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triangulo pl a n o

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P IS SER T ATI O

Q U A M

CONSENSU AM PL. FA C. PHILOS. UPS AL.

p. p.

Mag, HENRICUS FALCKPHYSICES EXPERIMENTALIS DOCENS

ET

jahannes rosellA SACRIS. GESTR. HELS,

STIP. MED. THEOL,

CIN audit. gust. die xiii febr. mdcccxxii.

h, a, m, s.

P. II.

u p s a l i JE

EXCUDEBANT REGIME ACADEMIJE TYPOGRAPHI

VI RO

MAXIME REVEREND©

DOMINO

10H. AÖOLPHO LÅHLEMPRiEPOSITO. ET .PASTORI IN TILLBERGA

S a c r ii m

clebuit, roluitRESPONDENS.

) 9 (

§• I»-!r prseced. §. ne minima quidem Sphacrae opus fuit

menrio. Jam vero disq^uiiitio rnftituatur, quonam calculofint eruenda lacera Sc a-nguli Sphaerici cnjusdam Triangu¬li, proprio nomine fic di£H, hoc eft, fuperficiei Sphaeri-cce tribus peripheriis maximis comprehenfa?. Si radiusSphceree = i , res omnis ad §. praeced. redir. Jam verofit radius ifie = u Tum fane, fa&a fubflirurione refpe-&u tantummodo laterum pro Sin a, Cef a valorutnSin'a Cefa—~—f —&c» qoattuor.noftrae aequationes hanc ob-

tinebunt fpeciein:v Cof 'a rr Cefb Cof'c •+■ Sin 'b Sin'c CofA . • • (if)

Sin'a Sin B ss Sin 'b Sin A (*,)i v2 Sin A Cot B = Cot b Sin 'c - r Cof'c CofA. , ♦ (jt)r CofA ss v CoJ B Cof C -4- Sin B Sin C Cofa..

Quo vero hae ipfae aequationes ad plana etiam quo-dammodo applicentur Triangula, primum utique obfer-vandum videtur, conftrui fernper posfe in SuperficiaSphaerica cujusmique demum radii r Triangulum Sphaeri-cum ABC, quod piano cuidam Triangulo A B'C quoadangulos AyB & latus interpoficum c omnino lit aequale,modo r tantus fuerit,ut7rr feu dimidium peripheriae maxi-mae excedat ipfutn Tnanguli Plani latus interjacens c\Quod ad tertium vero Trianguli Sphaerici angulum C at-tinet, hic numquam cum tertio Trianguli Plani anguloC" eoincidere poterit; valorem fcilicet habens ex aquarf(4i) fuppeditanduia

%

) 10 C

Cof C « — Cof A CofB —J- Sin A Sin B -r̂

% e. Cof C = - Coj A Cof B 4- Sin A Sin Bc2 t'*

- Sin A Sin Bf— - — 4.2r2 2^.47^fi analogiae causfa ipfa latera AB9 BC) CA per c', a, b'fignifreernus. Sed cum in genere fit Summa ferier cujus-cunqiie, (geometricse perperam di&ae);

a Hr* ac! 4" fl2 * • • • • • -f- aq m =im + T —■

I - q

potert utique, quotiescunquc #<?> terminus iftepqtn 4. t

i -g

indefinite crefceaté m quoeunque dato fieri- minor, undea

Terminus , ab m nihil pendens, verus em limes* - 1 - •>-

numerici valoris, quem habet feries ejastnodi convergens*fi fuerit indefinita. Hinc (equirur, fi quilibet terminus in*f2, Jlv i,— - åec. pofitivus esfet 8c ex antecedenre per — muUi<2r*

:i 1 2Va

plicando ubique ori retur, limitem vaioris, quemhaee Se»I A i • •! i

ri.es- tung haberet, indefiniti foreut6

) fil (

llmes fieri poterit < t, quantumvis t fit exiguammoåol -J" f

funiaturF> c'y[ ); unde verus^ qui nunc locum ha«JL e

bet, Seriei illius iimes muko magis debet fieri <; e per«undem valorem ipfuis r, cum neque om nes rermini fint

jpofitivi & qua-ntitas mukiplicans ubique <j2.V

His perfpe&is patebit, fore equidem Cof C in tri-«ngulo plana, ubi per ■§. -i. habemusCofC [== - Cof(AJr B)] =5 - Cof A Cof B Jr Sin A Sin B... ,(4JHmrtem ipfms Cof C in xrianguio Sphasrico, & fic ipfuraangulum C" limitem esfe anguli C„

Si jam5 brevitati confulentes, ponamusß'2 *>'*

Cof a r -f- Cof rk sxn r — — -{- ß ?2V 2X* i

Cof ' c zzz r — »p- y,zr

fiec non Sin 'a = a' - oc, Sin Tb = b' - ßf, Sin Fcz=zc - y\feisce in acquanane (ij rite fubftituris, prodibic aequatio*'2 = b'* ■+• c* - ib'c Cof A -h zrcc- 2$brevitatis -causfa ponamus

b'*c* tfty + c'tß) nö ss rß -j- ry -5 — -j- ßy4rz zr

- {b'y + cß' - ß'y) Cof A;Jam vero , cum terminorum in 2roc - 2$ numerus szz to Ierui profedo poteft Haiili prorfus xatioéinatione ac anse a

12

r -

de Serie - See., quantus ftatui debeat r, ut quilibet2Y28

liorum termin orum fiat <; —» Qnod quo contingat ex.

