KOREŠPONDENČNÝ MATEMATICKÝ SEMINÁR

AT IKČÍSLO 4 ROČNÍK 28 INTERNET http://matik.strom.sk

2 MATIK

Hola Hou!Dúfame, že ste si užili dlhé polročné prázdniny a že ste za tento dlhý čas

načerpali dostatok síl na počítanie letnej časti. Áno, dobre počujete! Konečneje tu všetkými dlho očakávaná letná séria MATIKa. Máme pripravený

napínavý príbeh Maťa, nekonfliktného bankára, ktorý sa zapletie do matiky ažpo uši. Tak na čo čakáte? Príklady sú dole! Tešíme sa na vaše riešenia :)

Organizátori MATIKa

SuÂstredenie Na stretnutiema®aÂnskych rodõÂn, ktore sa konalo 1.-6.2.2015 v Inov-ciach, sme pozvali 32 najlepsÏõÂch z vaÂs. UÂvodneÂho slova sa ujal samotny boss rodinyFerrariovcov, ktory ponuÂkol pomoc ostatnyÂm rodinaÂm. V nasledujuÂcich dnÏoch ro-diny rozdel'ovalo vzaÂjomne kradnutie zbranõÂ, uÂnosy a nicÏenie vlastnyÂch biznisov.Po zaÂsahu polõÂcie sa ukaÂzalo, zÏe vo vsÏetkomma prsty rodina Ferrariovcov so svojimiukrajinskyÂmi priatel'mi. Duchaplne ma®aÂnske rodiny sa vsÏak nenechali oklamat'a rodinu Ferrariovcov nakoniec porazili. PocÏas celeÂho tyÂzÏdnÏa sa suÂt'azÏilo v roÃznychhraÂch, sÏportoch, raÂtanõ matematickyÂch uÂloh a nechyÂbali ani behacÏky po dedine.KazÏdy denÏ sa konala seÂria prednaÂsÏok a seminaÂrov z roÃznych zaujõÂmavyÂch oblastõÂmatematiky, o ktoryÂch sa v sÏkole bezÏne nedozviete. Cele suÂstredenie sa nieslov skvelej naÂlade a prõÂjemnom zimnom pocÏasõÂ. TyÂzÏdenÏ zbehol ako voda, no my smesa vraÂtili plnõ zaÂzÏitkov a vedomostõÂ.

Mega super vyÂlet so saÂnkovacÏkou ChcesÏ sa stretnuÂt' so svojimi kamaraÂtmi,veduÂcimi a zazÏit' kopec zaÂbavy, aj ked' suÂstredko uzÏ skoncÏilo? NevaÂhaj ani sekundua prõÂd' 28.2.2015 o 8:00 na zÏeleznicÏnu stanicu v KosÏiciach. PoÃjdeme vlakom do Vy-sokyÂch Tatier, kde si uzÏijeme vel'a srandy, nejake to saÂnkovanie, pokec s kamaraÂtmia navysÏe nejake jedlo zadarmo. PlaÂnovany naÂvrat do KosÏõÂc je o 18:00. Nezabudnina pevnu obuv, teple sÏportove oblecÏenie, pitie (ideaÂlne cÏaj), jedlo, preukaÂzÏku nabezplatne cestovanie a niecÏo, na cÏom sa da klÂzat'.

TesÏia sa na Teba tvoji strasÏne super veduÂciMATIKa.

