Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku

1Fyrirlestur nr 6 Rafmagnsvélar 1 - RAF601G

Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku

2. hluti


Samorka - skilgreining

• Skilgreint er nýtt hugtak, samorka(coenergy) sem er hentugt til að reikna beint út kraftinn sem fall af straumi

• Samorkan er skilgreind samkvæmt jöfnu og línuriti. Við getum nú skoðað hvað gerist ef við diffrum jöfnuna sem skilgreinir samorkuna. Þá fæst:

' ( , ) ( , )fld fldW i x i W xλ λ= −

' ( , ) ( ) ( , )fld flddW i x d i dW xλ λ= −

• þá fæst: ( )d i id diλ λ λ= +

• Við höfum einnig fyrri niðurstöðurfld flddW id f dxλ= −

• Að lokum fæst: ' ( , )fld flddW i x di f dxλ= +


Samorka - skilgreining

• Unnt er eins og áður að bera saman 2 jöfnur

• Berum saman við fyrri jöfnur út frá orku

• Báðar innrömmuðu jöfnurnar írauðu gefa sömu niðurstöðu, en önnur er tekin með því að halda stærðinni i fastri en hin með þvíað halda stærðinni λ fastri.

• Samanburður gefur eftirfarandi jöfnur fyrir samorku og orku:

' ( , )fld flddW i x di f dxλ= +

' '' ( , ) fld fldfld

x i

W WdW i x di dx

i x∂ ∂

= +∂ ∂

'fld

x

Wi

λ∂

=∂

' ( , )fldfld

i

W i xf

x∂

=∂

fld

x

Wi

λ∂

=∂

fldfld

Wf

xλ

∂= −

∂

Sam-orka

Orka


Samanburður: samorka - orka

• Summa af samorku og orku er ferhyrningslaga svæðið á myndinni

• Kraftur fundinn með orku er skyggða svæðið á vinstri mynd (a)

• Kraftur fundinn með samorku er skyggða svæðið á hægri mynd (b)

• Þegar Δx→0 verður sama niðurstaða

'0 0fld fldW W iλ+ =

Orka Samorka


Segulsvið umhverfis rás með loftbili

• Segulsvið umhverfis rásina áfyrri skyggnu er sýnt til hliðar

• Það er reiknað með “finiteelement” aðferðum og Maxwells jöfnum

• Flestra segullínur eru íkjarnanum en sumar leka út fyrir kjarnann

• Segullínurnar bólgna íloftbilinu (flux fringing)

Ansoft/DMAS “finite element” forrit frá Eaton Corporation


Samorka – skilgreining (2)

• Út frá eftirfarandi jöfnu ef x er fasti (rásin kyrrstæð) þá fæst

• Í línulegri segulrás λ = L(x)i, fæst fyrir samorkuna hið sama og fyrir orkuna:

• ...og krafturinn sem verkar á slíka rás er:• ÞETTA ER EINS OG FYRRI NIÐURST.• Á svipaðan hátt fyrir hringhreyfingu

með mælikvarða, θ fæst: • Ef rásin er línuleg fæst• ...og vægið sem verkar á rásina er• ÞETTA ER EINS OG FYRRI

NIÐURSTÖÐUR

' ( , )fld flddW i x di f dxλ= +

'

0( , ) ( ', ) '

i

fldW i x i x diλ= ∫' 21( , ) ( )

2fldW x L x iλ =

2 ( )2fldi dL xf

dx= ⋅

'

0( , ) ( ', ) '

i

fldW i i diθ λ θ= ∫' 21( , ) ( )

2fldW L iλ θ θ=

2 ( )2fldi dLT

dθθ

= ⋅


Orka í breytilegri línulegri segulrás (3)

• Vert er að skoða samanburð á jöfnum fyrir orkuog samorku sem lýsa orkuinnihaldi tiltekins rúmtaks út frá sviði og orkuþéttleika. Þá fæst:

( )'

0

H

fld VW dV= ⋅∫ ∫ B dH

2'

2fld V

HW dVμ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

μ= ⋅B H

SamorkaOrka

Ef

( )0

B

fld VW dV= ⋅∫ ∫ H dB

2

2fld V

BW dVμ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Ef B = 0 þegar H =0 fæst:


Sýnidæmi 3.2 bls 121 • Reikna skal orku í þessu kerfi sem fall af x, 0<x<d• h>>g, N=1000 snún., g=2 mm, d=0,15 m, l=0,1

m, i=10 A


Sýnidæmi 3.2 bls 121 (2)• Reikna skal orku í þessu kerfi sem fall af x, 0<x<d• h>>g, N=1000 snún., g=2 mm, d=0,15 m, l=0,1

m, i=10 A

21( , ) ( )2fldW x L x iλ =

02

2gapA

L Ng

μ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) (1 )gapxA l d x ldd

= − = −

02

(1 )( )

2

xlddL x N

g

μ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

02 2

(1 )12 2fld

xlddW N i

g

μ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

7

2 24 10 (0,1)(0,15)(1 )11000 10 236(1 )

2 2(0,002)fld

xxdWd

π −⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟= = −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


Sýnidæmi 3.5 bls 132 (3)• Finna skal kraft sem verkar á bulluna sem fall af x,

0<x<d, ef straumlindinni er stýrt:

• h>>g, N=1000 snún., g=2 mm, d=0,15 m, l=0,1 m, I0=10 A

• Við fáum fyrri niðurstöðu

• ...og notum jöfnu:

• Setjum i(x) inn í

0( ) xi x Id

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

02

(1 )( )

2

xlddL x N

g

μ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

22 20( )

2 2 2fldN li dL x if

dx gμ⎛ ⎞

= ⋅ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

22 20 0

4fldI N l xf

g dμ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠


Sýnidæmi 3.5 bls 132 (4) • Við getum reiknað út samorkuna

• Við getum reiknað út kraftinn með

• þá fæst

• ...sem er sama niðurstaða og áður

202 2

'1

( )2 2 2fld

xN ldi i dW L x

g

μ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

' ( , )fldfld

i

W i xf

x∂

=∂

220

2 2fldN lifg

μ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠


Sýnidæmi 3.5 bls 132 (5) • Samorkan er eins og áður segir

202 2

'1

( )2 2 2fld

xN ldi i dW L x

g

μ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• Með því að stinga inn jöfnunni fyrir strauminn

fæst

0( ) xi x Id

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 220 0

'1

4fld

xI N ldxdW

g d

μ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

• Ath að ekki er unnt að reikna kraftinn með því að diffra síðustu jöfnuna


Tilvísanir/heimildir

• HANDBOOK OF SMALL ELECTRIC MOTORS William H. Yeadon, Alan W. Yeadon, P.E. (ed), McGraw-Hill, 2001

Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku

Documents

Transcript of Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku