Sommes-nous tous keynésiens ? Perspectives pour la théorie postkeynésienne Marc Lavoie.
Opérations unitairesGCH 210 – Chapitre 5Jean-Michel Lavoie (Ph.D) Chapitre 5 Transfert de...
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Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Introduction
• Transfert d’énergie sous forme ce chaleur:– Souvent observé dans les procédés chimiques
• Provoqué par:– Différences de température– Chaleur migre vers les zones plus froides
• Équation simple d’équivalence:
Taux de chaleur entrante + Taux de génération de chaleur = Taux de chaleur sortant + taux d’accumulation de chaleur
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Fondements du transfert de chaleur
• Il existe trois mécanismes fondamentaux:– Conduction– Convection– Radiation
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Conduction
• Conduction:– La chaleur peut être conduite au travers:
• Solides, liquides, gaz
– Comment:• Transfert de l’énergie de mouvement entre les
molécules
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Conduction (suite)
• Dans les gaz:– Molécules les plus ‘chaudes’
• Celles qui on plus d’énergie et de mouvement
– Communiquent de l’énergie• Molécules adjacentes à des niveaux d’E plus bas
• Type d’échange:– Existant dans les solides, liquides ou gaz
• Où il existe un gradient de température
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Conduction (suite)
• On peut aussi avoir un transfert d’E:– Par transfert des électrons libres
• Particulièrement important:– Solides métalliques
• Exemple:– Transfert de chaleur:
• Parois d’un échangeur ou un réfrigérant
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Convection
• Transfert de chaleur:
– En grande quantité
– En mélangeant des éléments plus chaud
– Avec des portions + froides d’un gaz ou liquide
• Souvent relaté à:
– L’échange de chaleur entre une solide et un fluide
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2 types de convection• Convection forcée:
– Lorsqu’un fluide est forcé à passer par l’effet d’une pompe ou un ventilateur
• Convection naturelle:– Où un fluide plus chaud ou plus froid adjacent à une
surface solide cause une circulation en raison de la différence de densité résultant de la différence de température dans le fluide.
• Exemple:– Souffler sur une tasse de café pour la refroidir
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Radiation
• Diffère des deux précédentes:– Aucun médium physique n’est nécessaire pour sa
propagation
• Transfert d’énergie dans l’espace:– Sous l’effet de radiations électromagnétiques
• Ressemble beaucoup:– Les longueurs d’ondes électromagnétiques de la
lumière– Les solides et liquides absorberont cette radiation
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Radiation (suite)
• Les phénomènes de radiation:– Principalement important pour le transfert au
travers de l’espace et des gaz
• Exemple important:– Transfert d’énergie du soleil vers la terre
• Aussi:– Cuisson des aliment sous un système de chauffage
électrique (comme un four)
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Même différence
• Les trois type de transfert suivant:– Momentum– Chaleur– Masse
• Régit par les même types d’équations• Qui se simplifient:
Taux d’un procédé de transfert = Force conductrice / résistance
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Conduction
• Assumant que le transfert de chaleur se produits uniquement pas conduction:– Loi de Fourier:
q=taux de transfert de chaleur normale p/r à la surface (W)A= surface (m2)T= température mesurée normale p/r à la surface (K)k= Conductivité thermique (W/m*K)
dx
dTk
A
q
Flux de chauffage (W/m2)
Gradient de température dans la direction de l’axe des x
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Intégration simple
• La loi de Fourier:– Transfert de chaleur en régime stable– Au travers d’un mur plat:
• Surface de tronçon constante : A
– Température T1 au point 1
– Température T2 au point 2
– Une distance de X2-X1 m entre les deux
2
1
2
1
T
T
x
x
x dTkdxA
q )( 2112
TTxx
k
A
q
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Problème représentatif
• Calculez la perte de chaleur par m2 de surface pour un mur isolant composé de fibres isolantes de 25.4 mm d’épais où la température interne est de 352.7 K et la température externe est de 297.1 K.
