Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és...
Transcript of Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és...
![Page 1: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/1.jpg)
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
3.
Fényelhajlás (Diffrakció)
Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007.
![Page 2: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/2.jpg)
Akadályok között elhaladó hullámok továbbterjedése nem azonos a geometriai árnyékkal.
Pontos elmélet: Maxwell-egyenletek + az akadályok felületén a határfeltételek
(matematikailag nehéz feladat)
Használható elmélet: Hullám amplitúdója zérus, ahol akadály van, ahol nincs akadály, onnan a hullám változatlanul továbbterjed.
Hogy megy tovább? Huygens-Fresnel-elv
Huygens (1690): az átengeded hullámfront minden pontja egy gömbhullám forrása;
a gömbhullámok burkolója a továbbterjedő hullámfelület.
Fresnel (1818): módosított elv; NEM a burkolója, hanem az EREDŐJE, azaz az interferáló gömbhullámok összege megy tovább.
![Page 3: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/3.jpg)
Hullámok elhajlása akadályok közelében
![Page 4: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/4.jpg)
Kirchhoff-elmélet
A Helmholtz-egyenlet közelítő megoldása (a Maxwell-egyenletekből levezethető), amely a rés nyitott felületén illeszkedik a bejövő hullámhoz, mint peremfeltételhez. Az akadály felületén zérus járulékkal számol, mert a fő effektus a hullámfront kivágása. Kirchhoff-elmélet a Green-tételt használja.
rés, akadály
bejövő hullám
bejövő hullám a résnél
P-ben a hullám amplitúdója, Fresnel-integrál:
ferdeségi tényező (obliquity, inclination factor), gyakran ~ 1
integrálás a résre
Komplex áteresztőképesség:
![Page 5: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/5.jpg)
Sorfejtés
A fizika a fázisban van!
![Page 6: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/6.jpg)
Fresnel-diffrakció: lényeges, a résre szemből nézzünk,
Fraunhofer-diffrakció:
Fourier-transzformációFourier-optika
![Page 7: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/7.jpg)
Hol a határ a Fresnel- és Fraunhofer-diffrakció között?
rés (tárgy)
Fresnel-kitevő („Fresnel-szám”):
Fraunhofer-kitevő:
A Fresnel a nagyobb, ha
A réshez közel vagy szemből (tetszőleges L távolság esetén) nézve Fresnel-diffrakcióval, míg a réstől távol és ferdén nézve Fraunhofer-diffrakcióval kell számolni.
![Page 8: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/8.jpg)
Fresnel-diffrakció fontos példái
1) Egydimenziós él árnyéka:
Fresnel-integrálok
![Page 9: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/9.jpg)
Cornu-spirál
![Page 10: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/10.jpg)
2) Kerek rés a tengelyről nézve: a sugarú kör alakú rés
Az intenzitás a P pontban:
Az intenzitás oszcillál L függvényében.
![Page 11: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/11.jpg)
3) Kerek akadály a tengelyről nézve: ebben az esetben az integrálási határok változnak
új változó:
A körlap mögött tapasztalható világos foltot Poisson-foltnak (vagy Arago-foltnak) nevezik.
Regularizáció:
A geometria optika szerint az árnyék mögött az árnyéktér miatt az intenzitás zérus.A Poisson-folt a hullámoptika egy fényes bizonyítéka.
![Page 12: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/12.jpg)
nm
Poisson-folt numerikus számolása
Babinet-elv: a rés és a komplementer lemez amplitúdójának összegea sima síkhullám.
(saját számolás)
![Page 13: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/13.jpg)
Fraunhofer-diffrakció fontos példái
1) Vékony rés:
minimum helye:
A k vektor az (x,z) síkban fekszik:
Hol vannak a maximumhelyek (gyakorlat)?
bejövő síkhullám
Diffrakciós kép vékony drótszálról.
![Page 14: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/14.jpg)
2) Téglalap alakú rés (a és b oldalú):
p
a = b
q
a = 2 b a = 3 b
(saját számolás)
![Page 15: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/15.jpg)
3) Kör alakú rés:
1. rendű Bessel-függvény
Airy-korong, elhajlási korong(saját számolás)
Sir George Biddel Airy (1801-1892)
Első minimum iránya:
Kis szögekre:
paraméterek:hullámhossz = 550 nmR = 0.5 mm, azaz k R = 5712
![Page 16: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/16.jpg)
Optikai eszközök felbontóképessége
Optikai eszközök (pl. lencsék, tükrök, távcsövek, mikroszkóp, szem) foglalatán történő elhajlás miatt is kialakul az Airy-korong, mely meghatározza az optikai eszközök felbontóképességét.
