ESTRATEGIA PTIMA PARA EL BLACKJACK

RESUMEN

Se trata este juego como un proceso de decisin secuencial acotado en el que se intenta maximizar la ganancia esperada. Mediante la aplicacin del principio de optimalidad de Bellman y bajo ciertas hiptesis se obtiene la regla de parada ptima, que, con una serie de decisiones que se toman en determinadas situaciones iniciales, constituyen la estrategia ptima, de la que se estudian sus propiedades estadsticas. Los detalles computacionales se indican aunque son omitidos explcitamente. Por ltimo, se discute el procedimiento seguido por otros autores que han determinado una estrategia para el Black-Jack pero no demuestran la optimalidad de sta. El mtodo aqu propuesto garantiza esto ltimo. No obstante, se demuestra al final que, bajo ciertas hiptesis, el procedimiento seguido por aqullos tambin conduce a la estrategia ptima. Palabras clave: Black-Jack; juego de apuesta; principio de optimalidad de Bellman; regla de parada ptima; tcnicas de Montecarlo.

1. INTRODUCCION

El Black-,iack o veintiuno es un juego de cartas habitual en todos los casinos del mundo. Con la reciente legalizacin del juego en Espaa, han sido varias las estrategias que han surgida para este juego. Dada la disparidad entre stas y debido a que las reglas usadas aqu, difieren (aunque no en lo esencial) de las utilizadas en otros pases, hemos considerado conveniente un nuevo estudio. Baldwin et al. (1), Sagan (3) y Thorp (4) han investigado en profundidad el BlackJack pero ajustndose a las reglas de los casinos americanos. Una caracterstica del Black--Jack, que facilita la bsqueda de la estrategia ptima, es la de que el croupier tiene obligacin de jugar de una forma fija y conocida. E1 jugador es el nico que puede tomar decisiones. Estas decisiones son de un grado de complejidad superior a 1as que se toman en otros juegos de casino y en esto reside el atractivo que, para muchos jugadores, pasee el Black-Jack.

Reglas de juego

Se usa la baraja francesa de 52 cartas. Cada carta tiene un valor: Las figuras valen 10

y las dems carta su valor nominal salvo el as que puede valer 1 u 11 a eleccin del jugador. Participan el croupier y un mximo de 7 jugadores. Los jugadores hacen sus apuestas antes de que se reparta ninguna carta. El croupier sirve dos cartas a cada jugador y una a si mismo, todas ellas levantadas. El objetivo de los jugadores es acercarse lo ms posible a 21 puntos sin pasar ese lmite. Para ello suma el valor de las cartas recibidas y decide. si pide una carta mas o se planta. Esta operacin se puede repetir hasta que decida plantarse o se pase. Si se pasa, paga su apuesta al croupier independientemente del total que alcance ste.

Estrategia del croupier.- Una vez que todos los jugadores han hecho su juego, elcroupier se sirve cartas estando obligado a plantarse si tiene una suma igual o superior a 17. En caso contrario deber pedir cartas hasta que alcance 17 o ms. Cuando el croupier tenga un as que pueda valer 1 u 11 sin pasarse, deber contarlo como 11 si con este valor alcanza 17 o ms. Pagos.- Si un jugador no se ha pasado y el croupier s, recibe una cantidad igual a su apuesta. Si el croupier tampoco se ha pasado, se comparan los totales y el que lo tenga mayor gana una cantidad igual a la apuesta del jugador. En caso de empate no se producen pagos.

Black-Jack.- Consiste en un as con un diez (las figuras son "dieces"}. Gana acualquier otra suma. Si el jugador tiene Black-Jack y el croupier no, entonces recibe una vez y media su apuesta. El jugador tiene otras posibilidades:

Doblarse.- Si las dos primeras cartas del ,jugador suman 9, 10 u 11, podr doblar suapuesta inicial. Si as lo hace solamente recibir una carta ms.

Abrirse.- Si las dos primeras cartas tienen igual valor, puede separarlas y jugar a dosmanos haciendo una apuesta en cada una de ellas igual a la inicial. El jugador recibe otra carta en cada mano y prosigue jugndolas independientemente salvo que no podr volver a abrirse. Si un jugador separa un par de ases recibir una y solamente una carta sobre cada as, y si en alguna de ellas recibiera un diez, no valdr corno Black-Jack, sino como 21.

Asegurarse.- Si la primera carta del croupier es un as, los jugadores podrnasegurarse contra el posible Black-Jack del croupier haciendo una apuesta adicional que sea como mximo la mitad de la apuesta original. Si el croupier obtiene Black-Jack, paga el seguro 2 a 1 y si no lo obtiene el jugador lo perder. El seguro se deber hacer antes de que el primero de los jugadores reciba la tercera carta.

2. METODOLOGIA

Buscaremos la estrategia que sea ptima segn el criterio de la mxima ganancia esperada. La obtendremos bajo dos hiptesis: H1 : La probabilidad de obtener una carta concreta no vara a lo largo del juego. Es decir, la de obtener un 10 ser 4/ 13 y la de las dems cartas 1/ 13. H2 : El total de puntos alcanzados por el croupier es independiente del conseguido por el jugador. La hiptesis H1 es una simplificacin necesaria en una primera etapa de anlisis del juego. Esta hiptesis es razonable si se tiene en cuenta que el croupier usa un mazo de seis barajas y que nunca lo agota, volviendo a barajar cuando an queda una parte apreciable de cartas (algo ms de una baraja} que no han sido servidas. Estudiaremos el juego como un proceso de decisin secuencial acotado. La estrategia ptima vendr dada en trminos de una regla de parada ptima, que obtendremos por induccin hacia atrs. El principio de optimalidad de Bellman garantiza que esta regla maximiza la ganancia esperada. Baldwin et al. (1) y Thorp (4) na prueban, explcitamente, que su mtodo de anlisis conduzca a la estrategia ptima. Nuestra procedimiento sigue siendo vlido an cuando la distribucin sea distinta y adems es, computacionalmente, ms eficiente. Para el anlisis distinguiremos dos tipos de manos: Blandas y duras segn contengan o no ases que pueden tornar los valores l u 1 1 sin que el total exceda de 21. Consideraremos en primer lugar el caso en que el jugadar tiene una mano dura y despus, usando los resultados obtenidos, analizaremos las manos blandas. Sucesivamente estudiaremos los casos en que el jugador tenga que doblarse, abrirse o asegurarse. En lo que sigue, consideraremos que el jugador apuesta inicialmente una unidad monetaria.

