VISOKA ŠKOLA“CENTAR ZA POSLOVNE STUDIJE“ KISELJAK

SMJER: CESTOVNI PROMET

SEMINARSKI RAD

PREDMET : OPERACIJSKA ISTRAŽIVANJA

MENTOR: STUDENT:

prof.dr. Esad Jakupović Bilal Halilović

Kiseljak, februar 2012.

SADRŽAJ

1.OTVORENI TRANSPORTNI PROBLEMI 3

1.1.Pojam otvorenih transportnih problema 3

1.2.Tipovi otvorenih transportnih problema 3

2.Matematički model otvorenih transportnih problema 3

3.Metode rješavanja otvorenih transportnih problema 6

4.Optimalno rješenje otvorenih transportnih problema 7

5. Posebni slučajevi transportnih problema11

5.1.Složeni transportni problemi 12

5.2.Višeindeksni transportni problemi 13

5.3.Višefazni transportni problemi 13

6. DEGENERACIJE U TRANSPORTU 16

6.1.Grafički prikaz degeneracije...................................................................................................17

6.2. Otklanjanje degeneracije18

LITERATURA 22

2

1. OTVORENI TRANSPORTNI PROBLEMI

1.1.Pojam otvorenih transportnih problema

Otvoreni transportni problem je problem u kojem postoji neravnoteža između ukupne količine ponude

ishodišta i ukupne količine potražnje odredišta.

PRIMJER

Koristeći podatke transportnog zadatka iz Primjera 1. analizirati problem ako je kamionski prijevoznik

nabavio tri nova kamiona na terminalu T1.Ispitati kako će ta promjena uticati na optimalno rješenje

posmatranog problema?

1.2. Tipovi otvorenih transportnih problema

Postoje dva tipa otvorenih transportnih problema (OTP):

1) OTP sa suviškom u otpremi, odnosno kad je .

2) OTP sa suviškom u primitku, odnosno kad je .

2. MATEMATIČKI MODEL OTP

1) OTP sa suviškom u otpremi, odnosno kad je .

3

Standardni oblik matematičkog modela ovog tipa TP :

uz ograničenja

Takav se otvoreni transportni problem rješava tako da se svede na zatvoreni transportni problem

uvođenjem novoga fiktivnog odredišta potražnja kojeg sadrži razliku između ukupne ponude i

potražnje.

Fiktivno odredište Of se nalazi u (n+1). stupcu, a količina koju će primiti označava se sa xi, n+1.

Budući da se u ovom slučaju radi o višku kapaciteta ishodišta, to znači da se te jedinice ne prevoze u

nijedno odredište pa ne prouzrokuju nikakve troškove prijevoza. Zato su jedinični troškovi prijevoza

od svih ishodišta do fiktivnog odredišta ci, n+1= 0.

Uvođenjem dopunskih varijabli u standardni oblik matematičkog modela dobiva se kanonski oblik

matematičkoga modela:

uz ograničenja

4

2) OTP sa suviškom u primitku, odnosno kad je

Standardni oblik matematičkog modela ovog tipa TP:

uz ograničenja

Kod ovog se tipa otvorenog transportnog problema zatvoreni transportni model dobiva uvođenjem

fiktivnog ishodišta ponuda kojeg sadržava razliku između ukupne ponude i potražnje. Fiktivno

ishodište If se nalazi se u (m+1). retku

5

Jedinični troškovi prijevoza od tog ishodišta do svih odredišta su, analogno prethodnom tipu

otvorenog transportnog problema, cm+1, j = 0.

Uvođenjem dopunskih varijabli u model dobiva se kanonski oblik matematičkoga modela:

uz ograničenja

3. METODE RJEŠAVANJA OTP

OTP se rješava istim metodama kao i ZTP. Međutim, da bi se OTP preveo u zatvoreni transportni

problem potrebno je uvesti u matricu transporta ili jedno novo fiktivno ishodište ili jedno novo

fiktivno odredište, ovisno o tome je li ponuda veća ili manja od potražnje.

Iz navedenog slijedi:

da otvoreni TP treba najprije prevesti u zatvoreni TP,a zatim ga rješavati pomoću prethodno navedenih

metoda za zatvorene transportne probleme

6

4. OPTIMALNO RJEŠENJE OTP

1. Otvoreni transportni problem sa suviškom u otpremi se koristi pri analizi lokacije nekog ishodišta

(skladišta, mjesta proizvodnje, odnosno izvora odakle se raspoređuju jedinice).

