Optimisation multidisciplinaire avec modèles réduits et ... · - Méthodes locaux à base de...
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Optimisation multidisciplinaire avec modèles réduits et calcul parallèle
Manyu Xiao,Piotr Breitkopf, Rajan Filomeno Coelho, C. Knopf-Lenoir, P. Villon
Laboratoire de Mécanique Roberval, UMR 6253,UTC – CNRS Université de Technologie de Compiègne
ESI50, 8 novembre 2011
Contenu de la présentation
Contexte général de l’OMD
Analyse des stratégies de calcul parallèle
Proposition des modèles réduits
Optimisation en mécanique - Applications industrielles
Conclusions et perspectives
2
Contenu de la présentation
Contexte général de l’OMD
Analyse des stratégies de calcul parallèle
Proposition des modèles réduits
Optimisation en mécanique - Applications industrielles
Conclusions et perspectives
3
“ Générale ” du problème d’optimisation
Formulation :
Procedure de l’optimisation:
Méthode numérique:
- Méthodes locaux à base de gradient (fonction continue, ∇J, ∇h, ∇g)
- Méthodes globaux évolutionnaires (x est continue or discrète)
4
ublb
j
i
xxx
Jjxg
Iixh
xJn
≤≤•=≤•
==•
ℜ∈
,,1,0)(
,,1,0)(
:àsoumis
)(minx
L
L
optimizeroptimizer simulationsimulation
J(x), h(x), g(x) (∇J, ∇h, ∇g)
x
Motivations de mon recherche - OMD project
• Constat d’une trop grande distance entre la modélisation numérique en SPI (EFs …) et l’optimisation (mathématique).
vs. x1
x3
x2
x100
simulation Optimisation
OMD : Optimisation MultiDisciplinaire, cherche à obtenir l’optimum incorporant les effets de chacune des disciplines simultanément
5
Analyse des causes
• Temps de calcul des simulations est trop long pour les optimiseurs mathématiques.
Optimisation en présence des incertitudes
min poids (M)
• soumis à : Coeff. de portance (CL) Coeff. de traînée (CD)
Déformation maximale (umax) Contrainte de von Mises (σσσσ)
aérodynamique
structure
5 objectifs
Simulation prohibitive
Compatibilité de la géométrie
Différents niveaux de modèles
Couplages entre disciplines
Aspect multiobjectif
6
Analyse des causes
• Temps de calcul des simulations est trop long pour les optimiseurs mathématiques.
Optimisation en présence des incertitudes
pression = fct(formeinitiale, déformation de
l’aile )FLUIDE
déplacements, contraintes= fct(pression)
STRUCTURE
2 disciplines : fluide et structure
Simulation prohibitive
Compatibilité de la géométrie
Différents niveaux de modèles
Couplages entre disciplines
Aspect multiobjectif
7
Analyse des causes
• Temps de calcul des simulations est trop long pour les optimiseurs mathématiques.
Optimisation en présence des incertitudes
compatibilité de maillages
stabilité de la chaîne CAO
transport des champs
…
Maillages initiauxMaillages déformés
Simulation prohibitive
Compatibilité de la géométrie
Différents niveaux de modèles
Couplages entre disciplines
Aspect multiobjectif
8
Analyse des causes
• Temps de calcul des simulations est trop long pour les optimiseurs mathématiques.
Optimisation en présence des incertitudes
Compatibilité de la géométrie
Différents niveaux de modèles
Couplages entre disciplines
Aspect multiobjectif
CFD
la simulation ‘haute fidélité’avec MEF,MVF,MF, etc ;
nombreuses simulations de chaque discipline
un grand nombre de simulations dans le processus d’optimisation ;
…
Simulation prohibitive
9
Analyse des causes
• Temps de calcul des simulations est trop long pour les optimiseurs mathématiques.
Optimisation en présence des incertitudes
Compatibilité de la géométrie
Simulation prohibitive
Couplages entre disciplines
Aspect multiobjectif
Différents niveaux de modèles
1 - fluide 2 - structure
1
2
3
niveaux
= +α
fin
gros
Disciplines
))((11 yvJJ = ))((22 yuJJ =
)(~~~~
11 yJJ = )(~~~~
22 yJJ =
))(~(~
22 yuJJ =))(~(~~
11 yvJJ =
10
Analyse des causes
• Temps de calcul des simulations est trop long pour les optimiseurs mathématiques.