3. MANOS DURAS

En este caso, la mano del jugador no contiene ases que puedan valer 11 sin que el total exceda de 21. Se descarta, de momento, la posibilidad de que el jugador pueda abrirse, doblarse o asegurarse. En un momento dado del juego, el jugador dispone de dos informaciones:

a.-- La suma de sus cartas, que notaremos por x, .x 4. b.- La carta que se ha servido el croupier, que notaremas por b, b= A, 2,. ..., 10 Ante una situacin dada (x,b}, el jugador debe elegir entre plantearse o pedir carta. Se introduce la siguiente notacin: G* (x,b} es la mxima ganancia esperada del jugador supuesto que se halla en la situacin (x,b) y se obtiene cuando acta de forma ptima. Go (x,b) es la ganancia esperada si a la vista de (x,b) decide plantearse. P,. es la probabilidad de obtener una carta de valor c, segn H1 : Pc= 4/ 13 si c=10 1/13 si c 10 Por tanto, podemos expresar: G* (x,b) = Max{ Go (x,b),10 sumatoriaC=1, Pc G* (x+c,b} } (1) Es decir, el mximo entre Go (x,b) y la ganancia esperada si pide una carta y despus contina el juego segn la estrategia ptima. Convendr plantarse, pues, cuando el mximo se alcance en Go (x,b) y pedir carta en caso contrario. Tenemos que evaluar la ecuacin ( 1) para cada x y cada b. Para ello necesitamos conocer: i.- Go (x,b) para cada x= 4, 5,. ... y cada b= A, 2,. ..., 10 ii.- Diez valores fnales de G* (x,) para poder iniciar el proceso de induccin hacia atrs con cualquier valor de x y b. [

Clculo de Go (x,b}Tenemos que Go (x,b) = Pr(B > 21) + Pr(B < x) - Pr(x < B< 21), donde B es la suma total obtenida p^or el croupier supuesto que su primera carta tiene un valar b. Portanto, el clculo de Go (x,b) depende exclusivamente de las probabilidades Pr(B =j) j=17,. ..., 2 l,> 21 (se distingue en j= 21 el caso de Black-Jack}.

Clculo de las probabilidades del croupierSe ha realizado de forma exacta nada ms que en los casos b=6 y b=10, obtenindose, redondeando en la 6. cifra: 17 18 19 20 21 blackjack se pasa

b=6 b=10

.166948 .106454 .107192 .100705 .097878 . 000000 .1 1 1424 .1 1 1424 .1 11424 .342193 .034501 .076923

.420824 .212111

Por lo tedioso de estos clculos, se han usado las tcnicas de Montecarlo para obtener el resto de las probabilidades aproximadamente: Esta tabla se ha comparado con la deducida por Baldwin et al. (1) no observando diferencias superiores a un 1% l 2 3 4 S 6 7 8 9 10 .130967 .130867 .130926 .130593 .053895 .307919 .114833 .139866 .134672 .129167 .124510 .118795 .000000 .352990 .135020 .130546 .125441 .120473 .ii4699 .000000 .373821 .130407 .126073 .121832 .116268 .111227 .000000 .394193 .121443 .121931 .117990 .112953 .108040 .040000 .417t43 .165071 .10337 .106072 .101458 .097660 .000000 .423402 .368573 .137726 .078497 .078528 .074030 .000000 .262646 .128650 .359020 .128543 0.70008 .069280 .000000 .244499 .120016 .120380 ,351065 .119597 .060732 .000000 .228210 .111998 .111416 .111418 .341491 .034456 .076816.212405

No obstante, en los casos en que las esperanzas calculadas no determinan con absoluta claridad la regla a seguir, estos clculos se han llevado a cabo de forma exacta.

valores finales de G* (x,b) Estos son: G* (x,b} = Go (x,b) = -1 si x> 21 y para todo b G* (21,b) = Go (2 l,b) para todo b A partir de la matriz de probabilidades del croupier se ha diseado un algoritmo que evala Go {x,b). Aplicando la ecuacin (1), con los valores finales ya citados, se obtiene G* (x,b) para cada x y cada b, as como la regla de parada ptima: A1 jugador le conviene plantarse si el mximo se alcanza en Go {x,b) y pedir carta en caso contrario. Una vez efectuados los clculos, se observa que para cada b, existe un valor T(b), que llamaremos tope, de forma que si x< T{b) es mejor pedir carta, mientras que si x>T(b) es preferible plantarse.

Los resultados se sintetizan en la siguiente tabla: b: 1 2 13 3 13 4 12 5 12 6 12 7 17 8 17 9 17 10 17

T{b) : 17

4.MANOS BLANDAS

E1 anlisis de lo que se entiende por manos blandas, aunque esencialmente es el mismo, presenta algunas diferencias respecto al de manos duras. La mano del jugador contiene un as que puede valer 11 sin que el total exceda de 21,en este caso, x ser ese total. Para el jugador que decide plantarse, GQ (x,b) se evala exactamente igual que antes. En caso contrario, si al pedir una carta se obtiene un valor c tal que x+ c supera a 21, el as toma automticamente el valor 1 y el total de su mano ser ahora x+ c-10 Sea G* (x,b) la gananca esperada mxima en el caso de manos blandas. Para calcular G* (x,b) se utiliza la frmula recurrente: G* {x,b) = Max { Go {x,b), 10sumatoria c=1, Pc G* (x+c,b) } (2)

donde los valores finales seran: G* (x,b) = G* (x-10,b}, x> 21 y todo b. En este caso, tambin la regla de parada optima se puede caracterizar fcilmente en funcin de unos topes (de manos blandas, para distinguirlos de los anteriores), y que denotarernos por T(b): b: l 2 18 3 18 4 18 5 18 6 18 7 18 8 l6 9 19 10 19

T(b): 19

De forma que si x< T(b) el jugador debe pedir carta, si x T(b) y x 21, el jugador se planta, y si, por ltimo, x> 21, entonces tiene una mano dura de valor x-10 y sigue jugando de forma ptima hasta alcanzar o sobrepasar T(b).