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Conductivité thermique
• Gaz:– Concept relativement simple– Molécules en mouvement aléatoire constant– Se frappent les unes aux autres– Échanges du momentum et de l’énergie
• Lors d’un passage vers une région + froide– Transporte l’énergie cinétique– Par collision avec les molécules de + faible énergie
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Pour les gaz
2/1
2
0832.0
M
Tk
Conductivité thermique
Diamètre de collision effectif
Masse molaire
Température
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Pour les liquides• Comparable à celle des gaz• Molécule de plus haute énergie• Frappent celles de plus faible énergie• Toutefois:
– Molécules + rapprochées les unes des autres– Champ de force affecte les échanges d’énergie
• Contrairement aux gaz:– Aucune formule représentative– Le plus souvent empirique
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Pour les liquides
bTak Conductivité thermique
Constante empirique
Température
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Pour les solides
• Pour les solides, k varie largement• Par exemple, aluminium et cuivre:
– Ont des valeurs de k élevées
• Matériaux isolants:– Valeurs de k très faible (roche ou laine)
• Deux mécanismes dans les solides– Utilisation des électrons libres (métalliques)– Transmission de l’énergie de vibration
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Matériaux isolants
• Conductivité thermique:
– Matériaux comme roche ou laine
– Approche la conductivité thermique de l’air
– En raison de la quantité d’air dans ces matériaux
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Conduction en régime permanent
• En a) un réservoir à mur plat contient un réfrigérant tandis que l’air est à température de la pièce:– La température chute de façon linéaire lorsque
l’on se rapproche du mur
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Autre exemple
• Dans le deuxième cas de l’eau bouillante perd de la chaleur au profit de l’air– La température croît de façon linéaire lorsque l’on
se rapproche de la parois
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Équation de Fourier
)()( 212112
TTx
kTT
xx
k
A
q
Taux de transfert de chaleur
Surface de la parois
Conductivité thermique
Positions p/r axe des x
Températures correspondant aux positions x1 et x2
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Si k n’est pas constant
• Nous devons insérer l’équation:– k = a + bT
• Dans l’équation précédente:
)()( 212112
TTx
kTT
xx
k
A
q
mbTak 2
21 TTTm
)()( 2121 TTx
kTT
x
bTa
A
q mm
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Résistance
• Tel que mentionné précédemment:– Le rendement d’un procédé de transport équivaut
à la force conductrice divisée par la résistance
R
T
R
TT
kAx
TTq
2121
/
kA
xR
Exprimé en K/W
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Conduction dans un conduit
• Dans plusieurs situations industrielles:– Conduction à travers un tuyau cylindrique
– La température interne correspond à T1
– La température externe correspond à T2
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Reprendre l’équation de Fourier
dr
dTk
A
q
Adaptation aux longueurs exprimées en rayon
L’aire (surface) en contact dans et à l’extérieur du tuyau correspond à:
rLA 2En combinant et en intégrant entre les deux valeurs de ‘r’:
2
1
2
12
T
T
r
rdTk
r
dr
L
q
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Pour les tuyaux
)()/ln(
221
12
TTrr
Lkq
En multipliant le dénominateur et numérateur par (r2-r1)
R
TT
kArr
TT
rr
TTkAq
lmlm
21
12
21
12
21
/)(
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Où…
R
TT
kArr
TT
rr
TTkAq
lmlm
21
12
21
12
21
/)(
)/ln()2/2ln(
)2()2(
12
12
12
12
AA
AA
LrLr
LrLrAlm
kL
rr
kA
rrR
lm 2
)/ln( 1212
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Problèmes typiques
• Une tubulure cylindre en caoutchouc dur à parois épaisse possédant un rayon interne de 5 mm et un rayon externe de 20 mm est utilisée comme système de refroidissement dans un bain. De l’eau glaciale s’écoule rapidement à l’intérieur et la température du mur interne est de 274.9 K. La température de la parois externe est de 297.1 K. Un total de 14.65 W doivent être enlevés du bain par ce réfrigérant. Quelle longueur de tube est nécessaire?
