bibliographies
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