5. DOBLARSE

Como ya hemos indicado, si las dos primeras cartas suman 9. 1 Q u 11, cabe la posibilidad de doblar la apuesta nicial recibiendo una y solamente una carta rns. Por tanto, para decidir en qu situacin (x,b) es mejor doblarse, se compara

2,10sumatoriac=1, Pc. Go (x+c,b) con G* (x,b) : Si 2,10sumatoriac=1,Pc. Go (x+c,b) > G* (.x,b entonces es mejor doblar la apuesta. Cuando X=19, 20 21 (Black-Jack} con una mano blanda, tambin cabra la posibilidad de doblarse. Si se compara 2,21-Xsumatoriac=1,PcG0(X+C,B)+10sumatoria22-XPcG0(X+C-10,b) con * (X,b) se concluye que lo mejor es plantearse tal y como indica la estrategia ptima para manos blandas. Examinadas las distintas situaciones individualmente, se concluye que el ugador debe doblarse cuando sumando 9, 10 u 11, el croupier tenga en su carta inicial los valores {3,4,. . . ., 6}, (2, 3,. . . ., 9) y (2, 3,. . . ., 9) respectivamente.

6. ABRIRSE

Compararemos la ganancia mxima esperada cuando no se abre el jugador con la que resultara de jugar ptimamente con dos manos despus de abrirse (incluyendo la posibilidad de doblarse despus de abrirse). Si las dos primeras cartas del jugador tienen el mismo valor z, deber abrirse si se verifica que: 2,10sumatoriaC=1 Pc G* {z+c,b) - G* (2z,b) > 0, entendiendo que G* (z+c,b) engloba el caso demmano dura y mano blanda y la posibilidad de doblarse despus de abrirse. Cuando se poseen dos ases hay que abrirse si: 2,10sumatoriaC=1,Pc Go (11+c,b) G* (12,b) > 0

7. ASEGU RARSE

Esta es una opcin que el jugador puede escoger independientemente del juego que realice con su mano. Si la primera carta del croupier es un as y el jugador decide asegurarse, lo que obtendr depender exclusivamente de la segunda carta que el croupier reciba. Por tanto, la ganancia esperada cuando se asegura con una cantidad d(d), disminuye en d/ l 3. No se recomienda, pues, asegurarse salvo que: a.- E1 jugador sepa que la probabilidad de que la segunda carta del croupier sea un

10 es mayor que 1/3. b.- En este caso, el jugador adopte un criterio de decisin diferente al de maximizar la ganancia esperada. Por ejemplo: Si el jugador tiene Black-Jack y el croupier tiene un as, la matriz de ganancias es la siguiente:CROUPIER BLACKJACK SEGURO JUGADOR NO SEGURO 0 +3/2 +1 NOBLACKJACK +1

Y si el criterio es el "maximin", le interesa asegurarse.

8. DESCRIFCION Y PROPIEDADES DE LA ESTRATEGIA PTIMA

A continuacin se describe la estrategia ptima: TOPES MINIMOS: b: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Manos duras T(b) : 17 13 13 12 12 12 17 17 17 17 Manos blandas T(b) : 19 18 18 18 18 18 18 18 19 19 DOBLARSE: (0 : no doblarse; 1: doblarse)

Suma inicial

b: 1 9: 0 10 : 0 11 : 0

2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 1 1

5 6 1 1 1 1 1 1

7 0 1 1

8 0 1 1

9 10 0 0 1 0 l 0

ABRIRSE: (0 : no abrirse; 1: abrirse) b: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1-l: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2-2 : 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3-3: 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 4-4:0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 5-5:0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6-6 : 0 1 1 l 1 1 0 0 0 0 7-7: 4 1 1 1 1 1 1 4 0 0 8-8 : 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0

9--9 : 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 10-10: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ASEGU RARSE: no conviene asegurarse nunca. Una vez determinada la estrategia ptima, es lgico preguntarse cul es la media de la variable aleatoria ganancia cuando se apuesta una unidad monetaria y se sigue dcha estrategia. Por lo tedioso de los clculos, se ha aptado por estimar la media a travs de las tcnicas de Montecarlo, para lo cual se ha construido un modelo de simulacin que desarrolla el juego del Black-Jack para un jugador, que sigue la estrategia ptima especificada anteriormente, y el croupier, que sigue su estrategia fijada por las reglas del juego. Para una estimacin mas precisa, se genera para cada una de las situaciones iniciales posibles, carta inicial del croupier y dos cartas del jugador, un nmero suficientemente grande de jugadas, 10^ 4,en nuestro caso, y la ganancia media obtenida en cada una de estas situaciones se pondera por su probabilidad. Con 20 muestras generadas de esta forma se ha conseguido un valar medio de -0,0079 y un intervalo de confianza al 95% para dicha media: (-0.0082, -0,0076}. La primera conclusin que se extrae es que el Black-Jack, an siguiendo la estrategia ptima, es un juego desfavorable para el jugador, puesto que la ganancia media es negativa y significativamente distinta de 0. Para caracterizar mejor la estrategia ptima es conveniente estimar la varianza de la variable aleatoria ganancia en una jugada. Para ello se ha construido un algoritmo que genera las situaciones iniciales y desarrolla las jugadas como en el modelo anterior. Se ha estimado de este modo la varianza de la ganancia en una jugada a1 apostar una unidad monetaria y el valor obtenida es 1.08.

9.EFECTIVIDAD DE CONTAR CARTAS CONTRA LA VENTAJA MATEMTICA DE LA BANCA EN EL BLACKJACK.

