OSCILACOES˜ Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr. Ronaldo...
Transcript of OSCILACOES˜ Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr. Ronaldo...
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
OSCILACOESMecanica II (FIS-26)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela
IEFF-ITA
24 de julho de 2018
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Roteiro1 Introducao
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
2 Oscilacoes HarmonicasFormulacao geralSistema Massa-Mola
3 PendulosPendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
4 ExemplosPotencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Roteiro
1 IntroducaoOrganizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
2 Oscilacoes Harmonicas
3 Pendulos
4 Exemplos
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Divisao do curso de FIS-26
1 Corpo rıgido2 Oscilacoes3 Ondas4 Mecanica Analıtica e Gravitacao.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Ementa
Requisito: FIS-14. Horas Semanais: 4-0-3-5.Dinamica do corpo rıgido: centro de massa, momento deinercia, energia, equacao do movimento de rotacao,rolamento, movimento giroscopico. Movimentooscilatorio: dinamica do movimento harmonicosimples; pendulos, osciladores acoplados, oscilacoesharmonicas, oscilacoes amortecidas, oscilacoesforcadas e ressonancia. Movimento ondulatorio: ondasem cordas, ondas estacionarias, ressonancia, ondassonoras, batimento, efeito Doppler. Gravitacao. Introducaoa Mecanica Analıtica: trabalho virtual, equacao deD’Alembert, equacoes de Lagrange, princıpio de Hamiltone equacoes de Hamilton.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Organizacao do conteudo: visao geral
Semana Conteudo5 Movimento oscilatorio: dinamica do MHS.
Oscilacoes harmonicas. Pendulos.6 Avaliacao (conteudo da semana 5)
Oscilacoes amortecidas.7 Avaliacao (conteudo da semana 6)
Oscilacoes forcadas e ressonancia.8 Avaliacao (conteudo da semana 7)
Osciladores acoplados.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Avaliacao nas semanas 5 a 8
3 avaliacoes e 3 series de exercıciosNota do 2o mes (teoria): N = (3Na +Nl)/4
Na e a media das 3 avaliacoesNl e a media das 3 series de exercıcios
AvaliacoesDuracao de 20 min (das 08:00 as 08:20, assegundas-feiras)Sem consulta, sem uso de calculadoraEm caso de ausencia e de justificativa documentada:avaliacao diferenteA ausencia no exame deve ser justificada junto a DAE (comdocumentacao comprobatoria)
Listas: nao serao aceitas com atraso (exceto comjustificativa documentada)
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Por que estudar vibracoes?
Vibracoes
Eng.Mecanica
Eng.Aero-
nauticaEng.Aeroes-pacial
Eng.Civil
Eng.Eletro-nica Eng.
Compu-tacao
Biologia
Fısica
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Biologia: coracao (oscilacoes com frequencia controlada),movimento sincronizado de passaros
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Eng. Mecanica: carros vibram devido ao motor e asuperfıcie da estrada, maquinas desbalanceadas
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Eng. Computacao: leitura de dados nos discos,acionamento do braco de um robo
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Eng. Eletronica: linhas de transmissao (vibracao induzidapelo vento), oscilacoes eletricas (de corrente, tensao) numcircuito ou numa antena
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Eng. Aeronautica: asas de avioes (“flutter”)
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Eng. Civil: estruturas de edifıcios (sujeitas a terremotos),pontes sujeitas ao vento, GRUA usada em construcoes
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Eng. Aeroespacial: Satelite usando propulsao pulsada
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Aplicacoes
Fısica: oscilador quantico, fonons em cristais.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Conceitos basicos
Vibracao ou oscilacao
Movimento que se repete em perıodos regulares de tempo.