Simulation prohibitive
Compatibilité de la géométrie
Différents niveaux de modèles
Couplages entre disciplines
Aspect multiobjectif
Optimisation en présence des incertitudes
11
Contenu de la présentation
Contexte général de l’OMD
Analyse des stratégies de calcul parallèle
Proposition des modèles réduits
Optimisation en mécanique - Applications industrielles
Conclusions et perspectives
12
Stratégies actuelles –réduction du coût de calcul dans l’OMD
13
calcul parallèle
OPTI
SIMULATIONShaute fidélité
Variables de conception y
Réponses J(objectifs, contraintes)
(variables de conception) (fonctions objectifs)
où y(i) = [ y1(i) … yq
(i) ]T où J = [ f1 … fr ]T
y(1)
y(M)
modèle « haute fidélité »
(éléments finis, etc.)…
J(1)
J(M)
…p(1)
…
p(M)
(clichés du champ vectoriel )
post-traitement
où p (i) = [ p1(i) … pN
(i) ]T
calculs indépendants
analyse d’un environnement de calcul parallèle dans le contexte de l’OMD
Méthodes numériques
Méthodes locales à base de gradient(Quasi Newton/Newton )
Méthodes évolutionnaires(SOGA/MOGA)
Algorithme parallèle à gros grain
14
MatérielMémoire partagée
Mémoire distribuée
DAKOTA ( plate-forme parallèle)
Catégories de parallélisme
• le parallélisme à grain fin [ELD 98].Exemple: - Elément finis pour calculer en parallèle Ku=F
• le parallélisme à gros grain [ELD 98].
avantage: - une communication très faible entre processeurs (peu de perte en efficacité )
Inconvénients: - souvent pas assez de calculs « séparables » à chaque cycle d’algorithme
- Evaluation du gradient par différences finies -
Exemple: Algo. au gradient
)( )1(xf )( 2)1( xxf ∆+)( 1
)1( xxf ∆+ …
15
Environnement de calcul en parallèle à l’UTC
(Mémoire distribuée) (Mémoire partagée)
maître
SlaveSlave Slave
Peer
Peer Peer
Architecture PILCAD Architecture SCALAR
16
Exemple d’application : aile d’avion 2D
17
• Définitions des fonctions objectifs et contraintes• paramétrisation de la forme• simulation numérique sur la fluide• simulation numérique sur la structure• Analyses disciplinaire (MDA)• Optimisation
E. Lefrançois (Mecagora)
Définitions des fonctions objectifs et contraintes
18
supinf
0
0
0
0
02.1
,02.1
02.1)(
0)(8.0
xxx
x
x
≤≤•≤−•≤−•<−•<−•
maxmax
maxmax
DD
LL
dd
CC
CC
σσσσσσσσ
Min M(x) (masse)
soumis à :
• Optimisation mono-objectifTrouver l’optimal forme,en minimisant la masse
avec quatrecontraintes
• Optimisation multi-objectif (critères)Trouver l’optimal forme en minimisant la masse et la contrainte
avec trois contraintes
supinf
0maxmax
0DD
0
02.1
02.1)(
0)(8.0
xxx
x
≤≤•≤−•
≤−•
<−•
dd
CxC
CC LL
soumis à :
)(),(min xxM σ
• Optimalité au sens de Pareto :
min f1min f2
J1
J2
Pareto set
Comme il n’est pas possible de trouver une solution qui minimise ces deux objectifs simultanément, il faudra choisir parmi l'ensemble des meilleurs compromis, qui constituent ce que l'on appelle le front de Pareto
10
,)1( 21
≤≤−+=
r
frff
Solution d’optimisation multicritère
19
-0.020.00.0
0.00.020.02
vinfvsupv
1v 2v 3v
Les variables de conception et valeurs initiales
),,( 321 vvv=xsup11
inf1 vvv ≤≤
sup22
inf2 vvv ≤≤
sup33
inf3 vvv ≤≤
J0 = 1.213799617P0 = 0.7998238372T0 = 12.883999579αααα= 5ππππ/180
extrados
intrados
bord de fuite
21
Comment calculer les grandeurs J, CL , CD ?
