14. STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE

14.1. Uvod

Statički neodređena konstrukcija – konstrukcija kod koje nije moguće odrediti

unutrašnje sile iz uvjeta ravnoteže jer je broj mogućih jednadžbi manji od broja

nepoznatih veličina potrebnih za izračun unutarnjih sila.

Lz2n3s −⋅−⋅= , 0s < - statički neodređena konstrukcija

0s = - statički određena konstrukcija

S=3x1-2x0-4=-1 S=3x1-2x0-5=-2

S=3x1-2x0-6=-3 S=3x2-2x1-5=-1

Postupak proračuna (jedanput statički neodređena

konstrukcija):

1. Uklanjanjem suvišne veze statički neodređen sustav se

pretvara u statički određen sustav. Zbog uklanjanja veze

nastaje pomak δ10 koji na stvarnoj konstrukciji ne postoji.

2. Na osnovnom sustavu na mjestu uklonjene veze dodaje se

sila koja mora prouzročiti pomak po iznosu jednak δ10, a

suprotnog smjera.

3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunava se tražena sila.

0X 01111 =δ+⋅δ

4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se

superpozicijom stanja nastalog od vanjskog opterećenja i

izračunate sile na mjestu uklonjene veze.

1x

10

xx XmMM ⋅+= , 1x

10

xx XtTT ⋅+= ,

1x

10

xx XnNN ⋅+= , 1x

10

xx X⋅δ+δ=δ

14.2. Metoda silaMetoda sila je metoda rješavanja statički neodređenih konstrukcija oslobađanjem sila u prekobrojnim vezama.

PA

B

δ10

PB

Osnovni sustav

A

PB

A X1

Postupak proračuna (višestruko statički neodređene konstrukcije):

1. Uklanjanjem suvišnih veza statički neodređen sustav se pretvara u statički određen

sustav (tzv. osnovni sustav). Zbog uklanjanja veza nastaju pomaci δ10, δ2

0,..., δn0 koji

na stvarnoj konstrukciji ne postoje.

2. Na osnovnom sustavu na mjestu svake uklonjene veze dodaje se sila. Dodane sile

moraju prouzročiti pomake po iznosima jednake δ10, δ2

0,..., δn0, a suprotnog smjera.

3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunavaju se tražene sile.

0...XX

0...XX0...XX

0n22n11n

02222121

01212111

=δ++⋅δ+⋅δ

=δ++⋅δ+⋅δ=δ++⋅δ+⋅δ

M

4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se superpozicijom stanja

nastalog od vanjskog opterećenja i izračunatih sila na mjestu uklonjenih veza.

...XmXmMM 2x

21x

10

xx +⋅+⋅+=

...XtXtTT 2x

21x

10

xx +⋅+⋅+=

...XnXnNN 2x

21x

10

xx +⋅+⋅+=

...XX 2x

21x

10

xx +⋅δ+⋅δ+δ=δ

Primjer 1: Konzola poduprta na slobodnom kraju.a b

PEI

l

Osnovni sustavX =11

1

Pab/l

m1

Mx0

Mx

b/l

2b/3l

1/32b/3l

Pab/l

t1

Tx0

Tx

1/l+

+-

+-

Pa/lPb/l

S = 3x1-0-4 = -1

m1 – dijagram momenata za jedinični moment na osnovnom sustavu Mx

0 – dijagram momenata za vanjsko opterećenje na osnovnom sustavu

Pri određivanju pomaka zanemaruje se utjecaj poprečnih sila.

Jednadžba kontinuiteta: 0

1111 X δ−=⋅δ

EI31

32

21

EI1

11ll

=⋅⋅⋅

⋅=δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅=δ

lllb

32

2bb

32

31

2aPab

EI10

1 ( )b22PabX 2

11

01

1 +−

=δδ−

= ll

Unutrašnje sile:

110

xx XmMM +=

110

xx XtTT +=

Poprečne sile možemo izračunati: - metodom sila 11

0xx XtTT +=

- iz dijagrama momenata dx

dMT xx =

Primjer 2: Kontinuirana greda

Osnovni sustav

X =11

1m1

Mx0

Mx

q

EIll

EI

EI EI

q /8l2

q /16l2

q /8l2

2132

21

EI1

11 ⋅⋅⋅⋅

⋅=δl

21

8q

32

EI1 2

01 ⋅⋅⋅=δ ll

16qX

2

1l−

=

Primjer 3: Kontinuirana greda – utjecaj krutosti na ponašanje sustava

a) q

4EIll

EI

Mx

q /40l2

q /8l2

b)

q

4EIll

EI

q /8l2 q /10l2

Osnovni sustav, m1 i Mx0 isti kao i kada

je krutost cijelog nosača konstantna.