O násSeminaÂrMATIK, organizovany ZdruzÏenõÂm STROM, je koresÏpondencÏna matema-ticka suÂt'azÏ urcÏena zÏiakom siedmeho azÏ deviateho rocÏnõÂka zaÂkladnyÂch sÏkoÃl resp.sekundy azÏ kvarty osemrocÏnyÂch gymnaÂziõÂ. KazÏdy sÏkolsky rok cÏakaju na riesÏitel'ovdva semestre, v ktoryÂch dostanu zadania dvoch seÂriõ prõÂkladov. Tõ najlepsÏõ potomzazÏiju 6-dnÏove suÂstredenie plne matematiky, ale aj zaÂbavy. SuÂstredenia na koncisemestrov maju byt' pre deti odmenou a zaÂrovenÏ motivaÂciou pokracÏovat' v riesÏenõÂmatematickyÂch seminaÂrov.SeminaÂr je organizovany prevazÏne sÏtudentmi strednyÂch a vysokyÂch sÏkoÃl, ktorõÂmajuÂzaÂujem o matematiku. Samotna koresÏpondencÏna cÏast' je v priebehu roka doplnÏo-vana roÃznymi akciami. KazÏdorocÏne organizujeme matematicku jednodnÏovu suÂt'azÏpre sÏtvorcÏlenne druzÏstva ± Lomihlav, ale aj zaÂbavne hry, vyÂlety alebo sÏportoveÂ

4 • 2014/15 3

stretnutia. NasÏim ciel'om je ukaÂzat' det'om kraÂsu matematiky, niekedy aj netradicÏ-nyÂm a hravyÂm spoÃsobom. Preto duÂfame, zÏe naÂsÏ seminaÂr a s nõÂm spojene akcie sinaÂjdu svojich staÂlych nadsÏencov v radoch zÏiakov, ale aj podporovatel'ov v radochucÏitel'ov.

A inaÂcÏ . . . Ak sa chcesÏ dozvediet' niecÏo o seminaÂroch pre mladsÏõÂch alebo starsÏõÂchakoMATIK, maÂsÏnejasnosti v zadaniach, opravenyÂch riesÏeniach, alebo t'a zaujõÂmaniecÏo ineÂ, neboj sa opyÂtat' na nasÏej adrese. Budeme radi, ked' naÂm posÏlesÏ vlastnyÂprõÂspevok do cÏasopisu, alebo napõÂsÏesÏ len tak, ako sa ti paÂcÏiMATIK. PapierovuÂposÏtu pre naÂs nezabudni vzÏdy oznacÏit' heslom ¹MATIKª, maily naÂm moÃzÏesÏ posielat'na adresu matik@strom.sk.

http://matik.strom.sk Tak to je nasÏa webova straÂnka. NaÂjdesÏ na nej skorovsÏetko, aj to, cÏo by si mozÏno ani necÏakal. DozviesÏ sa informaÂcie o MATIKu,najnovsÏie novinky, uvidõÂsÏ zadania esÏte skoÃr, ako ti prõÂdu do sÏkoly alebo domov.Na nasÏom foÂre si moÃzÏesÏ popõÂsat' s kamaraÂtmi zo suÂstredenõÂ, s ktoryÂmi sa bezÏnenestretaÂvasÏ. Okrem toho na straÂnke naÂjdesÏ aktuaÂlne poradie, ale aj starsÏie cÏõÂslaMATIKa, fotky zo suÂstredenõÂ, informaÂcie o suÂt'azÏi Lomihlav a o vyÂletoch. TaknevaÂhaj a skocÏ na nasÏu straÂnku. TesÏõÂme sa na tvoj prõÂspevok na foÂre . . .

2% z daníBlõÂzÏi sa obdobie, kedy vasÏi rodicÏia moÃzÏu venovat' 2% zo svojõÂch danõ verejno-prospesÏnyÂm organizaÂciaÂm, ako sme my. Ako vsÏetkyÂm, aj naÂm sa peniaze zõÂdu.VyuzÏijeme ich na pokrytie naÂkladov spojenyÂch s aktivitami pre vaÂs (kopõÂrovaniecÏasopisov, posÏtovneÂ, aktivity na suÂstredenõÂ, . . . ). Chceme VaÂs preto poprosit', abyste rodicÏom, suÂrodencom, tetaÂm, stryÂkom, babkaÂm, dedkom, susedom, cudzõÂml'ud'om na ulici porozpraÂvali o nasÏich aktivitaÂch a poprosili ich, cÏi by svojou trosÏkounepodporili nasÏu dobrovol'nõÂcku cÏinnost'. VsÏetky potrebne informaÂcie naÂjdete nanasÏej straÂnke http://zdruzenie.strom.sk, kde si stacÏõ kliknuÂt' na banner 2%.DÏ akujeme!