• Calculer l’écoulement autour de l’aile-champ de vitessev
αααα
vrel
v ?v ?v ?v ?
22
incompressibiliténon visqueux
ΔΔΔΔψψψψ=0 ΨΨΨΨElément finisForme faible
xv
yu
∂∂−=
∂∂= ψψ
,
),( vu=v
ΨΨΨΨ1 ΨΨΨΨ2 ΨΨΨΨ= ΨΨΨΨ1+ αΨαΨαΨαΨ2
C.l. Horizontal C.l. Circulation physiquev
coefficient de pondérationde Kutta-Joukowski
• Calculer l’écoulement autour de l’aile- champ de vitessev
On pose ψψψψ fonction de courant avec
23
2
0
25.0
)()(
rel
d
rel
profil
relL
profil
dT
T
TC
dsP
l
PC
dsshJ
v
vtv
v
x
⋅=
=
⋅−=
=
=
∫
∫
ρ
ρ
ρ
ρρ : masse volumique (constante);
relv : vitesse relative (constante);
v : vitesse du profil de l’aile;
,)min()max( xxl −=.)min()max( yyd −=
)(sh : épaisseur(constante);
• Post-traitement
24
Calcul structure - déplacement
• Suppose l’extrados et l’intrados de l’aile constitués de poutres et relies à2 fixations par l’intermédiaire de barres (‘’ressorts)• Materiau élastique linéaire, mais élément de poutre non linéaire• 6 d.d.l par élément (déplacement suivant x et y + rotation pour chaque noeud)• Résolution du système par Newton-Raphson standard
poutresbarres
fixations
26
Analyse Multidisciplinaire – Couplage entre fluide et structure
Répétition du cycle jusqu’à convergence
ver un point fixe
Le transfert des champs complets sur pressions et des déplacements
pressions
déplacements
27
Résultats numériques
• Comparaison avec les deux méthodes (Quai-Newton, SOGA)
• Comparaison les performances avec différents matériaux parallèles(PILCAD/SCALAR/MATRICS) et le même méthode local a base gradient (Quai-Newton)
Performance de calcul parallèle (deux critères)
Speed-up relatif S= T1/TP
Efficacité relative E= S/P
30
Analyse de l’environnement de calcul parallèle
31
SOGA : Population initiale : 100 ; Nombre de générations : 20
Temps de calcul (T) Speed-up relatif (S) Efficacité relative (E)
Conclusions :- les méthodes locales, Nprocs est limité par Nvars. (dans cet exemple : 4 procs, 3 vars)- les méthodes globales, sont mieux adaptés avec un grand Nprocs, mais le temps decalcul est prohibitif, et efficacité diminue rapidement.
0.3508
0.1585
6h30
1h
?
32
32 tâches 8 processeurs
Bonne efficacité
16 processeurs efficacité diminuée à
chargés
indisponible
Analyse de l’environnement de calcul parallèle (SPMD)
…
…
0.6788
0.3508
Les idées :Diminuer la taille des tâches
Augmenter le nombre de tâches
Analyse de l’environnement de calcul parallèle (SPMD)
33
32 tâches
Bonne efficacité
SIMULATIONS ‘haute fidélité’
…
16 processeurs
compatible avec la disponibilité
Conclusions locaux
• Calcul parallèle peut permettre de diminuer le temps de calcul
• Méthodes globales, sont mieux adaptés avec un grand Nprocs, mais le temps de calcul est prohibitif.
• Modèles réduits peuvent réduire le volume de calcul, le chargement devient équilibré.
