Page 1 of 22 - · PDF fileContoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o,...
Transcript of Page 1 of 22 - · PDF fileContoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o,...
Page 1 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
Kegiatan Belajar 3
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat
a. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri
b. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri
B. Uraian Materi 3
Persamaan Trigonometri
a. Sin x = sin p, cos x = Cos p, tan x = tan p
Pada dasarnya fungsi trigonometri adalah merupakan fungsi priodik, yaitu fungsi yang setiap
satu priode, nilai-nilainya berulang, maka untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
dengan sudut derajat dapat digunakan sifat-sifat:
� Sin ax = sin po maka x = p
o + k. 360
o atau
x = (180o – p
o) + k. 360
o
� Cos x = cos po maka x = p
o + k. 360
o atau
x = – po + k. 360
o ⇒ x = (360 – p
o) + k. 360
o
� Tan x = Tan po maka x = p
o + k. 180
o
Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat:
� Sin ax = sin po maka x = p
o + k.2π atau
x = (π – po) + k. 2π
� Cos ax = Cos po maka x = p
o + k. 2π atau
x = - po + k.2π ⇒ x = (2π – p
o) + k.2π
� Tan x = tan po maka x = p
o + k. π
Contoh
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o, untuk 0 ≤ x ≤ 360
o
Penyelesaian
Sin x = sin 45o atau Sin x = sin (180 – 45)
o
x = 450 + k. 360
o atau x = (180
o – 45
o) + k.360
o
Page 2 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
� Untuk k = 0 maka
x = 45o + 0.(360
o) atau x = 135
o + 0.(360
o)
x = 45o atau x = 135
o
� Untuk k = 1, maka
x = 45o + 1(360
o) atau x = 135
o + 1 (360
o)
x = 405o atau x = 495
o
untuk k = 1 tidak memenuhi
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45o adalah {45
o, 135
o}
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 32
1cos =x , untuk 0
o ≤ x ≤ 720
o
Penyelesaian
32
1cos =x
cos x = cos 30o
x = 30o + k. 360
o atau x = - 30
o + k. 360
o
� Untuk k = 0, maka
x = 30o + 0 (360
o) atau x = - 30 + 0 (360
o)
x = 30o atau x = - 30 → (tidak memenuhi)
� Untuk k = 1, maka
x = 30o + 1 (360
o) atau x = - 30
o + 360
o
x = 390o atau x = 330
o
� Untuk k = 2, maka
x = 30o + 2 (360
o) atau x = - 30
o + 2 (360
o)
x = 30o + 720
o atau x = - 30
o + 720
o
x = 750o (tidak memenuhi) atau x = 690
o
� Untuk k = 3, maka
x = 300 + 3 (360
o) atau x = - 30
o + 3 (360
o)
x = 1110o (tidak memenuhi) atau x = 1050
o (tidak memenuhi)
Jadi nilai x yang memenuhi adalah {30o, 330
o, 390
o, 690
o}
Page 3 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360
o
Penyelesaian
2 sin x = 1
sin x = ½
sin x = sin 30o
x = 30o + k. 360
o atau x = (180
o – 30
o) + k. 360
o
� Untuk k = 0, maka
x = 30o atau x = 150
o
� Untuk k = 1, maka
x = 30o + 360
o atau x = 150
o + 360
o
x = 390o (tidak memenuhi) atau x = 510
o (tidak memenuhi)
Jadi nilai x yang mmenuhi adalah {30o, 150
o}
4. Nilai dari sin 1.140o adalah…
Penyelesaian
sin 1.140o = sin (60
o + 3 x 360
o)
= sin 60o
= 32
1
5. Nilai dari
− π
3
7sin adalah…
Penyelesaian
32
1
3sin
2.23
sin
3
7sin
3
7sin
−=
−=
+−=
−=
−
π
ππ
ππ
Page 4 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( ) ππ
π 20,3
cottan ≤≤=− xuntukx
Penyelesaian
( )
( )
( )
( )
ππ
πππ
ππ
π
ππ
πππ
πππ
ππ
.6
7
.6
.6
6
32
32tantan
3cottan
kx
kx
kx
x
x
x
x
+=⇒
++=⇒
+=−⇒
=−⇒
−=−⇒
−=−⇒
=−
� Untuk k =0, maka 6
7π=x
� Untuk k =1, maka ( )memenuhitidakxx6
13
6
7 ππ
π=⇒+=
Jadi nilai x yang memenuhi adalah
6
7π
7. Tentukan himpunan penyelesaian dari ππ 22;cos3
1sin ≤<−= xuntukxx
Penyelesaian
ππ
ππ
ππ
π
π
πππ
28
3
4
3.
