Opp summeringHua Zo Aksiomatisk oppbygging ceo plan gcometri

Et aksiomatisk system be star aw :

To udefineate begrep20 aksiomerl postulates3. o definisjoner4 ,

teacher og bevis

50 to lknincger og modellereksistens aw

en modell gjorTho is aksiomene

det aksiomatislee → er" rihticge "

i

system et Leonsis tent to Ilan ingen

Ekseempel : insiders geometridTo punht , bigger pie , linie2

.I 61 Giennom to distinbtepunhtgareksaht

en linie .

162 Hoer linie got giennom mint to punht .

163 Det finals Ere ihke - Kohli neceoepunkt.

3. log on er paralleled der som l Am = 0

4.

Huis login ihke er parallelle,sao F

et un int pun ht P s.a.

erm = { P }.

So Tre - peanuts geometries,leant esiske planet ,

men ihke sfaren .

Noytralgeometru-

✓ definite begrep : peanut , linie ,custard

,

halo plan og uinkelmalP - mengden ao alle punkt i planet

Aksiomer

NG I Eksistenspostulatet - Det finaesminstto puhllt

.

No 2 Insiders post - - Giennom to Iistinkkpunht gear eksahten linie .

No 3 brinjal post .- Enver linie hat en

uoordinatfunksjon .

N 64 Plan separations post .

- En hoer linie deterplanet i to

.

N 65 Grad Skive post .

- Ui Kan mile cinder

N 66 SUS - hi k side - oinked - side giruongruente trek center .

N 63 hinialpostulabetGilt P

, QE IP,see fines et melt tall

PQ,

halt au standees Mellon P og Q .

For hoer linie sat eksisteaer Iet en

uoordinatfunk . f : l → IR S.a. f er

en l - I leorvespondanse ogPQ = I f- ( P ) - f ( Q ) ) for P

,Q El

.

Kan normalised : P, QE IP

,F

f : → IR s.a. f- ( P ) = O

,f ( Q ) > O

.

Nao han ui definer og konstruere

• A- * BAC ⇐ AB + BC = AC

• ABT = EA , BYU { Pl Aap - B }• midtpunkbetpa.AT

• ABT = ABT U { PIA * B * p }- P pi ATI i gilt

• APTE CI betyr AB - CDcustard fra A

.

NGU Plansep . post .

D= H,Ulu Mz ,

huo r

• Hit 0 , Hz 7/0• Huis PEH

, , Qetfz ,sci POT nd 't

.

H, og H2 er Cle to silene ao l

,

begge konvelase.

+¥

,

→ ikke - homely

Kan nie defined Winkel B 7

< BAC = AB→u AT ✓#Def . C

Det indie ceo en

winked :

Hgh Hsg #⇒Def .

Motsatte Strater :

B * A - C

ABIog

EE er mots cette Strieter.

Def .

Trek ant :

SABC = ABT OBI UCF ( A , B , C ihke -

holding

Def .

-

Mdlomliggenhet au Strater :

Bo 7

✓ Person D er i Ietindre at a BAC

.

→Pasch 's aksiom ( tectum )A

,B

, C indie pie l.

e

"LESSEN liaryensseaoensiaene ,

de andre.

Tverrliggerteoremet

. . .

' " " ¥.ae?ogNG5Gradskivepost

.

To 0°

EM ( C ABC ) C 1800

Lo MCC ABC ) = ⇒ FB = AT

3. VE lean honstrueoe winkler med giltmoat ro

,OE re 1808

For hier OE re 180 og halo plan H( begensetao FB ) sat F en entydigStrate A¥ see

.

E E H ogMfc BAE ) = ro

.

Yo Vi uan adder uihkler :

uk BAD ) tuk DAL ) = u ( L BAC )noir FB melt om FB og AI

.

Kongruente winkler ( def )< BAC E < DEF betyr UKBAC ) =uk DEF )

.

Konsekuenser :

- nine cat - par - Hornetn

.,

it = 1800 ±¥ .C B

x,B et lineal

par .