OrganizaÂtoriMATIKa

Pravidlá súťažePriebeh. KoresÏpondencÏny matematicky seminaÂr MATIK je suÂt'azÏ pre zÏiakovsiedmeho azÏ deviateho rocÏnõÂka zaÂkladnyÂch sÏkoÃl, resp. sekundy azÏ kvarty osemrocÏ-nyÂch gymnaÂziõÂ. Zapojit' sa moÃzÏu aj mladsÏõ (im vsÏak odporuÂcÏame seminaÂr MalynaÂr± viac o nÏom sa dozviete na straÂnke http://malynar.strom.sk).MATIK pre-bieha koresÏpondencÏnou formou ± pocÏas letnej cÏasti dostanesÏ dve seÂrie po 6 uÂloh,ktore vyjdu naraz v septembri. RiesÏenia tyÂch uÂloh, ktore sa ti podarõ vyriesÏit', aleboprõÂdesÏ asponÏ na cÏast' riesÏenia, posÏli do uvedeneÂho termõÂnu na nasÏu adresu. My ichopravõÂme, obodujeme a zostavõÂme poradie vsÏetkyÂch riesÏitel'ov. Opravene riesÏeniauÂloh spolu s d'alsÏõÂm cÏõÂslom cÏasopisu, v ktorom naÂjdesÏ spraÂvne riesÏenia a poradie,

4 MATIK

dostanesÏ do sÏkoly. A ak sa budesÏ snazÏit' a skoncÏõÂsÏ medzi najlepsÏõÂmi, moÃzÏesÏ sa tesÏit'na 6-dnÏove suÂstredenie v peknom prostredõ nabite zaujõÂmavyÂm programom, sÏpor-tom, hrami, matikou a skvelyÂmi kamaraÂtmi. SuÂstredenie je urcÏene pre riesÏitel'ovseminaÂraMATIK, ktorõ sa v konecÏnom poradõ umiestnili do 32. miesta.

Bodovanie. Za spraÂvne vyriesÏenu uÂlohu zõÂskasÏ 9 bodov, za cÏiastocÏne spraÂvnealebo neuÂplne riesÏenie primerane menej. Do celkoveÂho poradia sa zapocÏõÂtavajuÂbody za:

deviataci, kvarta: vsÏetky vyriesÏene uÂlohyoÃsmaci, tercia: paÈt' najlepsÏie vyriesÏenyÂch uÂloh plus minimum z tyÂchto piatich uÂlohsiedmaci, sekunda: paÈt' najlepsÏie vyriesÏenyÂch uÂloh plus maximum z tyÂchto piatichuÂlohPrimaÂni, sÏiestaci a mladsÏõ budu hodnotenõ rovnako ako siedmaci.

PrõÂklad. Traja bratia, deviatak Vlado, oÃsmak Jaro a siedmak Marcel, vyriesÏilivsÏetky uÂlohy uÂplne rovnako (zhodou naÂhod, zÏe) ± za 3, 2, 4, 1, 5 a 4 body. Vladopotom zõÂskal 3+2+4+1+5+4 = 19 bodov, Jaro (3+2+4+5+4)+2 = 20bodov a Marcel (3 + 2 + 4 + 5 + 4) + 5 = 23 bodov. JasneÂ, nie?

