ORIGEM DA REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO: década de 60 teoria moderna de controle baseada...

• ORIGEM DA REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO: década de 60 → teoria moderna de controle → baseada no domínio tempo.

• REPRESENTAÇÃO POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA:- Descrição externa do sistema (saída/entrada)- Hipótese: condições iniciais nulas → sistema inerte- Ligação direta com o domínio da freqüência- Sistemas lineares e invariantes no tempo

1.1. VARIÁVEIS DE ESTADO

SISTEMAS III

• REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO:

- Descrição interna do sistema- Domínio do tempo- Permite considerar condições iniciais não nulas- Aplica-se a sistemas não-lineares e variantes no tempo- Facilidade para tratamento de sistemas multivariáveis → é uma representação mais genérica que a feita por uma função de transferência

1.2. VARIÁVEIS DE ESTADO

SISTEMAS III

• CONTROLE MODERNO: Descreve-se as equações diferenciais temporais de todas as variáveis dinâmicas do processo → são as VARIÁVEIS DE ESTADO.

• DEFINIÇÃO DE ESTADO: O estado de um sistema no tempo t0, x(t0), é a quantidade de informação que, junto com o conhecimento da entrada a partir deste instante, u[t0, ∞], determina o comportamento único do sistema para t > 0.

2.1. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA

SISTEMAS III

• VARIÁVEIS DE ESTADO: normalmente, estão fisicamente associadas a elementos armazenadores de energia. Ex.: - Sistemas mecânicos: velocidade, pressão, aceleração.- Sistemas elétricos: tensão em capacitores, corrente em indutores.

MAS: podem não ter um significado físico.

NÚMERO MÍNIMO DE VARIÁVEIS DE ESTADO: geralmente, é igual à ordem da equação diferencial que descreve o sistema em análise.


SISTEMAS III

• MODELAGEM: representação de um determinado processo por variáveis de estado → traz a necessidade da compreensão física da todos os fenômenos que fazem parte do processo.

- É a tradução de um processo em uma linguagem matemática formal.- Conjunto de equações diferenciais lineares ou não-lineares, com parâmetros variantes ou invariantes no tempo.


SISTEMAS III

• ESPAÇO DE ESTADOS: espaço n-dimensional cujas coordenadas consistem das n variáveis de estado → sistemas que são representados por equações diferenciais tem um número infinito de representações no Espaço de Estados (equações de estados + equações de saída).

• VETOR DE ESTADOS: vetor neste Espaço de Estados.


SISTEMAS III

• REPRESENTAÇÃO GRÁFICA


SISTEMAS III

x´ = Ax + Bu → equação de estadosy = Cx + Du → equação de saída

u → excitaçãoy → saída

x → vetor coluna de estados: n estadosx = | x1 | | x2 | | … | | xn |

x´ → derivada do vetor de estados em relação ao tempo

3.1. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE ESTADO

SISTEMAS III

A → matriz da dinâmica do sistema- dimensão [n x n]- n = linhas = ordem do sistema- n = colunas = número de variáveis de estado.

B → matriz de controle ou de entrada- dimensão [n x b]- n = linhas- b = colunas = número de entradas ou de excitações

presentes.- está relacionada à entrada u (excitação)- força o sistema, levando-o a assumir outros estados →

ação de condução ou de controle


SISTEMAS III

C → matriz de resposta ou de saída- dimensão [c x n]- c = linhas = número de componentes da

resposta ou saída y- n = colunas

D→ matriz de ação avante

x → vetor de estados [n x 1]u → vetor de controle [b x 1]y → vetor de resposta [x x 1]


SISTEMAS III

1º. Passo) Determinar as equações de estado que descrevem completamente o comportamento do sistema.2º. Passo) Descrever a saída em função do vetor de estados e da entrada.3º. Passo) Descrever o sistema por uma equação diferencial.4º. Passo) Escolher as variáveis de estado do sistema.5º. Passo) Determinar as novas equações de estado e de saída.