Avantages
Modèles réduits
SIMULATIONS ‘haute fidélité’
Calcul parallèleinefficace
calcul plus rapide
mieux adapté au calcul parallèle
Contribusion scientifique de ma recherche
35
1. Parallel computing …
2. Approximate models
…
processors
…
…SIMULATION ‘haut fidélité’
load
- reducing the volume of calculation
- reducing the size of simulation- equilibrium of load- reduce the volume of communication between discipline
Contenu de la présentation
Contexte général de l’OMD
Analyse des stratégies de calcul parallèle
Proposition des modèles réduits
Optimisation en mécanique - Applications industrielles
Conclusions et perspectives
36
Stratégies de réduction du coût de calcul
37
métamodèles généralistes Réduction de modèles (considère physique)
non intrusive [FIL 07, 08]
modèles approchés ou réduits
y Japprox(y) y J (papprox(y))papprox
PRSM [GIU 98]
MLS[VIL 92]
Krigeage[JON 01]
Réseaux de neurones artificiels[DRE 04]
(RBF)[GUT 01]
SVM [SAM 09]
Subspacemethod
(Krylov)
POD [BER 93]
intrusive [DEV 09]
Plan experiences
• Objectif :
– utiliser des stratégies permettant d’obtenir le plus d’informations possible sur l’ensemble de l’espace de conception pour un nombre restreint d’expérimentations
• Méthodes :
– Plans factoriels
– Plan hypercub Latin (LHS, Latin Hypercube Sampling)
(variables de conception) (fonctions objectifs)
où x(i) = [ x1(i) … xq
(i) ]T où J = [ f1 … fr ]T
x(1)
x(M)
modèle « haute fidélité »
(éléments finis, etc.)…
J(1)
J(M)
…p(1)
…
p(M)
(clichés du champ vectoriel )
post-traitement
où p (i) = [ p1(i) … pN
(i) ]T
38
Plan experiences
• Plans factoriels– Complets: toutes les combinaisons des niveaux de facteurs sont complets
– Fractionnaires: tous les niveaux sont présents, mais sanstoutes les combinaisons
– Remarques:• Le nombre de points croit très rapidement avec le nombre de facteurs et de niveaux
• Exemple : 10 facteurs, 6 niveaux par facteur = 106 =1,000,000 points !
39
Plan experiences
• Plans hypercubes latins (LHS)– Bien adaptés aux cas ou le nombre de variables
– Idée : remplir de manière homogène l’espace de conception.• Nombre de points total N du plan d’expériences
: libre de choix par l’expérimentateur
• Découpage de chaque domaine de variation
pour chaque xi in N parties
• chaque ‘zone découpée’ contient un et un seul
point, aléatoirement placé dans la zone
Exemple: Deux variables
x1, x2(4 points total)
x1
x2
40
Surfaces de réponse
• Utiliser les informations issues d’un plan d’expériences de simulations
numériques pour créer un modèle approché liant directement les réponse aux des variables de conception
• A partir d’un ensemble du plan d’expériences (xi,fi), trouver une approximation telle que )(
~xf
(xi,fi)
ii fxf →)(~
)(~
xfx →
42
Surfaces de réponse -moindre carrés mobiles
• Moindre carrés mobiles (MLS ou approximation diffuse) :
– une approximation est choisi comme une combinaison linéaire des termes polynomiaux de la base
– Les coefficients sont obtenue en minimisant les erreurs d’approximation en ensemble de points connus xi par une norme L2 discrète pondérée
– wi(xi,x) est la fonction de pondération dépendant certaine “distance” entrexi etx.
