Funksjoner Vg1T

1

Oppgaver Innhold

Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet ............................................................................................................................ 2

4.2 Lineære funksjoner .......................................................................................................................... 10

4.3 Andre funksjoner ............................................................................................................................. 18

Polynomfunksjoner ........................................................................................................................... 21

Rasjonale funksjoner ......................................................................................................................... 22

Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner ................................................................................... 23

4.4 Vekstfart og derivasjon.................................................................................................................... 26

4.5 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler ................................................. 35

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA ................................................................................... 39

Noen av oppgavene er merket med symbolet

Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler.

Oppgaver og løsningsforslag

Stein Aanensen og Olav Kristensen

Funksjoner Vg1T

2

4.1 Funksjonsbegrepet

4.1.1

Marker punktene 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 3 , 3, 0 og 0, 2 i et koordinatsystem.

4.1.2

Gitt koordinatsystemet til høyre.

Angi koordinatene for punktene A

til I.

Utfordring!

Kan du finne avstanden fra origo til

punktet H?

Funksjoner Vg1T

3

4.1.3

Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f , g , h og j .

Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene.

a)

b)

c)

d)

Funksjoner Vg1T

4

4.1.4

Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett

benevning på aksene.

a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet.

b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen

c) Funksjonen h viser vannstanden i forhold til laveste observerte vannstand i Bergen fra en ”flo-

måling” til neste ”flo-måling” .

d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en 5-timer lang handletur til nærmeste

handlesenter.

4.1.5

Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett

benevning på aksene.

a) Funksjonen B viser folketallet i verden fra og med 1900 til 2000.

b) Funksjonen S viser antall sau (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer.

c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for 420 000 kr og fem år framover.

d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter til den er framme på skolen en

time senere.

Funksjoner Vg1T

5

4.1.6

Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene.

a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever

på skolen.

b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere

på skolen.

c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall

appelsiner i posen.

d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i

husstanden.

Funksjoner Vg1T

6

4.1.7

Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret.

a)

b)

c)

d)

Funksjoner Vg1T

7

4.1.8

Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som

a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 12,40 kroner.

b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time.

c) viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x .

d) viser hva hver elev må betale, dersom en gruppe elever skal leie en buss. Det koster 3000 kroner

å leie bussen og x er antall elever i gruppa.

4.1.9

Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen.

a) 2( ) 10 20f x x x

15,3fD

b) 3 2( ) 2g x x x

2,2gD

c) 3( ) 2 20i x x x

5,5iD

d) 2( ) 10 20A x x

1,1AD

e) 2( ) 0,1 100 20000K x x x

0,1000fD

f) ( ) 200000 1,07xB x

0,20fD

Funksjoner Vg1T

8

4.1.10

Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. 2 timer og 4 minutt på

en maraton (42 195 meter).

a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt?

b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d , løperne tilbakelegger og tiden, t .

c) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen i b)?

d) Lag en verditabell for følgende t-verdier 30, 60, 90, 120

e) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet.

f) Hva er verdimengden til funksjonen i b)?

4.1.11

Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen

3 20,005 0,12 2T x x x der x er antall timer etter midnatt.

a) Forklar at definisjonsmengden til funksjonen T er fra og med 0 til og med 24.

b) Tegn grafen til funksjonen T.

c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6 C .

d) Finn verdimengden til funksjonen T og forklar hva verdimengden forteller om temperatursvingningene dette døgnet.

Funksjoner Vg1T

9

4.1.12

Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per

ringeminutt, t. Kostnadene, k , ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som

0,49 99k t t der t varierer fra og med 50 til og med 200.

a) Hva er definisjonsmengden til k?

b) Lag en verditabell for k.

c) Tegn grafen til k.

d) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

e) Finn verdimengden til k.

4.1.13

Et rektangel har en omkrets på 100 m .

a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x .

b) Forklar at funksjonen A gitt ved 2( ) 50A x x x gir arealet av rektangelet for

ulike verdier av x .

c) Tegn grafen til A .

d) Bestem AD og AV

e) Hva er den største verdien arealet kan få?

f) For hvilke x-verdier er arealet lik 2400 m ? Forklar hvorfor du får to løsninger.

