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OPERADORES TOPOLOGICOS Y RETICULOS
Katherinne Rocıo Paez Canon
Trabajo de Grado
Director:
Carlos Orlando Ochoa Castillo
universidad distrital francisco jose de caldas
facultad de ciencias y educacion
proyecto curricular de matematicas
2016
OPERADORES TOPOLOGICOS Y RETICULOS
Optando por el tıtulo de matematica
Katherinne Rocıo Paez Canon
universidad distrital francisco jose de caldas
facultad de ciencias y educacion
proyecto curricular de matematicas
2016
Agradecimientos
Quiero agradecer a todos los profesores que ayudaron en mi formacion academica en
el transcurso de la carrera, en especial a mi director Carlos Orlando Ochoa bajo cuya
supervision escogı este tema y al profesor Carlos Andres Giraldo por motivarme a
estudiar Topologia.
Gracias a todos mis companeros y amigos por las conversaciones que tuvimos tanto
personales como de matematicas de las cuales he sacado mucho provecho, aprecio
mucho sus ganas de ensenarme algunas cosas de la vida.
Y aun mas importante, le doy gracias a mi madre, a mi padre y a mi pareja por ser
mis consejeros en los momentos mas difıciles de temor y duda, en cuyas palabras de
aliento y amor encontre las fuerzas para seguir adelante a lo largo de los anos.
3
Indice general
1. Introduccion 6
1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Preliminares 10
2.1. Conjuntos Ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Retıculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Funciones adjuntas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Topologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Constructos 23
4. Operadores Topologicos 28
4.1. Funcion de interior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2. Funcion de adherencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Operadores de Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Algebras booleanas 37
6. Conclusiones 49
Bibliografıa 50
4
Indice de figuras
4.1. Conjunto Ordenado O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Operadores de Kuratowski aplicados al conjunto A. . . . . . . . . . . 36
5.1. Subalgebra de Boole generada por {i, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Subalgebra de Boole generada por {a, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3. Algebra de Boole generada por {i, a, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4. Operadores topologicos aplicados al conjunto A. . . . . . . . . . . . . 48
5
Capıtulo 1
Introduccion
Una caracterıstica de las matematicas es la conexion que tienen diferentes ramas, por
ejemplo, en topologıa la coleccion de los conjuntos abiertos de un espacio topologico
forma un retıculo completo, en algebra todos los retıculos son estructuras algebraicas
y se tienen funciones tales que preservan esta estructura, esta clase de objetos y
morfismos forman una Categorıa concreta, esto vincula de cierto modo la topologıa
con el algebra.
Este trabajo pretende mostrar una conexion mas entre algebra y topologıa, tomando
como base fundamental la teorıa de retıculos y los operadores de Kuratowski, ve-
rificando que los operadores de interior, adherencia y complemento denotados por
{i, a, c} pueden generar un algebra de Boole de 16 elementos.
En principio se revisan todas las nociones esenciales sobre estructuras ordenadas,
donde es muy importante saber la correspondencia que existe entre dos conjuntos
ordenados para esto es necesario el concepto de par adjunto que consiste en un par
de funciones adjuntas que preservan el orden y brindan informacion acerca de estos
conjuntos.
Las funciones adjuntas a la funcion de inclusion permiten caracterizar la coleccion de
abiertos y cerrados, como subobjetos adjuntos y adjutanbles del retıculo (P(X),⊆)
en el constructo de los retıculos acotados Ret•, de acuerdo a esto en el cuarto capıtulo
resultan caracterizadas las funciones de interior como las funciones cuya adjunta es
6
Capıtulo 1. Introduccion 7
la funcion de inclusion y las funciones de adherencia como las funciones adjuntas de
la inclusion.
Uno de los primeros textos de K. Kuratowski [9] define las propiedades que debe cum-
plir un operador de adherencia o clausura y ademas plantea que para un subconjunto
M de un espacio X pueden construirse, a lo mas, catorce conjuntos diferentes de M
al componer el complemento y la adherencia del conjunto varias veces, en el cuarto
capıtulo se define lo que son los operadores topologicos de adherencia e interior, y
por ultimo en le quinto capıtulo se presenta otra perspectiva del problema de Ku-
ratowski, mirando a la adherencia y el interior como operadores tales que pueden
generan nuevos operadores topologicos dadas las operaciones Booleanas de union,
interseccion y complemento.
Capıtulo 1. Introduccion 8
1.1. Planteamiento del problema
En el ano 1920, Kazimierz Kuratowski [9] afirma que a partir de un subconjunto de
un espacio topologico se obtienen a lo sumo 14 distintos conjuntos resultantes de la
aplicacion del complemento y la adherencia, esta idea fue extendida al concepto de
operadores topologicos tal como aparece en [7]. Es comun hallar en todo libro de
topologıa los operadores de adherencia o clausura, interior, frontera, borde, coborde
y exterior; en este trabajo se pretende obtener todos los operadores que se forman a
partir de la union, interseccion y complemento de los operadores interior y adheren-
cia, aquellos operadores que generen una topologıa reciben el nombre de operadores
topologicos.
Es ası que se atiende a la pregunta,
¿Cuales son los operadores topologicos generados por los operadores de interior i,
adherencia a y complemento c, y que estructura subyace en ellos?
1.2. Justificacion
En el curso de topologıa general se estudian los textos de James Munkres [10], Wi-
lliam Pervin [11], Stephen Willard [16], John Kelley [8] entre otros, en estos libros
solo se presentan los conceptos topologicos de adherencia, interior, borde y frontera
por ser los mas interesantes.
De acuerdo con el artıculo de J. Gardner y M.Jackson [7] estos conceptos topologicos
pueden ser considerados como operadores, ademas en relacion con los 14 conjuntos de
K. Kuratowski se demuestra que existen 14 operadores distintos al componer varias
veces los operadores de complemento y adherencia, teniendo en cuenta esto, si defi-
nimos dos operaciones ademas de la composicion es posible generar otros operadores
topologicos. Pense que esto motiva una busqueda y una precision.
Me propongo estudiar estos operadores dada la perspectiva de la teorıa de retıculo.
Capıtulo 1. Introduccion 9
1.3. Objetivos
Objetivos generales
1. Determinar y analizar las propiedades de los operadores topologicos generados
a partir de {i, a, c}.
Objetivos especıficos
1. Estudiar los operadores de adherencia e interior desde la perspectiva de las
funciones adjuntas.
2. Evocar y considerar los operadores topologicos estudiados en un curso usual
de topologıa general.
3. Determinar las propiedades y relaciones de los operadores topologicos.
1.4. Metodologıa
La metodologıa que se va a implementar es indagar de diferentes fuentes, con el
proposito de verificar lo desarrollado en el trabajo [14] del profesor Manuel Suarez el
cual es la base de mi tesis sobre operadores topologicos y su relacion con las algebras
booleanas. Ademas, se tendran en cuenta las siguientes actividades para cumplir con
los objetivos propuestos:
1. Consultar las fuentes primarias del libro para corroborar informacion y definir
mas claramente lo que este necesita e indagar otras fuentes que permitan afinar
la tematica.
2. Analizar la informacion adquirida, y reconstruir la prueba de los teoremas
pertinentes.
3. Dar ejemplos para entender mejor la tematica presentada.
Capıtulo 2
Preliminares
En este capıtulo se definen algunos conceptos basicos sobre conjuntos ordenados,
retıculos, algebras booleanas y las funciones que preservan su estructura. En la sec-
cion 2.3. se establece el significado de las funciones adjuntas, las cuales son una gran
herramienta para determinar ciertos operadores topologicos. Algunos conceptos to-
pologicos se presenta con la intencion de dar claridad a los conceptos desarrollados
en los siguientes capıtulos.
2.1. Conjuntos Ordenados.
Un conjunto parcialmente ordenado es un par (X,≤), X un conjunto no vacıo y ≤es una relacion binaria sobre X que verifica:
1. (Reflexiva) (Reflexiva) x ≤ x , para todo x ∈ X,
2. (Antisimetrica) Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y, para todo x, y ∈ X,
3. (Transitiva) Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z, para todo x, y, z ∈ X.
Se dice que ≤ es una relacion de orden. Si ademas ≤ satisface x ≤ y o y ≤ x, para
todo x, y ∈ X es una relacion de orden total y (X,≤) es un conjunto totalmente
ordenado.
En particular para cada subconjunto Y de X, Y hereda el orden inducido por X, es
decir, para todo x, y ∈ Y se tiene que x ≤Y y si x ≤ y vistos como elementos de X,
dando a lugar a un nuevo conjunto ordenado que se denotara por (Y,≤).
10
Capıtulo 2. Preliminares 11
Ejemplo 2.1.1. Dado un conjunto X, se denota por P(X) a la coleccion de todos los
subconjuntos de X, sea ⊆ la relacion de inclusion entonces (P(X),⊆) es un conjunto
parcialmente ordenado.
Ejemplo 2.1.2. Sea F(P(X),P(X)) el conjunto de todos las funciones de P(X) en
sı mismo, con la relacion de orden definida por f ≤ g si y solo si f(E) ⊆ g(E) para
todo E ∈ P(X) forman un conjunto parcialmente ordenado.
Definicion 2.1.1. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y Y ⊆ X
1. Un elemento x ∈ X se dice es cota superior de Y si y ≤ x para todo y ∈ Y .
De manera dual, un elemento x ∈ X se dice es cota inferior de Y si x ≤ y para
todo y ∈ Y .
2. Un elemento x ∈ X se dice es supremo de Y si es la menor de las cotas
superiores de Y . De manera dual, un elemento x ∈ X se dice es ınfimo de Y si
es la mayor de las cotas inferiores de Y .
Definicion 2.1.2. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y Y ⊆ X, un
elemento x es maximo de Y , si x ∈ Y y es una cota superior de Y . Un elemento x
es mınimo del conjunto Y , si x ∈ Y y es una cota inferior de Y .
Cabe resaltar que no todo subconjunto de un conjunto ordenado tiene maximo y
mınimo, y si existen, estos coinciden con el supremo e ınfimo del conjunto.
Definicion 2.1.3. Sean (X,≤) y (Y,≤) dos conjuntos parcialmente ordenados. Una
funcion f : X −→ Y se dice que preserva el orden o es un morfismo de conjuntos
ordenados si para cada par de elementos x, x′
de X se tiene que:
x ≤ x′
implica f(x) ≤ f(x′).