Fundamentos de las Tcnicas de Contar Cartas en el Blackjack:

En el blackjack tienen plena validez las tesis sobre la Teora de los Juegos desarrolladas por el gran matemtico John von Neumann (19031957), en el sentido de que jugada a jugada hay una total variacin de las probabilidades inicialmente existentes para ganar o para perder, ya que al extraerse paulatinamente del mazo o del zapato ciertas cartas de determinado valor sin proceder de inmediato a su reemplazo, entonces se va reduciendo el tamao y la conformacin del mazo o zapato y necesariamente se alteran las probabilidades de ocurrencia de los resultados futuros, lo cual a su vez hace que el Valor Esperado (Expected Value) de cada apuesta colocada flucte segn sean las cartas pendientes de reparto que quedan en el remanente del mazo o zapato. En otras palabras, el blackjack es un juego en el que las probabilidades de ocurrencia de las jugadas futuras estn condicionadas por la ocurrencia de las jugadas pasadas. Por ejemplo, es evidente que si de un mazo de cartas son extrados previamente todos los ases,

obviamente se reducen todas las probabilidades de que el jugador y el dealer pueden recibir un Blackjack (un 21 Natural) en las jugadas futuras, y esa reduccin de las probabilidades necesariamente altera el Expected Value que ofrece el juego sobre cada el dinero apostado. Justamente, los promotores del denominado Conteo de Cartas (Card Counting) basan el xito de sus sistemas en la idea de que durante el transcurso de las partidas de blackjack, al ser extradas aleatoriamente las cartas, se va alterando el valor del Expected Value porque en cada jugada el remanente de cartas que quedan en el mazo ofrece una diferente conformacin y por tanto tambin ofrece unas diferentes expectativas de ganancia o de prdida frente a la apuesta colocada. As, la tesis fundamental de todas las tcnicas para Contar Cartas existentes en la actualidad es que si en el mazo queda unamayor presencia de las cartas bajas (2, 3, 4, 5, 6 y 7), entonces el Valor Esperado (Expected Value) ser favorable para la Banca, mientras que si en el mazo queda una mayor presencia de las cartas altas (8, 9, 10, J, Q, K y A), entonces el Valor Esperado (Expected Value) ser ms favorable al jugador. Por consiguiente, todo lo que hay que hacer es aplicar una adecuada tcnica para contar las cartas que durante el transcurso del juego permita identificar aquellas situaciones en las cuales en el remanente del mazo hay una mayor presencia de las cartas altas sobre las bajas, instante que es el ms propicio para apostar alto y fuerte porque se supone que en tales condiciones el Expected Value es muy positivo para el jugador. Pequeas Dudas sobre la Efectividad de las Tcnicas de Contar Cartas en el Blackjack: No obstante las promesas de ganancias fciles y rpidas hechas por todos los defensores de las tcnicas para Contar Cartas, actualmente existen muy serias dudas sobre los fundamentos matemticos en los que se sustentan sus sistemas, porque si fuera realmente cierto que la mayor presencia de las cartas altas en el mazo siempre favorece al jugador y no a la Banca, entonces el jugador siempre debera apostar muy fuerte cuando recin el juego comienza y el mazo de 52 cartas est completo, porque en tal situacin hay 28 cartas altas en el mazo (8, 9, 10, J, Q, K y A) contra slo 24 cartas bajas (2, 3, 4, 5, 6 y 7), lo que supondra que la situacin es ms favorable para el jugador por la mayor presencia de las cartas altas en el mazo, pero ya se observ en la anterior seccin de esta obra que en tal situacin el Expected Value que genera el mazo completo es negativo sobre el dinero del jugador, llegando hasta un 0,022127 (segn el clculo realizado mediante el programa Master Auditor Blackjack 6.0). Quiz desde siempre los dueos y administradores de los casinos han sabido que si el jugador apuesta cuando el mazo est completo, entonces el resultado es un Expected Value favorable a la Banca, y tal vez por eso en el pasado el trmite del juego consista en que despus de concluida cada partida inmediatamente el dealer deba proceder a mezclar todas las cartas del mazo incorporando las ya jugadas para as iniciar la siguiente partida con un mazo completo, lo cual de nuevo le daba a la Banca una ventaja hasta del 0,022127 sobre el dinero apostado (segn el clculo realizado mediante el programa Master Auditor Blackjack 6.0 como se vio en la anterior seccin de esta obra). Recordemos que el juego del blackjack ha recorrido un largo camino de evolucin histrica hasta ser jugado bajo las condiciones y las reglas aplicables en la actualidad. Cada modificacin de las reglas de este juego ha sido debidamente calculada y evaluada