3EI451

32

21

EI1

EI41

11ll⋅=⋅⋅

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=δ

24q

EI41

21

8q

32

EI41 32

01

lll⋅=⋅⋅⋅=δ

40qX

2

1l−

=

10qX

2

1l−

=

Primjer 4: Obostrano upeta greda

q

EIl

Osnovni sustavX =11

1

ql /82

m1

Mx0

Mx

X =X =11 2

ql /242

ql /122ql /122

Jednadžba kontinuiteta: 0

1111 X δ−=⋅δ

11EI1

11 ⋅⋅⋅=δ l

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=δ 1

8q

32

EI1 2

01 ll

11

01

1Xδδ−

= ; 12qX

2

1l−

=

- Metoda pomaka je metoda rješavanja statički određenih i neodređenih konstrukcija.

Osnovne nepoznanice su pomaci čvorova konstrukcije.

Ravninska linijska konstrukcija

1

xG

yG

Promatrani cvor

u1

v1

ϕ1

Prostorna linijska konstrukcija

1

xG

zG

Promatrani cvor

u1

w1

ϕx1

yG

v1

ϕz1

ϕy1

14.3. Metoda pomaka

- Ukupno stanje sustava U (pomaci i sile) može se prikazati u obliku:

nn22110 yUyUyUUU ⋅++⋅+⋅+= L

y1, y2, ..., yn – pomaci čvorova konstrukcije

U0 – stanje sustava u kojem su svi nezavisni pomaci spriječeni. Nazivamo ga stanje

pune upetosti.

Ui – stanje sustava bez vanjskih sila. Dopušten je pomak yi=1, a svi ostali nezavisni

pomaci su spriječeni. Ovo stanje nazivamo stanje jediničnih pomaka.

Zadani sustav i opterećenje

EI2

EI3

p(x)

EI1

Diskretizacija sustava (definiranje broja nepoznatih pomaka) Pretpostavka: deformiranje uslijed savijanja u=y3 u=y3 φ2 2=yφ1 1=y

y1, y2, y3 – 3 nezavisna pomaka čvorova (minimalni broj pomaka) Utjecaj savijanja i uzdužnog deformiranja

E , I , A1 1 1 E , I , A2 2 2

E , I , A3 3 3

u =y1 1 u =y2 4φ1 3=y φ2 6=y

v =y1 2 v =y2 5

y1, y2, ..., y6 – 6 nezavisnih pomaka čvorova

Minimalni broj nezavisnih pomaka

Bez obzira kakva zanemarenja deformiranja vršimo, svaki sustav ima minimalni brojnezavisnih pomaka koji moramo uzeti u obzir pri diskretizaciji.

Ako zanemarimo uzdužne deformacije te biramo minimalni broj nezavisnih pomaka, sustave možemo podijeliti na nepomične i pomične.

Pri diskretizaciji možemo slobodno usvojiti veći broj nezavisnih pomaka od minimalnog,ali među njima moraju biti sadržani oni koji su se nalazili u minimalnom broju.

Minimalni broj nezavisnih pomaka Broj nezavisnih pomaka veći od minimalnog

EI2

3

1

y1 y3

y2

xG

yG

φG

EI

23 4

5

61

y3

y4

y5

y2

y8

y9

y6 y7

xG

yG

φG

Primjeri nepomičnih sustava Primjeri pomičnih sustava

Ako nakon zanemarenja uzdužnog deformiranja sustav ima samo kuteve zaokreta kao nezavisne pomake, nazivamo ga nepomičnim. U suprotnom je pomičan onoliko puta koliko ima nezavisnih translatornih pomaka.

