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Universität Bielefeld
Elementare GeometrieSommersemester 2018
Ornamente
Stefan Witzel
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Ornamente
Eine Menge M ⊆ E2 ist ein Ornament wenn die Gruppe derVerschiebungssymmetrien einen Punkt nicht auf einen beliebig nahePunkte abbilden kann.
Hat ein Ornament keine Verschiebungssymmetrien, dann ist dieSymmetriegruppe zyklisch oder eine Dieder-Gruppe.Werden die Verschiebungssymmetrien von einer Verschiebung τerzeugt (jede Verschiebungssymmetrie ist τm für eine ganze Zahl m) istdie Menge ein Band-Ornament.1
Werden die Verschiebungssmmetrien von zwei Verschiebungen τ1, τ2erzeugt, (jede V.S. ist τm
1 ◦ τn2 , für ganze Zahlen m,n) handelt es sich um
ein Tapetenmuster.Frage: welche Symmetriegruppen können auftreten?
1Bandornamente von craftsmanspace.com
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Ornamente
Eine Menge M ⊆ E2 ist ein Ornament wenn die Gruppe derVerschiebungssymmetrien einen Punkt nicht auf einen beliebig nahePunkte abbilden kann.Hat ein Ornament keine Verschiebungssymmetrien, dann ist dieSymmetriegruppe zyklisch oder eine Dieder-Gruppe.
Werden die Verschiebungssymmetrien von einer Verschiebung τerzeugt (jede Verschiebungssymmetrie ist τm für eine ganze Zahl m) istdie Menge ein Band-Ornament.1
Werden die Verschiebungssmmetrien von zwei Verschiebungen τ1, τ2erzeugt, (jede V.S. ist τm
1 ◦ τn2 , für ganze Zahlen m,n) handelt es sich um
ein Tapetenmuster.Frage: welche Symmetriegruppen können auftreten?
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Ornamente
Eine Menge M ⊆ E2 ist ein Ornament wenn die Gruppe derVerschiebungssymmetrien einen Punkt nicht auf einen beliebig nahePunkte abbilden kann.Hat ein Ornament keine Verschiebungssymmetrien, dann ist dieSymmetriegruppe zyklisch oder eine Dieder-Gruppe.Werden die Verschiebungssymmetrien von einer Verschiebung τerzeugt (jede Verschiebungssymmetrie ist τm für eine ganze Zahl m) istdie Menge ein Band-Ornament.1
Werden die Verschiebungssmmetrien von zwei Verschiebungen τ1, τ2erzeugt, (jede V.S. ist τm
1 ◦ τn2 , für ganze Zahlen m,n) handelt es sich um
ein Tapetenmuster.Frage: welche Symmetriegruppen können auftreten?
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Ornamente
Eine Menge M ⊆ E2 ist ein Ornament wenn die Gruppe derVerschiebungssymmetrien einen Punkt nicht auf einen beliebig nahePunkte abbilden kann.Hat ein Ornament keine Verschiebungssymmetrien, dann ist dieSymmetriegruppe zyklisch oder eine Dieder-Gruppe.Werden die Verschiebungssymmetrien von einer Verschiebung τerzeugt (jede Verschiebungssymmetrie ist τm für eine ganze Zahl m) istdie Menge ein Band-Ornament.1
Werden die Verschiebungssmmetrien von zwei Verschiebungen τ1, τ2erzeugt, (jede V.S. ist τm
1 ◦ τn2 , für ganze Zahlen m,n) handelt es sich um
ein Tapetenmuster.
Frage: welche Symmetriegruppen können auftreten?
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Ornamente
Eine Menge M ⊆ E2 ist ein Ornament wenn die Gruppe derVerschiebungssymmetrien einen Punkt nicht auf einen beliebig nahePunkte abbilden kann.Hat ein Ornament keine Verschiebungssymmetrien, dann ist dieSymmetriegruppe zyklisch oder eine Dieder-Gruppe.Werden die Verschiebungssymmetrien von einer Verschiebung τerzeugt (jede Verschiebungssymmetrie ist τm für eine ganze Zahl m) istdie Menge ein Band-Ornament.1
Werden die Verschiebungssmmetrien von zwei Verschiebungen τ1, τ2erzeugt, (jede V.S. ist τm
1 ◦ τn2 , für ganze Zahlen m,n) handelt es sich um
ein Tapetenmuster.Frage: welche Symmetriegruppen können auftreten?
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Band-Ornamente
Wir gehen der Einfachheit halber davon aus, dass ein Bandornament inder Vertikalen beschränkt ist. Das heißt es gibt zwei Randgeraden undeine Mittelachse.
Jedes Band-Ornament hat nach Definition eine (T)ranslationssymmetrie.
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Symmetrien von Band-Ornamenten: Spiegelungen
Welche Spiegelsymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(H)orizontalspiegelung oder (V)ertikalspiegelung.
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Symmetrien von Band-Ornamenten: Spiegelungen
Welche Spiegelsymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(H)orizontalspiegelung oder (V)ertikalspiegelung.
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Symmetrien von Band-Ornamenten: Spiegelungen
Welche Spiegelsymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(H)orizontalspiegelung oder (V)ertikalspiegelung.