Budući da je ponuda veća od potražnje optimalno rješenje pokazuje koja se ishodišta mogu eliminirati

ili pak moraju smanjiti ponudu, jer su, s obzirom na troškove, nepovoljnija od ostalih ishodišta.

2. Otvoreni transportni problem sa suviškom u primanju se koristi pri analizi lokacije nekog odredišta

(potrošača, utovarnog mjesta, …).

Budući da je potražnja veća od ponude sva odredišta neće biti podmirena, a to znači da će optimalno

rješenje pokazati koja se odredišta mogu eliminirati jer su, s obzirom na troškove, nepovoljnija od

ostalih odredišta.

PRIMJER

Koristeći podatke transportnog zadatka iz Primjera 1. analizirati problem ako je kamionski prijevoznik

nabavio tri nova kamiona na terminalu T1. Ispitati kako će ta promjena utjecati na optimalno rješenje

promatranog problema?

RJEŠENJE

U ovom je slučaju ponuda prvog ishodišta povećana na pet kamiona, a time i cjelokupna ponuda na 18

kamiona, dok je potražnja ostala nepromijenjena. Time je došlo do neravnoteže između ponude i

potražnje, odnosno do tzv. otvorenoga transportnog problema s viškom u ponudi.

Jedinični troškovi (ili udaljenosti ili vremena) u poljima matrice transporta za fiktivno ishodište ili

odredište iznose 0.

Matrica transporta za zadani problem glasi:

Utovar.mj. U1 U2 U3 U4 U5 Broj

7

Terminal kamiona

T1

20

x11

11

x12

15

x13

13

x14

0

x15 5

T2

17

x21

14

x22

12

x23

13

x24

0

x25 6

T3

15

x31

12

x32

18

x33

18

x34

0 x35

7

Broj

kamiona

3 3 4 5 3 18/18

Postupak rješavanja je analogan rješavanju zatvorenog transportnog problema. U ovom slučaju za

početni program korištena je metoda najmanjih troškova, a za testiranje početnog programa i

dobivanje optimalnog rješenja MODI-metoda.

Početni program – prvo bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 U5 Broj

kamiona

ui

T1

20

6

11

2

15

–1

13

–4

03

5 0

T2

17 7

147

12

4

13

2

0

4 6 –4

T3

15 3

121

18

1

18

3

0

–1 71

Broj

kamiona

3 3 4 5 3 18/18 -

8

vj 14 11 16 17 0 - -

Vrijednost programa Z = 207 minuta.

Drugo bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 U5 Broj

kamiona

ui

T1

20

10

11

4

15

3

13

2

0

3 5 0

T2

17 7

147

12

4

13

2

0

0 6 0

T3

15 3

123

18

1

18

1

0

–5 7 5

Brojkamiona

3 3 4 5 3 18/18 -

vj 10 7 12 13 0 - -

Vrijednost programa Z = 199 minuta

Treće bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 U5 Broj

kamiona

ui

T1

20 11 15 13

3

0

2 5 0

T2

17

14 12

4

13

2

0

6 0

9

T3

15 3

12 3

18 18

0

1 7 0

Brojkamiona

3 3 4 5 3 18/18 -

vj 15 12 12 13 0 - -

Vrijednost programa Z = 194 minute.

Četvrto bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 U5 Broj

kamiona

ui

T1

20

11

2

15

13

3

0

5 0

T2

17

14

12

4

13

2

0

6 0

T3

15 3

12 1

18 18

0

3 7 1

Brojkamiona

3 3 4 5 3 18/18 -

vj 14 11 12 13 –1 - -

Vrijednost programa Z = 192 minute.

10

Zaključak: Četvrto bazično rješenje je optimalno jer su u matrici transporta svi relativni troškovi

pozitivni.

Optimalno rješenje glasi:

Min Z = 192 minute;

x12 = 2, x14 = 3, x23 = 4, x24 = 2, x31 = 3, x32 = 1, x35 = 3.