SISTEMAS III

1ª. ANÁLISE: APLICANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACEs.X(s) – x(0) = A.X(s) + B.U(s)(sI – A).X(s) = x(0) + B.U(s)X(s) = (sI – A)-1.x(0) + (sI – A)-1.B.U(s)

Aplicando L-1:x(t) = L-1 {(sI – A)-1}.x(0) + L-1 {(sI – A)-1.B.U(s)}

Sabe-se que: L-1 {(sI – A)-1} = eAt = I + At + A2t2/(2!) + A3t3/(3!) + …

4.1. TRAJETÓRIA DE ESTADOS

SISTEMAS III

x(t) = eAt.x(0) + ∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ

onde:eAt.x(0) = xzi(t) = resposta à condição inicial (livre ou forçada) = expressão de x(t) no caso de não haver entrada (zero input)

∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ = xzs(t) = resposta forçada

devido à entrada u(t) = sistemas em que está presente a excitação u(t), mas as condições iniciais do vetor de estados são nulas; x(0) = 0


SISTEMAS III

2ª. ANÁLISE: MULTIPLICANDO AS n EQUAÇÕES DESTE SISTEMA PELA MATRIZ e-At

e-At.x´(t) = e-At.A.x(t) + e-At.B.u(t)e-At [x´(t) - A.x(t)] = e-At.B.u(t)d/dt [e-At.x(t)] = e-At.B.u(t)

Integrando as n últimas relações:

e-At.x(t) – x(0) = ∫0t e-Aδ.B.u(δ).dδ

onde: δ = variável integranda adotada para evitar confusão com o limite t


SISTEMAS III

Sabe-se que:eAt. e-At = eit = I (matriz identidade)

Multiplicando ambos os lados da expressão por eAt → obtém-se a FUNÇÃO DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS AO LONGO DO TEMPO:

x(t) = eA(t).x(0) + ∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ

onde:eA(t).x(0) = resposta à condição inicial∫0

t eA(t-δ).B.u(δ).dδ = resposta forçada devido à entrada u(t)


SISTEMAS III

• Possibilita determinar a performance do sistema.• A resposta transitória pode ser obtida pela avaliação da solução do vetor de estados da equação diferencial.

Multiplicando a FUNÇÃO DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS AO LONGO DO TEMPO pela matriz C:

y(t) = C.eA(t).x(0) + ∫0t C.eA(t-δ).B.u(δ).dδ

onde:C.eA(t).x(0) = yzi(t) (zero input)∫0

t C.eA(t-δ).B.u(δ).dδ = yzs(t)

5. RESPOSTA TEMPORAL

SISTEMAS III

• APROXIMAÇÃO POR SISTEMAS AMOSTRADOS

→ permite obter a resposta de um sistema representado por um vetor de estados.→ é baseada na divisão do eixo do tempo em um número suficiente de pequenos incrementos, em que os valores das variáveis são avaliadas em intervalos de tempo sucessivos: t = 0, T, 2T, ...→ Se T << τ (constante de tempo do sistema): a resposta obtida com os métodos de tempo discreto (sistemas amostrados) será razoavelmente precisa.

6.1. RESP. TEMP.-SISTEMAS AMOSTRADOS

SISTEMAS III

• Equação de estados: x´ = Ax + Bu (1)• Definição da derivada:

limΔt→0 [x(t+Δt) – x(t)] / Δt (2)• Utilizando esta definição e determinando o valor de x(t) quando t é dividido em pequenos intervalos Δt = T, aproxima-se:x´ = [x(t +T) – x(t)] / T (3)• Substituindo (3) em (1):[x(t +T) – x(t)] / T ≈ Ax(t) + Bu(t) (4)


SISTEMAS III

• Resolvendo para x(t + T):

x(t + T) ≈ T.A.x(t) + x(t) + T.B.u(t)