Segun la definicion anterior es claro que toda funcion que preserva el orden es una
funcion creciente.
Ejemplo 2.1.3. Si Y ⊆ X, la funcion de inclusion ι : Y −→ X tal que ι(y) = y es
un morfismo de conjuntos ordenados donde Y tiene el orden inducido por X.
Ejemplo 2.1.4. SiX es un conjunto no vacıo y A ⊆ X entonces fA : P(X) −→ P(X)
y hA : P(X) −→ P(X) definidas ası fA(M) = M∩A y hA(M) = M∪A son morfismos
de conjuntos ordenados.
Capıtulo 2. Preliminares 12
2.2. Retıculos.
Definicion 2.2.1. Un retıculo es un conjunto parcialmente ordenado (X,≤) tal que
para todo par de elementos x, y de X, el conjunto {x, y} tiene un supremo x ∨ y y
un ınfimo x ∧ y.
Ası quedan definidas dos operaciones binarias ∨ y ∧, de la siguiente forma,
x ∨ y = sup{x, y},x ∧ y = inf{x, y}.
De acuerdo a la definicion de anterior, en un retıculo para cada par de elementos x, y
existen x∨y y x∧y , por induccion matematica se sigue que todo subconjunto finito
{x1, x2, . . . , xn} no vacıo tiene supremo x1 ∨ x2 ∨ . . .∨ xn e ınfimo x1 ∧ x2 ∧ . . .∧ xn.
En ocasiones se tiene la existencia del extremo superior y el extremo inferior para
un subconjunto A de X, cuando esto sucede se denotan como supA e ınf A respec-
tivamente. Si ademas supA e ınf A existen para todo subconjunto no vacıo A de X
se dice que el retıculo (X,≤) es completo.
Definicion 2.2.2. Un subretıculo de un retıculo (X,≤) es un subconjunto Y de X,
tal que para cada y1 , y2 en Y se tiene que y1 ∨ y2 ∈ Y y y1 ∧ y2 ∈ Y .
La siguiente proposicion presenta las propiedades algebraicas que tienen las opera-
ciones ∧ y ∨, su demostracion puede verse en [3, pag. 8].
Proposicion 2.2.1. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado, las operacio-
nes ∧ y ∨ satisfacen las siguientes leyes, cada vez que las expresiones mencionadas
existan:
R1 (Idempotencia) x ∨ x = x, x ∧ x = x,
R2 (Conmutativa) x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x,
R3 (Asociativa) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z,
R4 (Absorcion) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x.
Ademas, x ≤ y es equivalente a cada una de las condiciones
Capıtulo 2. Preliminares 13
x ∨ y = y y x ∧ y = x.
En este contexto, un retıculo (X,∨,∧) es una estructura algebraica donde X es un
conjunto con dos operaciones binarias ∨ y ∧ tal que satisfacen las propiedades de
(R1) a (R4), ademas es posible recuperar el orden sobre X ya que x ∨ y = y es
equivalente a x ≤ y.
Definicion 2.2.3. Un retıculo (X,≤) se dice que es distributivo, si las operaciones
∨ y ∧ satisfacen
R5 (Distributiva) x∨ (y∧ z) = (x∨ y)∧ (x∨ z), x∧ (y∨ z) = (x∧ y)∨ (x∧ z),
para todo x, y, z en X.
Un retıculo (X,≤) es acotado, si existe dos elementos > y ⊥ en X tales que para todo
x ∈ X se cumple ⊥ ≤ x ≤ >, los elementos > y ⊥ se llaman las cotas universales
de X. En consecuencia, para todo elemento x de X se cumplen las identidades,
R6 (Identidades) x ∨ > = >, x ∧ ⊥ = ⊥.
Ahora bien, para un retıculo (X,≤) con cotas universales > y ⊥ se tiene que un
subretıculo acotado, es un subretıculo (Y,≤) tal que > y ⊥ estan en Y .
Definicion 2.2.4. Sea (X,≤) un retıculo acotado. Para cualesquier x, y en X se
dice que y es un complemento de x si
R7 (Complemento) x ∧ y = ⊥, x ∨ y = >.
Teorema 2.2.1. En un retıculo distributivo y acotado, el complemento de un ele-
mento x si existe es unico.
Demostracion. Sea (X,≤) un retıculo distributivo y acotado, supongamos que x′
y
x′′
son complementos de x entonces
x′ ∨ x = > y x
′′ ∨ x = >,
x′ ∧ x = ⊥ y x
′′ ∧ x = ⊥.
De aquı resulta,
x′ ∨ x = x
′′ ∨ x y x′ ∧ x = x
′′ ∧ x.
Capıtulo 2. Preliminares 14
Por las propiedades (R2), (R4) y (R5)
x′= x
′ ∨ (x′ ∧ x) = x
′ ∨ (x′′ ∧ x) = (x
′ ∨ x′′) ∧ (x
′ ∨ x)
= (x′ ∨ x′′
) ∧ (x′′ ∨ x) = x
′′ ∨ (x′ ∧ x) = x
′′ ∨ (x′′ ∧ x) = x
′′.
Por lo tanto, x′= x
′′y x tiene un unico complemento. [3, pag. 12]
Definicion 2.2.5. Un retıculo complementado, es un retıculo acotado en el cual
todo elemento x tiene al menos un complemento x′.
Como consecuencia del Teorema 2.2.1 para un retıculo (X,≤) que es acotado, dis-
tributivo y complementado, todo elemento x tiene un unico complemento x′
(vease
en [3, pag. 12]).
Definicion 2.2.6. Un algebra de Boole B es un retıculo acotado, distributivo y
complementado.
El algebra de Boole o algebra Booleana B=(X,∨,∧, ′) es una estructura que cons-
ta de un conjunto X no vacıo en el cual se define una operacion unaria ′ y dos
operaciones binarias ∨ y ∧ tales que satisfacen las identidades (R1)-(R7).
Ejemplo 2.2.1. Sea X un conjunto, para P(X) las operaciones ∧ y ∨ son la union
∪ e interseccion ∩ de conjuntos, estas operaciones cumplen con (R1)-(R7) donde el
complemento de un elemento A en P(X) es el conjunto Ac = {x ∈ X : x /∈ A}, las
cotas universales de P(X) son X y ∅. Por lo tanto (P(X),∪,∩,c) es un algebra de
Boole.
Ejemplo 2.2.2. Dado un conjunto X no vacıo, en el conjunto F(P(X),P(X)) se
define el supremo y el ınfimo, como sigue:
(f ∨ g)(M) = f(M) ∪ g(M),
(f ∧ g)(M) = f(M) ∩ g(M),
para todo M ∈ P(X). Sea c ∈ F(P(X),P(X)) una funcion que a todo subconjunto
conjunto M le asigna su complemento M c, denominada funcion complemento. Ası,
el complemento de un elemento f es la composicion de c con f denotado por cf , esto
quiere decir, cf(M) = (f(M))c para todo M ∈ P(X).
Las cotas universales son las funciones:
Capıtulo 2. Preliminares 15
C∅(M) = ∅, es la funcion constante de valor ∅,
CX(M) = X, es la funcion constante de valor X.
Como las operaciones ∪ y ∩ cumplen con las propiedades (R1)-(R7) de igual manera
lo hacen ∨ y ∧, entonces (F(P(X),P(X)),∨,∧, c) es un algebra de Boole.
Partiendo de que cualquier algebra de Boole satisface las siete leyes anteriores, se
pueden deducir y demostrar las leyes de De Morgan, la ley de involucion y otras mas
que se presentan en [3, pag. 17].
Teorema 2.2.2. Sea B un algebra de Boole, entonces para todo x, y ∈ B
1. x ∨ ⊥ = x, x ∧ > = x,
2. (x′)′= x,
3. (x ∨ y)′= x
′ ∧ y′, (x ∧ y)
′= x
′ ∨ y′.
Todo subconjunto U de una algebra Booleana B, tal que bajo las operaciones de B
es en sı mismo un algebra Booleana, es llamado una subalgebra de Boole [3, pag.
18].
Definicion 2.2.7. Un subconjunto no vacıo U de un algebra Booleana B es una
subalgebra de Boole siempre que las siguientes condiciones se satisfacen:
1. Si a, b ∈ U, entonces a ∨ b ∈ U,
2. Si a, b ∈ U, entonces a ∧ b ∈ U,
3. Si a ∈ U, entonces a′ ∈ U.
Ejemplo 2.2.3. Toda algebra de boole B tiene como subalgebra el subconjunto
{>,⊥} que consiste en las cotas universales de B, puesto que > es el complemento
de ⊥ y viceversa, ademas al aplicar las operaciones ∨ , ∧ a los elementos > y ⊥resulta:
> ∨⊥ = >, > ∧⊥ = ⊥.
Capıtulo 2. Preliminares 16
Ejemplo 2.2.4. Sea A un subconjunto no va’cio de X, entonces {∅, A,Ac, X} es
una subalgebra del algebra Booleana (P(X),∪,∩,c) debido a que es cerrada bajo las
operaciones de union, interseccion y complemento.
Definicion 2.2.8. Sean (X,≤) y (Y,≤) dos retıculos. Un morfismo de retıculos es
una funcion de conjuntos ordenados f : X −→ Y tal que para cada par de elementos
x e y de X, se satisface,
f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y),
f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y).
Note que todo morfismo de retıculos entreX e Y resulta ser un morfismo de conjuntos
ordenados, pero la recıproca no siempre se tiene.
2.3. Funciones adjuntas.
El concepto de par adjunto da a lugar a dos funciones que son adjuntas sobre dos
conjuntos parcialmente ordenados distintos, tales que preservan el orden. El par ad-
junto tambien es conocido por el nombre de conexion de Galois gracias al matematico
frances Evariste Galois, esta terminologıa provino de la correspondencia que existe
entre las extensiones de Galois de un cuerpo y los subgrupos del grupo de Galois de
dicha extension.
Definicion 2.3.1. Dados (X,≤), (Y,≤) dos conjuntos ordenados y un par de fun-
ciones f : X −→ Y , g : Y −→ X se dice que 〈f, g〉 es un par adjunto si para todo
x ∈ X y todo y ∈ Y , se cumple que:
g(y) ≤ x si y solo si y ≤ f(x).
En tal caso, se dice que g es adjunta de f o que f admite adjunta, la cual es g.
Sin embargo, G. Birkhoff [3, pag. 124] establece una definicion alternativa de es-
te concepto, la equivalencia de estas dos definiciones se demuestra en el siguiente
teorema.