Prema optimalnom rješenju izlazi da sva tri kamiona koja se u matrici transporta pojavljuju kao višak

ponude su kamioni s trećeg terminala. Budući da je U5 fiktivno utovarno mjesto ti se kamioni ne

stavljaju u upotrebu; oni su višak trećeg terminala za koje bi trebalo naći neki drugi posao.

Napomena:

I kod otvorenih transportnih problema se može pojaviti degeneracija koja se otklanja jednako tako kao

što je pokazano u Primjeru 2. za zatvorene transportne probleme.

5. POSEBNI SLUČAJEVI TRANSPORTNIH PROBLEMA

složeni transportni problemi

višeindeksni transportni problemi

višefazni transportni problemi

11

5.1. Složeni transportni problemi

Primjer

Robu smještenu u tri veleprodajna skladišta treba dnevno prevoziti do tri maloprodajna skladišta.

Količina robe kao i troškovi skladištenja dati su u tabeli:

Skladište Količina robe(t)

Troškovi

(n.j./t)

S1 30 10

S2 28 17

S3 42 12

Ukupno100 –

Narudžbe maloprodajnog skladišta iznose 33, 31, 36 tona, respektivno, a troškovi prijevoza robe

(n.j./t) od pojedinog veleprodajnog skladišta do pojedinog maloprodajnog skladišta iznose:

Potrebe

Skladište

P1 P2 P3

S1 10 18 21

S2 20 11 13

S3 15 9 28

a) Sastaviti matricu transporta zadatog problema uzevši u obzir troškove skladištenja i troškove

prijevoza.

b) Odgovarajućom metodom izračunati optimalno rješenje, tj. odrediti dnevni plan prijevoza robe iz

pojedinog veleprodajnog skladišta do pojedinog maloprodajnog skladišta s ciljem da ukupni

troškovi (skladištenja i prijevoza) budu minimalni.

Optimalno rješenje

12

Ad a) Početno bazično rješenje

Ad b) Min Z = 2476 n. jedinica; x11= 22, x13= 8, x23= 28, x31= 11, x32= 31 tona tereta.

5.2.Višeindeksni transportni problemi

Višeindeksni transportni problem (VITP) je problem linearnog programiranja za koji treba

odrediti vrijednosti xijk (troindeksni TP) gdje je i = 1,…,m; j = 1,…,n; k = 1,…,l , tj. broj

jedinica koje se prevoze, odnosno raspoređuju iz i-tog ishodišta u j-to odredište pomoću k-

tog prijevoznog sredstva s ciljem da se postignu minimalni troškovi prijevoza.

U teoriji operacijskih istraživanja razrađene su metode za ručno rješavanje VITP, i to metode za

postavljanje početnoga programa, a zatim dalje metode za testiranje programa i dobivanje optimalnog

rješenja.

Prijedlog:

umjesto prethodno navedenih metoda upotreba simpleks metode jer, zahvaljujući razvoju

programske podrške, postupak izrade pojedinih iteracija ne predstavlja veći problem, a

simpleks metoda omogućuje, za razliku od drugih metoda, i postoptimalnu analizu.

5.3.Višefazni transportni problemi

Dvo ili višefazni transportni problem je vrsta transportnog problema kod kojeg se jedinice ne

prevoze, odnosno raspoređuju direktno od ishodišta do odredišta, već posredno preko raznih

"međustanica", odnosno čvorova.

Primjerice, prijevoz robe iz proizvodnih centara do skladišta, a zatim do potrošača; uvoz

tereta sa stranih tržišta morskim putem do luke, iskrcaj i nastavak prijevoza cestovnim ili

željezničkim putem do korisnika; i sl.

Višefazni transportni problemi se rješavaju na dva načina:

Prvi je način da se višefazni proces raščlani na određen broj faza, a tada svaka faza rješava

sama za sebe da bi se na kraju zbrojili rezultati svih faza posmatranog transportnog procesa.

13

Drugi je način da se sve faze višefaznog procesa spoje u jedan jedinstveni transportni problem

(Orden-Mašova metoda) i time višefazni problem svodi na klasičan transportni problem.

Primjer

Tri proizvođača A1, A2 i A3 proizvode neku sirovinu u količinama od 20, 30 i 35 jedinica, respektivno.