≈ (TA + I)x(t) + T.B.u(t) (5)

onde: I = matriz identidade

t = kT = 0, T, 2T, ...• Reescrevendo (5):

x[(k+1)T] ≈ (TA + I)x(kT) + TBu(kT) (6)


SISTEMAS III

• Reescrevendo (6) → obtenção de x(t) pela avaliação por aproximação no tempo discreto de x(k+1), em função do valor anterior x(k):

x(k+1) ≈ Ψ(T)x(k) + TBu(k) (7)onde: Ψ(T) = (TA + I)símbolo T é omitido dos argumentos das variáveis

• Este método é chamado de OPERAÇÃO DE RECORRÊNCIA OU MÉTODO DE EULER → é uma seqüência de cálculos.


SISTEMAS III

RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS DE ESTADO E FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA:• Sistemas lineares e invariantes no tempo → aplica-se o conceito de função de transferência → pode-se estabelecer a relação existente entre a representação do sistema em variáveis de estado e a respectiva função de transferência do sistema.• Considera-se o Sistema de Equações de Estado e representa-se o mesmo no domínio da freqüência.

7.1. MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA

SISTEMAS III

• Adota-se como nulas as condições iniciais de todas os componentes do vetor de estado x(0) = 0.

x´ = Ax(t) + Bu(t) → sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s)

y = Cx(t) + Du(t) → Y(s) = CX(s) + DU(s)


SISTEMAS III

• Manipulando algebricamente obtém-se a Matriz de Transferência:

Y(s) / U(s) = C(sI – A)-1 B + D

onde:(sI – A)-1 = [1 / |sI – A|] . Adj (sI – A)

em que a matriz adjunta de (sI – A) é constituída pela matriz de cofatores de (sI – A) transposta, ou Adj (sI – A) = [cof(sI – A)]T


SISTEMAS III

• Sistema de equações de estado (1):x´ = Ax(t) + Bu(t)y = Cx(t) + Du(t)

• Seja P uma matriz não-singular (isto é, inversível)• Mudança de variável: x = Pz ↔ z = P-1x• Daí:

Pz´ = APz + Bu → z´ = P-1APz + P-1Buy = CPz + Du

onde: A* = P-1AP ; B* = P-1B ; C* = CP

8.1. REPRESENTAÇÕES DE ESTADOS

SISTEMAS III

• Assim, obtém-se o sistema de equações de estado (2):z´ = A*z + B*uy = C*z + Du

• Conclusões:1. A equação (1) é dita equivalente a equação (2).2. Esta mudança de variável é dita, no caso vetorial,

MUDANÇA DE BASE ou uma TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE.

3. Para diferentes matrizes P tem-se diferentes equações equivalentes. UM SISTEMA TEM INFINITAS REPRESENTAÇÕES DE EQUAÇÕES DE ESTADO → NÃO HÁ UNICIDADE DE REPRESENTAÇÃO DE ESTADOS.

4. Só algumas destas representações possuem significado físico.

5. Só algumas apresentam boas propriedades matemáticas.

8.2. REPRESENTAÇÕES DE ESTADOS

SISTEMAS III

• Todos estes conceitos podem ser extendidos para sistemas multivariáveis.

• Um sistema linear, invariante no tempo, causal, de ordem n, com b entradas e c saídas, pode ser representado no espaço de estados pela forma:

x´ = Ax + Bu

y = Cx + Du

9. SISTEMAS MULTIVARIÁVEIS

SISTEMAS III

• Da expressão da Matriz de Transferência:Y(s) / U(s) = G(s) = C(sI – A)-1 B + D

• Vê-se que os pólos de um sistema linear são dados pelas raízes da equação:

det (sI – A) = 0

[os pólos são os auto-valores da matriz da dinâmica do sistema (A)]

10. AUTO-VALORES E PÓLOS

SISTEMAS III

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