Ako põÂsat' riesÏenie? UÂlohy riesÏ samostatne, neodpisuj ani nikomu nedaÂvaj od-pisovat', pretozÏe za to budeme strhaÂvat' body. VyÂsledok uÂlohy, aj ked' je spraÂvny,nestacÏõÂ. Tvoje põÂsomne riesÏenie musõ obsahovat' podrobny mysÏlienkovy postup ±vysvetlenie, ako si pri riesÏenõ uÂlohy postupoval. RiesÏenie kazÏdej uÂlohy põÂsÏ na sa-mostatny papier formaÂtu A4, ak je na viaceryÂch listoch, zopni ich. Texty zadanõÂodpisovat' nemusõÂsÏ. KazÏde riesÏenie musõÂmat' v hlavicÏke Tvoje meno, triedu, sÏkolua cÏõÂslo uÂlohy. RiesÏenia posielaj na adresu:

ZdruzÏenie STROM, PF UPJSÏ Jesenna 5, 04154 KosÏice.

Pod odosielatel'a uved' vyÂrazneºMATIKª. K prvyÂm riesÏeniam nezabudni pridat'

vyplnenu prihlaÂsÏku (alebo jej koÂpiu).RiesÏenia moÃzÏesÏ posielat' aj mailom. Posielaj ich na adresu riesenia@strom.sk,pricÏom do predmetu spraÂvy uved'MATIK. VsÏetky riesÏenia moÃzÏesÏ poslat' v jednejspraÂve do dnÏa termõÂnu seÂrie do 20:00. Dbaj na presne dodrzÏanie termõÂnu odosla-nia, cÏi uzÏ budesÏ riesÏenia posielat' posÏtou alebo mailom (za oneskorenie ti budemestrhaÂvat' body).

4 • 2014/15 5

Zadania 1. série úlohRiešenia pošlite najneskôr 23. marca 2015

!!! DOÃLEZÏITEÂ: Nezabudni vyplnit' evidencÏny lõÂstok. !!!

Bol raz jeden Mat'o. Pracoval v banke. Bola to nudna robota. StaÂle same papiero-vacÏky, nasÏtvanõ klienti a skoro zÏiadna matematika. Mat'ovi sa to voÃbec nepaÂcÏilo,ale bol to jediny spoÃsob ako uzÏivit' svoje dve nenaÂsytne deti a manzÏelku. JedneÂhodnÏa mu ale sÏt'astie pomohlo a povyÂsÏili ho. Bol z neho pocÏõÂtacÏ penÏazõÂ. Banka bolamala a na drahy stroj nemala, tak zamestnaÂvala l'udõÂ. Mat'o bol vsÏak spokojnyÂ, cÏõÂslaboli jeho zÏivot. Hned' v prvy denÏ sa vsÏak stalo niecÏo hrozneÂ.

UÂloha 1.Mat'o ma sÏtyri priehradky s peniazmi. Vie, zÏe spolu tam ma 45 eur, no ne-pamaÈta si presne sumy. VsÏimol si vsÏak, zÏe ak by do prvej priehradky pridal 2 euraÂ,z druhej vybral 2 euraÂ, v tretej by zdvojnaÂsobil pocÏet eur a nakoniec by odobralpolovicu eur zo sÏtvrtej priehradky, mal by v kazÏdej priehradke rovnaky obnos pe-nÏazõÂ. Bol taky spokojny so svojõÂm objavom, zÏe sa mu od sÏt'astia podarilo prevrhnuÂt'vsÏetky sÏtyri priehradky. PomoÃzÏte Mat'ovi zistit', kol'ko eur bolo na zacÏiatku v kazÏdejz priehradiek. NaÂjdite vsÏetky riesÏenia a nezabudnite svoju odpoved' zdvoÃvodnit'.

Ked' uzÏ mal Mat'o tento t'azÏky denÏ za sebou, rozhodol sa õÂst' si oddyÂchnut' do svojhoobl'uÂbeneÂho klubu STROM. Ked' vsÏak prisÏiel, jeho kamaraÂti boli akuraÂt na odchodea oznaÂmili mu, zÏe ide s nimi. Mat'o sa teda ryÂchlo pobalil.