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Pour une sphère creuse
dr
dTk
A
q
Adaptation aux longueurs exprimées en rayon
L’aire (surface) en contact dans et à l’extérieur du tuyau correspond à:
24 rA En combinant et en intégrant entre les deux valeurs de ‘r’:
2
1
2
124
T
T
r
rdTk
r
drq
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Sphère creuse
21
21
11)(4
rr
TTkq
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Solides en série
• Parois planes en série:– Quand nous avons une succession de matériaux
présents (toujours dans un seul plan)
• Comme– Transfert de chaleur doit être équivalent entre
chaque couche
• On utilise successivement l’équation de Fourier
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Équations
C
C
B
B
A
A
x
TTAk
x
TTAk
x
TTAkq
)()()( 433221
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Isoler ΔT
CC
C
BB
B
AA
A
Ak
xqTT
Ak
xqTT
Ak
xqTT
)(
)(
)(
43
32
21
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Combiner les équations
AkxAkxAkx
TTq
CCBBAA ///41
CBA RRR
TTq
41
On exprime donc le tout en fonction de la perte de température et de la résistance totale de la série de matériaux
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Exemple typique
• Une chambre froide est composée d’une épaisseur interne de 12.7 mm de pin, d’une couche centrale de panneau de liège de 101.6 mm et d’une couche externe de 76.2 mm de béton. En utilisant les valeurs de conductivité respective de (0.151, 0.0433 et 0.762 W/m*K, calculez la perte de chaleur en W pour 1 m2 et la température à l’interface entre le bois et le liège. La température à l’intérieur de la chambre est de 255.4 K tandis qu’elle est de 297.1 à la sortie du béton.
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Conduites multicouches
• Facile d’associer à une situation ou un tuyau sera isolé pour des raisons diverses:
)/()()/()()/()( 34
43
23
32
12
21
ClmCBlmBAlmA Akrr
TT
Akrr
TT
Akrr
TTq
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Ainsi
)/()()/()()/()( 34
43
23
32
12
21
ClmCBlmBAlmA Akrr
TT
Akrr
TT
Akrr
TTq
)/ln( 12
12
AA
AAAAlm
)/ln( 23
23
AA
AAABlm
)/ln(
3
34
4
AA
AAAClm
)/()()/()()/()( 342312
41
ClmCBlmBAlmA AkrrAkrrAkrr
TTq
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Exemple typique• Une conduite à parois épaisse en stainless ayant un k=21.63
W/m*K avec un diamètre intérieur de 0.0254 m et un diamètre extérieur de 0.0508 m est couvert avec une couche de 0.0254 m d’épais d’isolant (k=0.2423 W/m*K). La température interne du conduit est de 811 K et la surface externe de l’isolation est à 310.8 K. Pour un tuyau d’une dimension de 0.305 m, calculez la perte de chaleur et aussi la température à l’interface entre le métal et l’isolant.
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Transfert de chaleur avec fluides
Le liquide a condenser entre par la partie F et sort par la partie G, la partie K sert à ventiler la partie de vapeur qui ne pourra être condensée. Le liquide qui doit être chauffé entrera par la parie H, passera à travers des plaques perforées composées de différents tubes (B2 vers B1) et sortira à la partie J. Le liquide et la vapeur ne seront en contact que par les tubes A.