- konstruksion ceo midtnormalpa AT- uinkelhalveringsstraler- motsatle winkler er

¥ uongruentea =

.

- kontinuitetsaksiometf- :[ 0

,I ] → [ o ,eefccAB )) D= CB

f- G) = MKCADX ) OB

er

kontinuerlig .

.Det er ogsoa °

Aden inverse

.

C

N 66 SVS postulated

Kongruenke trekanter ( def )

, ⇐

SABLES DEF

Svs-

Desson SABC,DDEF er see

.

FB ZDF, L ABC E CDEF 0cg BIZET

,SI SABC DDEF

.

Hush : Winkel en me ligge Mellon deto Silene

.

hikebeint trekant ( FB EAT )a⇒ ( ABC E < ACB ①( wed sus ) t t

B C

Har VVS,

VSV, SSS

.

Vss er feet , men RSS er rihtig .

Kunene by Het at SVS med :

For hoer linie finals en oinked -

beuarencle isometru som bytteromde to Silene og fits everwent punht put linen

.

(Reffgkesionen ,Delkap .

10.5

Ytre - oinked - teoremet

- V s d,¥

( Funner ink piesfceoen )

Teorem

Gilt Poy l SE F ! m s.a

PEM og mtl m

• Pt.

Skalene - ulikhetenC

AB s BCTs ITD. is a

A B

Trekantulikheken•

B

A C L AB t BC°

•

A C

tlengselteooemet F Huis so,

C y

⑥ ⑥ FE S CB

l lA

B D E

€T¥÷pe⇒Eatin

':# rain

DCP ,EE ) =D FEB )

Kontinuitet an custardD= AB

,x = ADX

-×.Bf : Cold ] → [ oooo )f- ( x ) = CDX

er hontinuerlig .

• c

ANT - Alternerencle indre oinked Koren

- e a = ⇒ ell mjetFmKosovar : horvesponderende vintner like store

⇒ elim.

Eksisbens Ceo paralleller :

Gilt PEL ,sie eksisheoer m

S.a.

PEM og mill.

µPTm

mill free ANT.

-

Sacc here - Legendre teoremet

OLD ABC ) E 1800

Firkanter konoeks-

konueks fir hunt DAB CD

Of ABCD ) E 360°

noir D ABCD honueks. A

ihke- horrocks

parallelogramparalldle sider ( disse er alltid

leonuekse )Rektangelalle winkler mailer 900

.

Defekt ( def . )O ( SABC ) = 180 - O ( SABC )d ABCD ) = 360° - O ( DABCD )saccharin - fir Kant

Egensuaper Lteonem )D -

Co AI E BIT

d¥: Gift IsegmenteternormaltA B

PE FB og DT

• er et parallelogramo Kon vets° X

,B S 900

Lambert - firkanta Isen shaper : Cteorem)

parallelograma Uonoeks

-

° A E 900

A B ° BC E AD

Utsagn som er ekuiualente til EPP

EPP-

F ! Linie m S.a.

PEM og• pm Ill

-

• MAIVT

me

this mile ,see a- p

-

M• Transit iuitet aw Il f nmlln ,n Hl ,

sie m Ill f e

• vinkdsumspostulabet /O ABC ) = 1800 foralle trek center

.

• O ( SABC ) = 1800 for en trek cent

• Euklids V

÷÷÷:÷s:sicken noor

At Ps L 1800.

• ell m.

Huis the = { P },

so thin # 0.

ogaqiss.ae?Fa7zEtno#D-

A B D E• Det eksisteoerrekl - angel• Hoer trek ant lean om strives

( det eksi steerer en omsirkel tilhoer trekant ) Teorem 8. 2.3

.

C

Hpp ( hyper bolshie )

⇒ sisteoet mins to a #linger m

,n s .

a-

Pem, B

Penog mill ,

n Ill.

• P

-

Det universal hyper bolshie Rorem

Person F lo,Po

, og minst to tinier

giennom Po som er parallelletil do ,

sci giebler det for alle l og P.

HPP = 7 Epp

Den ene eller den andre holder 8

noytralgeometru .