UÂloha 2. StromaÂci sa vybrali na vyÂlet.Na kraji lesa stretli lovca, ktory chcel chy-tit' sedem zvierat: medved'a, geparda, za-jaca, lõÂsÏku, tigra, vlka a rysa. NevedelvsÏak, kol'ko klietok musõ na zvierata pri-pravit', pretozÏe medved' by zozÏral lõÂsÏkua vlka, vlk by zozÏral zajaca a lõÂsÏku, gepardmoÃzÏe zozÏrat' rysa, tigra a zajaca, rys raÂdlovõ zajace, tiger by mohol zozÏrat' lõÂsÏkua zajaca a lõÂsÏka by ulovila zajaca, keby sadostali do spolocÏnej klietky. A esÏte k tomuzajac je alergicky na medvediu srst'. Po-moÃzÏte lovcovi vypocÏõÂtat', kol'ko najmenejklietok musõ pripravit' a vysvetlite precÏo.

Ked' uzÏ boli StromaÂci spokojnõ so svojõÂmvyÂletom, rozhodli sa, zÏe poÃjdu domov. Ked'dorazili do klubovne, Mat'o si spomenul,zÏe zajtra ma jeden z jeho kamaraÂtov narodeniny. Pozrel sa teda do kluboveÂho

6 MATIK

kalendaÂra a zistil, zÏe oslavuje uzÏ zajtra v klubovni. Doma uzÏmal pripraveny darcÏek,a tak sa voÃbec nestresoval a pokojne sÏiel domov. Na druhy denÏ prisÏiel do klubovnepraÂve vcÏas.

UÂloha 3. JozÏi oslavoval svoje narodeniny. Na otaÂzkuºKtoreÂ?ª Mat'ovi odpovedal,

zÏe ked' obaja ku svojmu veku pricÏõÂtaju ciferny suÂcÏet svojho veku, tak im vyjde toiste 2-ciferne cÏõÂslo. MoÃzÏe byt' JozÏi starsÏõ ako Mat'o? Ak aÂno, maximaÂlne o kol'korokov?

Na oslave sa tak zabaÂvali, zÏe uÂplne stratili pojem o cÏase. Hudba hrala, jedla bolodost' a vzÏdy sa bolo o cÏom bavit'. A tak sa zabaÂvali azÏ do hlbokej noci. Vtedy saMat'o pozrel von oknom a uvedomil si, kol'ko je hodõÂn. ChvõÂl'u rozmyÂsÏl'al nad tyÂm,ako sa dostane domov, ale maÂrne. VsÏetky autobusy uzÏ daÂvno stoja na stanovisÏtiacha on sa do raÂna domov urcÏite nedostane. A tak sa rozhodol, zÏe dnes v noci budespat' v klubovni. Rozhliadol sa, ale uvedomil si, zÏe jediny rovny povrch okremchladnej zeme je vel'ky neforemny stoÃl v strede klubovne, ktory si StromaÂci kuÂpiliesÏte kedysi vel'mi daÂvno vo vyÂpredaji. Nevedel vsÏak, cÏi je dostatocÏne rozmernyÂ.

UÂloha 4. StoÃl mal tvar lichobezÏnõÂka. Mat'o si jeho rohy oznacÏil ABCD (so zaÂklad-nÏami AB a CD), aby sa mu jednoduchsÏie pocÏõÂtalo. Z manuaÂlu na zostrojenie stolavycÏõÂtal, zÏe |CD| = 3 a |DA| = 5. TiezÏ dnes pri debate prisÏli na to, zÏe do uhla CDA

napchaju presne dvakraÂt viac smotanovyÂch rezov ako do uhla ABC (2|^ABC| == |^CDA|). Teraz potreboval vediet' uzÏ iba dlÂzÏku jednej strany, a to AB. PomoÃzÏtemu ju zistit'.

KyÂm Mat'o meral svoj stoÃl, JozÏi sa medzi tyÂm prehraboval v skrini a nakoniecs võÂt'azoslaÂvnym vyÂkrikom vytiahol nafukovaciu postel'. Mat'o si ju nafuÂkol a sÏiel siumyt' zuby. Po ceste na klubove zaÂchody ho vsÏak zastavil vraÂtnik a opyÂtal sa ho,cÏo tak neskoro robõ v budove. Mat'o mu celu situaÂciu vysvetlil, ale vraÂtnik sa lenskepticky pozeral. Nakoniec mu povedal:

ºHmm, no viesÏ cÏo? Ak si naozaj StromaÂk,

tak musõÂsÏ prejst' mojõÂm testom,ª a vytiahol hraciu dosku.