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Fonctionnement
• Si la vapeur entrante:– Un seul composant– N’est pas ultra-chaude
• Si le condensat:– N’est pas super-refroidit sous sa température de
condensation
• La température sur la parois du condensateur– Sera constante sur tout le caisson
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Schématiquement
Si on porte la température en fonction de la longueur du condensateur Tca est la température du fluide à l’entrée et Tcb est la température du fluide à la sortie, à une distance L de l’entrée on définit la température Tc et la différence de température entre la condensation de la vapeur et celle du fluide dont la température croît porte le nom de ΔT. La différence entre la température d’entrée du fluide et la température de condensation de la vapeur est ΔT1 et entre la température de condensation de la vapeur et celle du fluide à la sortie du condenseur est ΔT2.
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Aussi• Les deux différences de températures:
– ΔT1 et ΔT2 porte le nom d’approches
• Le changement de température du fluide:– Tcb-Tca porte le nom de domaine de température
• Pour l’instant nous posons:– ΔT symbolise une différence de température
• Entre deux objets ou deux fluides
• Ne symbolise pas la différence de température au sein du même fluide
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Échangeur double parois
Un autre exemple commun d’échangeur de chaleur qui fonctionne un peu différemment du procédé mentionné précédemment. Nous avons l’équivalent d’un tuyau qui passe dans un autre mais les fluides ne sont pas en contact. Habituellement le fluide de parois sert à refroidir le fluide au centre. Ils ne sont encore une fois en contact que par la parois du tube les séparant.
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Écoulement en parallèle
•Se produit dans une situation où l’écoulement des deux fluides se fait dans la même direction•La température d’entrée pour le fluide chaud est de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca
•La température de sortie pour le fluide chaud est de Thb et celle du fluide froid est de Tcb
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Écoulement contre-courant
•Se produit dans une situation où l’écoulement des deux fluides se fait dans une direction inverse•La température d’entrée pour le fluide chaud est de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca
•La température de sortie pour le fluide chaud est de Thb et celle du fluide froid est de Tcb
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Balance d’énergie
• Nous définissons la balance d’énergie dans les échangeurs de chaleur de la façon suivante:
qHHm ab
)(
Écoulement massique (mass flow)
Enthalpie par unité de masse
Taux de transfert de chaleur dans l’écoulement
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Spécifications
• On peut cibler des valeurs de q:– Propre au fluide chaud– Propre au fluide froid
hahbhh qHHm
)(cacbcc qHHm
)(
hc qq
qHHmHHm acbccbhahh
)()(
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On rapporte en cp
• Valeur d’enthalpie peuvent être exprimées• En valeur de chaleur spécifique (cp)
qTTcmTTcm acbcpccbhahphh
)()(
Chaleur spécifique (fluide chaud) Chaleur spécifique (fluide chaud)
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Enthalpie dans le condenseur
• Pour un condenseur:
• Pour avoir cette équation:– On assume que le fluide chaud quittera le condensateur à la
température de condensation Th
qTTcmm acbcpcch
)(
Taux massique de condensation
Chaleur de vaporisation latente de la vapeur
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Toutefois…
• Il arrive peu souvent que le fluide chaud:– Ressorte à la température de vaporisation– Souvent en dessous (il condense)– Incidemment il faut ajuster l’équation