matemticamente por los administradores de los casinos para determinar el efecto econmico que produce, y slo cuando se constata que la aplicacin de una determinada regla no afectar la rentabilidad de la Banca, se procede a su aprobacin. Antes de que los juegos de azar fueran legalizados en Nevada en 1931, hubo un tiempo en que el blackjack se jugaba con un solo mazo el cual era mezclado completo despus de concluir cada partida para iniciar la siguiente, y de este modo el jugador siempre se enfrentaba a un mazo completo y nunca a un mazo reducido, lo cual a su vez implicaba que cada jugada era independiente de las jugadas previas, es decir, no haba forma de que las jugadas de las partidas pasadas condicionaran las probabilidades de ocurrencia de las jugadas de las partidas futuras, y por tanto asimismo el Valor Esperado a favor de la Banca sobre el dinero apostado se mantena constante en cada partida. Por qu motivo la Banca renunci a esta forma ventajosa de jugar al blackjack y opt por permitir que se jugara con un solo mazo que slo es mezclado completo hasta que se agotan todas sus cartas extradas durante varias partidas jugadas? Aunque en su momento se dijo que el cambio se introdujo para agilizar la marcha del juego al evitar que el dealer perdiera preciosos minutos mezclando una y otra vez el mazo despus de cada partida jugada, lo cual a su vez implicaba lograr un aumento en el nmero de partidas que son jugadas por cada hora con el consecuente beneficio econmico para las arcas de la Banca, en verdad el cambio se introdujo porque los administradores de los casinos saban que a la larga la ventaja matemtica seguira estando del lado de la Banca, independientemente de que ahora los resultados de unas partidas pasadas condicionaran la probabilidad de ocurrencia de los resultados de las partidas futuras. En efecto, si pensamos en el argumento central defendido por los contadores de cartas, cabe esperar que de un mazo completo la extraccin aleatoria de las cartas produzca 3 situaciones posibles en el conteo de las cartas: a) Que las cartas bajas hayan sido extradas con mayor frecuencia que las cartas altas, caso en el cual se supone que el Expected Value es a favor del jugador porque en el remanente del mazo hay una mayor presencia de cartas altas; b) Que las cartas altas hayan sido extradas con mayor frecuencia que las cartas bajas, caso en el cual se supone que el Expected Value es a favor de la Banca porque en el remanente del mazo hay una mayor presencia de cartas bajas; y, c) Que tanto las cartas bajas como las cartas altas hayan sido extradas de forma ms o menos pareja en una misma cantidad aproximada, lo que supone que en el remanente del mazo la cantidad de cartas altas y bajas mantiene una proporcin muy semejante a la que existe en el mazo al inicio cuando est completo, caso en el cual lgicamente el Expected Value es a favor de la Banca como ya se seal atrs. En otras palabras, mientras el jugador slo puede aspirar a encontrar un Expected Value a su favor si del mazo han sido extradas en mayor medida las cartas bajas, en contraste la Banca aspira a encontrar un Expected Value a su favor no slo cuando del mazo han sido extradas en mayor medida las cartas altas sino tambin cuando es casi pareja la extraccin de cartas altas y bajas. En trminos matemticos esto significa que mientras la Banca mantiene un Expected Value a su favor en 2/3 partes de las mltiples conformaciones posibles que puede tener el remanente del mazo segn las cartas que previamente sean extradas, el jugador slo mantiene el Expected Value a su favor en 1/3 parte de esas mltiples conformaciones posibles del remanente del mazo segn las cartas previamente extradas. Por cada vez que el Expected Value flucta a favor del jugador, ocurren dos veces en que el Expected Value flucta a favor de la Banca, y esa simple diferencia es suficiente para que la Banca siga manteniendo su posicin ventajosa en este juego.

En sntesis, el clculo de las probabilidades desde siempre ha indicado que en el blackjack existe una rentable ventaja matemtica a favor de la Banca, no importa que la misma en sus fluctuaciones durante el transcurso del juego pueda llegar a ser superior o igual al 2% sobre el dinero del apostador, mientras que son menores las ocasiones en que por simple aleatoriedad el jugador puede disfrutar de un mazo favorable en el cual el orden de extraccin de las cartas por s solo le d una ventaja matemtica sobre la Banca. Si el blackjack no tuviera una comprobada ventaja matemtica a favor de la Banca que sirviera para generarle a la larga una fuente de riqueza garantizada, entonces desde hace muchos aos tal juego habra sido eliminado definitivamente del men de juegos que ofrecen los casinos al pblico. Revisin Matemtica de los Fundamentos de las Tcnicas de Conteo de Cartas en el Blackjack: Los defensores del Conteo de Cartas al unsono sostienen que en un mazo reducido la mayor presencia de las cartas altas (8, 9, 10, J, Q, K y A) incrementa el Expected Value del jugador sobre la Banca, mientras que la mayor presencia de las cartas bajas (2, 3, 4, 5, 6 y 7) incrementa el Expected Value de la Banca sobre el jugador. Ciertamente eso puede ocurrir, pero lo que no se debe perder de vista es que situaciones sumamente ventajosas para el jugador, como las que se observan en las siguientes imgenes en las cuales el remanente del mazo slo ha quedado conformado por ases y cartas de 10 puntos, tienen una probabilidad de ocurrencia muy baja. Del mismo modo, son remotas las probabilidades de que ocurran situaciones en las que en el mazo slo quedan cartas bajas que incrementan exorbitantemente el Expected Value a favor de la Banca. Basta tener en cuenta que en un mazo completo mezclado aleatoriamente las 52 cartas pueden terminar ocupando infinitud de posiciones en el orden de salida, cantidad astronmica que equivale a calcular el factorial 52!, ya que el primer puesto del mazo puede ser ocupado por cualquiera de las 52 cartas, el segundo puesto puede ser ocupado por cualquiera de las 51 cartas restantes, el tercer puesto por cualquiera de las 50 cartas restantes, y as sucesivamente, y por lo tanto el clculo corresponde a: 52515049...1, lo cual arroja una cifra descomunal. Dentro de esa gran cantidad de posibles variantes en el orden de extraccin de las cartas de un mazo, lo que se observa es que por tratarse de permutaciones posibles entre unos elementos finitos (las 52 cartas) hay una total simetra en cuanto a la cantidad total de situaciones posibles que pueden ocurrir. Es decir, la cantidad de situaciones en las cuales las cartas altas ocupan los primeros puestos en el mazo para ser extradas antes que las cartas bajas, es igual a la cantidad de situaciones en las cuales las cartas bajas ocupan los primeros puestos en el mazo para ser extradas antes que las cartas altas, y del mismo modo hay una cantidad igual de situaciones en las cuales las cartas bajas y las cartas altas ocupan puestos en el mazo que implican una extraccin casi homognea de las mismas. En otras palabras, no hay ningn fundamento matemtico para creer que durante la reduccin de un mazo por la extraccin de las cartas en las jugadas previas, necesariamente debern presentarse slo mayores situaciones en las que en el remanente del mazo quedarn ms cartas altas que cartas bajas, porque las matemticas indican que eso no es as, ya que son iguales de probables las situaciones en que en el mazo quedarn ms cartas bajas que cartas altas, o viceversa, y tambin son iguales de probables las situaciones en que en el remanente del mazo quedar una cantidad casi homognea de cartas altas y bajas.