Proposicion 2.3.1. Dados (X,≤), (Y,≤) dos conjuntos ordenados y un par de
funciones f : X −→ Y , g : Y −→ X se dice que 〈f, g〉 es un par adjunto si y solo si
se tiene:
Capıtulo 2. Preliminares 17
1. Para todo x ∈ X, g(f(x)) ≤ x,
2. Para todo y ∈ Y , y ≤ f(g(y)),
3. Las funciones f y g son morfismos de conjuntos ordenados.
Demostracion. Suponga que 〈f, g〉 es un par adjunto, para todo x ∈ X, f(x) ≤ f(x)
como g es adjunta se tiene que g(f(x)) ≤ x. Por otra parte, para todo y ∈ Y ,
g(y) ≤ g(y) como f admite adjunta entonces y ≤ f(g(y)).
Ahora si x1 ≤ x2 para x1 y x2 en X, por el punto 1. g(f(x1)) ≤ x1 ≤ x2 lo cual
implica f(x1) ≤ f(x2) ası f es un morfismo. Ademas si y1 ≤ y2 para y1 y y2 en Y ,
por el punto 2. y1 ≤ y2 ≤ f(g(y2)) lo que implica g(y1) ≤ g(y2). Por tanto f y g son
morfismos de conjuntos ordenados.
Por ultimo, si se tiene que f y g satisfacen las tres condiciones entonces 〈f, g〉 es un
par adjunto. En efecto, si g(y) ≤ x por 2. y 3. se tiene que y ≤ f(g(y)) ≤ f(x),
ası y ≤ f(x). Ahora si y ≤ f(x), por 1. y 3. g(y) ≤ g(f(x)) ≤ x, luego g(y) ≤ x.
Al tener una funcion entre conjuntos ordenados esta admite adjunta o es adjunta de
a lo sumo una funcion, lo que indica que la adjuncion es unica.
Teorema 2.3.1. Si 〈f, g〉 y 〈f, h〉 son pares adjuntos entonces g = h. En consecuen-
cia, si 〈f, g〉 y 〈l, g〉 son pares adjuntos entonces f = l.
Demostracion. Suponga que 〈f, g〉 y 〈f, h〉 son pares adjuntos, como g es adjunta
de f , para todo y ∈ Y se tiene que y ≤ f(g(y)) y por la adjuncion del par 〈f, h〉,y ≤ f(g(y)) es equivalente a h(y) ≤ g(y). Por otra parte, como h es adjunta de f
implica que y ≤ f(h(y)) y por la adjuncion de 〈f, g〉 esto es equivalente a g(y) ≤ h(y).
De estas dos desigualdades se deduce que h(y) = g(y) para todo y en Y .
Ahora suponga que 〈f, g〉 y 〈l, g〉 son pares adjuntos, f admite adjunta a g ası para
todo x ∈ X se tiene que g(f(x)) ≤ x, por la adjuncion del par 〈l, g〉, f(x) ≤ l(x).
Del igual forma, l admite adjunta a g lo que implica l(f(x)) ≤ x es equivalente
a l(x) ≤ f(x) por la adjuncion de 〈f, g〉. De estas dos desigualdades se obtiene la
igualdad f(x) = l(x) para todo x en X. [12, pag. 11]
Otra propiedad que se cumple es que a partir de una de las adjuntas se puede
recuperar la otra, esto quiere decir que existe una dependencia reciproca entre las
funciones adjuntas.
Capıtulo 2. Preliminares 18
Teorema 2.3.2. Sean f y g morfismos de conjuntos ordenados.
1. La funcion f : X −→ Y admite adjunta si y solo si para cada y ∈ Y , el
conjunto {x ∈ X : y ≤ f(x)} tiene mınimo.
2. La funcion g : Y −→ X es adjunta si y solo si para cada x ∈ X, el conjunto
{y ∈ Y : g(y) ≤ x} tiene maximo.
Demostracion. 1. Suponga que f admite como adjunta a una funcion g entonces
{x ∈ X : y ≤ f(x)} = {x ∈ X : g(y) ≤ x}, como g(y) esta en X para todo
y ∈ Y , g(y) es el mınimo del conjunto {x ∈ X : y ≤ f(x)}.Por otro lado, si para todo y ∈ Y el conjunto {x ∈ X : y ≤ f(x)} tiene mınimo,
la funcion g : Y −→ X definida por
g(y) = mın{x ∈ X : y ≤ f(x)},
es a la cual f admite como adjunta. En efecto, si y ≤ f(x) para todo y ∈ Y y
x ∈ X entonces x ∈ {x ∈ X : y ≤ f(x)} y por definicion de mınimo g(y) ≤ x.
Ahora suponga que g(y) ≤ x entonces y ≤ f(g(y)) ya que g(y) ∈ {x ∈ X : y ≤f(x)}, como f es un morfismo se tiene que y ≤ f(g(y)) ≤ f(x). Por lo tanto,
〈f, g〉 es un par adjunto.
2. Suponga que g es adjunta de una funcion f entonces para todo x ∈ X el
conjunto {y ∈ Y : g(y) ≤ x} = {y ∈ Y : y ≤ f(x)}, como f(x) esta en Y para
todo x ∈ X, f(x) es el maximo del conjunto {y ∈ Y : g(y) ≤ x}.Por otro lado, suponga ahora que para todo x ∈ X existe el maximo del
conjunto {y ∈ Y : g(y) ≤ x} entonces g es adjunta de la funcion f : X −→ Y
definida por
f(x) = max{y ∈ Y : g(y) ≤ x}.
Veamos que g(y) ≤ x si solo si y ≤ f(x), la primera implicacion para todo
y ∈ Y y para todo x ∈ X tal que g(y) ≤ x se tiene y ∈ {y ∈ Y : g(y) ≤ x}y por definicion de maximo y ≤ f(x). De forma reciproca suponga y ≤ f(x),
como f(x) ∈ {y ∈ Y : g(y) ≤ x} entonces y ≤ f(g(y)), por g ser un morfismo
g(y) ≤ g(f(x)) ≤ x. Por lo tanto, 〈f, g〉 es un par adjunto.
Capıtulo 2. Preliminares 19
Definicion 2.3.2. Sean (X,≤) y (Y,≤) dos conjuntos ordenados y f : X −→ Y
una funcion entre ellos.
1. Se dice que f conmuta con extremos superiores si para cualquier subconjunto
U de X que admita extremo superior en X, el conjunto f(U) = {f(x) : x ∈ U}admite extremo superior en Y y ademas,
sup f(U) = f(supU).
2. De manera dual, f conmuta con extremos inferiores si para cualquier subcon-
junto U de X que admita extremo inferior en X, el conjunto f(U) admite
extremo inferior en Y y ademas
ınf f(U) = f (ınf U).
La adjuncion existente entre dos funciones permite demostrar las siguientes propie-
dades las cuales pueden ser consultadas en [6], [12] y [14].
Teorema 2.3.3. Sea 〈f, g〉 un par adjunto entonces f conmuta con extremos infe-
riores y g conmuta con extremos superiores.
Demostracion. Primero se demuestra que g conmuta con extremos superiores.
Suponga que supU = y para un subconjunto U de Y . Debido a que g es un morfismo
g(y) es cota superior del conjunto g(U), como g(U) esta acotado superiormente
entonces existe el supremo sup g(U) = x y ademas cumple que x ≤ g(y). Por otra
parte, x es una cota superior del conjunto g(U) entonces para cada u ∈ U se tiene
que g(u) ≤ x, por 〈f, g〉 ser un par adjunto u ≤ f(x) para todo u de U , es decir, f(x)
es cota superior para U . En consecuencia y ≤ f(x) lo cual implica que g(y) ≤ x. Por
lo tanto g(y) = x lo cual es equivalente a g(supU) = sup g(U).
Por ultimo se demuestra que f conmuta con extremos inferiores, suponga ınf V =
x para un subconjunto V de X, como f es un morfismo de conjuntos ordenados
entonces f(x) es cota inferior del conjunto f(V ) lo que implica que existe el ınfimo del
subconjunto f(V ) denotado como ınf f(V ) = y y por definicion de ınfimo f(x) ≤ y.
Por otra lado, y es una cota inferior del conjunto f(V ) entonces para v en V , se
Capıtulo 2. Preliminares 20
tiene que y ≤ f(v). De la adjuncion de f y g, g(y) ≤ v para todo v de V , es decir,
g(y) es cota inferior del conjunto V entonces g(y) ≤ x lo cual implica que y ≤ f(x).
Ası f (ınf V ) = ınf f(V ). [12, pag. 13]
Teorema 2.3.4. Sea 〈f, g〉 un par adjunto entonces f ◦ g ◦ f = f .
Demostracion. Por la Proposicion 2.3.1. para todo x ∈ X, g(f(x)) ≤ x, y como f es
un morfismo de conjuntos ordenados, f(g(f(x))) ≤ f(x). Ademas, para todo y ∈ Y ,
y ≤ f(g(y)), si se toma y = f(x) entonces f(x) ≤ f(g(f(x)). Dado que se tiene las
anteriores desigualdades para todo x ∈ X, f ◦ g ◦ f = f .
Teorema 2.3.5. Sea 〈f, g〉 un par adjunto entonces g ◦ f ◦ g = g.
La demostracion se desarrolla de forma analoga a la del Teorema 2.3.4. por medio
de la Proposicion 2.3.1.
2.4. Topologıa.
Una coleccion de subconjuntos de X que es cerrada bajo uniones arbitraria e in-
tersecciones finitas siempre contiene a X y al conjunto vacıo puesto que la union⋃{Mα : α ∈ ∅} = ∅ y la interseccion finita
⋂{Mα : α ∈ ∅} = X. Es por esto que se
da la siguiente definicion que se encuentra en [10, pag. 76].
Definicion 2.4.1. Sea X un conjunto no vacıo. Una topologıa en X es una coleccion
T de subconjuntos de X que satisface:
1. ∅ y X pertenecen a T.
2. La union de cualquier subcoleccion de T pertenece a T.
3. La interseccion de cualquier subcoleccion finita de T pertenece a T.
Los elementos de T se llaman conjuntos abiertos de X y al par (X,T) se le dice que
es un espacio topologico.
Definicion 2.4.2. En un espacio topologico (X,T) el complemento de un conjunto
abierto de X son llamados conjuntos cerrados.