ap ⋅=+++= Τ2210 )()(
~xxaxaaxf L
( )∑=
−==M
iiii
opt faxxwaJa1
2Τ)()(
2
1)(min p
)()(
swr
xxdistww ref
irefi =
−=
><<+−=1,0
10,231 32
s
sss
x
xi
x1 x2
x3
x1 x3
x2
r
r is the radius of Influence zone
Fonction de pondération
43
Méthode Krigeage
• Le krigeage est proposé par Krige et developé par Matheron
– Le krigeage est une méthode d'interpolation spatiale
– Explication: DACE [Lophavenet al., 2002]
– URL of DACE: http://www2.imm.dtu.dk/~hbn/dace/
paramètres X kriging
– Model: )(),( xzxy += βF
ββββ .)()(...)(),( 11T
pp xfxfxfx =++=F
(1 x p) (p x 1)
regressionparameters
stochastic process with hypothesis on the correlationC[z(x),z(w)], la variance en fonction de la distance entre
données, les moyennes sont identiques
f~
- le krigeage est le meilleur prédicteur linéaire non-biaisé
44
Stratégies de réduction du coût de calcul
45
métamodèles généralistes Réduction de modèles (considère physique)
non intrusive [FIL 07, 08]
modèles approchés ou réduits
y Japprox(y) y J (papprox(y))papprox
PRSM [GIU 98]
MLS[VIL 92]
Krigeage[JON 01]
Réseaux de neurones artificiels[DRE 04]
(RBF)[GUT 01]
SVM [SAM 09]
Subspacemethod
(Krylov)
POD [BER 93]
intrusive [DEV 09]
• troncature de la base • choisir m par :
Décomposition aux valeurs propres (POD)
46
∑
∑
=
=−=M
i
i
m
i
i
error
λ
λ
1
2
1
2
1εεεε
,,, )()1( Mpp L
∑∑=
Τ
=
−−==M
i
iiM
i
i
M 1
)()(
1
)( ))((,1
ppppCpp vecteurs propres Mϕϕϕϕϕϕϕϕ ,,1 L=Φ
>=< mkk
,)()( ,Φpαααα
m M
error
modesλi : valeurs propres de la matrice de covariance C
mm ϕϕϕϕϕϕϕϕ ,,1, L=Φ
)(,α~ )(
1
)()( Mmkm
ii
ki
k <<+=+= ∑=
Φαppp ϕϕϕϕ
clichés
représenter un clichés avec une base réduite
Troncature de la base
M – le nombre de clichés
calcul de la base et des coefficients
Réduction de modèles bi-niveau
représenter le champ vectoriel en fonction d’une base réduite
approcher les coefficients par surface de réponse
calculer la (les) fonction(s) objectifs et fonctions limitation
47
)(,~
1
Mmα
m
i
ii <<+= ∑=
ϕϕϕϕpp
( )
( )
)()(1
)1()1(1
,,
,,
mM
m
M
αα
αα
L
M
L
))(α~(~(JJ yp≈
)(~
)(~
)(
)1(
y
y
mα
α
Msurface de réponse
Réduction de modèles bi-niveau par POD
DOE snapshots
48
)()2()1(
)(2
)2(2
)1(2
)(1
)2(1
)1(1
Mmmm
M
M
ααα
ααα
ααα
L
MOMM
L
L
Approximation diffuse, krigeage, etc.
)(α~
)(α~)(α~
2
1
y
y
y
m
M
niveau 1 - POD
niveau 2 – approximation des coefficients
POD
Mkmkk ,,1,, ,
)()( L=>=< Φpαααα
∑=
+=m
iii
POD α
1
)(~)( ϕϕϕϕypypyReprésenter le champ approché
les grandeurs globales ne sont pas conservés avec restreint m modes (m<< M)
Deux stratégies améliorées
CPOD1: améliorer coefficients αααα(k) by γγγγ(k)
CPOD2: améliorer modes ΦΦΦΦ by ΨΨΨΨ
Un inconvénient de la POD
49
( ) ( ))()(~ kk JJ pp ≠
)(,
1
)()(~ km
m
ii
ki
kγΦppp +=ϕγ+= ∑
=
,~)(
)()(2 ΩΩΩΩL
kkerror pp −=ε
50
objectif- garantir la conservation des grandeurs globales
démarche- la même base POD, ΦΦΦΦCPOD= ΦΦΦΦPOD ;- nombre de modes m fixé ;
différence par rapport à la POD- αααα(k) remplacés par γγγγ(k), γγγγ(k) = (γ1