Classificacaodas oscilacoes
Presenca de Fext
Amortecimento
Linearidade
Aleatoriedade
Livre (Fext = 0)
Forcada (Fext 6= 0)
Nao-amortecida
Amortecida
Linear
Nao-linear
Determinıstica
AleatoriaR.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais
Conceitos basicos
oscilacao/vibracaoosciladoroscilacao periodicaoscilacao harmonica: x(t) = A cos(ωt+ φ)
Serie de Fourier
x(t) =
∞∑n=0
an cos(ωnt+ φn)
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Roteiro
1 Introducao
2 Oscilacoes HarmonicasFormulacao geralSistema Massa-Mola
3 Pendulos
4 Exemplos
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Energia potencial
Eq. instavel
Eq. estavelx
V(x
)
Em torno do ponto deequilıbrio estavel
V (x0 + x) ∼= V (x0)+
+V ′(x0)x+1
2V ′′(x0)x2
Ponto de equilıbrio: V ′(x0) = 0
Expansao da En. Potencial emtorno do ponto de equilıbrio estavel
V (x0 + x) ∼= V (x0) +1
2V ′′(x0)x2
Em torno do ponto de equilıbrioestavel, o sistema se comportacomo se fosse uma “mola” dek = V ′′(x0) > 0
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Modelo
M
x
2a. Lei de Newton: Mx = −kx
Eq. de movimento
x+k
Mx = 0 (EDOLH de 2a. ordem)
Modelagem alternativa:conservacao daenergia
Mx2
2+kx2
2= Emec
derivando em relacaoa t
Mx+ kx = 0
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Solucao
Solucao geral: x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), ω =
√k
M.
Solucao
x(t) = A cos(ωt+ ϕ) = A sin(ωt+ φ), ω =
√k
M
O perıodo e: T =2π
ω= 2π
√M
k, ao passo que a
frequencia e f =1
T=
ω
2π=
1
2π
√k
M.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Definicao das Constantes
As constantes A e φ dependem das condicoes iniciais
x(0) = x0, x(0) = v0
A =
√x2
0 +(v0
ω
)2
φ e tal que sinφ =x0
Ae cosφ =
v0
ωA.
A constante A fornece a amplitude de oscilacao do MHS.Por outro lado, o termo ωt+ φ e chamado de fase do MHS.Em t = 0, a fase e o proprio φ (que pode, por isso, serchamado de fase inicial)
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Energia
Energia cinetica:
Ec =Mv2
2=MA2ω2
2cos2(ωt+ φ)
Energia potencial:
Ep =kx2
2=kA2
2sin2(ωt+ φ) =
MA2ω2
2sin2(ωt+ φ)
Energia mecanica:
Emec =MA2ω2
2
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Formulacao geralSistema Massa-Mola
Valor medio
Valor medio da energia cinetica e potencial:
Ec = Ep =MA2ω2
4=Emec
2
Valor medio de uma grandeza periodica f(t)
f = 〈f〉 =1
T
∫ t0+T
t0
f(t)dt
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Roteiro
1 Introducao
2 Oscilacoes Harmonicas
3 PendulosPendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
4 Exemplos
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Pendulo de Torcao
Barra horizontal suspensapor um fio vertical
ϕ
Se defletimos a barra noplano horizontal de umangulo ϕ, o fio reagecom um torquerestaurador τ = −kϕ.k e o modulo de torcaodo fio, que depende doseu comprimento,diametro e material.Para fios cilındricos,temos k = L/(Gπr4/2),em que G e o modulo derigidez
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Pendulo de Torcao
Se I e o momento de inercia da barra em relacao ao eixovertical, a equacao de movimento e:
−kϕ = Iϕ
Equacao de movimento
ϕ+k
Iϕ = 0, ω =
√k
I
Sistemas deste tipo sao empregados em instrumentos delaboratorio muito sensıveis, como o galvanometro e abalanca de torcao utilizada na experiencia de Cavendish.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Pendulo Simples
x
y
θ
−Mg sin θ = MLθ
θ +g
Lsin θ = 0
Infelizmente, nao ha solucao analıtica paraesta equacao (a EDO e nao-linear).Para angulos pequenos: sin θ ∼= θ.
θ +g
Lθ = 0, ω =
√g
L
Perıodo de pequenas amplitudes
T = 2π
√L
g
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Pendulo Simples
No caso de “grandes amplitudes”, o movimento nao eharmonico. Vamos obter o perıodo nesses casos.Suponhamos que o pendulo e abandonado (do repouso)de um angulo θ0. Usando conservacao de energia, temos:
−MgL cos θ0 = −MgL cos θ +ML2θ2
2
AteT
4, podemos dizer que θ = −
√2g
L(cos θ − cos θ0)
12 .