Capıtulo 2. Preliminares 21
De la definicion de topologıa los conjuntos abiertos cumple ciertas condiciones, es
de esperar que los conjuntos cerrados deban cumplir unas condiciones duales a las
dadas en la Definicion 2.4.1., estas se deducen facilmente por las leyes de De Morgan
y propiedades del complemento en conjuntos tal como se ve en [10, pag. 94].
Teorema 2.4.1. [16, pag. 24] Si C es la coleccion de todos los conjuntos cerrados
en un espacio topologico (X,T), entonces
1. X y ∅ esta en C.
2. La interseccion de cualquier subcoleccion de cerrados esta en C.
3. La union de cualquier subcoleccion finita de cerrados esta en C.
Para un conjunto en un espacio (X,T) el ser abierto es independiente de ser cerrado,
ası pues un conjunto puede ser abierto y cerrado, abierto y no cerrado, cerrado y no
abierto o ninguno de los dos, pero siempre es posible encontrar conjuntos cerrados
que lo contienen como X y conjuntos abiertos que esten contenidos como ∅.
Definicion 2.4.3. [16, pag. 25] Dado (X,T) un espacio topologico y M ⊂ X, la
clausura o adherencia de M en X es el conjunto
M =⋂{K ⊆ X | K es cerrado y M ⊆ K}.
Cabe senalar que M es un conjunto cerrado por ser la interseccion de conjuntos
cerrados, de hecho es el cerrado mas pequeno que contiene a M .
Definicion 2.4.4. [16, pag. 25] Dado (X,T) un espacio topologico y M ⊂ X, el
interior de M en X es el conjunto
M◦ =⋃{A ⊆ X | A es abierto y A ⊆M}.
Por la tercer propiedad de conjuntos abiertos se tiene que M◦ es abierto e incluso es
el mas grande abierto que contiene a M . Las nociones de interior y adherencia son
duales entre sı, de manera que
M◦ = (M c)c y M = ((M c)◦)c
Capıtulo 2. Preliminares 22
Teorema 2.4.2. Sea (X,T) un espacio topologico y M ⊆ X entonces
(M◦)c = (M c)
Demostracion. Es claro que M◦ ⊆ M , lo que implica M c ⊆ (M◦)c, ya que M◦ es
abierto (M◦)c es un cerrado, como la adherencia es mas pequena que otro conjunto
cerrado que contenga a M c entonces M c ⊆ (M c) ⊆ (M◦)c.
En particular se tiene que M c ⊆ (M c) entonces ((M c))c ⊆ M . Como (M c) es un
conjunto cerrado su complemento ((M c))c es abierto que ademas esta contenido en
M , luego ((M c))c ⊆ M◦ y aplicando el complemento a esta inclusion se obtiene
(M◦)c ⊆ (M c).
Puesto que (M c) ⊆ (M◦)c y ((M◦)c ⊆ (M c) se concluye (M◦)c = (M c).
Otros conjuntos igual de importantes en topologıa son el exterior el cual es un con-
junto abierto, la frontera que es un conjunto cerrado, el borde y el coborde que no
necesariamente son abiertos o cerrados, todos ellos estan definidos a continuacion.
Definicion 2.4.5. [13, pag. 4] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, el
exterior de M en X es el conjunto
Ext(M) = (M)c
Definicion 2.4.6. [13, pag. 5] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, la
frontera de M en X es el conjunto
Fr(M) = M ∩M c
Definicion 2.4.7. [13, pag. 5] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, el borde
de M en X es el conjunto
Bd(M) = M ∩ (M◦)c
Definicion 2.4.8. [5, pag. 119] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, el
coborde de M en X es el conjunto
CB(M) = M ∩M c
Capıtulo 3
Constructos
En las secciones 2.1 y 2.2 se mostro que los conjuntos ordenados y retıculos tienen
una estructura definida que es la relacion de orden, ademas existen funciones que
preservan tal estructura y cumplen con dos propiedades que establece la siguiente
definicion.
Definicion 3.0.9. Un constructo S esta dado por los siguientes datos:
1. Para cada conjunto X se define una clase S[X]. Sus elementos son llamados
estructuras sobre X y los pares X = (X,α) donde X es un conjunto y α es su
estructura, son los objetos de S.
2. Para cada par de objetos X = (X,α) y Y = (Y, β), se define el conjunto
Mor(X,Y) de todos los morfismos de X en Y que preservan la estructura,
cuyos elementos se escriben como f : X −→ Y. Los conjuntos de morfismos
satisfacen:
a) Axioma de composicion, si f ∈ Mor(X,Y) y g ∈ Mor(Y,Z) entonces
g ◦ f ∈Mor(X,Z).
b) Axioma de identidad, para cada objeto X = (X,α), la funcion identidad
idX
: X −→ X es un morfismo.
En terminos de la Teorıa de categorıas, los constructos son categorıas concretas
topologicas de conjuntos estructurados, algunos ejemplos sobre constructos se pueden
encontrar en [1, pag. 22] y [2, pag. 7].
23
Capıtulo 3. Constructos 24
Ejemplo 3.0.1. Sea Pos el constructo cuyos objetos son los conjuntos parcialmente
ordenados y morfismos son los morfismos de conjuntos ordenados, este cumple con
los axiomas de composicion e identidad, sean
f : (X,≤) −→ (Y,�) y g : (Y,�) −→ (Z,v)
morfismos de conjuntos ordenados, entonces
g ◦ f : (X,≤) −→ (Z,v)
es un morfismo, pues dados x1, x2 ∈ X
x1 ≤ x2 implica f(x1) � f(x2)
y a su vez
f(x1) � f(x2) implica g(f(x1)) v g(f(x2)).
Ademas,
idX
: (X,≤) −→ (X,≤)
es un morfismo ya que x1 ≤ x2 implica x1 ≤ x2 para todo x1, x2 ∈ X.
Ejemplo 3.0.2. El constructo Ret cuyo objetos son los retıculos y los morfismos
son los morfismos de retıculos, sean
f : (X,≤) −→ (Y,�) y g : (Y,�) −→ (Z,v)
morfismos de retıculos, entonces para todo x1, x2 ∈ X
g(f(x1 ∨Xx2)) = g(f(x1) ∨
Yf(x2))
= g(f(x1)) ∨Zg(f(x2))
Ası mismo,
g(f(x1 ∧Xx2)) = g(f(x1) ∧
Yf(x2))
= g(f(x1)) ∧Zg(f(x2))
Por lo tanto, g ◦ f : (X,≤) −→ (Z,v) es un morfismo de retıculos. Ademas, la
funcion identidad idX
satisface,
Capıtulo 3. Constructos 25
idX
(x1 ∨ x2) = x1 ∨ x2 = idX
(x1) ∨ idX
(x2).
idX
(x1 ∧ x2) = x1 ∧ x2 = idX
(x1) ∧ idX
(x2).
para todo x1, x2 ∈ X, luego idX
es un morfismo de retıculos.
Ejemplo 3.0.3. El constructo Ret• cuyo objetos son los retıculos acotados y los
morfismos son los morfismos de retıculos, la demostracion no difiere del ejemplo
anterior.
Ejemplo 3.0.4. El constructo Top cuyo objetos son espacios topologicos y los
morfismos son todos las funciones continuas entre ellos, ya que la composicion de
funciones continuas es continua y para cualquier espacio topologico la identidad es
continua.
Definicion 3.0.10. Sea (X,α) un objeto de un constructo τ y sea Y un subconjunto
de X. Un objeto (Y, β) se llama un subobjeto de (X,α) si la funcion de inclusion
ι : Y −→ X satisface las siguientes condiciones:
1. ι : (Y, β) −→ (X,α) es un morfismo.
2. Para cada objeto (Z, δ) y cada funcion h de Z en Y , tal que
ι ◦ h : (Z, δ) −→ (Y, β)
es un morfismo, entonces tambien h : (Z, δ) −→ (Y, β) es un morfismo.
De acuerdo a los ejemplos dados anteriormente de constructos sus respectivos subob-
jetos son:
• Los subobjetos en el constructo Pos son todos los subconjuntos de un conjunto
ordenado.
• Los subobjetos en el constructo Ret son todos los subretıculos de un retıculo.
• Los subobjetos en el constructo Ret• son todos los subretıculos acotados.
• Los subobjetos en el constructo Top son todos los subespacios de un espacio
topologico.
Capıtulo 3. Constructos 26
Definicion 3.0.11. Sea (Y, β) un subobjeto de (X, β),
1. El objeto (Y, β) se llama un subobjeto adjuntable de (X, β) si la funcion de
inclusion ι : Y −→ X admite adjunta.
2. El objeto (Y, β) se llama un subobjeto adjunto de (X, β) si la funcion de in-
clusion ι : Y −→ X es adjunta.
3. EL objeto (Y, β) se llama un subobjeto biadjunto de (X, β) si la funcion de
inclusion ι : Y −→ X admite adjunta y es adjunta.
A continuacion se ve como estan determinados los subretıculos del retıculo (P(X),⊆)
en el constructo Ret•. Los siguientes teoremas y sus demostraciones estan basadas
en [14].
Teorema 3.0.3. Un subretıculo acotado (A,⊆) de (P(X),⊆) es una coleccion de
subconjuntos de X tal que para todo A y B en A se tiene que A ∪B, A ∩B, ∅ y X
estan en A.
Demostracion. Por la Definicion 2.2.2. de subretıculo, donde las operaciones binarias
del ∨ y ∧ son ∪ y ∩ respectivamente, se tiene que A es cerrada para uniones e
intersecciones de pares. Como (A,⊆) es acotada entonces ∅ ∈ A y X ∈ A.
Teorema 3.0.4. Si (A,⊆) es un subretıculo acotado adjunto de (P(X),⊆) entonces
A es una topologıa en X.
Demostracion. Por hipotesis (A,⊆) es un subretıculo acotado, ası la coleccion A es
cerrada bajo intersecciones finitas y ∅, X pertenecen a A.
Como (A,⊆) es un subobjeto adjunto de (P(X),⊆), por definicion existe una funcion
: P(X) −→ A para la cual la funcion de inclusion ι : A −→ P(X) es adjunta.
Veamos ahora que la union de una subcoleccion {Aα}α∈Λ esta en A. Es claro que
para todo α ∈ Λ, Aα ⊆⋃Aα, por ser un morfismo y por el punto (2) de la
Proposicion 2.3.1. se obtiene
Aα ⊆ (Aα) ⊆ (⋃
Aα
)para todo α ∈ Λ, ası se deduce
⋃Aα ⊆ (
⋃Aα).