Reitero que cuando en el blackjack un mazo est completo, hay 28 cartas altas (8, 9, 10, J, Q, K y A) y 24 cartas bajas (2, 3, 4, 5, 6 y 7). Independientemente del orden aleatorio que ocupen esas 52 cartas al ser mezcladas, lo cierto es que si un jugador apuesta en ese momento, puede dar por perdido el equivalente a 2,2 centavos sobre cada dlar apostado, como ya se demostr matemticamente mediante los clculos del Valor Esperado realizados mediante el programa Master Auditor Blackjack 6.0 (cifra que puede ser algo mayor o algo menor segn sean las reglas aplicables al juego por cada casino). Si asumimos que cuando el mazo est completo es como si fuera una situacin en la que es casi igualitaria la cantidad de cartas altas y bajas que lo conforman (28 a 24), y en tal situacin en todo caso se produce un Expected Value negativo para el jugador como est demostrado (cercano a un 0,022127), entonces fcilmente se concluye que tambin se produce un Expected Value negativo para el jugador en todas aquellas situaciones similares en las que el mazo se ha reducido de tamao pero es casi igualitaria la cantidad de cartas altas y bajas que lo componen. Esto confirma ante el principal argumento defendido por los contadores de cartas que el jugador slo gozar de un Expected Value positivo a su favor en todas aquellas situaciones en que el mazo se haya reducido de tamao quedando ms cartas altas que bajas en su composicin, mientras que la Banca gozar de un Expected Value a su favor no slo en todas aquellas situaciones en que el mazo se haya reducido de tamao quedando ms cartas bajas que altas en su composicin, sino tambin en todas aquellas situaciones en que el mazo se haya reducido de tamao quedando en el remanente una cantidad casi igualitaria de cartas altas y bajas. Es decir, la Banca tendr a su favor la ventaja matemtica en 2/3 partes de las veces, mientras que el jugador slo tendr la ventaja matemtica a su favor en 1/3 parte de las veces. Para profundizar mucho ms en la revisin matemtica de los fundamentos del Conteo de Cartas que sustentan su presunta efectividad, supongamos que en el blackjack un mazo de 52 cartas es mezclado aleatoriamente, y por tanto, al estar completo y ofrecer una composicin casi igualitaria entre cartas altas y bajas (28 a 24), genera un Expected Value negativo sobre el dinero del jugador hasta de 0,022127. Supongamos tambin que en cada partida jugada con ese mazo slo se usan en promedio hasta 6 cartas entre el jugador y el dealer, las cuales una vez extradas y jugadas son retiradas sin reemplazo en el mazo. Bajo estas condiciones slo hay 3 escenarios posibles que pueden ocurrir segn el aleatorio orden de salida que ocupen las cartas en el mazo al ser mezclado: que las cartas altas sean extradas en mayor medida del mazo, o que las cartas bajas sean extradas en mayor medida del mazo, o que la extraccin de las cartas altas y bajas sea casi igualitaria.

En la anterior grfica se asume que la extraccin de las cartas bajas y altas es casi pareja o igualitaria, por tanto, como en cada partida jugada slo se usan hasta 6 cartas extradas del mazo, hay que suponer que por igual se extraen 3 cartas altas y 3 cartas bajas en cada mano jugada para seguir manteniendo la misma proporcin entre cartas bajas y altas: por eso en la primera partida el mazo completo comienza con 28 cartas altas y 24 cartas bajas, pero en la segunda partida el mazo se ha reducido de tamao homogneamente a 25 cartas altas y 21 cartas bajas, y en la tercera partida la reduccin equitativa llega a un mazo formado por 22 cartas altas y 18 cartas bajas, y as sucesivamente hasta que se agota el tamao del mazo en las siguientes partidas jugadas. En todas estas situaciones en las que es muy igualitaria la extraccin de cartas bajas y altas, es indudable que el Expected Value es negativo sobre el dinero del jugador, porque a pesar de la reduccin del mazo se observa que la proporcin entre las cartas bajas y altas es semejante a la que existe cuando el mazo est completo, y por eso no hay que suponer que estas situaciones implican un mejoramiento de la situacin del jugador o un mejoramiento del Valor Esperado sobre el dinero que apuesta.

En esta otra grfica se asume que hay una mayor extraccin de las cartas altas sobre las bajas, y por tanto, como en cada partida jugada slo se usan en promedio hasta 6 cartas extradas del mazo, hay que suponer que 4 de esas cartas extradas son altas y slo 2 cartas son bajas: por eso el mazo completo comienza con 28 cartas altas y 24 cartas bajas, pero en la segunda partida jugada el mazo se ha reducido a 24 cartas altas y 22 cartas bajas (se extrajeron 4 altas y 2 bajas), y en la tercera partida jugada el mazo se ha reducido a 20 cartas altas y 20 cartas bajas (otra vez se extrajeron 4 altas y 2 bajas), y as sucesivamente hasta que se agota el tamao del mazo quedando en las ltimas partidas una mayor cantidad de cartas bajas en el mazo. En todas estas situaciones en que las cartas altas son extradas del mazo en mayor medida que las cartas bajas, se supone que el Expected Value tambin es negativo sobre el dinero del jugador segn el argumento defendido por los contadores de cartas.