UÂloha 5. Aky najvaÈcÏsÏõ pocÏet ®guÂrok je mozÏne rozostavit'na jednotlive polõÂcÏka hracej dosky tvaru ako na obraÂzkutak, aby v zÏiadnom sÏikmom rade neboli ®guÂrkami obsadeneÂzÏiadne tri susedne polõÂcÏka? (SÏikmyÂm radom rozumiemetaku skupinu polõÂcÏok, ktoryÂch uhlopriecÏky jedneÂho z obochsmerov lezÏia na jednej priamke.)

Mat'o, ako spraÂvny StromaÂk, uÂlohu ryÂchlo vyriesÏil a utekalna zaÂchody. Potom sa vraÂtil spaÈt' do postele a sladko zaspal.PocÏas spaÂnku sa mu vybavovali roÃzne chvõÂle z dnÏa, ktory prezÏil, a snõÂval sa muzaujõÂmavy sen.

4 • 2014/15 7

UÂloha 6. Mat'ovi sa snõÂva, zÏe na vecÏierok prisÏlo 2015 l'udõ (z nich jeden bolkuÂzelnõÂk). Potom prisÏiel jeden novinaÂr, ktory hl'adal kuÂzelnõÂka. KuÂzelnõÂka niktonepoznal, ale kuÂzelnõÂk poznal kazÏdeÂho. NovinaÂr sa mohol opyÂtat' akeÂhokol'vekcÏloveka, cÏi pozna ineÂho cÏloveka. Ak sa opyÂtal, tak mu kazÏdy odpovedal vzÏdypravdivo. Mat'o, nespokojny s nedostatkom probleÂmov vo svojom sne, sa saÂm sebaopyÂtal otaÂzku:

ºDokaÂzÏe vzÏdy novinaÂr naÂjst' kuÂzelnõÂka na menej ako 2015 otaÂzok?ª

PomoÃzÏte mu na nÏu odpovedat'. Nezabudnite svoju odpoved' zdoÃvodnit'.

Po dobre zasluÂzÏenom spaÂnku na nafukovacej posteli sa Mat'o raÂno zobudil vyspatyÂ,no trochu ubolenyÂ. Pozbieral si veci, upratal po sebe a sÏiel do praÂce. Jeho denÏbol nudnyÂ, a tak sa cely cÏas tesÏil na to, ako poÃjde domov a da si poriadne horuÂcusprchu. A tak sa teda po skoncÏenõ pracovnej doby vybral domov.

Zadania 2. série úlohÚlohy pošlite najneskôr 27. apríla 2015

Ked' dorazil, dostal sÏok. Na dveraÂch Mat'ovho bytu bol namontovany maly displaya tlacÏidla s cÏõÂslami. Po chvõÂl'ke plnej paniky a zuÂfalstva sa pozrel dolu na zema nasÏiel odkaz.

UÂloha 1.ºKoÂd od tvojho bytu je jednoduchyÂ. Nepoviem ti vsÏak, aky je dlhyÂ. Poviem

ti len, zÏe tento koÂd je najmensÏie prirodzene cÏõÂslo, ktoreÂho suÂcÏin ci®er je rovnyÂpresne 600.ª PomoÃzÏte Mat'ovi naÂjst' toto cÏõÂslo.