Capıtulo 3. Constructos 27
Por otra parte, usando el punto (1) de la Proposicion 2.3.1. se tiene ι ( (⋃Aα)) =
(⋃Aα) ⊆
⋃Aα.
Dado que⋃Aα ⊆ (
⋃Aα) y (
⋃Aα) ⊆
⋃Aα entonces (
⋃Aα) =
⋃Aα. Como
(⋃Aα) ∈ A, entonces
⋃Aα ∈ A. Luego A es una topologıa en X.
Teorema 3.0.5. Si (C,⊆) es un subretıculo acotado adjuntable de (P(X),⊆) enton-
ces C es una coleccion de cerrados en X.
Demostracion. Como (C,⊆) es un subretıculo acotado, la coleccion es cerrada bajo
uniones finitas y ∅, X estan en C.
Supongamos que la inclusion ι : C −→ P(X) admite como adjunta a una funcion
: P(X) −→ C, y sea {Cα}α∈Λ una subcoleccion de C, es claro que⋂Cα ⊆ Cα para
todo α ∈ Λ, por ser un morfismo y usando el punto (1) de la Proposicion 2.3.1
(⋂
Cα
)⊆ (Cα) ⊆ Cα
para todo α ∈ Λ, luego (⋂Cα) ⊆
⋂Cα.
De nuevo por la Proposicion 2.3.1 se obtiene⋂Cα ⊆ ι((
⋂Cα)) = (
⋂Cα).
Por tanto (⋂Cα) =
⋂Cα, ası
⋂Cα ∈ C. Por el Teorema 2.4.1. C es una coleccion
de cerrados en X.
Capıtulo 4
Operadores Topologicos
El matematico polaco K. Kuratowski fue el primero en referirse a la adherencia
como un operador que cumplıa cuatro propiedades fundamentales, ası mismo es
posible considerar al interior como un operador que cumple con cuatro propiedades
e incluso este par de operadores llegan a generar una topologıa.
Definicion 4.0.12. Dado un conjunto X, un operador topologico es una aplica-
cion de P(X) en P(X) tal que satisface ciertas propiedades que permiten definir la
estructura topologica del conjunto X.
4.1. Funcion de interior.
Para un espacio topologico (X,A), la definicion de topologıa indica que (A,⊆) es
un subretıculo acotado de (P(X),⊆) e incluso se vera que (A,⊆) es un subobjeto
adjunto de (P(X),⊆) en el constructo Ret• es suficiente con demostrar que la funcion
de inclusion es adjunta.
Teorema 4.1.1. Sea (X,A) un espacio topologico entonces la funcion de inclusion
ι : A −→ P(X) es adjunta de iA : P(X) −→ A, definida por:
iA(M) = max{A ∈ A | A ⊆M},
a la funcion iA se le llama funcion de interior.
28
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 29
Demostracion. Como A es una topologıa en X, ∅ ∈ A y ademas para cada M ∈ P(X)
se tiene que ∅ ⊆M , luego el conjunto {A ∈ A | A ⊆M} tiene al menos un elemento.
Puesto que la union de abiertos es un abierto el elemento⋃{A ∈ A | A ⊆ M}
esta en A, lo cual implica
max{A ∈ A | A ⊆M} =⋃{A ∈ A | A ⊆M},
para todo M ∈ P(X). De acuerdo con el punto 2. del Teorema 2.3.2. la funcion ι
es adjunta de iA debido a que el conjunto {A ∈ A | ι(A) = A ⊆ M} tiene maximo
para todo M ∈ P(X).
La definicion de la funcion iA resulta ser muy parecida a la definicion de interior de
un conjunto M en la topologıa A. El par adjunto que existe entre la inclusion y una
funcion de interior permite comprobar las siguientes propiedades para una funcion
de interior.
Teorema 4.1.2. Sea A una topologıa en X, una funcion de interior iA satisface:
1. Para todo M en P(X), iA(M) ⊆M ,
2. Para todo M1 y M2 en P(X), si M1 ⊆M2 implica que iA(M1) ⊆ iA(M2),
3. Para todo M en P(X), si M ∈ A se tiene que iA(M) = M ,
4. Para todo M en P(X), iA(iA(M)) = iA(M),
5. Para todo M1 y M2 en P(X), iA(M1 ∩M2) = iA(M1) ∩ iA(M2).
Demostracion. Como 〈iA, ι〉 es un par adjunto, los puntos 1., 2. y 3. se deducen de
la Proposicion 2.3.1.
Veamos que 4. se cumple, por el Teorema 2.3.4. se obtieneiA(ι(iA(M))) = iA(M)
para todo M ∈ P(X), pero ι(iA(M)) = iA(M), por tanto iA(iA(M)) = iA(M).
Ahora para el punto 5. se utiliza el Teorema 2.3.3. donde iA conmuta con extremos
inferiores, por tanto si ınf{M1,M2} = M1 ∩M2 se tiene que
iA(M1 ∩M2) = iA(M1) ∩ iA(M2).
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 30
En el constructo Ret•, para un par 〈iA, ι〉 se presentan las composiciones iA ◦ ι la
identidad con respecto a A y ι ◦ iA una funcion que por el Teorema 4.1.2. resulta ser
un operador de interior definido a continuacion.
Definicion 4.1.1. Sea X un conjunto no vacıo, una funcion i : P(X)→ P(X) es un
operador de interior si cumple las propiedades:
I1. i(X) = X,
I2. Para todo M ∈ P(X), i(M) ⊆M ,
I3. Para todo M ∈ P(X), i(i(M)) = i(M),
I4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), i(M1 ∩M2) = i(M1) ∩ i(M2).
La condicion (I4) implica que si M1 ⊆M2 entonces i(M1) ⊆ i(M2).
Teorema 4.1.3. Sea X un conjunto e i : P(X) → P(X) un operador de interior
entonces la coleccion Ti = {M ⊆ X | i(M) = M} es una topologıa en X.
Demostracion. X ∈ Ti ya que i(X) = X. ∅ ∈ Ti puesto que por (I2), i(∅) ⊆ ∅.
Sea {Mα}α∈Λ un subcoleccion de subconjuntos de Ti, entonces
Mα = i(Mα)
= i(Mα ∩
⋃Mα
)= i(Mα) ∩ i
(⋃Mα
)= Mα ∩ i
(⋃Mα
)Lo cual indica que Mα ⊆ i(
⋃Mα) para todo α ∈ Λ, luego⋃
Mα ⊆ i(⋃
Mα
)Y por (I2) se obtiene la igualdad de estos conjuntos i (
⋃Mα) =
⋃Mα, por tanto⋃
αMα pertenece a Ti. Para cualesquiera M1,M2 ∈ Ti de (I3)
i(M1 ∩M2) = i(M1) ∩ i(M2) = M1 ∩M2.
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 31
Ası, M1 ∩M2 ∈ Ti. Luego Ti es una topologıa en X [5, pag. 98].
Una de la principales consecuencias que establece el teorema anterior es que para
todo operador interior i existe una topologıa asociada a el y por tanto existe una
funcion de interior iT de modo que i = ι ◦ iT, esto quiere decir que todo operador de
interior es un operador topologico.
4.2. Funcion de adherencia.
Sea C la respectiva coleccion de cerrados de un espacio topologico (X,A), por el
Teorema 2.4.1. (C,⊆) es un subretıculo acotado de (P(X),⊆), mas aun (C,⊆) es un
subobjeto adjuntable de (P(X),⊆) en el constructo Ret• basta con demostrar que
la funcion de inclusion admite adjunta.
Teorema 4.2.1. Sea (X,A) un espacio topologico y C la coleccion de cerrados en X,
entonces la funcion de inclusion ι : C −→ P(X) admite como adjunta a la funcion
aC
: P(X) −→ C, definida por:
aC(M) = mın{C ∈ C | M ⊆ C},
a la funcion aC
se le llama funcion de adherencia.
Demostracion. Para todo M ∈ P(X), M ⊆ X y como C es una coleccion de cerrados
X ∈ C, por tanto el conjunto {C ∈ C | M ⊆ C} tiene al menos un elemento.
Puesto que la interseccion arbitraria de cerrados es un cerrado,⋂{C ∈ C | M ⊆ C}
esta en C. Ası, el mınimo existe y es de la forma
mın{C ∈ C | M ⊆ C} =⋂{C ∈ C | M ⊆ C},
Como existe el mınimo del conjunto {C ∈ C | M ⊆ C = ι(C)} para todo M ∈ P(X),
el punto 1. del Teorema 2.3.2. implica que la funcion ι admite como adjunta a aC.
Note que la funcion de adherencia aC
esta definida de igual forma que la adherencia
del conjunto M en la topologıa A. El par adjunto que existe entre la inclusion y
una funcion de adherencia permite comprobar las siguientes propiedades para una
funcion de adherencia.
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 32
Teorema 4.2.2. Sea C un coleccion de cerrados sobre X, una funcion de adherencia
aC
satisface,
1. Para todo M ∈ P(X), M ⊆ aC(M),
2. Para todo M1,M2 ∈ P(X), si M1 ⊆M2 implica que aC(M1) ⊆ a
C(M2),
3. Para todo M ∈ P(X), si M ∈ C se tiene que aC(M) = M ,
4. Para todo M ∈ P(X), aC(a
C(M)) = a
C(M),
5. Para todo M1,M2 ∈ P(X), aC(M1 ∪M2) = a
C(M1) ∪ a
C(M2).
Demostracion. Como 〈ι, aC〉 es un par adjunto, los puntos 1., 2. y 3. se deducen
de la Proposicion 2.3.1. Para demostrar el punto 4. se utiliza el Teorema 2.3.5. del
cual se tiene que aC(ι(a
C(M))) = a
C(M) entonces a
C(a
C(M)) = a
C(M) para todo
M ∈ P(X).
Y por ultimo, el Teorema 2.3.3. implica que aC
conmuta con extremos superior, por
tanto si sup{M1,M2} = M1 ∪M2 se tiene
aC(M1 ∪M2) = a
C(M1) ∪ a
C(M2).
para cualesquiera M1,M2 ∈ P(X), ası queda demostrado el teorema.