223
4
23
1
23
1
2sin
3
1sin
20
0222
×+=⇒
=⇒=⇒
=+⇒−=⇒
−=⇒
≤<
<<−≤<−
kx
xx
xxxx
xx
x
xx
Page 5 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
� Untuk k = - 2, maka
( )( )
( )memenuhitidakx
x
8
29
228
3
π
ππ
−=
−+=
atau
( )( )
( )memenuhitidakx
x
8
19
228
3
π
πππ
−=
−+
−=
� Untuk k = - 1, maka
8
11
8
13
)1(28
52
8
3
ππ
ππ
ππ
−=−
=
−+=−=
xataux
xataux
� Untuk k = 0, maka
8
5
8
3 ππ== xataux
� Untuk k = 1, maka
( ) ( )memenuhitidakxataumemenuhitidakx
xataux
8
21
8
19
28
52
8
3
ππ
ππ
ππ
==
+=+=
Jadi nilai x yang memenuhi adalah
−−
8
5,
8
3,
8
113,
8
13 ππππ
c. Persamaan Trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c adalah dengan
cara menggubah bentuk a sin x + b cos x = c menjadi k cos (x – ά) = c.
Untuk menggubah bentuk tersebut tersebut menggunakan aturan berikut :
Cos (x – ά) = cosx. Cos ά + sin x. sin ά
Sehingga:
a sin x + b cos x = k cos (x – ά)
= k (cos x. cos ά + sin x . sin ά)
= (k. cos ά) cos x + (k. sin ά) sin x
Maka
a = k sin ά dan b = k. cos ά
kita telah mempelajari identitas trigonometri bahwa cos2 ά + sin
2 ά = 1, maka
Page 6 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
a2 + b
2 = (k sin ά)
2 + (k. cos ά)
2
a2 + b
2 = k
2 (sin
2 ά + cos
2 ά)
a2 + b
2 = k
2
karena a = k. sin ά dan b = k. cos ά maka
b
a
berlakumakak
bdan
k
a
==
==
α
αα
αα
cos
sintan
,cossin
Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa
1. untuk menentukan nilai k adalah
22bak +=
2. untuk menentukan ά adalah
=
−
b
a1tanα
Jadi untuk menyelesaikan persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan
persamaan ( )
=⇒=
+=−
−
b
a
b
a
bakxk
1
22
tantancos.
ααα dengan syarat
≤
≤≤−≤
22kc
kckkc
Contoh
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 cos x + 2 sin x = 2; untuk 0o
≤ x ≤ 360o.