Sirovina se prevozi u skladišta B1, B2, B3 kapaciteti kojih su 15, 45, 25 jedinica, respektivno. Troškovi

prijevoza jedinice sirovine od proizvođača do skladišta, izraženi u novčanim jedinicama, iznose:

Skladište

Proizvođač

B1 B2 B3

A1 6 4 2

A2 2 3 5

A3 3 5 9

Iz skladišta sirovina se prevozi do prerađivača C1, C2, C3 kapaciteta 10, 20, 55 jedinica, respektivno.

Troškovi na tim relacijama u novčanim jedinicama iznose:

Prerađivač

SkladišteC1 C2 C3

B1 4 2 5

B2 2 2 2

B3 3 6 3

Prerađevina se zatim prevozi do potrošača D1, D2, D3, D4. Njihove potrebe su 50, 20, 5, 10 jedinica.

Troškovi prijevoza od prerađivača do potrošača, u istim novčanim jedinicama, iznose:

PotrošačPrerađivač

D1 D2 D3 D4

14

C1 4 1 3 6

C2 3 3 6 2

C3 6 2 3 6

a) Izračunati najmanje moguće troškove prijevoza od proizvođača sirovina preko skladišta i prerade

do potrošača.

b) Grafički prikazati optimalno rješenje po fazama promatranog problema.

Optimalno rješenje

Ad a) Zadatak predstavlja transportni problem sastavljen od tri faze prijevoza: od proizvođača do

skladišta, od skladišta do prerađivača i od prerađivača do potrošača.

Takav se problem rješava na dva načina: rješavanje svake faze zasebno ili rješavanje transportnog

problema u cjelini formuliranjem višefaznog transportnog modela. Međutim, ovaj se način, zbog

obimnosti, ne preporučuje za “ručno” rješavanje.

Prva faza. Proizvođač-potrošač

Min Z = 285 n. j.; x13 = 20, x22 = 25, x23 = 5, x31 = 15, x32 = 20 jedinica.

Druga faza. Skladište-prerađivač

Min Z = 195 n. j.; x12 = 15, x21 = 10, x22 = 5, x23 = 30, x33 = 25 ili

x12 = 15, x22 = 5, x23 = 40, x31 = 10, x33 = 15 jedinica.

Treća faza. Prerađivač-potrošač

Min Z = 325 n. j.; x11 = 10, x21 = 10, x24 = 10, x31 = 30, x32 = 20, x33 = 5 jedinica.

Zbrajanjem troškova pojedine faze dobiveni su najmanji ukupni troškovi prijevoza od proizvođača do

potrošača u iznosu od 805 novčanih jedinica.

15

6. DEGENERACIJE U TRANSPORTU

Degenerirano bazično rješenje je svako rješenje koje ima manje od (m+n–1) pozitivnih xij.

Degeneracija se javlja kad su u transportnom problemu jednake parcijalne sume pojedinih

ishodišta, odnosno pojedinih odredišta.

PRIMJER 2.

Neka je u tekstu iz Primjera 1. došlo do promjene potrebnog broja kamiona na utovarnim

mjestima, i to: na utovarnom mjestu U2 povećanje za dva kamiona, a na utovarnom mjestu U3

smanjenje za dva kamiona. Odgovarajućim metodama ispitati kako će promjena u potražnji

uticati na optimalno rješenje iz prethodnih zadataka.

RJEŠENJE.

U ovom slučaju promjena potražnje na pojedinim utovarnim mjestima nije uticala na ukupan iznos potražnje; ona i dalje iznosi 15 kamiona i jednaka je ponudi, što znači da je i ovaj problem zatvoreni transportni problem.

Matrica transporta za zadani problem glasi:

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20x11

11

x12

15

x13

13

x14 2

T2

17

x21

14

x22

12

x23

13

x24 6

T3

15

x31

12

x32

18

x33

18

x34 7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

16

Vrijednosti xij, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n predstavljaju broj kamiona na pojedinoj relaciji (i,

j), a Z je ukupno vrijeme “prazne vožnje” za koje se traži minimalna vrijednost.

Zadatak je rješavan metodom sjeverozapadnog kuta za postavljanje početnog programa te

metodom “skakanja s kamena na kamen” za dobivanje optimalnog rješenja.