Cada adjuncion 〈ι, aC〉 da a lugar una funcion a = ι ◦ a
Cque cumple con la siguiente
definicion de un operador de adherencia. Y viceversa, para todo operador de adhe-
rencia a existe una coleccion C de cerrados y una funcion de adherencia aC
tal que
a = ι ◦ aC.
Definicion 4.2.1. Sea X un conjunto no vacıo, una funcion a : P(X) → P(X) es
un operador de adherencia si satisface,
A1. a(∅) = ∅,
A2. Para todo M ∈ P(X), M ⊆ a(M),
A3. Para todo M ∈ P(X), a(a(M)) = a(M),
A4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), a(M1 ∪M2) = a(M1) ∪ a(M2).
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 33
De la condicion (A4) se deduce que si M1 ⊆M2 entonces a(M1) ⊆ a(M2).
Teorema 4.2.3. Sea X un conjunto y a : P(X)→ P(X) un operador de adherencia
entonces C = {M ⊆ X | a(M) = M} es una coleccion de cerrados en X.
Demostracion. ∅ ∈ C puesto que de (A1) a(∅) = ∅. Como X = M ∪M c para algun
M ∈ C, de la propiedad (A4) se obtiene
a(X) = a(M ∪M c) = a(M) ∪ a(M c) = M ∪M c = X
entonces X ∈ C. Sea {Mα}α∈Λ es una subcoleccion de C, por (A2) se tiene que,⋂Mα ⊆ a
(⋂Mα
).
Por otra parte es claro que⋂Mα ⊆Mα y por la propiedad (A4)
a(Mα) = a(Mα ∪
⋂Mα
)= a(Mα) ∪ a
(⋂Mα
).
Ası, a (⋂Mα) ⊆ a(Mα) = Mα para todo α ∈ Λ esto implica,
a(⋂
Mα
)⊆⋂
a(Mα) =⋂
Mα.
Luego⋂Mα ∈ C. Para cualesquiera M1 y M2 en C,
a(M1 ∪M2) = a(M1) ∪ a(M2) = M1 ∪M2.
Por tanto M1 ∪M2 ∈ C y C es una coleccion de cerrados en X.
La topologıa asociada a un operador a es Ta = {M ⊆ X | a(M c) = M c}, ası pues
todo operador de adherencia es un operador topologıco.
En definitiva, los Teoremas 4.1.1. y 4.2.1. implican que dados A una topologıa y C
la respectiva coleccion de cerrados para un espacio X, se obtiene un operador de
interior i y un operador de adherencia a, tal que para todo M ⊆ X, i(M) = M◦ y
a(M) = M , luego por el Teorema 2.4.2. se tiene el siguiente corolario.
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 34
Corolario 4.2.1. Sean (X,T) un espacio topologico, i y a los operadores de interior y
adherencia asociados a T entonces para la funcion complemento c se tiene la igualdad
c ◦ i = a ◦ c.
4.3. Operadores de Kuratowski
El teorema que se presenta a continuacion es conocido como el teorema clausura-
complemento de Kuratowski, fue planteado y demostrado por K. Kuratowski [9] en
1922, desde entonces, este teorema, sus resultados e implicaciones han sido objeto
de estudio en una gran variedad de textos (Ver por ejemplo [14] y [17] ).
Teorema 4.3.1. (Kuratowski). Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊆ X, enton-
ces existe a lo mas 14 conjuntos distintos formados al tomar adherencias y comple-
mentos del conjunto M iteradas veces. Mas aun, existe un espacio topologico en el
que esa cota se alcanza.
La demostracion realizada por B. J. Gardner y M. Jackson [7] de este teorema fue a
partir de operadores, ellos replantearon este problema de la siguiente manera: Dado
un espacio topologico (X,T) los operadores de adherencia a y complemento c generan
a lo mas 14 operadores diferentes en F(P(X),P(X)) bajo la operacion de composicion
◦. Estos catorce operadores se llaman operadores de Kuratowski y son:
u, a, ac, aca, acac, acaca, acacac, c, ca, cac, caca, cacac, cacaca, cacacac.
Donde u : P(X) −→ P(X) es la identidad. Aquı el sımbolo ◦ es omitido para no
tener una expresion demasiado larga, por ejemplo la composicion a ◦ c ◦ a se escribe
como aca.
Teniendo en cuenta que dos funciones ϕ, ψ ∈ F(P(X),P(X)) son distintas si y solo
si existe E ⊆ X tal que ϕ(E) 6= ψ(E), ası pues para comprobar que todos los
operadores de Kuratowski son distintos es suficiente encontrar un espacio topologico
con un subconjunto del cual cada uno de los 14 posibles operadores produce un
conjunto diferente incluyendo al conjunto mismo. Encontrar un subconjunto de los
reales en la topologıa Euclidiana con esta propiedad es propuesto como ejercicio en
algunos libros [10, pag. 102], tal como se muestra en [15, pag. 60, punto 9] un ejemplo
es el conjunto,
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 35
A = {1/n : n ∈ Z+} ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ {412} ∪ [5, 6] ∪ {x : x es racional y 7 ≤ x ≤ 8},
este conjunto se representa graficamente en la figura 4.2.
Debido al Corolario 4.2.1. los operadores de Kuratowski se puede reescribir como
O = {u, i, a, ia, ai, aia, iai, c, ci, ca, cia, cai, caia, ciai}, todos ellos forman un subcon-
junto ordenado con la relacion ≤ definida en el Ejemplo 2.1.2. sobre el conjunto
F(P(X),P(X)), la estructura de orden de O es como se muestra en la Figura 4.1 en
el caso de que todos los operadores sean distintos.
a
iaaiu
aia
iai
i
ci
ciacaic
caia
ciai
ca
Figura 4.1: Conjunto Ordenado O.
Existen algunas variantes del problema de clausura-complemento una de ellas se
presentan en el artıculo [7], donde proponen encontrar los posibles operadores que
existen al aplicar a el conjunto O las operaciones binarias ∨ y ∧. Sin embargo, estas
dos operaciones hacen cada vez mas extenso el calculo de hallar el maximo numero
de operadores obtenidos por O.
Note que en la figura 4.2. O no es cerrado bajos las operaciones ∨ y ∧, puesto que
ia(A)∩ai(A) 6= iai(A) entonces el operador ia∧ai no necesariamente es iai e incluso
el operador aia ∧ ciai no existe en O, por tanto O no puede ser una subalgebra de
Boole del algebra Booleana (F(P(X),P(X),∨,∧, c). Por esta razon la intencion del
siguiente capıtulo es mostrar el algebra de Boole que se genera en particular con los
operadores {i, a, c} al aplicar las operaciones Booleanas que aparecen en el Ejemplo
2.2.2.
La figura 4.2. (basada en [15, pag. 62]) muestra los operadores del conjunto O defi-
nidos en el subconjunto A de R con la topologıa Euclidiana.
Capıtulo 4. Operadores Topologicos 36
racionalesu
1 5 6 7 80 2 3 4irracionales
c
0 2 3 41 5 6 7 8
a
30 1 2 4 5 6 7 8
ca
30 1 2 4 5 6 7 8
i0 1 7 82 3 4 5 6
ci0 1 7 82 3 4 5 6
ia0 1 32 4 5 6 7 8
cia0 1 32 4 5 6 7 8
ai0 1 3 7 82 4 5 6
cai0 1 3 7 82 4 5 6
aia0 1 32 4 5 6 7 8
caia0 1 32 4 5 6 7 8
iai0 1 3 7 82 4 5 6
ciai0 1 3 7 82 4 5 6
Figura 4.2: Operadores de Kuratowski aplicados al conjunto A.
Capıtulo 5
Algebras booleanas
Algunos de los resultados aquı presentados son parte de la tesis de Manuel Suarez [14],
quien observo que los operadores de interior, complemento y adherencia por medio
de las operaciones Booleanas de union, interseccion y complemento, generan una
coleccion de 16 funciones que tienen como dominio y codominio al conjunto partes
de X. Entre estas dieciseis, estan los operadores topologicos de exterior, frontera,
borde y coborde con sus respectivos complementos.
Es de gran interes conocer cuales son los elementos del algebra Booleana generada
por los operadores {i, a, c}, en vista de lo cual es conveniente examinar primero las
subalgebras generadas por los conjuntos {c}, {a, c} y {i, c} con las operaciones ∧ y
∨ definidas en F(P(X),P(X)).
Para empezar es importante tener en cuenta las siguientes propiedades del operador
complemento c definido en el Ejemplo 2.2.2.
1. c(X) = ∅ y c(∅) = X,
2. Para todo M ∈ P(X), c(c(M)) = M ,
3. Para todo M1,M2 ∈ P(X), si M1 ⊆M2 entonces c(M2) ⊆ c(M1),
4. Para todo M1,M2 ∈ P(X),
c(M1 ∩M2) = c(M1) ∪ c(M2) y c(M1 ∪M2) = c(M1) ∩ c(M2).
Note que por la segunda propiedad el complemento de c es la identidad u, debido a
que u(M) = M para todo M ∈ P(X).
37
Capıtulo 5. Algebras booleanas 38
Por otra parte, al aplicar las operaciones ∧, ∨ para u y c se obtiene
u ∨ c = CX y u ∧ c = C∅.
Las funciones CX y C∅ estan definidas en el Ejemplo 2.2.2., ahora teniendo en cuenta
que el conjunto {CX , C∅, u, c} es cerrado bajo las dos operaciones y segun la Defini-
cion 2.2.7. el es una subalgebra Booleana de F(P(X),P(X)).
En primer lugar, se denotara por 〈{i, c}〉 a la subalgebra de F(P(X),P(X)) generada
por los operadores {i, c}, por definicion de subalgebra 〈{i, c}〉 debe contener al con-
junto {CX , C∅, u, c} y tambien al complemento del operador de interior ci, ademas
para ser cerrado bajo las operaciones ∧ y ∨ se necesario que esten los elementos u∧ciy c∨ i. De esta forma se construye la subalgebra de Boole mas pequena que contiene
al conjunto {i, c}.
Definicion 5.0.1. Sea i un operador de interior. La funcion b : P(X) → P(X)
definida para todo M ∈ P(X) como
b(M) = u(M) ∩ ci(M),
se le llama operador de borde.
El complemento de un operador de borde es de la forma cb(M) = c(M) ∪ i(M).
El siguiente teorema da a conocer las propiedades de un operador de borde que lo
convierten en un operador topologico, su prueba aparece en [5, pag. 117].