Penyelesaian
Persamaan cos x + sin x = 1 diubah ke bentuk k.cos (x – ά) = c
a = 1; b = 1; c = 1
2
11 22
22
=
+=
+=
k
k
bak
( )oo 22545
1tan
1
1tan
1
1
=∨=
=
=
−
−
αα
α
α
Page 7 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
( )
( )
( ) ( )
oo
oo
o
oo
oooo
oooo
o
o
xatauTMxk
xatauxk
kxataukx
xataux
xataux
xataux
x
xxx
360)(4501
0900
360.)360360(360.90
360cos90
315cos454545
315cos45cos45cos45cos
22
145cos
145cos.21sincos
==⇒=
==⇒=
+−=+=⇒
==⇒
=−=−⇒
=−=−⇒
=−⇒
=−⇒=+
Jadi himpunan penyelesaian adalah {0o, 90
o, 360
o}
2. Tentukan batas-batas p agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan
Penyelesaian
Agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan syaratnya adalah
≤
≤≤−≤
22kc
kckkc
( ) ( )
( )( )
11
011
01
012
12
12
2
22
22
222
≤≤−
≤−+
≤−
≤−−
+≤
−+≤
p
pp
p
pp
pp
pp
Jadi agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya 11 ≤≤− p
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x - sin x = 2 untuk 0 < x ≤ 360
Penyelesaian
( )
( ) ( )2
31
cos2sincos3
22
=
+−=
=−⇒=−
k
k
cxkxx α
Page 8 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
( )
( )
( ) ( )
)(645)(3751
285150
360.285360.15
28564515375
31533045330
315cos330cos45cos330cos
2
2330cos
2330cos2
330150
33
1tan
TMxTMxk
xxk
kxkx
xxatauxx
xataux
xataux
x
x
o
o
ooo
oo
oooo
oo
=∨=⇒=
=∨=⇒=
+=∨+=
=⇒==⇒=
=−=−
=−=−
=−
=−
=∨=
−=
αα
α
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {15o, 285
o}
c. Persamaan Trigonometri yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep
Persamaan Kuadrat
Persamaan trigonometri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan
kuadrat adalah persamaan trigonometri yang menggandung sudut rangkap.
Untuk sudut rangkap yaitu:
x
xx
x
x
xx
x
xxx
2
2
2
22
tan1
tan22tan
1cos2
sin21
sincos
2cos
cossin22sin
−=•
−
−
−
=•
=•
o
o
o
Contoh
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 sin2x + sin x – 1 = 0; untuk 0
o ≤ x ≤ 2π
Penyelesaian
2 sin2x + sin x – 1 = 0
Kita mislakan sin x = p, maka
2p2 + p – 1 = 0
(2p -1)(p + 1) = 0
2p – 1 = 0 atau p + 1 = 0
Page 9 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
p = ½ atau p = - 1
sehingga
� Untuk p = ½
sin x = ½
)(6
17)(
6
131
6
5
60
2.6
32.
6
6
3sinsin
6sinsin
TMxatauTMxk
xatauxk
kxataukx
xataux
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
==⇒=
==⇒=
+=+=⇒
==⇒
� Untuk p = - 1
2
3
2.2
3
2
3sinsin
1sin
π
ππ
π
=⇒
+=⇒
=⇒
−=⇒
x
kx
x
x
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
2
3,
6
5,
6
πππ
2. Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x − 5 cos x = 2 dengan 0 < x < 360 adalah…
Penyelesaian
cos 2x − 5 cos x = 2
Bentuk cos 2x = 2 cos2 x – 1
⇒ (2 cos2 x – 1) – 5 cos x = 2
⇒ 2 cos2 x – 5 cos x -1 -2 = 0
⇒ 2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0
Missal cos x = m
⇒ 2 m2 – 5 m – 3 = 0
⇒ (2m + 1)(m – 3) = 0
⇒ 2m + 1 = 0 atau m – 3 = 0
⇒ m = - ½ atau m = 3
Page 10 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
� Untuk m = - ½
cos x = m
cos x = - ½
cos x = cos 60o
x= 60o
x = (180o - 60
o) + k. 360
o atau x = (180
o + 60
o) + k. 360
o
k= 0 ⇒ x = 120o atau x = 240
o
k = 0 ⇒ x = 480o atau x = 600
o
� Untuk m = 3
cos x = 3 (tidak ada x yang mmenuhi)
