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P P = macromolecola con n siti di legame identici e indistinguibili
XX = legante (ioni, piccole molecole,..)
A p= 1 atm, T = costante vi sono n equilibri:
P + X PX⇄
PX + X PX⇄ 2
PX2 + X PX⇄ 3
PXi + X PX⇄ i+1
PXn-1 + X PX⇄ n
A cui sono associate n costanti di equilibrio:
]X][P[
]PX[K 1
]X][PX[
]PX[K 2
2
]X][PX[
]PX[K
i
ii
1
]X][PX[
]PX[K
n
nn
1
L’equilibrio:
P + jX PX⇄ j
]X][PX[
]PX[
]X][PX[
]PX[
]X][P[
]PX[
]X][P[
]PX[K
j
j
j
jjtot
1
2
j
iij
jtot KKKKK
121
Generalmente le concentrazioni delle singole specie PX, PX2, PX3,… non sono sperimentalmente determinabili, mentre è possibile determinare la concentrazione delle specie polimero legato (Σi[PXi]), polimero non associato [P] e molecole di legante libero [X].
β = numero medio di siti occupati
n
ii
n
ii
]PX[
]PX[i
]erolimpototale.[conc
]occupatisiti[
0
1
Esempio: n=4 (Emoglobina, Hb)
]HbX[]HbX[]HbX[]HbX[]Hb[
]HbX[]HbX[]HbX[]HbX[
432
432 432
[siti occupati] = [PX] + 2 [PX2] + 3[PX3] + 4[PX4] =
= [HbX] + 2 [HbX2] + 3[HbX3] + 4[Hb4]
[conc. totale polimero] = [P] + [PX] + [PX2] + [PX3] + [PX4]=
= [Hb] + [HbX] + [HbX2] + [HbX3] + [HbX4]
1) ciascun sito di legame può legare una sola molecola di legante;
2) i siti sono identici;
3) i siti sono indipendenti, quindi non interagiscono tra loro e hanno tutti la stessa energia di interazione con il legante, indipendentemente da quante molecole di legante si siano già legate sul polimero.
Poiché gli n siti sono tutti identici e indistinguibili e consideriamo gli eventi di binding indipendenti tra di loro, possiamo prendere in considerazione l’equilibrio generico:
sito libero + X sito occupato⇄
]X][liberisiti[
]occupatisiti[K
b
n
ii C]PX[i]occupatisiti[
1
btot
n
iitot C]P[n]PX[i]P[n]liberisiti[
1
fC]liberolegante[
fbtot
b
CC]P[n
CK
tot
b
]P[
C
fftot
b
C nCC]P[n
CKlim
f
0
n]P[
]P[nlim
tot
tot
C f
fbtot
b
CC]P[n
CK
Moltiplicando e dividendo per [P]tot a destra:
ff
tot
btot
totb
CnC]P[
C]P[n]P/[C
K
Da cui si ottiene:
f
f
KC
nKC
1
fC
nKClimf
0
nlimfC
fC
nKClimf
0
nK
nlim maxC f
nmax
n]P[n
]PX[i
]totali[siti
]occupatisiti[
tot
n
ii
1
Θ = frazione di siti occupati
0 ≤ Θ ≤1
Θ = probabilità di trovare un sito occupato ( n siti identici e indipendenti)
1-Θ = probabilità di trovare un sito libero
f
f
KC
KC
n
1
fC
KClimf
0
1
fClim
L’equazione di Langmuir può essere derivata da semplici considerazioni cinetiche:
PXXPi
d
k
k
fddd C)(k]X][P[kv 1
Per la velocità della reazione diretta:
iii k]PX[kv
Per la velocità della reazione inversa:
All’equilibrio:
id vv
ifd kC)(k 1
Da cui si ottiene facilmente:
f
f
KC
KC
1
i
d
k
kK
f
f
KC
nKC
1
fnKCn
111
Alternativamente:
KnKC f
ff nKCKC
f
f
KC
nKC
1
Non cooperativo
Cooperatività positiva
Cooperatività negativa
Nel caso di due diversi siti di legame non interagenti n1 e n2:
f
f
CK
CKn
1
111 1
f
f
CK
CKn
2
222 1
C K K C K CK 1
C K K )n (n Kn Kn
C K 1
n
C K 1
n
C
C
C
2f21f2f1
f21212211
f2
22
f1
11
f
2
f
1
f
KK
C KK )n (n Kn Kn C K K )K (K C f21212211f2121
f
)C K K K (K C KK )n (n Kn Kn C f2121f21212211
f
Isoterma di associazione (25°C, pH=7.2) di ioni Mg2+ con t-RNA.n1=6 n2=10 K1=7.14104 M-1 K2=5103 M-1
)KK(KnKn
Clim
fC f
2122110
ff
fC
CKKCKK)nn(C
limf
2121210
K1+K2
P + A P + A ⇄⇄ PA PA
P = macromolecola con un solo sito di binding A = ligando
]][[
][
AP
PAK
[P]0[A]0
Membrana semipermeabile
Inizialmente:
[P] [A][PA]
[A]
All’equilibrio:
All’equilibrio:
(A)dx = (A)sx
Poiché i potenziali chimici di riferimento sono gli stessi:
a(A)dx = a(A)sx
(A)dx c(A)dx = (A)sx c(A)sx
Assumendo:
(A)dx≈ (A)sx
c(A)dx = c(A)sx E quindi:
Nel box di sinistra:
c(A)tot,sx = c(A)b,sx+ c(A)f,sx
c(A)0 = c(A)tot,sx + c(A)f,dx = c(A)b,sx + 2 c(A)f,dx
c(A)b,sx = c(A)0 - 2 c(A)f,dx
Quindi:
[PA] = c(A)b,sx = c(A)0 - 2 c(A)f,dx
[P] = [P]0 - [PA] [A] = c(A)sx = c(A)dx
dx,fsx,b
sx,b
)A(c))A(c]P([
)A(c
]A][P[
]PA[K
0
dx,fdx,f
dx,f
)A(c))A(c)A(c]P([
)A(c)A(cK
2
2
00
0
La costante di associazione può essere determinata dalle concentrazioni iniziali di polimero e di ligando e dalla determinazione sperimentale della concentrazione di ligando libero (scomparto di destra).
KlnRTGB 0
1. Perdita dei gradi di libertà traslazionali e rotazionali
000 rot,trrot,tr STG
Per un legante di P.M.=200 (T=25°C):
10 50 molkJG rot,tr
2. Restrizioni alle rotazioni interne
000 .int.rot.int.rot STG
10 65 molkJG .int.rot
Per ogni grado di libertà interno perduto:
3. Effetti idrofobici
10 20 molkJ.Ghydr
Per 1Å2 di superficie sottratta al solvente:
4.Interazioni tra gruppi funzionali (legame idrogeno, dipolo-dipolo, Van der Waals)
5. Interazioni elettrostatiche
6. Rilascio di molecole di solvente dalla sfera di idratazione
10 350 molkcal.HB
110 4010 KmolcalSB
Generalmente a Tamb:
Processi di associazione sono generalmente guidati dall’entropia.