T4∫
0
dt =
√L
2g
θ0∫0
dθ
(cos θ − cos θ0)12
= 2
√L
g
θ0∫0
dθ
(sin2( θ02 )− sin2( θ2))12
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Pendulo Simples
sendo sinα =sin( θ2)
sin( θ02 )
∆=
sin( θ2)
k, T = 4
√L
g
π2∫
0
dα
(1− k2 sin2 α)12
como (1− k2 sin2 α)−12 = 1 +
1
2k2 sin2 α+
3
8k4 sin4 α+ . . .
substituindo na integral, temos:
Perıodo do pendulo simples
T = 2π
√L
g
[1 +
1
4sin2 θ0
2+
9
64sin4 θ0
2+ . . .
]OBS.: Para um pendulo cicloidal, o perıodo naodepende da amplitude.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico
Pendulo Fısico
α
FG
F
s
Eq. dos torques:
τ = −Mg sin θs = Iθ
θ +Mgs
Isin θ = 0
Note que o pendulo composto equivale a um
pendulo simples de comprimento l =I
Ms.
Por isso, o ponto C (distando l de O ealinhado com o CM e O) e chamado decentro de oscilacao do pendulo fısico.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Roteiro
1 Introducao
2 Oscilacoes Harmonicas
3 Pendulos
4 ExemplosPotencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Enunciado
A energia de uma molecula diatomica e dada por (potencial deLennard-Jones)
U(r) =A
r12− B
r6,
r
m m
r
U(r
)
sendo r a separacao entre as moleculas. Encontre afrequencia (angular) de vibracao desta molecula.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Solucao
Posicao de equilıbrio: dU/dr(r) = 0
−12A
r13+ 6
B
r7= 0,
r =6
√2A
B.
Para pequenos deslocamentos x em torno da posicao deequilıbrio r
U(r + x) ∼= U(r) + U ′(r)x+1
2U ′′(r)x2.
U ′′(r) = 156A
r14− 42
B
r8=
6
r8
(26A
r6− 7B
)= 72A
(B
2A
)7/3
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Solucao
Energia total
E = 21
2m
(x
2
)2
+U(r)+1
2U ′′(r)x2 =
1
4mx2 +U(r)+
1
2U ′′(r)x2.
Derivando em relacao a t:
1
2mxx+ U ′′(r)xx = 0.
x+2U ′′(r)
mx = 0.
A frequencia angular de vibracao e
ω =
√2U ′′(r)
m=
[144A
m
(B
2A
)7/3]1/2
.
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Enunciado
Calcule o perıodo de pequenas oscilacoes do pendulo
M
ka
a
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Solucao
Considerando um deslocamento angular pequeno de θ:
(4Ma2)θ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ
Para pequenos valores de θ, podemos aproximar sin θ ∼= θ,
θ +
(g
2a+
k
4M
)= 0.
Logo o perıodo e
T = 2π
(g
2a+
k
4M
)− 12
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Enunciado
Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada emtorno de um disco de massa 5,00 kg e raio 150 mm. Se a molatem uma rigidez k = 200 N/m, determine o perıodo natural devibracao do sistema.
k
M
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Solucao
Assumindo um deslocamento x para baixo:
Ec =Mx2
2+I0
2
(x
r
)2
I0 =mr2
2
Ec =x2
2
(M +
m
2
)Ep =
1
2k(x+ x0)2 −Mgx
E =x2
2
(M +
m
2
)+
1
2k(x+ x0)2 −Mgx
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Solucao
Derivando em relacao a t:
0 = xx(M +
m
2
)+ k(x+ x0)x−Mgx(
M +m
2
)x+ k(x+ x0)−Mg = 0
Fazendo a mudanca y = x+ x0 −Mg
k(M +
m
2
)y + ky = 0
Portanto:
ω0 =
√k
M + m2
= 4,00 rad/s
T =2π
ω0= 1,57 s
R.R.Pela MHS, Pendulos
IntroducaoOscilacoes Harmonicas
PendulosExemplos
Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio
Enunciado
Considere uma barra delgada de massa M e comprimento Lque se encontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determineo periodo de pequenas oscilacoes da barra.
R.R.Pela MHS, Pendulos