Axiomas de orden

Esta basado en los siguientes axiomas:

01) Tricotomıa: ∀ a, b ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a = b, a <

b, o b < a.

02) Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c.

03) Preserva Orden bajo Adicion: Si a < b entonces a + c < b + c ∀ c ∈ R.

04) Preserva Orden bajo Multiplicacion (0 < c): Si 0 < c y a < b entonces ac < bc.

Notacion:

a− b := a + (−b)

a > b significa que a− b ∈ P

a < b significa que b > a

a ≥ b significa que a > b o a = b

a ≤ b significa que a < b o a = b

Teorema.- a + c < b + c ⇒ a < b

Ley de Cancelacion para la Adicion en Desigualdades.

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Dem: (La idea es iniciar en a+c < b+c, y llegar a a < b, mediante una cadena de implicaciones).

a + c < b + c ⇒ (a + c) + (−c) < (b + c) + (−c) (Por (03) Axioma de orden)

⇒ a + (c + (−c)) < b + (c + (−c)) (Por (A3) Asociativa)

⇒ a + 0 < b + 0 (Por (A5) Inverso Aditivo)

⇒ a < b (Por (A4) Neutro Aditivo) ∴ a < b.

Teorema.- Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.

Suma de Menores, es menor que Suma de Mayores

Dem: (La idea es construir una cantidad z, tal que a + c < z < c + d)

Por Hipotesis: a < b ⇒ a + c < b + c (Por (03) Axioma de Orden)

Por Hipotesis: c < d ⇒ b + c < b + d (Por (03) Axiona de Orden)

Por estas dos desigualdades y por el (02) Axioma de Orden ⇒ a + c < b + d

∴ Si a < b y c < d ⇒ a + c < b + d.

Teorema.- Si a < b, entonces −b < −a.

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Los inversos aditivos invierten la Desigualdad

Dem: (La idea es sumar z, talque a + z = −b y b + z = −a)

Por Hipotesis: a < b ⇒ a + ((−a) + (−b)) < b + ((−a) + (−b)) (Por (03) Axioma de

Orden)

⇒ a + ((−a) + (−b)) < b + ((−b) + (−a)) (Por (A2) Conmutativa)

⇒ (a + (−a)) + (−b) < (b + (−b)) + (−a) (Por (A3) Asociativa)

⇒ 0 + (−b) < 0 + (−a) (Por (A5) Inverso Aditivo)

∴ − b < −a (Por (A4) Neutro Aditivo).

Teorema.- Sea c < 0. Si a < b, entonces ac < bc.

Dem: Primero pruebo que 0 = −0

0 = 0 + 0 = 0 + (0 + (−0)) = (0 + 0) + (−0) = 0 + (−0) = −0.

(La idea es usar que c < 0 ⇒ − c > 0.

Por Hipotesis: c < 0 ⇒ − c > 0 (Por Teo. Anterior y que 0 = −0)

Por Hipotesis: a < b ⇒ a(−c) < b(−c) (Por (1) y (04) Axioma de Orden)

⇒ − (ac) < −(bc) (Por Teo. Anterior)

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∴ ac > bc (Por Teo. Anterior)

Teorema.- Si 0 < c y ac < bc entonces a < b

Dem: Primero probaremos que si 0 < c ⇒ c−1 > 0.

Sup. c−1 < 0 ⇒ − c−1 > 0, por hipotesis, c > 0

∴ − c−1 · c > 0 ⇒ c−1 > 0 ⇒ f(−1)c−1 · c > 0 ⇒ − 1 · 1 > 0 ⇒ − 1 >

0 ........CONTRADICCION

∴ c−1 > 0

Por Hipotesis: 0 < c ⇒ 0 < c−1

Por lo tanto ac < bc ⇒ (ac)c−1 < (bc)c−1

⇒ a(c c−1) < b(c c−1) ⇒ a · 1 < b · 1 ⇒ a < b

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