Funksjoner Vg1T

10

4.2 Lineære funksjoner

4.2.1

a) De tre lineære funksjonene f , g og h er gitt ved

2 2f x x

3 2g x x

h x x

Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene.

a) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon?

4.2.2

De tre lineære funksjonene f , g og h er gitt ved

0,5 2f x x

2 2g x x

2h x x

For hver av de tre funksjonene skal du

- Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier

- Markere punktene du finner i et koordinatsystem

- Tegne ei rett linje gjennom punktene

Funksjoner Vg1T

11

4.2.3

De tre lineære funksjonene f , g og h er gitt ved

1

2

3

f x x

g x x

h x x

a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem.

b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen?

c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik?

4.2.4

Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene

gitt ved

a) 2f x x

b) 2g x x

c) 2 0,5h x x

4.2.5

På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene?

Funksjoner Vg1T

12

4.2.6

a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre.

b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja.

c) Hva er nullpunktet til funksjonen?

4.2.7

I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene

nedenfor som hører sammen med hvilken graf.

2 1f x x h x x

Funksjoner Vg1T

13

2 2g x x 2i x

4.2.8

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f , g , h , i og j . Skriv ned

funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene.

4.2.9

Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1 .

a) Finn stigningstallet til denne rette linja.

b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene.

c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning

Funksjoner Vg1T

14

4.2.10

Ei rett linje har stigningstall 2 og går gjennom punktet (2,2) .

a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja.

b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning.

4.2.11

Gitt funksjonen 3 1f x x . Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går

gjennom punktet 1, 2 .

Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g .

4.2.12

Ei rett linje går gjennom punktene 2, 1200 og 5, 4800 .

a) Finn stigningstallet til denne rette linja.

b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene.

c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning.

4.2.13

Ei rett linje går gjennom punktene 0,2 , 0,5 og 0,5 , 2,6 .

a) Finn stigningstallet til denne rette linja.

b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene.

c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning.

Funksjoner Vg1T

15

4.2.14

Ei rett linje har stigningstall 0,01 og går gjennom punktet 2, 0,05 .

a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja.

b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning.

4.2.15

Gitt funksjonene 3

52

f x x og 2 2g x x

a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk.

c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler.

d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler.

4.2.16

Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får

han 10 kroner for hvert salg han oppnår.

a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg.

b) 0,15LD . Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem.

c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner?

d) Finn verdimengden til funksjonen L .

Funksjoner Vg1T

16

4.2.17

På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen

i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første

timene prøven varer.

a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt.

b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer?

c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180.

d) Når var temperaturen i vannet 14 C ?

Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i

vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet

0,08 6,5f x x

e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet?

4.2.18

Løs likningssettene grafisk.

a) 2

2 3 6

x y

x y

b) 6 2 8

2 6

x y

x y

c) 5 2 4

2 3 6

x y

x y

d) 4 3 2

6 8 4

x y

y x

e) 6

4 4 2

y x

y x

Funksjoner Vg1T

17

4.2.19

Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som

beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være

antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner.

b) Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)?

c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 2050?

4.2.20

Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 2000.

År 1973 1980 1987 1992 1996 2000

Utslipp til

luft SO 2 i

1000 tonn

156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 27,3

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som

beskriver sammenhengen mellom år og utslipp.

La x være antall år etter 1973 og S x utslippet av svoveldioksid i tusen tonn.

b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn?

c) Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret.

År 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Folkemengde 3 249 954 3 567 707 3 863 221 4 078 900 4 233 116 4 478 497

Funksjoner Vg1T

18

4.3 Andre funksjoner

Andregradsfunksjoner

4.3.1

a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning

- hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur )

- hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt

- hvor grafene skjærer andreaksen

- likningen for symmetrilinja til hver av grafene

- koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene

- verdimengden til funksjonene

- nullpunktene til funksjonene

2 7 12f x x x

22 2 4g x x x

2 8h x x

23 12i x x x

b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.