Jadi himpunan penyelesaian adalah {120o, 240
o}
3. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah
Penyelesaian
cos 2x + sin x = 1
Bentuk cos 2x = 1 – 2 sin2 x
⇒ 1 – 2 sin2 x + sin x – 1 = 0
⇒ - 2 sin2 x + sin x = 0 ⇒ 2 sin
2 x – sin x = 0
Missal sin2 x = y
⇒ 2y2 – y = 0
⇒ y(2y – 1) = 0
⇒ y = 0 atau (2y – 1) = 0
⇒ y = 0 atau y = ½
� Untuk y = 0
Sin x = 0
Sin x = sin 0o atau sin x = sin 180
o
x = 0o + k. 360
o atau x = 180 + k. 360
o
x = 0o atau x = 180
o
� Untuk y = ½
Sin x = sin 30o atau sin x = sin 150
o
x = 30 + k. 360 atau x = 150o + k. 360
o
x = 30o atau x = 150
o
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0o,30
o, 150
o, 180
o}
Page 11 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
Pertidaksamaan Trigonometri
Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri adalah sama seperti penyelesaian pada
pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan kuadrat, yang sudah kita pelajari. Jadi untuk
menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri terlebih dahulu kita
menentukan titik pembuat nol atau yang sering di sebut juga dengan titik kritis.
Untuk menentukan titik kritis maka pertidaksamaan trigonometri kita ubah dahulu bentuknya
menjadi persamaan trigonometri, setelah mendapatkan titik kritis maka langkah selanjutnya
adalah mengmbil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.
Contoh
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x < 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360
o
Penyelesaian
sin x = sin 90o
x = 90
oo
ooooo
xdanxk
kxkx
90900
360.)90180(360.90
==⇒=
+−=∨+=
titik uji/sampel
negatifanmenghasilk
x
negatifanmenghasilk
x
oo
oo
⇒=−⇒
=−⇒=•
⇒=−⇒
=−⇒=•
0132
1
01120sin120
012
1
0130sin30
jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }ooooxxx 36090900| <<∨<<
2. Tentukan penyelesaian dari cos (x – 45o) < ½ , 0
o ≤ x ≤ 360
o
Penyelesaian
kita tentukan titik pembuat nol/ titik kritis, sehingga kita ubah dahulu menjadi persamaan
⇒ cos (x – 45o) = ½ ⇒ cos (x – 45
o) – ½ = 0
⇒ cos (x – 45o) = cos 60
o atau cos (x – 45
o) = cos 300
⇒ x – 45o = 60
o atau x – 45 = 300
⇒ x = 600 + 45
o atau x = 300
o + 45
o
⇒ x = 105o atau x = 345
o
+
90o
+
30o
+
120o
Daerah Negatif ( - ) Daerah Negatif ( - )
Page 12 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
jadi titik kritisnya adalah x = 105o dan x = 345
o
langkah selanjutnya adalah kita ambil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.
Sebagai titik uji ambil x = 90o, x = 165
o dan x = 360
o
� Untuk x = 90o kita subtitusikan ke dalam
cos (x – 45o) – ½ =0
cos (90o – 45o) – ½ = 0
02
12
2
1=− (menghasilkan positif)
� Untuk x = 165o kita subtitusikan ke
cos (x – 45o) 0– ½ =
cos (165o – 45o) – ½ = 0
02
1
2
1=−− (menghasilkan negatif)
� Untuk x = 360o kita subtitusikan ke
cos (x – 45o) – ½ = 0
cos (360o – 45
0) – ½ = 0
2
12
2
1− (menghasilkan positif)
Karena tandanya kurang dari maka yang diambil adalah daerah yang bernilai negatif.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }ooxx 345105| <<
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1cos3sin <+ xx , untuk 0o ≤ x ≤ 360
o
Penyelesaian
1cos3sin <+ xx ⇒ 1cos3sin =+ xx
o
k
k
xk
30
33
1tan
2
31
1)cos(.