(k) … γm(k) )Τ, k= 1, … , M
Réduction de modèles par CPOD1
• CPOD1(Constrained Proper Orthogonal Decomposition):
),,1,(,1
)()( MkMmm
ii
ki
k POD1,CL=<<γ+= ∑
=
φp p
pγΦp
pp Φ
===+
−=γ=
ricJJàsoumis ik
ik
mi
L
kkCPODk
,,1,)()(:
Argmin
)()(,
)(
)()(,1
const
)(2
L
ΩΩΩΩ
[Xiao et al., 2009]
51
Algorithme CPOD1
L L L L (γγγγ(k), λλλλ) ( )cp(Wpp −+⋅⋅+−= ))(,
TT)(
)()(,2
kmkL
kkCPOD γγγγΦΦΦΦλλλλΩΩΩΩ
0000λλλλΦΦΦΦΦΦΦΦγγγγΦΦΦΦΦΦΦΦγγγγ
=+−−=∂
∂km
kkm
kmkmk
WppMM Τ
,)(Τ
,)(
,Τ
,)()(
L
( ) 0)(,
Τ =−+⋅=∂∂
cγΦpW kmkλλλλ
L
−
−=
pWc
ppM
OW
WM
Τ
)(Τ
,)(
,Τ
Τ
,,Τ
, )(
k
kkm
k
mk
kmmkm ΦΦΦΦ
λλλλ
γγγγ
ΦΦΦΦ
ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ
Fonction lagrangienne
conditions d’optimalité
m+r équations
Si le maillage ne varie pas,la matrice indépendante
de k=1,...,M
M problèmes l’optimisation pour calculer les coefficients γγγγ
k= 1, … , M
k= 1, … , M
52
plan d’expériences :
métamodèle (Approximation Diffuse, Krigeage,…) associant γγγγ(y) aux y :
pour un point y arbitraire :
Procédure de réduction de modèles par CPOD1
miypMkypyy iM
iim
kN
kkkl
kk ,,1,),,(,,,1,),,(),,( )()(1
)(,
)()(1
)()()(1
)( LLLLL ==→==→= ΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ γγγγΦΦΦΦpy
53
CPOD1 – avantages et inconvénients
• avantages– préservation des grandeurs globales ;
• si les relations sont linéaires, calcul est explicite
– bons résultats sur les cas test réalisés
• inconvénients– l’existence de la solution non démontrée
– la méthode modifie les coefficients, mais garde la même base– méthode adaptée uniquement à l’approche non-intrusive
• idée : CPOD2– modifier la base de modes
54
Formulation :
Réduction de modèles par CPOD2
),,1,(,)(
1
)( MkMmα km
ii
ki
)k( POD2,C L=<<+=+= ∑=
Ψαpp p ψψψψ
pWpW ΤΤΤΤΤΤΤΤ =CPOD2
Si les contraintes sont linéaires
MkriJJ ki
kCPOD2i ,,1;,,1,)()( )()(, LL === pp
( )
−= ∑==
M
kL
kkCPODArgmin1
)()()(,2
2 ΩΩΩΩΤΤΤΤppΨ
IΨΨ
soumis à :
[Xiao et al., 2011]
55
Algorithme CPOD2
DOEclichés p
construction de W
QR (W)
ModesΨΨΨΨ
pCPOD2
ββββ21 ,, QψψQΨ ==
MkM
M
k
k ,,1,1
1
)( L==→ ∑=
pp
[ ] 111
21 RQO
RQQQRW =
==
pWpW ΤΤΤΤΤΤΤΤ =CPOD2
)( )()( ppΨΨp p −+= kk POD2,C ΤΤΤΤ
Coefficients αααα(k)
ΤΤΤΤΤΤΤΤ ),,(),,( )()(1
)()()(1
)( kN
kkkl
kk ypyy LL =→= py
Contenu de la présentation
Contexte général de l’OMD
Analyse des stratégies de calcul parallèle
Proposition des modèles réduits
Optimisation en mécanique - Applications industrielles
Conclusions et perspectives
56
57
Présentation du cas test
But : développer des moteurs performants et respectueux de l’environnement.=> étude d’optimisation de la forme d’un conduit d’admission en fonction des grandeurs caractérisant l’écoulement :
- la vorticité T →→→→ liée à la réduction des émissions polluantes.- le débit Q →→→→ lié à la puissance du moteur.
Conduit d’admission
Cylindre
Le conduit est paramétré par 6 variables de conception géométriques influençant directement l’écoulement du mélange air-combustible dans le cylindre.