qTTcmTTcm acbcpcchbhphh
)()(
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Coefficient de transfert de chaleur généralisé
• Dans un échangeur de chaleur:– ΔT est définit comme Th-Tc
• Toutefois:– Température varie au long de l’échangeur
• Et incidemment:– La longueur de l’échangeur aura de l’importance
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Coefficient U
)( ch TTUTUdA
dq
Taux de transfert de chaleur dans l’écoulement
Surface de l’échangeur
Coefficient de transfert de chaleur généralisé local
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
U• Facteur de proportionnalité:
– Entre dq/dA et ΔT
• Porte le nom:
– Coefficient de transfert de chaleur généralisé local• Si on considère que A est la surface externe du tube échangeur de
chaleur:– A = A0
– U = U0
• Si on considère que A est la surface interne du tube échangeur de chaleur:– A = Ai
– U = Ui
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Et donc…
• Ou ΔT et q sont indépendant du choix de surface
• A et D sont reliés logiquement
o
i
o
i
i
o
D
D
dA
dA
U
U
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
• Pour pouvoir appliquer l’équation suivante:
• La surface doit être connue• L’équation doit être intégrée• Pour y arriver, nous assumons:
1. Le coefficient U est constant2. La chaleur spécifique du fluide chaud et froid sont constants3. L’échange de chaleur avec l’air ambiant est négligeable4. L’écoulement est en régime stable et est soit parallèle ou contre-
courant
)( ch TTUTUdA
dq
LT
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Aussi
• Parmi les hypothèses précédentes:– Le plus questionnable est le U constant (1)
• Le coefficient varie en fonction de T• Mais le changement:
– Graduel
• Intervalles de température modérés• Donc pour un facteur U constant
– L’erreur est mince
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Aussi
• Les assomptions 2 et 4 impliquent que lorsque Tc et Th sont portés sur un graphique en fonction de q, des lignes droites seront obtenues
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Ainsi
Tq
TT
dq
Td 12
Approches
Taux de transfert de chaleur dans tout l’échangeur
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Remplacer dq
Tq
TT
dq
Td 12
TdAUdq
Tq
TT
TdAU
Td 12
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
En intégrant
• Si on intègre par la suite entre ΔT1 et ΔT2 et entre une surface nulle jusqu’à la valeur de AT qui plus les la surface totale du transfert de chaleur nous obtenons:
TT
A
T
T
T
T
T
Aq
TTU
T
T
dAq
TTU
T
Td
dAq
TTU
T
Td
q
TT
TdAU
Td
T
)(ln
)(
)(
12
1
2
0
12
12
12
2
1
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Isoler qT
• De l’équation précédente:
• On peut isoler la valeur de qT
TT
Aq
TTU
T
T )(ln 12
1
2
LTTT TUAA
TTTTU
q
1
2
12
ln
)(
1
2
12
ln
)(
TTTT
TL
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
LMTD
• Différence de température moyenne logarithmique
• Quand ΔT1 et ΔT2 sont presque égaux leur moyenne arithmétique peut aussi être employée
• Mais la LMTD plus vaste
LT
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Domaine d’application
• Si on parle d’une situation ou un des deux fluides est à température constante, cette équation s’applique aux écoulements à contre-courant, courant parallèle
1
2
12
ln
)(
TTTT
TL
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Domaine d’application
• Si on parle d’une situation où les deux fluides sont à des températures variantes et à contre-courant, l’équation peut être remodelée comme ci-haut.
2
1
21
ln
)(
TTTT
TL
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Si U varie régulièrement
• Si le coefficient de transfert de chaleur généralisé local varie régulièrement on utilise l’équation suivante:
• Pour y arriver on assume que U varie linéairement avec la tombée de température sur l’ensemble de la surface chauffante.