Mat'o sa traÂpil a traÂpil. PocÏõÂtal a haÂdal, no nicÏ nefungovalo, a tak sa rozhodolpopyÂtat' o pomoc susedu. CÏi naÂhodou niecÏo nevidela. Nemal vsÏak ani tusÏenia,zÏe jeho suseda MarkeÂta bola do tohto plaÂnu po cely cÏas namocÏenaÂ. NajskoÃr muponuÂkla kaÂvu, potom esÏte cÏaj a nakoniec ho esÏte naliala aj vodou. Samozrejme,zÏe Mat'o potreboval na WC. MarkeÂta to vsÏak vyuzÏila a zamkla ho. Mat'o sa lenticho posadil na zem a zuÂfalo vykrõÂkol:

ºPrecÏo zasa ja?!ª Spoza dverõÂ bolo pocÏut'

len l'ahky chichot a potom mu popod dvere posunula maly papierik. Na papierikubolo zadanie.

UÂloha 2. Nech a, b, c su dlÂzÏky straÂn trojuholnõÂka ABC. DlÂzÏku vyÂsÏky spustenejz vrcholu C oznacÏme v. Je pravda, zÏe vzÏdy existuje trojuholnõÂk so stranami dlÂzÏokv, c+ v, a+ b? Vysvetli precÏo.

Mat'o sa uzÏ ani nesnazÏil premyÂsÏl'at' nad tyÂm, precÏo musõ staÂle pocÏõÂtat' tol'ko uÂloha cÏi by to nebolo jednoduchsÏie, keby si radsÏej ako konõÂcÏek nasÏiel zaÂhradnicÏenie.Odtrhol si teda kuÂsok toaletneÂho papiera a pustil sa do uÂlohy. Ked' nakoniec uÂlohuvyriesÏil a zavolal na MarkeÂtu, ta mu to skontrolovala a pustila ho zo zaÂchodu.NeskoÃr sa mu dokonca priznala, zÏe to ona dala na jeho dvere namontovat' tenzaÂmok a prezradila mu aj koÂd.

8 MATIK

Ked' sa konecÏne osprchoval a chcel si vecÏer oddyÂchnut' pri telke, vtrhla mu do bytuMarkeÂta. Mat'o si ju ani nevsÏimol. V telke totizÏto isÏiel vel'mi doÃlezÏity zaÂpas vo fut-bale. MarkeÂta niecÏo hovorila, ale on ju nepocÏuÂval, pretozÏe sa suÂstredil na zaÂpas.Nakoniec to vzdala a pozrela si cely zaÂpas s nõÂm. Ked' to utrpenie konecÏne skoncÏilo,Mat'o si ju konecÏne vsÏimol.Vydesene saMarkeÂty opyÂtal, ako sa preboha dostala do jeho bytu. Ona na neho vsÏaklen zazrela pohl'adom, ktory hovoril:

ºAko sa moÃzÏesÏ pyÂtat' taku hluÂpu otaÂzku?!ª

ºKazÏdopaÂdne,ª vyletela MarkeÂta,

ºpotrebujem od teba pomoc. Stavila som sa

na oslave s JozÏkom, zÏe do zajtra uhaÂdnem, na ake cÏõÂslo myslõÂ. Zistila som, zÏenie som jedinaÂ, s ktorou sa JozÏko stavil. On na to totizÏ ma systeÂm. A ja viem akyÂ!ª

UÂloha 3. JozÏko si põÂsÏe do zosÏita cÏõÂsla. Najprv napõÂsal nejake dve a kazÏde d'alsÏie,ktore napõÂsal, dostal tak, zÏe od posledneÂho napõÂsaneÂho cÏõÂsla odcÏõÂtal predposledneÂ.SuÂcÏet prvyÂch 51 cÏõÂsel, ktore napõÂsal, bol 42. Ake bolo 8. cÏõÂslo, ktore JozÏko napõÂsal?

Mat'o vyriesÏil uÂlohu a podal MarkeÂte vyÂsledok na papieriku. Ta sa mu ani ne-pod'akovala a odfrcÏala spaÈt' do svojho bytu. Mat'o bol unavenyÂ, a tak si radsÏejisÏiel l'ahnuÂt'. Na druhy denÏ sa zobudil a uvedomil si, zÏe je sobota. Soboty su dni,kedy Mat'o nepracuje a kedy ma vol'no. Rozhodol sa teda, zÏe dnesÏnu sobotu straÂviv parku. A tak sa obliekol a sÏiel.