Finalmente, en la anterior grfica se asume que hay una mayor extraccin de las cartas bajas sobre las altas, y por consiguiente, al usarse slo 6 cartas en cada partida jugada, hay que suponer que 4 de esas cartas extradas son bajas y slo 2 cartas son altas: por eso el mazo completo comienza con 28 cartas altas y 24 bajas, pero en la segunda partida jugada el mazo ya se ha reducido a 26 cartas altas y 20 cartas bajas (se extrajeron 2 altas y 4 bajas), y en la tercera partida jugada el mazo se reduce a 24 cartas altas y 16 cartas bajas (de nuevo se extrajeron 2 altas y 4 bajas), y as sucesivamente hasta que se agota el mazo quedando en las ltimas partidas una mayor cantidad de cartas altas. En todas estas situaciones en que las cartas bajas son extradas del mazo en mayor medida que las cartas altas, se supone que el Expected Value es a favor del jugador segn lo predican los defensores del conteo de cartas. En sntesis, las dos primeras grficas corresponden a dos situaciones posibles que benefician a la Banca (una extraccin casi pareja de cartas altas y bajas o una mayor extraccin de las cartas altas), mientras que slo la ltima grfica corresponde a la nica situacin posible que beneficia al jugador (una mayor extraccin de las cartas bajas). Es por eso que cada vez que un mazo es mezclado aleatoriamente para jugar al blackjack, en 2/3 partes de las veces la mezcla generar un orden de extraccin de las cartas que favorece a la Banca, y slo en 1/3 parte de las veces la mezcla generar un orden de extraccin de las cartas que favorece al jugador. Las probabilidades no mienten y claramente indican que los contadores de cartas slo gozan de un mazo con Expected Value favorable en 1 de cada 3 ocasiones, y es por eso que los dueos y administradores de los casinos nunca han cambiado las reglas del blackjack para acabar definitivamente con el conteo de cartas o para disponer que el mazo completo sea mezclado despus de concluida cada mano, porque ellos saben que en ltimas la Banca goza de un Expected Value a su favor el doble de las ocasiones que favorecen al jugador. Y estas conclusiones referentes al uso de un solo mazo, tambin son aplicables de idntica manera cuando el blackjack se juega con varios mazos que son mezclados y colocados en un zapato. Esta simple demostracin es suficiente para comenzar a reflexionar si es verdadera la tan cacareada efectividad que en el blackjack se le atribuye a las tcnicas de Contar Cartas para vencer la Ventaja Matemtica de la Banca, o si ms bien se trata de una ingeniosa falacia (Gambler's Fallacy) construida en los ltimos 60 aos bajo el auspicio de los dueos y los

administradores de los casinos para evitar que el blackjack se volviera impopular entre los jugadores. FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006. GRIFFIN, Peter. The theory of Blackjack. Huntintong Press, 1978. GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edicin. HAEUSSLER, E.; PAUL, R.; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall. KILBY, J. y FOX, J. Casino operations management. John Wiley & Sons, New York, 2005. MARSHALL, Lincoln, y RUDD, Denis. Introduction to casino and gaming operations. 1996. THORP, Edward. Beat the Dealer. Random House, New York, 1966. THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004. WIKIPEDIA. Consulta de los trminos: Blackjack; Card Counting; Expected Value; Gamblers Fallacy; Gaming Mathematics; House Edge; Wagering Business.

9. DISCU SIONComo se acaba de ver, el juego tiene ganancia esperada negativa. Adems, no existela posibilidad (aunque sea con una pequea probabilidad) de obtener una gran cantidad de dinero en una jugada como ocurreen otro popular juego de casino, la ruleta. En la ruleta, si se apuesta una unidad monetaria a una suerte sencilla (rojo o negro, par o impar, falta o pasa), la esperanza de la ganancia es -0.013 5 y la desviacin tpica 0.99; mientras que al apostar a un nmero, la ganancia esperada es -0.0270 con una desviacin tpica 5.846. Es claro que jugar una mano de Black-Jack es mejorque apostar a una suerte sencilla de la ruleta; tambin es mejor, en trminos de la ganancia esperada, que apostar a un slo nmero. Pero para jugadores con aficin al riesgo, esto ltimo puede no ser cierto en trminos de utilidad esperada, ya que con una probabilidad 0.0270 pueden obtener 35 veces su apuesta inicial. No todo queda dicho aqu sobre el Black-Jack. No olvidemos que la estrategia ptima se ha deducido bajo las hiptesis H1 y H^2. REFERENCIAS 1) BALDWIN R. R.; WILHERT E. CANTEY; H. MAISEL; J. P. MCDERMOTT. (1956): The optimumstrategy in B1ack-Jack. J. Arner. Statist. Ass, 275, vol.51. 2) DE GROOT M. H. (1970): Optimal Statistica! Decisions. Mc Gra.w-Hill. 3) SAGAN H. (1980): Beat the odds. Hayden Book Company, Inc.

4) THORP E. O. (196 l): A favorable strategy fvr twent,y^-one. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 47;110-112.

Cuenta con las matemticas para el BlackjackAunque parezca sumamente complicado, el principio del conteo de cartas se basa en las matemticas simples, y a partir de ah en un clculo de probabilidades, bsado en un nmero limitado de opciones. Bsicamente, la ley de probabilidades trata de determinar la cantidad de veces que se puede dar un determinado resultado, en un nmero limitado de repeticiones de un evento. Un ejemplo de esto es el famoso juego de las puertas, en que una persona tiene que decidir detrs de cul de 3 puertas est el premio mayor. Sabe que detrs de una hay un coche, y en las otras dos hay cabras. Una vez elegida una puerta, el conductor del programa abre una de las dos no elegidas, por supuesto, una en que hay cabras, y pregunta al concursante si desea cambiar su eleccin. Este juego ha dado origen a un enunciado matemtico conocido como El problema de Monty Hall. El desarrollo de este problema es el siguiente: a simple vista, parecera que las probabilidades de acertar son 1:3. Por lo tanto, las de no acertar son 2:3. Tendemos a suponer que, una vez abierta una de las puertas sin premio, las probabilidades sern del 50% para cada puerta restante. Pero esto no es as, porque la puerta es abierta luego de efectuada la seleccin. Si la primera vez el jugador ha elegido efectivamente la puerta donde se encuentra el coche, sus probabilidades eran en ese momento 1:3. Y el conductor abre cualquier de las otras dos puertas. Si el concursante cambia de idea pierde. Pero si en la primera vuelta eligi una puerta donde hay una cabra (2:3), el locutor slo tiene posibilidad de abrir una puerta, la otra donde hay una cabra. Por lo tanto si el concursante cambia de idea gana. Resumiendo: si mantiene su decisin original, las probabilidades de acertar son 1:3; si cambia de idea, son 2:3 si originalmente haba elegido la puerta equivocada. Estas probabilidades no son mutuamente exclusivas: es decir, elegir una puerta, no impide elegir una diferente en la siguiente ronda. Como en el blackjack, las decisiones que toman los jugadores no dejan afuera otras opciones que pueden darse en el clculo de probabilidades. Para aclarar el tema, vamos a comprar las cartas con el juego de dados. Supongamos que tenemos un dado y queremos sacar un 2 y un 6. Como cada vez podemos obtener un solo resultado, cada vez que tiremos el dado volveremos a cero las probabilidades de obtener el nmero deseado. Pero en las cartas no sucede lo mismo: podemos fcilmente sacar ambas cartas a la vez, ya que no excluyen mutuamente. Ahora bien, la probabilidad de que ambas cartas salgan en forma consecutiva de un mazo de cartas sin mezclar, se llama probabilidad conjunta, ya que no es lo mismo sacar dos determinadas cartas en forma sucesiva que sacar ambas cartas en forma separada. Es decir que no se excluyen mutuamente, pero s son mutuamente dependientes. Supongamos que queremos sacar una K y un As en forma sucesiva. La probabilidad de sacar una K es 4:52 (hay 4 reyes en un mazo de 52 cartas), o, simplificando, 1:12. La probabilidad de sacar un As despus de la K es 4:51, porque hay cuatro Ases, peroi quedan 51 cartas porque la K ya sali. Es decir que la probabilidad de sacar una K y un As en forma sucesiva se expresara 1:12 x 4:51. O en forma de fracciones: 1/12* 4/51= 4/612 = 1/153 = 1:153