gr. ipfi zroc (*=* - - 6cc.), primo equidem ponamus,3 4

d2omnes terminos esfe pofitivos 6c q =s . Limes,

3>4*r-d*

«ui tunc prodiret (= 7-*) 6cproinde multo ma-1.4 .r2 ra 2

8

gis verus valor ipfius. zrot. erit •< —* > modo fumatur10 a4 -fsa2

r > V("~;—~—~). Pro maxima igitur fic emergenti*um ipfius r valorum omnibusque rnajoribus erit 2r&-z$ <!«*6c fic pro Ii mite habebitur aequatio:.

d2 = b'2 + d2 - ib'd Co/A ...... . (tjFiat ulterius in aequatione (2} fubftirutio, 6c erit

a Sin B ~ b' Sin A -f- cd Sin B - 0 Sin Ä,fimiliterque ac antea patebit, quantus fumi debeat r, ut:

fiat cum # Sin B tum /3 Sin A ^ — 6c fic certs2

cd Sin B - 0 Sin A <; sande limes prodibit

d Sin B = b' Sin A ... , . . , (z ).Ut tandem ejusmodi fubftitutio quoad Jatera tantiim

) >3

fiat in scquatione ($J, haec ipfa, obfervando, «sferCof'b

Cot 'b = i ta exprimatur:Sm b

r Sin A Cot B Sin 'b = Cofb Sin 'c - Cofc Sin 'b Cof A,ubi, fubftitutione & redu£lione debitå fa£å, habebitur

b' Sin A Cot B c - b' Cof A -f- 9fi brevitatis causfa fit

facile autem aeque ac in anteeed. demonftrari poterit, ta:e

lem fumi posfe r y ut quilibet terminus ipfuis ö fit <

& fic pro maximo horum ipfius r valorum omnibusquemajoribus futurum esfe 9 < s. Limes igitur quaefitus erit;b' Sin A Cot B zz. c' - b' Cof A ..... . OJ.

Cum vero haec aequatio nihil aliud fit nifib' (Sin A CofB + CofA Sin B) i. e. b' Sin (A+ £) = c Sin B

fss# SinACotB-hßc-yb'Cof A b'* c + c 2 b4

r zrz

ß' Cofc Cof A-y Cofb-h

feu b' T& v»a

rcgresfu^

3 14 i

$. I V.Sit tandem area Triang Spharr. ABC {Fig. 2") inqiri-

>renda, & fit primo r 3= i. H^beamr arcus J5# pro ab«fcisfå, cui fint peripher iae max PM* QN Sc c. per poium ab-fcisfae transein tes, ord;ostar. .S't AP sr x., PQ ~PiÉ =s y, QR '= Mf, illi? paraMeius ipft AB Bi areaAPM .= Fx. Ex .dcqxi. j) pKodibir r.clatio inier x Si y:

Tang y ,r= Tang A Sm x , „ . cc>Sed, trque ac in iiguris planis Si §. ?„ hic quoque de-jmonftrari potefl, exponentem 1 a t so ms PMRQ: dx esfesr: Fx. Gom vcro tota -zona i- ter cinxiF^ AB & MRii t sr 2 7f Sin y Si zt: : dxßsi 27t Sm y : PM ti Q (sS Sin y ,dx)terit fane, fi valör iplius Sin y inrroducatur, n^c non vaioripfius Tang A per Sin A cxpresfus,

Tang A Sin x . dxFrx. dx (sr Sin y .dx) zn ——— -—

V jHb Tang'* A Sm* x)

Sin A Sin x dx

- Sin 2 A Caj 2 x) pj

led per sequ. (4) efl: Of AMP = Sin A Cofx Sc diffaren*n[ian.do:

. Sin A Sin X dxd. AMP = ~

y - Sm 2 A Co]&x) 3ur-de AMP Fx -p Ccnfi.Ut inveniarur Conft. ii t .x = 0, quo cafu -erit Cof AMP.r=s Sin A, -i £. AMP sr | ?r - ^

I i$ c«

Hine eritPx ast A -$-* amp - \ Tt

unde area

• ACK = AAP ACK - fW& cun££a area

ABC s) =ss» «-I" -S •■}— C — T? r

tibi recordandum, per A, B, C,, ron denotari angutosjfed areas. Si angali defigneritur per Åx, B k , C\, & ad«hibeaotur amlogiae is.o° i,-tf ss t &c. prodibk

* ^ 7so° ^ + Q - ^ö°) • ♦ • • (s)Sir r utcunqne fumtus, & valör refpondens ipfnis 2=s$C»ejdt

r : y* sr z r s' (s: r2

Similiter pitet, hoc cafu esfed . Ar. PAM 'sa r3 Sm ?/ . === Sm rv . af#') n; - " y • Jact: liffitreni prodeamüs, h. e. ubr r = oo

Ar. PAM Et piana, ei icdi -■ 5 a t -n eis ui or. c; ;• p c ; p t': ;t ■ / • . x y i tt

*. Tit. Pl PAM == / 4äf.Sed aequario (C7),quae, radio s r, abit in Ta<ng'ij ~ Tang ASin xx dabit, il Sin 'y ss y - u' & Co/' sp r - v ;

)i i« (

r(ij-v) tfv- rv(*•y H- ———)

r - v r - -u

x

S3 Tang A Cx - —-—-f- &c.)>6• a.j.r^ "

cujus linnes:

y = Tang A . x

unde d. Tr. PI, PAM = Tang A . x dx'

Tang A , xz& Tr. Pl. PAM :=

ubi Conft. s= oj natn evanefcente x evanefcir Tr. Pl.

~Hinc

Tang A ; AE?Tr. Fl. ACE = —

& totum

tv. PL ABCTang A.AEi^\» TangB .EBt CE. AB

ut ex Geometria quoque conftat elementari.