4.3.2

Funksjonen f er gitt ved 2 6f x x x

for x - verdier mellom

4 og 3.

a) Tegn grafen til f

b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning.

c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene.

d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene.

e) Hva er verdimengden til f ?

Funksjoner Vg1T

19

4.3.3

Andreas kaster et spyd.

Grafen til funksjonen f gitt ved

20,01 0,85 2,20f x x x

beskriver banen spydet følger gjennom luften.

Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og f x meter er

høyden spydet har over bakken.

a) Tegn grafen til for 0.f x

b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene.

Bestem toppunktet på grafen til .f

c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?

4.3.4

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved

andregradsfunksjonen 214,1 4,9 1,8h t t t .

a) Tegn grafen til h for de første 3 sekundene.

b) Når er ballen 10 meter over bakken?

c) Når treffer ballen bakken?

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt?

Funksjoner Vg1T

20

4.3.5

Gitt grafene nedenfor.

Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og

Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.

2

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2 2

0,5 2 2

0,5 2 6

4 6

f x x x

f x x x

f x x x

f x x x

f x x x

f x x x

Funksjoner Vg1T

21

Polynomfunksjoner

4.3.6

a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 20,5 3 3 3f x x x x og finn grafisk eventuelle

- toppunkter

- bunnpunkter

- skjæringspunkter med koordinataksene

b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 20,20 0,60 4g x x x og finn grafisk eventuelle

- toppunkter

- bunnpunkter

- skjæringspunkter med koordinataksene

4.3.7

Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er 2,2 dm.

a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er 2,2

( )2

hr h

b) Vis at volumet av sylinderen, V h kan uttrykkes som 2

( ) 2,24

V h h h

c) Hva slags funksjon erV ?

d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm.

e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter.

f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter.

Funksjoner Vg1T

22

Rasjonale funksjoner

4.3.8

Tegn grafen til funksjonene gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor og bestem asymptotene.

a) 2

xf x

x

b) 3 1

2

xg x

x

c) 2

2 4h x

x

d) 2 2

1

xi x

x

4.3.9

Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler

han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en

måned når han ringer x minutt kan skrives som

0,49 59x

K xx

a) Tegn grafen til K for x - verdier mellom 0 og 1400.

b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye?

c) Finn likningen for den horisontale asymptoten.

d) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutt?

e) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt?

Funksjoner Vg1T

23

Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner

4.3.10

Potensfunksjonene f , g og h er gitt ved

0,6

1,2

2,1

3

3

3

f x x

g x x

h x x

a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem.

a) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen?

4.3.11

Eksponentialfunksjonene f , g og h er gitt ved

3 0,6

3 1,2

3 2,1

x

x

x

f x

g x

h x

a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem.

b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hvorfor?

c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen?

4.3.12

Miriam kjøpte en scooter for 10 000 kroner i begynnelsen av 2008. Vi regner med at verdien S

synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 2008 som 10 000 0,85xS x

a) Tegn grafen til S . Velg x - verdier mellom 0 og 8.

b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel.

c) Finn grafisk når scooterens verdi er 3 000 kroner.

Funksjoner Vg1T

24

4.3.13

Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved

3 1,15xT x der x er antall timer etter strømbruddet.

a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet?

b) Tegn grafen til T La x variere mellom 0 og 20.

c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet?

d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt.

4.3.14

Høyden til et frukttre er gitt ved funksjonen

0.70,85 0,5h x x der x er antall år etter utplanting.

a) Tegn grafen til h . Velg x - verdier mellom 0 og 10.

b) Hvor høyt er treet etter 3 år?

c) Når er treet 4 meter høyt?

Funksjoner Vg1T

25

4.3.15

Gitt en sylinder med et volum på én liter.

a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som 1

rh

b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som 2

( ) 2O h hh

c) Tegn grafen til O.

Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter.

d) Hvor høy må boksen være, og hvor stor radius må den ha, dersom overflata skal bli minst mulig?

e) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen?

Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen litersbokser.

Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her?

Funksjoner Vg1T

26

4.4 Vekstfart og derivasjon

4.4.1

Funksjonene g , h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du

først tegne grafen. Deretter velger du ut 2 punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut

vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen.

a) 2 4g x x

b) 8h x x

c) 12i x x

4.4.2

Funksjonene g , h , i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du

velge ut to verdier for x . Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til

de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av

funksjonsuttrykket.

a) 2 4g x x

b) 3 2h x x

c) 600 5i x x

d) 2

73

f x x

Funksjoner Vg1T

27

4.4.3

Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når

de oppgitte punktene er

a) 3,7 og 5,9

b) 1, 8 og 4,1

4.4.4

Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at 2 3f og at

4 9f . Finn vekstfarten a til f .

4.4.5

Funksjonen 3 20.003 0.09 1 0,20h x x x x

viser høyden til et morelltre x antall år etter at det ble plantet i 1986.

a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til 1999.

b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 2003 til 2006.

Funksjoner Vg1T

28

4.4.6

Funksjonene f og g er gitt ved 3 20,5 3 3 3f x x x x og 3 20,20 0,60 4g x x x

For hver av funksjonene skal du

a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra 1 21 til 2x x

b) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra 1 21 til 1,1x x

c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten

når 1x ?

4.4.7

Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre,

( )h t , målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder

funksjonen

3 20,02 0,25 1,15 0,15 der er antall år etter utplanting.h t t t t t

a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4?

b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år.

4.4.8

Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler

han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en

måned når han ringer x minutt kan skrives som

0,49 59x

K xx

Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når ringetiden øker fra

a) 20 minutt til 200 minutt per måned?

b) 200 minutt til 400 minutt per måned?

c) 400 minutt til 1200 minutt per måned?

d) Hvilken benevning får du? Kan du forklare hva det betyr i praksis?

Funksjoner Vg1T

29

4.4.9

Russen skal ha fest. De leier et selskapslokale. Prisen per deltaker, f x kroner,

er gitt ved 8500

175f xx

hvor x er antall festdeltakere.

a) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når antall festdeltakere øker fra 50 til 60?

b) Hva betyr i praksis det svaret du fikk i a)?

4.4.10

Funksjonen f gitt ved 2 6 ff x x x D R

a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for

2x 1x

0x

1x

b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen?

4.4.11

Funksjonen g er gitt ved 22 2 4g x x x

a) Finn grafisk den deriverte, '( )g x for

1x 0x

1x 2x

b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den deriverte og formen til grafen?

Funksjoner Vg1T

30

4.4.12

Gå tilbake til oppgave 4.4.9. Finn grafisk den momentane vekstfarten (den deriverte) for 50x og

60x . Hva forteller svarene deg?

4.4.13

Funksjonene f og g er gitt ved 2 6f x x x og 22 2 4g x x x .

a) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for f x .

b) Regn ut 2f .

c) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for g x .

d) Regn ut 2g .

e) Ser du noe mønster i svarene i a) og c)?

4.4.14

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f x når

a) 34f x

b) Husk at er en kon t !2 s antf x

c) 10f x

Funksjoner Vg1T

31

4.4.15

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f x når

a) 3 2f x x

b) 3

24

f x x

c) 5f x x

4.4.16

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f x når

a) 5f x x

b) 7f x x

c) 63f x x

4.4.17

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f x når

a) 3 22 1f x x x

b) 24 3 7f t t t

c) 3 22 5 4 9f x x x x

Funksjoner Vg1T

32

4.4.18

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f x når

a) 3 22 5 4 9f x x x x

b) 3 1

2 2 4 9f x x x x

c) 3 1

2 22 10 4 9f x x x x

4.4.19

Deriver uttrykkene.

a) 3 22 5 4 9x x x

b) 3 2 4 9t t t

c) 5 32 10 19 100x x x

4.4.20

Funksjonen f er gitt ved 3 22 2 2f x x x

a) Finn f x .

b) Finn ved regning likningen for tangenten når 1x .