Este tipo de clculos es exactamente el que hace el conteo de cartas. Ahora bien, la posibilidad de hacer estos clculos depende de la cantidad de mazos con que se est jugando. Cuando se juega blackjack con 5 o ms mazos, es muy poco probable que se pueda usar el conteo de cartas. El sistema de conteo de cartas de blackjack ms sencillo se llama Hi-Lo, y es el que se ve en la pelcula 21. Fue creado por Ed Thorp. En este sistema se asignan puntos a las cartas segn sean altas o bajas; los 2, 3, 4, 5 y 6 reciben 1 punto, los 7, 8 y 9, no reciben puntos, las figuras, el 10 y el As reciben puntos negativos. O sea que tenemos posibilidades de ganar cuando la cuenta es alta. El sistema de conteo de cartas se ha ido perfeccionando con el tiempo y ya hay varios sistemas, algunos de alta complejidad. Los ms conocidos son los siguientes: Estrategia de Carta2345678910 J Q K A

Mgico As/Cinco

000100000 0 0 0 1

KO

1111110011111

Hi-Lo

11111000 1

La Probabilidades del blackjack: La matemtica ocultaSi hay una regla bsica para ganar al Blackjack, esa es conocer a fondo las probabilidades del blackjack. Es cierto que es un juego de casino y, como tal, de azar, pero es uno de los juegos de casino gratis o con dinero en los que conocer la probabilidad es ms importante para aplicar una buena estrategia. Y es que muchos principiantes creen que para ganar al Blackjack basta con conocer unas cuantas tcnicas bsicas, pero se equivocan, ya que conocer las probabilidades del blackjack marcara una gran diferencia en tus partidas. Hay que fijarse muy bien en que el Blackjack tiene uno de los mrgenes de la casa ms bajos de todo el casino, pero aunque esto es una verdad universal el hecho es que es tan solo cierta cuando se aplica la estrategia de Blackjack adecuada para cada ocasin. As que lo que hay que hacer es ponerse manos a la obra y aprender la matemtica del Blackjack y lo que es mejor, nosotros se lo vamos a poner en bandeja con unas tablas muy sencillas de Blackjack que le ayudarn a comprender mejor estos juegos de casino gratis o con dinero y a aplicar bien la matemtica del Blackjack siempre a su favor para conseguir las mejores probabilidades del blackjack. Considere estas tablas de Blackjack como unas chuletas en las que fijarse cuando empiece a jugar, ya que aclararn su mente y poco a poco ir interiorizndolas hasta que la matemtica del Blackjack sea ya parte intrnseca de su juego.

Empiece ya a aprender todo lo que necesita saber, notar muy pronto la diferencia en los resultados de sus partidas de Blackjack, Probabilidades del Blackjack: La probabilidad del jugador y la de la casa Para que de un vistazo comprenda la importancia de conocer a fondo las probabilidades del blackjack, aqu te dejamos dos ejemplos:

Probabilidades del blackjack: Ejemplo 1 Cuando t sabes que las probabilidades de que el crupier saque un natural no llegan ni al 5%, se da cuenta en seguida de que no tiene sentido comprar estas apuestas en internet de seguro.

Probabilidades del blackjack: Ejemplo 2

Tienes una probabilidad de ms del 50% de pasarte en tu mano sip ides carta cuando tienes en la mano un 14 o ms, as que sabiendo esto es ms fcil poder entender que los jugadores se planten o no pidan si el crupier tiene 16 o menos. La ventaja del jugador en estos juegos de casino gratis o con dinero viene dada por la ordenanza de la casa de que si el crupier tiene menos de 17, tiene que pedir carta, mientras que la ventaja de la casa sale de la posterioridad de movimiento del crupier con respecto al jugador. Probabilidades del Blackjack: Tablas de Blackjack y otros tiles Secretos Tiene que tener claro que las probabilidades del Blackjack cambian mucho dependiendo de las reglas particulares que tengan en un casino o mesa determinada, principalmente dependiendo de la cantidad de barajas de cartas que se utilicen en la partidas. Debido a esto, la manera ms fcil de dares cuenta de las probabilidades del Blackjack es utilizando una tabla o grfico en la que se vea la variacin de la probabilidad en funcin de diversos aspectos. Fjese bien en las completas tablas que le ofrecemos a continuacin y tngalas siempre a mano sobre todo al principio. Pronto las interiorizar y las aplicar de forma natural al tomar decisiones en la mesa de Blackjack La primera tabla se expone de manera sencilla las probabilidades de pasarse si tiene una mano de 11 o ms.

Valor Total de la Probabilidad de Mano Pasarse al Pedir 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 o Menos 100% 92% 85% 77% 69% 62% 58% 56% 39% 31% 0%