Euklidsk geo metro

Aksiomene NG l - N 66 t EPP

Parallellprojeksionsteoremet

- .

m

-

A = A'

m

my n girn

Fundamental teoremet for form like trekanter

SABC n DDEF ⇒ ¥32 = 13¥

++ -Ned andre ord :

SABC ~ SDEF ⇒ F r - O S.a.

DE = ro AB

DF = to AC

EF = r - BC

sus for form likhet :

¥.

⇐ta¥=i¥ .

⇒ DABCRDDEF

c

F e=II -

-

' II ,DS 0A B D E

SE SABC nDDEf

Pytacgoras Korean

a

:.÷.÷÷:÷←toe form line trekanter

SABC~DCBD.rs ACD

a2tb2= a ⇒ < BCA matter 900

"

"

Elmer insistent ,O

,G og H er

hotline are .

Video, H - 6*0

, ogHG = 260

.

Huis toekanten er likes idek,

er H= 6=0.

Teorem 5.64 ( Cena 's teoreem )hi÷ . ÷

f- elles punkt Dnuiss

Afp - ZI °= I

-

Hyper bolsk geometridNG l - N 66 t MPP up

Det ehsisteoer minsto tinier som er paralleled

- l

til l og gcir giennom P.

HPP = 7 EPP ,so

° 0 ( SABC ) L 1800

• OL d ( SABC ) C 1800

° OLD ABCD ) L 3600 ←

• Det eksisterer indie rektangler.

' Fieri :hYmiaarYa :O

Teorem 6.1.11 VVV

SABC ~ SDEF ⇒ SABC I DDEF

Q #m

Gilt Pee,

PEM,

sie fines Iethoyst et punhtQ # P#g. a

. DCP , e) =d( Qd )l

#mDef . f- elles normal

→

µFB er en feller normalye

Person l og m er parallelle tinierog F P

, Q E M,P # Q , S.a

. DCP , e) =d( All ,sie har m og e en fellers normal .

¥-MAIVT Kim i spesielle til feller

.

-

m mill

*t

auiegnuenedinwdoe-

kongruente dorsum F en feltes normal

( FN ) S.a.

FN skjcerer E E midterm

as FN ( punhhet M ).

Parallellitetsuinkel

¥%;\K -

- { rt NAITO }Den smitten de

- e menschen

K - [ o, ro ) ,

roerdet Kriti she tallet→

for P ogAB ( A )

Det Kriti she tallit ro aohengerbare cw auslander d ( Re )

KH ) = µ ( LAPD )}§a×= ache )e.↳ KG ) er en

A B ihke - cekencle funk gon

Kcb ) Z K (a) .

9) APD S.a. UK APD ) = ro halles

parallellitetsuihkelen.

Hoer parallels itetsuinkelmaler 2900.

Seckler ( i naytralgeometru )N GI - NG 6

( ( O ,r ) = { PI oP=r ]

. Tangent liniefeoremett t er tangent wed P

noises top > It

%f④

sink .TW#onEineuitetjs.a.

+A er pal utsiden se og

l B er poi innsiclen air

se,

SE moi l wore

en sekantlinie .

① • P 0€ Tangents irkler

omsirkelteoremet

Eisen : ' mantil Silene notes

T O ( som ogsie er

sent rum i omsirkelen )

Eksistensenaeomsirkel for alle trek centerer ekuioalent EPP

.

F taekanter som ihre har en omsirkd

i hyperbole geometru .

Men,

en innsirkel eksisteoer foralle trek center i noytral geometrid

*Sirk ler i Euklidsk geometrid

A ,

' " B 900

AM = MC

; T.is#s3iceneaiTmeari r

,so

< ACB = 900

Periferiuinkel CPQR

Q rSentral oinked < pop

•

Sentral uinkelen til R matter 2

ganger mcilet Eel periferiuinkelen= 24

Koro Har i

,

" " " ⇐ spa ,

Kap .

10 og u er det SE wort Eid

sided ve giennomgihk , SE de

ble ihke Galt med i

oppsummeringen .