Na luÂke stretol lienku 7-bodkovuÂ. Ta mu hovorõÂ:

UÂloha 4. Stretli sa 6-bodkove a 4-bodkove lienky (7-bodkove neboli pozvaneÂ). 6-bodkove lienky vzÏdy hovoria pravdu, 4-bodkove vzÏdy klamuÂ. Prva lienka povedala:

ºKazÏda z naÂs ma rovnaky pocÏet bodiek.ª Druha lienka povedala:

ºVsÏetky lienky,

cÏo su tu, maju spolu 26 bodiek.ª Tretia lienka povedala:ºVsÏetky lienky, cÏo su tu,

maju spolu 30 bodiek.ª VsÏetky ostatne lienky povedali, zÏe praÂve jedna z tyÂchtotroch lienok hovorila pravdu. Kol'ko 4-bodkovyÂch a kol'ko 6-bodkovyÂch lienok sastretlo?

4 • 2014/15 9

Mat'o sa na chvõÂl'u zamyslel a potom si uvedomil, zÏe sa rozpraÂva s lienkou. Pomalysa teda postavil a, uzÏ trocha ryÂchlejsÏie, kraÂcÏal precÏ. PrisÏiel azÏ ku detskeÂmu ihrisku.Deti si ihrisko rozdelili, ale haÂdali sa, kto ma vaÈcÏsÏiu cÏast'.

UÂloha 5. Ihrisko malo tvar obdlÂzÏnika (ABCD). V strede strany DA bolo vedierko(V) a v strede strany CD boli hrablicÏky (H). V priesecÏnõÂku uÂsecÏiek HA a CV bolazapichnuta lopatka (L). Deti sa haÂdali o tom, kol'ko kraÂt je Jurkova strana vaÈcÏsÏiaalebo mensÏia ako Pet'kova. Jurko mal ihrisko vymedzene bodmi ABCL a Pet'ko zasaHDVL. PomoÃzÏte det'om zistit', aky je pomer obsahov ich ihrõÂsk.

A B

CD

V

H

L

Mat'o bol spokojny s tyÂm, zÏe pomohol det'om, a tak sa spokojne vybral smeromk fast foodu. Ked' dorazil, nasÏiel tam vel'a l'udõÂ, ktorõ si pochutnaÂvali na mastnomjedle. Nikdy predtyÂm tu nebol, a tak sa opyÂtal naÂhodneÂho cÏloveka, cÏo si objednal.Ten, akoby to cele plaÂnoval uzÏ hodnu chvõÂl'u, mu povedal:

UÂloha 6. Fast food ma ponuku jedaÂl od cÏõÂsla 1 do 47 000. Ja som si objednal takeÂjedlaÂ, ktoryÂch cÏõÂsla isÏli po sebe a ich suÂcÏet bol 15 015. ObjednaÂvku ale musõÂsÏ dikto-vat' od najmensÏieho cÏõÂsla po najvaÈcÏsÏie. Kol'kyÂmi spoÃsobmi som si mohol objednat'jedlaÂ?

Mat'o si povedal, zÏe kasÏle na prõÂklady naÂhodnyÂch cudzincov a objednal si hranolkya dieÂtnu kolu. Bol spokojny so svojim rozhodnutõÂm a potom, ako dojedol, sa vybraldomov. Na tieto sÏtyri dni tak skoro nezabudne. . .

10 MATIK

Za podporu a spoluprácu ďakujeme:

Korešpondenčný matematický seminár MATIKČíslo 4 • Letná časť 28. ročníka (2014/15) • Vychádza 12. februára 2015Internet: http://matik.strom.sk • E-mail: matik@strom.sk

Vydáva: Združenie STROM, Jesenná 5, 041 54 Košice 1Internet: http://www.strom.sk • E-mail: zdruzenie@strom.sk