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Symmetrien von Band-Ornamenten: Drehungen
Welche Drehsymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(P)unktspiegelung an der Mittelachse.
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Symmetrien von Band-Ornamenten: Drehungen
Welche Drehsymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(P)unktspiegelung an der Mittelachse.
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Symmetrien von Band-Ornamenten: Drehungen
Welche Drehsymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(P)unktspiegelung an der Mittelachse.
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Symmetrien von Band-O.: Gleitspiegelungen
Welche Gleitspiegelungssymmetrien kann ein Band-Ornament haben?
(G)leitspiegelung entlang der Mittelachse.
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 1: Es gibt eine vertikale Spiegelung.Unterfall 1a: Es gibt auch eine horizontale Spiegelung.
Klasse (TVHPG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 1: Es gibt eine vertikale Spiegelung.Unterfall 1a: Es gibt auch eine horizontale Spiegelung.
Klasse (TVHPG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 1: Es gibt eine vertikale Spiegelung.Unterfall 1a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 1a1: Es gibt trotzdem Punktspiegelungen.
Klasse (TVPG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 1: Es gibt eine vertikale Spiegelung.Unterfall 1a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 1a1: Es gibt trotzdem Punktspiegelungen.
Klasse (TVPG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 1: Es gibt eine vertikale Spiegelung.Unterfall 1a: Es gibt auch keine horizontale Spiegelung.Unterfall 1a2: Es gibt auch keine Punktspiegelungen.
Klasse (TV).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 1: Es gibt eine vertikale Spiegelung.Unterfall 1a: Es gibt auch keine horizontale Spiegelung.Unterfall 1a2: Es gibt auch keine Punktspiegelungen.
Klasse (TV).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt eine horizontale Spiegelung.
Klasse (THG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt eine horizontale Spiegelung.
Klasse (THG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 2a1: Es gibt trotzdem Punktspiegelungen.
Klasse (TP).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 2a1: Es gibt trotzdem Punktspiegelungen.
Klasse (TP).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 2a2: Es gibt trotzdem Gleitspiegelungen.
Klasse (TG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 2a2: Es gibt trotzdem Gleitspiegelungen.
Klasse (TG).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 2a3: Es gibt weder Punktspiegelungen noch Gleitspiegelungen.
Klasse (T).
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Mögliche Symmetriegruppen von Band-Ornamenten
Fall 2: Es gibt keine vertikale Spiegelung.Unterfall 2a: Es gibt keine horizontale Spiegelung.Unterfall 2a3: Es gibt weder Punktspiegelungen noch Gleitspiegelungen.
Klasse (T).
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Klassifikation von Band-Ornamenten
Satz. Jedes Band-Ornament hat eine von sieben möglichen Klassen vonSymmetriegruppen:
1. (TVHPG)
2. (TVPG)
3. (TV)
4. (TH)
5. (TP)
6. (TG)
7. (T)
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Beispiele
Klasse:
Klasse:
Klasse:
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Beispiele
Klasse:
Klasse:
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Beispiele
Klasse:
Klasse:
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Klassifikation von Tapetenmustern
Eine ähnliche Klassifikation existiert auch für Tapetenmuster:
Satz. Jedes Tapetenmuster hat eine von siebzehn möglichen Klassenvon Symmetriegruppen.
→Wikipedia „Ebene kristallographische Gruppe“.
Frage: Warum nur endlich viele — wo es doch unendlich viele endlicheSymmetriegruppen gibt?Antwort: Es können nur bestimmte Drehungen auftreten, weil es sonst„zu viele“ Verschiebungen gibt.
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Klassifikation von Tapetenmustern
Eine ähnliche Klassifikation existiert auch für Tapetenmuster:
Satz. Jedes Tapetenmuster hat eine von siebzehn möglichen Klassenvon Symmetriegruppen.
→Wikipedia „Ebene kristallographische Gruppe“.Frage: Warum nur endlich viele — wo es doch unendlich viele endlicheSymmetriegruppen gibt?Antwort: Es können nur bestimmte Drehungen auftreten, weil es sonst„zu viele“ Verschiebungen gibt.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Mögliche Drehwinkel
Die einzig möglichen Drehwinkel sind 360◦/n für n ∈ {2,3,4,6}.
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Beispiele
Verschiebung pur
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Beispiele
Spiegelungen light
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Beispiele
Spiegelungen normal
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Beispiele
Spiegelungen extra
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Beispiele
Statt D4 nur C4. . .
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Beispiele
. . . oder nur C2
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Beispiele
C2 mit Spiegelungen light
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Beispiele
C2 ohne Spiegelungen
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Beispiele
C4 ohne Spiegelungen
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Beispiele
Gleitspiegelungen normal
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Beispiele
Gleitspiegelungen extra
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Beispiele
Gleitspiegelungen und Spiegelungen gemischt
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Beispiele
Dreiecke mit Spiegelungen extra (Ordnung 3)
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Beispiele
Statt D3 nur C3
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Beispiele
Dreiecke mit Spiegelungen ultra (Ordnung 6)
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Beispiele
Statt D6 und D2 nur C6 und C2
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Beispiele
Statt C6 und C2 nur C3 und C1