=⇒
=⇒
=⇒
+=⇒
=−⇒
α
α
α
+
105O
+
345O
+ + + + _ __
+
165O
+
360O
+
90O
Page 13 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
( ) ( )
oo
ooo
oooo
o
o
xataux
xataux
xataux
x
x
33090
300306030
300cos30cos60cos30cos
2
1)30cos(
1)30cos(.2
==⇒
=−=−⇒
=−=−⇒
=−⇒
=−⇒
Jadi titik kritisnya adalah x = 90o dan x = 300
o
misalkan titik uji yang kita ambil adalah x = 600, x = 150o dan x = 360o
� Untuk x = 60o disubtitusikan ke
cos (x – 30o) – ½ =0
cos 30o – ½ = 0 (menghasilkan positif)
� Untuk x = 150o disubtitusikan ke
cos (x – 30o) – ½ = 0
cos 120o – ½ = 0 (menghasilkan negative)
� Untuk x = 360o disubtitusikan ke
cos (x – 30o) – ½ = 0
cos 330o – ½ = 0 (menghasilkan positif)
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah { }033090| << xxo
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x – 4 sin x – 3 < 0, untuk 0 < x < 2π
Penyelesaian
cos 2x – 4 sin x – 3 < 0 ⇒ cos 2x – 4 sin x – 3 = 0
⇒ (1 – 2 sin2 x) – 4 sin x – 3 = 0
⇒ - 2 sin2 x – 4 sin x – 2 = 0
⇒ 2 sin2 x + 4 sin x + 2 = 0
misalkan sin x = m, maka
⇒ 2m2 + 4m + 2 = 0
⇒ (2m + 2) (m + 1) = 0
⇒ m = - 1 atau m = - 1
Sin x = - 1
Sin x = sin 2
3π ⇒ x =
2
3π
+
90O
+
330O
+ + + + _ __
+
150O
+
360O
+
60O
Page 14 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
Jadi titik kritisnya adalah x = 2
3π
misalkan kita ambil titik ujinya adalah x = 6
π dan x = 3
5π
� Untuk x = 6
π disubtitusikan ke
2sin2 x + 4sin x + 2 = 0
2.sin2 6
π + 4. sin
6
π + 2 = 0
2 (½)2 + 4 (½) + 2 = 0 → (menghasilkan positif)
� Untuk x = 3
5π disubtitusikan ke
2sin2 x + 4sin x + 2 = 0
2 sin2 3
5π + 4 sin
3
5π + 2 = 0
( )positifanmenghasilk→=+
−+
− 023
2
143
2
12
2
Sehingga jika kita gambarkan pada garis bilangan adalah
Maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki himpunan penyelesaian
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ∅
+
6
π +
3
5π
+ + + + +
2
3π
Page 15 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
C. Rangkuman 3
1. Persamaan trigonometri, untuk sudut bersatuan derajat berlaku :
� Sin ax = sin po maka x = p
o + k. 360
o atau
x = (180o – p
o) + k. 360
o
� Cos x = cos po maka x = p
o + k. 360
o atau
x = – po + k. 360
o
� Tan x = Tan po maka x = p
o + k. 180
o
2. Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat:
� Sin ax = sin po maka x = p
o + k.2π atau
x = (π – po) + k. 2π
� Cos ax = Cos po maka x = p
o + k. 2π atau
x = - po + 2π
� Tan x = tan po maka x = p
o + k. π
3. Persamaan trigonometri a sin x + b cos x = c dapat diubah menjadi k cos (x – ά)
� 22bak +=
�
=
−
b
a1tanα
3. Persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan persamaan k.cos (x – ά)
dengan syarat kc ≤
D. Lembar Kerja 3
1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut :
a. cos x = 1, untuk 0o ≤ x ≤ 360
o d. cos x = 0,5; untuk 0 ≤ x ≤ 2π
b. cos x = 0,5; untuk 0o ≤ x ≤ 720
o e. tan x = 3 ; untuk 0 ≤ x ≤ 2π