Funksjoner Vg1T

33

4.4.21

Funksjonen f er gitt ved

2 2 2f x x x

a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0, 2 , 1, 3 og 2, 2 .

b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene.

4.4.22

Funksjonen g er gitt ved

2 2 2g x x x

a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 2, 2 , 1, 1 og 0, 2 .

b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene.

c) Tegn grafen til g og de tre tangentene i et koordinatsystem.

d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen?

Funksjoner Vg1T

34

4.4.23

Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde. Det viser seg at høyden til

et tre ( )h t , målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. Innenfor et avgrenset

tidsrom gjelder funksjonen h gitt ved

3 20,02 0,25 1,15 0,15h t t t t der t er antall år etter utplantingen.

a) Hvor fort vokser treet etter 5 år?

b) Hvor fort vokser treet etter 7 år?

4.4.24

Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler

han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en

måned når han ringer x minutt kan skrives som

0,49 59x

K xx

Regn ut den momentane vekstfarten (den deriverte) for ringetidene 20, 200, 400 og 1200 minutt.

Hva forteller svarene deg? Hvilken benevning får du? Sammenlign svarene med svarene du fikk i

oppgave 4.4.8.

Funksjoner Vg1T

35

4.5 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler

4.5.1

Finn ved regning når grafen til funksjonen 22 12 16f x x x stiger og når den synker. Finn også

eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen.

4.5.2

Finn ved regning når grafen til funksjonen 2 2 3f x x x stiger og når den synker. Finn også

eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen.

4.5.3

Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 23 9 10f x x x x stiger og når den synker. Finn

også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen.

4.5.4

Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 23f x x x stiger og når den synker. Finn også

eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen.

Funksjoner Vg1T

36

4.5.5

Anders kaster en stein rett opp i lufta. Høyden til steinen over bakken etter tiden t er gitt ved

225 4.9 0,6h t t t t

a) Finn ved regning når steinen er i sitt høyeste punkt.

b) Hva er steinens maksimale høyde over bakken?

c) Finn et uttrykk for farten til steinen.

d) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen.

4.5.6

Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at

overskuddet i kroner er gitt ved 240000 400 0,4O x x x hvor x er antall treningsdresser som

produseres per år.

Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år?

Funksjoner Vg1T

37

4.5.7

Figuren viser grafen til en funksjon f . Tegn

fortegnslinjene til f og f .

Funksjoner Vg1T

38

4.5.8

Vi skal lage en eske uten lokk av en

rektangelformet papplate med sider 50 cm og

40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat

med side x i hvert hjørne. Deretter bretter vi

opp kantene og får en eske med høyde x . Se

figur.

a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en

funksjon av x .

b) Finn ved regning hvilken verdi av x som gir

størst volum av esken.

c) Hva blir det største volumet til esken?

4.5.9

For de to funksjonsuttrykkene nedenfor skal du ved regning i CAS finne nullpunktene, summen av

nullpunktene og produktet av nullpunktene

a) 2 7 12f x x x

b) 22 2 4g x x x

Gjør det samme med den generelle andregradsfunksjonen 2h x ax bx c .

Stemmer resultatet med det du fant for funksjonene f x og g x ?

De mørke blå kvadratene

klippes bort.

Funksjoner Vg1T

39

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Oppgaver del 1 Oppgaver del 2

Høst 2015 10 1 og 3

Vår 2015 9 og 12 1 og 2

Høst 2014 6 og 10 1, 2 og 6

Vår 2014 9 og 10 1, 2 og 8

Høst 2013 6 og 8 1 og 7

Vår 2013 4 og 7 6 og 7

Høst 2012 1 og 6 2 og 7

Vår 2012 2 4 og 8

Høst 2011 2 5, 6 og 7

Vår 2011 2 4 og 6

Vår 2010 1a, 1e og 2 4 og 6