Teorema 5.0.2. Sea X un conjunto y b : P(X)→ P(X) una funcion tal que
B1. b(X) = ∅,
B2. Para todo M ∈ P(X), b(b(M)) ⊆ b(M),
B3. Para todo M1,M2 ∈ P(X), b(M1 ∩M2) = [M1 ∩ b(M2)] ∪ [M2 ∩ b(M1)].
Entonces la coleccion Tb = {M ⊆ X | b(M) = ∅} es una topologıa en X.
Para un operador de interior i, la funcion b = u ∧ ci satisface las condiciones (B1),
(B2) y (B3). En efecto,
(B1) Ya que i(X) = X se tiene que
Capıtulo 5. Algebras booleanas 39
b(X) = u(X) ∩ ci(X) = X ∩ c(i(X)) = X ∩ c(X) = ∅
(B2) Sea M un subconjunto de X, entonces
b(b(M)) = u(b(M)) ∩ ci(b(M))
= b(M) ∩ ci(b(M))
⊆ b(M).
(B3) Sean M1 y M2 en P(X), como la interseccion es conmutativa y asociativa se
tiene que
b(M1 ∩M2) = u(M1 ∩M2) ∩ ci(M1 ∩M2)
= [u(M1) ∩ u(M2)] ∩ [ci(M1) ∪ ci(M2)]
= [(u(M1) ∩ u(M2)) ∩ ci(M1)] ∪ [(u(M1) ∩ u(M2)) ∩ ci(M2)]
= [u(M2) ∩ (u(M1) ∩ ci(M1))] ∪ [u(M1) ∩ (u(M2) ∩ ci(M2))]
= [u(M2) ∩ b(M1)] ∪ [u(M1) ∩ b(M2)]
= [M2 ∩ b(M1)] ∪ [M1 ∩ b(M2)].
Por lo tanto, todo operador de borde b define una topologıa Tb sobre un conjunto
X, de igual modo pasa con su complemento el operador topologico cb produce la
topologıa Tcb = {M ⊆ X | cb(M) = X} . En definitiva se tiene que la subalge-
bra Booleana 〈{i, c}〉 esta conformada por los elementos {CX , C∅, u, c, i, ci, b, cb} su
estructura se muestra en la Figura 5.1.
CX
u cb ci
i b c
C∅
Figura 5.1: Subalgebra de Boole generada por {i, c}.
En concordancia con lo anterior, se denota por 〈{a, c}〉 a la subalgebra Booleana
Capıtulo 5. Algebras booleanas 40
generada por los operadores de adherencia y complemento, puesto que c ∈ 〈{a, c}〉es claro que el conjunto {CX , C∅, u, c} esta contenido en 〈{a, c}〉.
Por definicion de subalgebra si a ∈ 〈{a, c}〉 entonces su complemento tambien, esto
es ca ∈ 〈{a, c}〉 ası surge la siguiente definicion.
Definicion 5.0.2. Sea a un operador de adherencia. La funcion e : P(X) → P(X)
definida para todo M ∈ P(X) como
e(M) = ca(M),
se le llama operador de exterior.
Teorema 5.0.3. Sea X un conjunto y e : P(X)→ P(X) una funcion tal que
E1. e(∅) = X,
E2. Para todo M ∈ P(X), e(M) ⊆ c(M),
E3. Para todo M ∈ P(X), e(M) = e(c(e(M))),
E4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), e(M1 ∪M2) = e(M1) ∩ e(M2).
Entonces la coleccion Te = {M ⊆ X | e(M c) = M} es una topologıa en X.
La demostracion se puede ver en [5, pag. 114]. Veamos ahora que un operador de
exterior e = ca satisface las condiciones (E1)-(E4),
(E1) Por el Teorema 4.2.3 se tiene que a(X) = X entonces ca(X) = ∅.
(E2) Sea M ⊆ X, como resultado de (A2), ca(M) ⊆ c(M).
(E3) Para todo subconjunto M de X, por (A3) se tiene
ca(c(ca(M))) = ca(c(c(a(M))))
= c(a(a(M)))
= ca(M).
(E4) Sean M1 y M2 subconjuntos de X, la propiedad (A4) implica
ca(M1 ∪M2) = c(a(M1) ∪ a(M2))
= ca(M1) ∩ ca(M2).
Capıtulo 5. Algebras booleanas 41
Por lo tanto, todo operador de exterior e tiene una topologıa asociada Te.
Considerando nuevamente las operaciones ∧ y ∨ en el conjunto {CX , C∅, u, c, a, e}aparecen dos nuevos operadores a ∧ c y u ∨ ca ambos son el complemento del otro.
Definicion 5.0.3. Sea a un operador de adherencia. La funcion k : P(X) → P(X)
definida para todo M ∈ P(X) como
k(M) = a(M) ∩ c(M),
se le llama operador de coborde.
Cada operador de coborde k tiene un complemento ck(M) = ca(M)∪u(M), ademas
ambos producen topologıas sobre el conjunto X, esto es resultado del siguiente teo-
rema cuya demostracion se encuentra en [5, pag. 120].
Teorema 5.0.4. Sea X un conjunto y k : P(X)→ P(X) una funcion tal que
K1. k(∅) = ∅,
K2. Para todo M ∈ P(X), k(k(M)) ⊆ k(c(M)),
K3. Para todo M1,M2 ∈ P(X), k(M1 ∪M2) = [c(M1) ∩ k(M2)] ∪ [c(M2) ∩ k(M1)].
Entonces la coleccion Tk = {M ⊆ X | k(M c) = ∅} es una topologıa en X.
Todo operador de coborde k = c ∧ a satisface las propiedades (K1), (K2) y (K3),
puesto que
(K1) k(∅) = a(∅) ∩ c(∅) = ∅ ∩X = ∅.
(K2) Sea M un subconjunto de X, utilizando el hecho de que para cualesquiera M1
y M2 en P(X), a(M1 ∩M2) ⊆ a(M1) ∩ a(M2) se tiene
k(a(M) ∩ c(M)) = a(c(M) ∩ a(M)) ∩ c(c(M) ∩ a(M))
= a(c(M) ∩ a(M)) ∩ [c(c(M)) ∪ ca(M)]
= [a(c(M) ∩ a(M)) ∩ c(c(M))] ∪ [a(c(M) ∩ a(M)) ∩ ca(M)]
⊆ [a(c(M)) ∩ a(M) ∩ c(c(M))] ∪ [a(c(M)) ∩ a(M) ∩ ca(M)]
= [a(c(M)) ∩ c(c(M))] ∪ ∅
= k(c(M))
Capıtulo 5. Algebras booleanas 42
Por tanto, k(k(M)) ⊆ k(c(M)).
(K3) Sean M1,M2 ∈ P(X), por la propiedad (A4)
k(M1 ∪M2) = a(M1 ∪M2) ∩ c(M1 ∪M2)
= [a(M1) ∪ a(M2)] ∩ [c(M1) ∩ c(M2)]
= [a(M1) ∩ c(M1) ∩ c(M2)] ∪ [a(M2) ∩ c(M1) ∩ c(M2)]
= [k(M1) ∩ c(M2)] ∪ [k(M2) ∩ c(M1)]
En consecuencia, un operador de coborde k genera una topologıa Tk esto implica que
la coleccion Tck = {M ⊆ X | ck(M c) = X} es una topologıa en X que depende del
operador ck.
Luego, la subalgebra Booleana generada por los operadores a y c esta conformada
por 〈{a, c}〉 = {CX , C∅, u, c, a, e, k, ck} y el diagrama en la Figura 5.2. representa su
estructura.
CX
a ck c
u k e
C∅
Figura 5.2: Subalgebra de Boole generada por {a, c}.
Y por ultimo, para la subalgebra Booleana 〈{i, a, c}〉 de F(P(X),P(X)) es suficiente
con considerar las operaciones ∧ y ∨ entre los elementos de 〈{i, c}〉 y de 〈{a, c}〉,para simplificar los calculos hay que tener en cuenta las relaciones siguientes,
i ≤ u ≤ a y e ≤ c ≤ ci.
Otro rasgo importante son las propiedades distributivas de ∧ y ∨ gracias a estas se
tienen las siguientes igualdades,
a ∧ cb = i ∨ k ca ∨ b = ci ∧ cka ∧ ci = b ∨ k ca ∨ i = cb ∧ ck
Capıtulo 5. Algebras booleanas 43
Por consiguiente, se obtienen cuatro nuevos operadores, en terminos de los operadores
a e i estos son a ∧ ci, ca ∨ i, i ∨ (c ∧ a) y ci ∧ (u ∨ ca).
Definicion 5.0.4. Sea a un operador de adherencia e i un operador de interior. La
funcion f : P(X)→ P(X) definida para todo M ∈ P(X) como
f(M) = a(M) ∩ ci(M),
se le llama operador de frontera.
Como en los otros casos, para cada operador debe existir su complemento ası pues
para el operador frontera f se define su complemento como cf(M) = ca(M)∪ i(M),
la topologıa asociada a ellos esta determinada en el siguiente teorema.
Teorema 5.0.5. Sea X un conjunto y f : P(X)→ P(X) una funcion tal que
F1. f(∅) = ∅,
F2. Para todo M ∈ P(X), f(f(M)) ⊆ f(M),
F3. Para todo M ∈ P(X), f(M) = f(c(M)),
F4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), M1∩M2∩f(M1∩M2) = M1∩M2∩[f(M1)∪f(M2)].
Entonces la coleccion Tf = {M ⊆ X | M ∩ f(M) = ∅} es una topologıa en X.
Vease en [5, pag. 110] la demostracion del Teorema 5.0.5. El operador de frontera
f = a ∧ ci tambien genera una topologıa ya que satisface todas las condiciones del
teorema anterior,
(F1) La propiedad (I2) implica que i(∅) = ∅, entonces ci(∅) = X, ademas por (A1)
f(∅) = a(∅) ∩ ci(∅) = ∅ ∩X = ∅
(F2) Sea M un subconjunto de X, ci = ac por el Corolario 4.2.1. entonces
a(f(M)) = a(a(M) ∩ ci(M))
= a(a(M) ∩ ac(M))
⊆ a(a(M)) ∩ a(a(c(M))
= a(M) ∩ ac(M)
= f(M)
Capıtulo 5. Algebras booleanas 44
(F3) Utilizando de nuevo el Corolario 4.2.1. para M ⊆ X se tiene
f(c(M)) = a(c(M)) ∩ ci(c(M)) = ci(M) ∩ a(M) = f(M).