c. 2 sin x = 1; untuk 180o ≤ x ≤ 360
o
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Page 16 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 360360;65sin2
1sin ≤≤−=
− xuntukx
oo
b. tan (x + 15o) = tan 200
o; untuk - 270
o ≤ x ≤ 270
o
c. ππππ
≤≤−=
− xuntukx ;
5cos
32sin
d. ππ
20;4
cos2
3cos ≤≤=
− xuntukx
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Page 17 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, jika 0o ≤ x ≤ 360
o :
a. cos x + 3 sin x = 1 d. 4 cos x – 3 sin x = 2
b. 5 cos x + 4 sin x = 6 e. sin x – 2cos x = 1
c. – cos x – sin x = 1
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
4. Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan-persamaan berikut dapat diselesaikan
a. m cos x + (m – 1) sin x = m c. m sin x + m cos x = 2
b. cos x – (1 – m) sin x = m + 1 d. 1
2sin
1cos
+
+=
++
m
mx
m
mx
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Page 18 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
5. Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360
o
a. 2 cos2 x = 1 c. cos 2x + cos x + 1 = 0
b. tan2 x – tan x – 2 = 0 d. cos 2x = - sin x
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360
o
a. 2 sin x < 1 d. 3 tan 2x – 1 ≥ 0
b. cos (x – 30o)
2
1≥ e. cos 2x > 0
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Page 19 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
7. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, 0o ≤ x ≤ 360
o
a. 3 cos x + sin x > 1
b. sin x – cos x ≤ 1
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
8. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk 0o ≤ x ≤ 360
o
a. 6 sin2 x − sin x − 1 = 0
b. cos 2x + sin x = 1
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Page 20 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
E. Tes Formatif 3
1. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x − 3 = 0, 0 ≤ x ≤ π adalah
a.
3
2,
3
ππ d.
6
5,
3
ππ
b.
6,
3
ππ e.
6
5,
3
2 ππ
c.
2,
3
ππ
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah
a. 15 ≤ x ≤ 105 d. 15 ≤ x ≤ 165
b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165
c. 75 ≤ x ≤ 105
3. Himpunan penyelesaian sin ( 2x − 30 ) = ½ untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah
a. { 0 , 60 , 180 , 240 } d. { 30 , 90 , 270 }
b. { 0 , 30 , 150 , 180 } e. { 60 , 90 , 120 , 240 }
c. { 0 , 60 , 180 }
4. Penyelesaian dari 32
13cos −=x , untuk 0
o ≤ x ≤ 360
o adalah..
a. 50o dan 70
o d. 40
o dan 50
o
b. 40o dan 70
o e. 70
o dan 80
o
c. 50o dan 80
o
5. Nilai dari cos 1110o adalah…
a. 3 d. 32
1−
b. 32
1 e.
2
1
c. - 3
6. Penyelesaian persamaan ( ) 32
145sin =− o
x , untuk 0o ≤ x ≤ 360
o adalah..
a. 75o, 150
o d. 0
o, 75
o, 165
o, 360
o
b. 75o, 165
o e. 0
o, 105
o, 165
o, 360
o
c. 105o, 165
o
7. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x + sin x = 2 untuk 0 < x ≤ 360