Párhuzamos fénynyalábot egy f fókusztávolságú lencsével leképezve a fókuszpont nem egzaktul pont, hanem az Airy-korong, melynek sugara:
Az Airy-korong sugarát úgy csökkenthetjük, hogy vagy a hullámhosszat csökkentjük, vagy az optika eszköz méretét (D) növeljük.
Két távoli pontot (pl. két csillagot) akkor különböztethetünk meg, ha a két pont leképezésekor kialakuló két Airy-korong nem lapolódik át. A felbontóképesség határának tekinthető (megállapodás szerint) az az eset, amikor a két korong középpontja közti távolság éppen a korongok sugara (a két korong „félig” átlapolt).
Ekkor két szögtávolságban lévő tárgy akkor különböztethető meg, ha
![Page 17: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/17.jpg)
4) Optikai rács (N db rés): Periodikus áteresztés:
Szerkezeti tényező (structure factor) Alaktényező (form factor)
bejövő síkhullám
új változó:
![Page 18: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/18.jpg)
Szerkezeti tényező (structure factor):
Alaktényező(form factor)N = 7
a/d = 3
1. rend
2. rend
Intenzitás:
0. rend
útkülönbség:
erősítések iránya:
ahol
Intenzitás csúcsok, rendek (főmaximumok) helye:
ha u egész szám
ahol m egész szám
![Page 19: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/19.jpg)
N = 20
N = 50
a/d = 3
Ha növeljük a rések számát, N-t, akkor a főmaximumok vékonyodnak és nőnek, míg a mellékmaximumok csökkenek.
Csak a főmaximumok helyén lesz észrevehető intenzitás.
![Page 20: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/20.jpg)
5) Általánosítás két- (három) dimenziós rácsra és tetszőleges, de azonos apertúrára
Szerkezeti tényező (structure factor) Alaktényező (form factor)
rácsvektor
elemi cella vektorok
elemi cellák száma
![Page 21: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/21.jpg)
szerkezeti tényező kiszámítása:
legyen ahol
reciprokrács elemi cellájának vektorai
![Page 22: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/22.jpg)
Intenzitás csúcsok, rendek (főmaximumok) helye:
G: reciprokrács
A főmaximumok a reciprokrács pontjaiban vannak:
![Page 23: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/23.jpg)
5 a) Speciális eset: téglalap rács, oldalainak hossza:
5 b) Speciális eset: háromszögrács
![Page 24: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/24.jpg)
5 c) Speciális eset: két kör alakú lyuk diffrakciója
bejövő síkhullám
két lyuk diffrakciós képe:
(saját számolás)
egy lyuk diffrakciós képe: paraméterek:hullámhossz = 550 nmR = 0.5 mm, azaz k R = 5712a = 10 R = 5 mm
![Page 25: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/25.jpg)
5 d) Speciális eset: N_1 x N_2 számú periodikusan elhelyezett kör alakú lyuk diffrakciója
(saját számolás)
paraméterek:hullámhossz = 550 nmR = 0.5 mm, azaz k R = 5712a = 10 R = 5 mm
N_1= N_2 = 7
N_1= N_2 = 17
![Page 26: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/26.jpg)
Fraunhofer-diffrakció kísérleti megvalósítása
fókusz távolság
Végtelen távoli megfigyelési pont könnyen megvalósítható egy gyűjtőlencsével.Egy diffrakciós irány egy pont a lencse fókusz-síkjába helyezett ernyőn.
Ebből lesz a Fourier-optika.
![Page 27: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/27.jpg)
6) Transzmissziós diffrakciós rács: pl. üvegfelület karcolása
![Page 28: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/28.jpg)
7) Reflexiós diffrakciós rács: pl. CD diszk
![Page 29: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/29.jpg)
8) Bragg-reflexió: Az optikai rácson való Fraunhofer-diffrakcióval rokon jelenség. Gyengén tükröző síkok periodikus elrendezésén való erős reflexió.
Bragg-feltétel: konstruktív interferencia (erősítés)
Alkalmazások:
a) Kristályszerkezet meghatározása Röntgen-diffrakcióval (Max von Laue, 1913)
b) Sokrétegű, nagyhatásfokú dielektrikum-rétegek (lásd később)
c) Akusztooptikai fényeltérítés (lásd később)
![Page 30: Optika és Relativitáselméletcserti.web.elte.hu/okt/O_SpR-3.pdf · Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 3. Fényelhajlás (Diffrakció) Cserti József,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050508/5f99364cb0523a24ce61e6e8/html5/thumbnails/30.jpg)
9) Random közeg: véletlenszerűen elhelyezett apertúrák
Az „interferencia” tagok kiejtik egymást!
A diffrakciós képben egy apertúra Fraunhofer-diffrakciója jelenik meg, de N-szer kisebb intenzitással, mint a szabályosan elrendezett apertúráknál.
Ilyen például felhők vízcseppjein, vagy aerosol szemcséken történő diffrakció.