Početni program – prvo bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

2

11 15 13

2

T2

171

145

12 13

6

T3

15 12 18

2

18

5 7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

Vrijednost programa Z = 253 minute.

Budući da su parcijalne sume pojedinih ishodišta jednake parcijalnoj sumi pojedinih odredišta

(broj raspoloživih kamiona T1+T2 = broj potrebnih kamiona U1+U2), javlja se

degeneracija:broj kamena u matrici transporta ne zadovoljava uvjet (m+n–1).

Takvo je rješenje degenerirano i da bi se zadatak mogao riješiti broj nenegativnih varijabli

mora biti (m+n–1), odnosno nedegenerirano rješenje u matrici transporta.

6.1. Grafički prikaz degeneracije

Grafički prikaz degeneriranog rješenja:

17

Rješenje iz grafičkog prikaza je degenerirano jer broj zauzetih polja xij ne zadovoljava uvjet

da broj bazičnih varijabli iznosi (m+n–1).

6.2. Otklanjanje degeneracije

Takvo se rješenje ne može poboljšavati i dovesti do optimalnog rješenja prije nego se ne

prevede u nedegenerirano bazično rješenje. Problem otklanjanja degeneracije se sastoji u

pronalaženju polja i broja jedinica koje se smještaju u to polje. Najjednostavnije je na

prethodnom grafičkom prikazu povezati ishodište I2 s odredištem O3 (isprekidana linija) ili

relacija (3,2). Tim postupkom zadovoljen je uvjet za nedegenerirano rješenje, a zatim je

potrebno još odrediti vrijednost kamena x23.

Taj iznos treba biti toliko malen da ne utječe na vrijednost programa pa se stoga u to polje

stavlja nula i u daljnjem postupku se tretira kao i svako drugo zauzeto polje. Na taj je način

degenerirano bazično rješenje svedeno na nedegenerirano te se može dalje nastaviti postupak

rješavanja problema.

U praksi je poznat još jedan način otklanjanja degeneracije pomoću є.

Prvo bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

2

11

–6

15

0

13

–2 2

T2

171

145

12

0

13

1 6

T3

15 –8

12–8

18

2

18

5 7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

18

Postupak rješavanja se nastavlja kako je objašnjeno u prethodnom primjeru .

Treba naglasiti da kamen s vrijednosti 0 figurira u matrici transporta kao i svaki drugi kamen.

Drugo bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

11 15

13

2

T2

17

14

12 13

6

T3

15 12

18 18

7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

Z = 237 min; x11 = 2, x21 = 1, x22 = 3, x23 = 2, x32 = 2, x34 = 5 .

Treće bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

11 15

13

2

T2

17

14

12 13

6

15 12 18 18

19

T3 7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

Z = 217 min; x14 = 2, x21 = 3, x22 = 1, x23 = 2, x32 = 4, x34 = 3 . Četvrto bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

11 15

13

2

T2

17

14

12 13

6

T3

15 12

18 18

7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

Z = 210 min; x14 = 2, x21 = 3, x23 = 2, x24 = 1, x32 = 5, x34 = 2 .

Peto bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

11 15

13

2

T2

17

14

12 13

6

15 12 18 18

20

T3 7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

Z = 196 min; x14 = 2, x21 = 1, x23 = 2, x24 = 3, x31 = 2, x32 = 5.

Šesto bazično rješenje

Utovar.mj.

Terminal

U1 U2 U3 U4 Broj

kamiona

T1

20

11 15

13

2

T2

17

14

12 13

6

T3

15 12

18 18

7

Brojkamiona

3 5 2 5 15/15

Min Z = 193 min; x12 =1, x14 =1, x23 =2, x24 =4, x31 =3, x32 = 4.

Ovaj je zadatak primjer transportnog problema kod kojeg se pojavila degeneracija pri

postavljanju početnog rješenja metodom sjeverozapadnog kuta. Međutim, to ne mora značiti

da će se degeneracija pojaviti i u slučaju primjene drugih metoda za postavljanje početnog

rješenja, primjerice, metode najmanjih troškova ili Vogelove metode.

LITERATURA

21

1. Kalpić, D., Baranović, M., Mornar, V.: Planiranje proizvodnje karakterizirane procesima,

Zbornik radova s 1. konferencije iz operacijskih istraživanja KOI'91,Zagreb, 1991.

22