2112
2112
/ln TUTU
TUTUAq TT
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LMTD non valide
• Dans des situations ou ΔT1 et ΔT2 ne varient pas linéairement par rapport à q– Refroidir et condenser de la vapeur à haute
température
– Refroidir une réaction exothermique
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Coefficients individuels de transfert de chaleur
• Le coefficient de tout le système dépend:– Propriétés physiques du fluide– Propriétés de la parois solide de l’échangeur– L’écoulement– Les dimensions de l’échangeur
• Le moyen le plus logique de gérer tout le système:– Cumuler les résistances individuelles
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Exemple
• Considérons le coefficient à un endroit spécifique dans l’échangeur ci-haut
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Assumons maintenant
• Fluide chaud à l’intérieur• Fluide froid à l’extérieur• Nombre de Reynold des deux fluides:
– Suffisamment grand – Assure un écoulement turbulent
• Les surfaces de tube:– Sont propres
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Coefficient de transfert
• Le coefficient de transfert de chaleur du fluide chaud peut ainsi être défini
• Le terme sera négatif en raison de la perte de chaleur
whh TT
dAdqh
/
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Coefficient de transfert
• Le coefficient de transfert de chaleur du fluide froid peut ainsi être défini
• Le terme sera positif en raison de l’inversion volontaire de Twc et Tc
cwc TT
dAdqh
/
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Assumons aussi
• Très souvent Twc-Twh:– Près de 0
• On utilise une valeur généralisée correspondant à la température à la parois:– Tw
• La réciproque de ces coefficients:– 1/hh et 1/hc
– Sont les résistances thermiques
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
On ajoute l’effet du solide
• Pour une parois:– D’épaisseur xw
– Conductivité thermique
• La résistance thermique devient:– xw/k
• Si on ajuste aux changements de surface• Les résistances individuelles deviennent
généralisées: 1/U
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
On assume aussi
• Les transfert de chaleur près de la parois:– Se produisent seulement par conduction
• On peut donc se référer:
• L’utilisation du w souligne le fait:– Le gradient doit être déterminé à la parois
wdx
dTk
dA
dq
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
En éliminant dq/dA
wdx
dTk
dA
dq
w
w
w
w
TT
dxdTk
TT
dxdT
k
h
)/(
cwc TT
dAdqh
/
Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)
Adaptation ‘libre’
• T est la température moyenne du fluide• Th équivaut à T pour le côté chaud
• Tc équivaut à T pour le côté froid
• Inversion de Tw et T du côté froid pour signifier le gain de chaleur
w
w
TT
dxdTkh
)/(
TT
dxdTkh
w
w
)/(
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Équation sans dimension
• On a vu le Re• Maintenant on verra le Nu
– Le nombre de Nusselt
• En modifiant le h:– On le multiplie par une distance:
• Dans le cas d’un tube par D
– On le divise par la conductivité thermique
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Nombre de Nusselt
• Si on parle de la partie froide:– La partie du bas est remplacée par Tw-T
w
w
TT
dydTD
k
hDNu
)/(
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Explications du Nu
• Expliquons en fonction de l’équation• Dans la partie de droite:
– (dT/dy)w : Gradient de température à la parois– T-Tw/D : Gradient de température à travers le
conduit au complet
• Nu: ratio de ces deux gradients
w
w
TT
dydTD
k
hDNu
)/(
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Sommairement
whh
ii TT
dAdqh
)/(
cwc
oo TT
dAdqh
)/(
Coefficient de transfert de chaleur externe
Coefficient de transfert de chaleur interne
Aire externe du tube
Aire externe du tube
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Coefficient sommatif
• La question est à ce point:– Comment aller chercher un coefficient sommatif
de tout l’échangeur des chaleur?
• La réponse:– À partir des coefficients individuels– Combinée à la parois de la conduite
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Pour la parois
w
wcwhm
L x
TTk
Ad
dq )(
Différence de température à la parois
Épaisseur de la parois du tube
Conductivité thermique de la parois
Flux local de chaleur basé sur la moyenne logarithmique de la surface interne et
externe de la conduite
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Combinons
cwc
oo TT
dAdqh
)/(
whh
ii TT
dAdqh
)/(
w
wcwhm
L x
TTk
Ad
dq )(
o
ocwc h
dAdqTT
)/(
i
iwhh h
dAdqTT
)/(
Lm
wwcwh
Adk
dqxTT )(
TTTTTTTTT chcwcwcwhwhh
ooLm
w
iiooLm
w
ii hdAAdk
x
hdAdq
hdA
dq
Adk
dqx
hdA
dqT
11
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On solutionne pour dAo
• Le choix de dAo est arbitraire (nous aurions aussi bien pu prendre dAi) mais nous permettra d’aller plus loin car:
oL
o
m
w
i
o
i
ch
o
hAd
dAkx
dAdA
h
TT
dA
dq
11
i
o
i
o
D
D
dA
dA
L
o
L
o
D
D
Ad
dA