(F4) Sean M1,M2 ∈ P(X), (I4) implica ci(M1 ∩M2) = ci(M1)∪ ci(M2), ademas por
la propiedad (A2) se tiene que M1 ∩M2 ⊆ a(M1 ∩M2), por tanto
M1 ∩M2 ∩ [f(M1) ∪ f(M2)] = M1 ∩M2 ∩ [(a(M1) ∩ ci(M1)) ∪ (a(M2) ∩ ci(M2))]
= [M1 ∩M2 ∩ a(M1) ∩ ci(M1)]
∪ [M1 ∩M2 ∩ a(M2) ∩ ci(M2)]
= [M1 ∩M2 ∩ ci(M1)] ∪ [M1 ∩M2 ∩ ci(M2)]
= M1 ∩M2 ∩ [ci(M1) ∪ ci(M2)]
= M1 ∩M2 ∩ ci(M1 ∩M2)
= M1 ∩M2 ∩ a(M1 ∩M2) ∩ ci(M1 ∩M2)
= M1 ∩M2 ∩ f(M1 ∩M2)
Por lo tanto, el operador f genera la topologıa Tf de igual modo el operador cf
produce la topologıa Tcf = {M ⊆ X | M c ∩ cf(M) = X}.
Entre los operadores topologicos de la subalgebra Booleana 〈{i, a, c}〉 se encuentra la
funcion topologica h que tiene como dominio y codominio al conjunto de partes de X,
la cual estableciendo un subconjunto M se define como h(M) = a(M)∩[c(M)∪i(M)],
esta es equivalente a los operadores i∨k y a∧ cb. Las propiedades fundamentales del
operador h se presentan a continuacion, todo la informacion sobre h se puede ver en
[14].
Teorema 5.0.6. Sea X un conjunto y h : P(X)→ P(X) una funcion tal que
H1. h(X) = X,
H2. h(M c) = (h(M))c,
H3. M1 ∪M2 ∪ h(M1 ∪M2) = M1 ∪M2 ∪ [h(M1) ∪ h(M2)].
Entonces la coleccion Th = {M ⊆ X | M ⊆ h(M)} es una topologıa en X.
Capıtulo 5. Algebras booleanas 45
Demostracion. X ∈ Th ya que h(X) = X por (H1). ∅ ∈ Th pues ∅ ⊆ h(∅).
Sea {Mα}α∈Λ una subcoleccion de Th, como Mα ⊆ h(Mα) entonces [h(Mα)]c ⊆ (Mα)c
para todo α ∈ Λ, ademas Mα ⊆⋃Mα y (
⋃Mα)c ⊆ (Mα)c, luego por (H3) y (H2)
se tiene
(Mα)c = (Mα)c ∪(⋃
Mα
)c∪ h((Mα)c ∪
(⋃Mα
)c)
= (Mα)c ∪(⋃
Mα
)c∪ h((Mα)c) ∪ h
((⋃Mα
)c)= (Mα)c ∪
(⋃Mα
)c∪ [h(Mα)]c ∪
[h(⋃
Mα
)]c= (Mα)c ∪
[h(⋃
Mα
)]c,
esto implica que [h (⋃Mα)]c ⊆ (Mα)c entonces para todo α ∈ Λ⋃
Mα ⊆ h(⋃
Mα
).
Por tanto⋃Mα ∈ Th. Sean M1 y M2 en Th, por las propiedades (H2) y (H3)
(M1)c ∪ (M2)
c ∪ h((M1 ∩M2)c) = (M1)
c ∪ (M2)c ∪ h((M1)
c ∪ (M2)c)
= (M1)c ∪ (M2)
c ∪ h((M1)c) ∪ h((M2)
c)
= (M1)c ∪ (M2)
c ∪ [h(M1)]c ∪ [h(M2)]
c
= (M1)c ∪ (M2)
c.
se deduce que h((M1 ∩M2)c) ⊆ (M1 ∩M2)c, por tanto M1 ∩M2 ⊆ h(M1 ∩M2) y
M1 ∩M2 ∈ Th.
Esto quiere decir, que la coleccion de puntos de ampliacion de la funcion h es una
coleccion de abiertos sobre X, ademas por la condicion (H2) la coleccion de puntos
fijos de h es una coleccion de conjuntos abiertos y cerrados a la vez.
Sea a un operador de adherencia e i un operador de interior, la funcion topologica
h = a ∧ (c ∨ i) satisface las condiciones del Teorema 5.0.6,
(H1) Por definicion de operador de interior i(X) = X, ademas la propiedad (A4)
implica que a(X) = X, entonces
h(X) = a(X) ∩ [c(X) ∪ i(X)] = X ∩ [∅ ∪X] = X
Capıtulo 5. Algebras booleanas 46
(H2) Sea M un subconjunto de X, como ci = ac es equivalente a tener ic = ca
entonces
[h(M)]c = c [a(M) ∩ (c(M) ∪ i(M))]
= ca(M) ∪ [c(c(M)) ∩ ci(M)]
= [ca(M) ∪ c(c(M))] ∩ [ca(M) ∪ ci(M)]
= [ic(M) ∪ c(c(M))] ∩ ci(M)
= [i(M c) ∪ c(c(M))] ∩ ac(M)
= [i(M c) ∪ c(M c)] ∩ a(M c)
= h(M c).
(H3) Sean M1 y M2 subconjunto de X, por las leyes distributivas de ∧ y ∨, h se
puede reescribir como
h = i ∨ (c ∧ a).
Ahora utilizando las propiedades (I2), (I4) y (A5) se tiene
M1 ∪M2 ∪ [h(M1) ∪ h(M2)] = M1 ∪M2 ∪ i(M1) ∪ [c(M1) ∩ a(M1)]
∪ i(M2) ∪ [c(M2) ∩ a(M2)]
= M1 ∪M2 ∪ [c(M1) ∩ a(M1)] ∪ [c(M2) ∩ a(M2)]
= M1 ∪M2 ∪ [c(M1) ∩ a(M1)] ∪ [c(M2) ∩ a(M2)]
= M1 ∪M2 ∪ [c(M1) ∩ c(M2) ∩ a(M1)]
∪ [c(M2) ∩ c(M1) ∩ a(M2)]
= M1 ∪M2 ∪ [(c(M1) ∩ c(M2)) ∩ (a(M1) ∪ a(M2))]
= M1 ∪M2 ∪ [(c(M1 ∪M2)) ∩ (a(M1 ∪M2))]
= M1 ∪M2 ∪ i(M1 ∪M2) ∪ [(c(M1 ∪M2)) ∩ (a(M1 ∪M2))]
= M1 ∪M2 ∪ h(M1 ∪M2)
Por tanto, todo operador h genera una topologia esto significa que h es un operador
topologico.
Capıtulo 5. Algebras booleanas 47
El complemento ch se define por ch(M) = ca(M) ∪ [u(M) ∩ ci(M)] para todo M
en P(X), al igual que h el operador ch cumple tres propiedades fundamentales las
cuales son importantes para generar la topologıa Tch = {M ⊆ X | ch(M) ⊆M c}.
Ahora con los operadores a, i y c se obtiene el algebra de Boole
〈{i, a, c}〉 = {CX , C∅, u, c, a, i, b, k, f, h, e, ci, cb, ck, cf, ch}
En el siguiente diagrama es mas facil ver como son las relaciones que hay entre las
16 funciones de 〈{i, a, c}〉. Aunque las funciones CX y C∅ no puedan generar una
topologıa, las 14 funciones restantes son operadores topologicos.
C∅
i
b k
e
u ch ch
f
cf
a
ck cb
ci
CX
Figura 5.3: Algebra de Boole generada por {i, a, c}.
Finalmente, tomando el conjunto A que esta en la Seccion 4.3. podemos verificar que
los operadores topologicos de 〈{i, a, c}〉 son distintos entre sı, aunque no es necesario
tener un conjunto tan complicado puesto que bastarıa no mas con aplicar cada una de
estas funciones al intervalo [0, 1) de la recta real para verificar que producen dieciseis
conjuntos distintos, sin embargo, esto se hace con la intencion de mostrar que no
todos los operadores en 〈{i, a, c}〉 son iguales a los operadores de Kuratowski.
Capıtulo 5. Algebras booleanas 48
racionalesu
1 5 6 7 80 2 3 4irracionales
c
0 2 3 41 5 6 7 8
a
30 1 2 4 5 6 7 8
e
30 1 2 4 5 6 7 8
i0 1 7 82 3 4 5 6
ci0 1 7 82 3 4 5 6
bracionales
2 3 40 1 5 6 7 8
cbirracionales
2 3 40 1 5 6 7 8
kirracionales
1 5 6 7 80 2 3 4
ckracionales
1 5 6 7 80 2 3 4
f
0 2 3 41 5 6 7 8
cf
0 2 3 41 5 6 7 8
hirracionales
10 2 4 5 6 7 8
chracionales
10 2 4 5 6 7 8
Figura 5.4: Operadores topologicos aplicados al conjunto A.
Capıtulo 6
Conclusiones
Los conceptos que fueron presentados al inicio del trabajo sobre la teorıa de retıculos
son fundamentales para la construccion de los operadores de adherencia y de interior,
donde la conexion de Galois juega un papel muy importante ya que genera una
pareja de funciones entre conjuntos ordenados las cuales mas adelante determinaron
las coleccion de abierto y cerrados, las composiciones de tales funciones dieron lugar
a la definicion de los operadores a e i.
Al estudiar el teorema de clausura-complemento de Kuratowski se considera que este
puede ser demostrado en terminos de los operadores de adherencia y complemento,
por tanto existen no mas de 14 operadores distintos al componer varias veces las
funciones a y c, este conjunto de operadores llamados operadores de Kuratowski a
su vez forman un conjunto ordenado con la relacion de orden en F(P(X),P(X)).
Los operadores de Kuratowski O no forman un algebra de Boole y si aplicamos las
operaciones binarias ∧, ∨ entre ellos se generar nuevos operadores, por este motivo
se escogen en particular los operadores {i, a, c} para observar el algebra de Boole que
estos generan con las operaciones ∧, ∨.
El algebra de Boole 〈{i, a, c}〉 tiene como elementos los operadores de borde, coborde,
exterior y frontera, los cuales poseen ciertas caracterısticas que ayudan a generar
topologıas para el espacio X. Ademas de estos se presentaron dos nuevos operadores
h y ch.
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