adalah
a. { 75 , 285 } d. { 15 , 345 }
b. { 15 , 285 } e. { 25 , 75 }
c. { 75 , 345 }
8. Batas-batas nilai p , agar persamaan ( p − 2 ) cos x + ( p − 1 ) sin x = p untuk x ∈ R,
dapat diselesaikan adalah
Page 21 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
a. − 2 ≤ p ≤ 3 d. p ≤ 1 atau p ≥ 5
b. 1 ≤ p ≤ 5 e. p ≤ − 5 atau p ≥ 1
c. p ≤ 2 atau p ≥ 3
9. Agar persamaan 3 cos x − m sin x = 3 5 dapat diselesaikan maka nilai m adalah….
a. −3 6 ≤ m ≤ 3 6 d. m ≤ −3 6 atau m ≥ 3 6
b. −6 ≤ m ≤ 6 e. m ≤ −6 atau m ≥ 6
c. 0 ≤ m ≤ 36
10. Selisih dari anggota himpunan penyelesaian persamaan 3 cos x + sin x = 1, untuk
3600 ≤≤ x , adalah:
a. 90 d. 220
b. 135 e. 240
c. 160
11. Nilai tan x yang memenuhi persamaan cos 2x + 7 cos x − 3 = 0 adalah….
a. 3 d. ½
b. ½ 3 e. 1/5 5
c. 1/3 3
12. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2x sinx – cos 2x = 0 dalam interval
π≤≤ x0 , adalah....
a..
ππππ
6,
5,
4,
3 d.
ππ
6
5,
4
b.
ππππ
6
5,
4
3,
6,
2 e.
ππ
4
3,
6
c.
ππππ
6
5,
4
3,
4,
6
13. Nilai tan x° yang memenuhi persamaan cos 2x°– 5 cos x° - 2 = 0, untuk π < x < 23 π
adalah …
a. 3 d. 331
b. 21 e.
21
c. 321
14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½ 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah
a. 15 ≤ x ≤ 105 d. 15 ≤ x ≤ 165
b. 75 ≤ x ≤ 165 e. 105 ≤ x ≤ 165
c. 75 ≤ x ≤ 105
15. Himpunan penyelesaian dari 2
1sin >x untuk 0
o ≤ x ≤ 360
o adalah…
a. 0o < x < 30
o d. 180
o < x < 210
o
b. 30o < x < 150
o e. 270
o < x < 330
o
Page 22 of 22
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]
c. 150o < x < 180
o
16. Himpunan penyelesaian dari 12sin.2 ≥x , 0o < x < 30
o adalah…
a. { }ooxx 15030| ≤≤ d. { }oo
xx 7515| ≤≤
b. { }oooxxx 1507545| ≤≤∪≤ e. { }oo
xx 225195| ≤≤
c. { }ooooxxx 2251957515| ≤≤∪≤≤
17. Himpunan penyelesaian dari π≤≤<− xuntukxx 0;22cos32sin.3 adalah…
a. πππ
≤<<≤ xataux12
5
40 d. π
ππ≤<<≤ xataux
12
5
60
b. πππ
≤<<≤ xataux12
7
30 e. π
ππ≤<<≤ xataux
12
7
40
c. πππ
≤<<≤ xataux34
0
18. Penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri 2 sin2 x + 3 sin x ≥ 2; 0 ≤ x ≤ 2 π
a. 0 ≤ x ≤ π d. 6
5
6
ππ≤≤ x
b. 4
3
4
ππ≤≤ x e.
3
2
3
ππ≤≤ x
c. 4
5
6
ππ≤≤ x
19. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3 tan 2x – 1 ≥ 0, 90o≤ x ≤ 270
o adalah ….
a. {x | 90o ≤ x ≤ 135
o atau 195
o ≤ x ≤ 270
o}
b. {x | 90o ≤ x ≤ 105
o atau 135
o ≤ x ≤ 270
o}
c. {x | 105o ≤ x ≤ 135
o atau 195
o≤ x ≤ 225
o}
d. {x | 90o ≤ x < 135
o atau 195
o < x ≤ 270
o}
e. {x | 105o ≤ x < 135
o atau 195
o≤ x < 225
o}
20. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan 2x ≤ 331 dengan π≤≤π
23x
adalah ….
a. {x|π ≤ x ≤ 67 π atau
45 π ≤ x ≤
23 } d. {x|
67 π ≤ x <
45 π}
b. {x|π ≤ x ≤ 67 π atau
45 π < x ≤
23 } e. {x|
67 π ≤ x ≤
45 π}
c. {x|π ≤ x < 45 π atau
45 π < x ≤
23