1
2
3
4
6
5
1
2
3
4
6
5
6 variables(y1,…, y6)T
Simulation numérique « haute fidélité »
Comment calculer les réponses T (tumble) et Q (débit) ?- T et Q dépendent de la composante z du champ de vitesses dans le cylindre- la méthode des volumes finis est utilisée pour la résolution des équations de Navier-Stokes – logiciel StarCD
- en pratique, une chaîne de simulations a été développée par Renault :
Définition d’une zone d’intérêt
Interpolation des vitesses sur une
grille fixe
Réponses
T et Q
paramètres y CAO
Génération du maillage fluide
Génération de la géométrie
Intégration
CFD (Star-CD)
58
dSvQ
dvdT
S
z
z
∫
∫
=
= ΩΩ
)(x
Post-traitement
Front de Pareto
y = y1,…,y6
J = T, Qy = y1,…,y6
plan factoriel hypercube latin
J = T, Q
Analyse du plan d’expériences
Valeurs des variables de conception sur le front de Pareto
• 64 points d’un plan factoriel • 100 points de l’hypercube latin• seuls 146 points valables
• les points du front de Pareto se trouvent sur les bornes
des variables de conception
59
Deux stratégies de réduction de modèle
• méthode d’optimisation stochastique
– difficultés
• le temps d’une simulation : 2 heures
• les codes de calcul sont installés sur des machines différentes
• la chaîne de calcul n’est pas stable à 100%
• deux modèles approchés
– approximation directe des T (y) et Q(y)
• krigeage (toolkit DACE, Scilab/Matlab)
– modèle réduit POD pour le champ de vitesses
• krigeage des coefficients POD
• intégration du champ approchéT(v(y)), Q(v(y))
– amélioration du modèle POD par CPOD1 et CPOD2
• optimisation avec le modèle approché
• validation avec le modèle fin
• enrichissement du modèle approché
60
Modèle réduit bi-niveau : POD + krigeage
• krigeage direct
• krigeage + POD
• analyse du plan d’expériences
PODKrigeageαααα,p
POD, approx(y)POD,approx
1
m
z i ii
v ϕα=
+∑T approx,POD,
Q approx,PODy
Krigeagey T approx,direct, Q approx,direct
61
Optimisation multicritère avec modèle réduit
• Algorithme MOGA (MultiObjective Genetic Algorithm)
• environnement DAKOTA (Design Analysis Kit for Optimization and Terascale Applications), Sandia Labs, calcul parallèle
• sélection basée sur le rang de la solution
62
OPTI (MOGA)
Approximation(Krigeage/POD/CPOD1/CPOD2)
y = (y1,...,y6)
Les paramètres de MOGA et du Krigeage
Plan d’expériences(146 clichés)
T, Q
Optimiseur(MOGA)
Nombre d’itérations 50
Taille de la population initiale
250(146 points du plan d’expériences
+ 104 points aléatoires)
Krigeage(DACE)
Corrélation Gaussienne
Régression Polynôme d'ordre 0
Processus d’optimisation
63
DAKOTA(plate-forme
parallèle)
Toolkit DACE
Optimisation avec modèle bi-niveau
• krigeage direct– front de Pareto trop « optimiste »
• krigeage + CPOD– solution non « Pareto-optimale »
70
Optimisation avec modèle bi-niveau
• Diffuse + CPOD1
• Diffuse + CPOD2– Front de Pareto raisonnable
Data inital
CPOD1 CPOD2
[Xiao et al 2009] [Xiao et al
2011]
coïncidents
71
Variation des paramètres du krigeage directet Diffuse-CPOD1/CPOD2– x
krigeage direct Diffuse-CPOD1/CPOD2
On a trouvé des points dominants à l’intérieur du domaine.Mais, pour krigeage direct, il y a quelques variables de conception qui se trouvent encore sur les bornes. Par exemple : angle du conduit y6
72
Plan d’expériences
Synthèse
• Démonstration du contexte général de l’optimisation multidisciplinaire (MDO)– L’élaboration d’un cas test de l’aile 2D faisant intervenir 2 disciplines (fluide et
structure)
• Stratégies d’optimisation avec calcul parallèle et modèles approches– Analyse d’un environnement de calcul parallèle dans le contexte OMD
– Bi-niveau model réductions en combinant les méthodes de surfaces de réponses et méta-modèle (POD)
– proposé deux originaux modèles réduits : CPOD1/CPOD2
• Applications industrielles : optimisation de forme dans un conduit d’admission
73