Globalni i lokalni koordinatni sustav

- Globalni koordinatni sustav i globalne sile i pomaci

• U globalnom koordinatnom sustavu (obično desnom) definira se sustav kao cjelina

• Svaki nezavisni pomak dobije svoj redni broj

• Smjerovi pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila u globalnom

koordinatnom sustavu definiraju se pozitivnim smjerovima koordinatnih osiju.

φG

yG

xG

Smjerovi pozitivnih pomaka u globalnom

koordinatnom sustavu

- Lokalni koordinatni sustav i lokalne sile i pomaci

• Svaki element se definira početkom i krajem (brojem početnog i krajnjeg čvora)

yLxL

φL • Ishodište lokalnog sustava se bira u početnom čvoru. Lokalna os xL ide od

početnog prema krajnjem čvoru. Okomito na nju u skladu s orjentacijom desnog

koordinatnog sustava postavlja se lokalna os yL te zaokret φL.

• Predznaci pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila definiraju se

pozitivnim smjerovima lokalnih koordinatnih osiju ako se iskazuju u lokalnom

sustavu.

Analiza stanja pune upetosti Stanje pune upetosti je stanje kod kojeg su spriječeni pomaci svih čvorova konstrukcije.

p(x)

Sprijecenzaokret

Pomaci i unutrašnje sile postoje samo na onim elementima koji su izravno opterećeni.

Istodobno postoji djelovanje sila tih elemenata na pridržane čvorove.

Postoji kontinuitet (kompatibilnost) pomaka, ali ne postoji ravnoteža sila u pridržanim čvorovima.

Pomaci i sile cijelog sustava za stanje pune upetosti U: 0x

0x

0x

0x N,T,M,δ

Sile upetosti pojedinačnih elemenata:

F13 3

F23

F33

F53

F43

F63

1

p (x)1

F11

F21

F31

2

F62

F52

F42

Fi

m – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog pomaka, posredstvom m-tog elementa.

∑=m

mii FF – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog

pomaka, posredstvom svih elemenata.

Određivanje unutarnjih sila za stanje pune upetosti za svaki štap svodi se na rješavanje tri

puta statički neodređenog nosača metodom sila ili rješavanjem diferencijalnih jednadžbi

štapa s homogenim rubnim uvjetima.

q

EIl

Mx

ql /242

ql /122ql /122

0 l

12qlM

2

0 = ; 12qlM

2

l −=

Mx

P /8l

PEI

l/2 l/2

P /8lP /4l

0 l

8PlM0 = ;

8PlMl −=

Analiza stanja jediničnih pomaka

1

3

2

y =11

- Promatra se stanje za jedinični zaokret y1=1 - Postoje unutrašnje sile na elementima koji dodiruju promatrani

čvor. Istodobno postoje sile tih elemenata na čvorove sustava.

- Postoji kompatibilnost (kontinuitet) pomaka, ali ne postoji

ravnoteža čvorova.

Pomaci i sile na pojedinim elementima:

1k1

13

k123 k1

33 3

k313 k3

33

k323 k3

53

k343k3

63

kijm – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″

posredstvom elementa m.

∑=m

mijij kk – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″

posredstvom svih elemenata.

Zbog uzajamnosti radova vrijedi: jiij kk =

Ravnoteža čvorova sustava se uspostavlja linearnom kombinacijom stanja jediničnih

pomaka sa stanjem pune upetosti. Sada je promatrani sustav u ravnoteži, a postoji i

kontinuitet njegovih pomaka, što predstavlja traženo rješenje.

Jednadžbe ravnoteže:

0Fykykyk

0Fykykyk

0Fykykyk

nnnnini11n

ininiii11i

1nn1ii1111

=−++++

=−++++

=−++++

LLM

LLM

LL

ili u matričnom obliku

FYK =⋅ K – matrica krutosti, pravokutna i

simetrična Rješenje jednadžbi ravnoteže:

FKY 1 ⋅= −

Traženi pomaci ili sile na proizvoljnom mjestu:

nnx2x21x1x0x yUyUyUUU ⋅++⋅+⋅+= L

Analiza jediničnih stanja pomaka i sila upetosti štapnog elementa provodi se slijedećim metodama: - metoda pomaka – izravnom integracijom jednadžbi ravnoteže

- metoda pomaka – numeričko rješenje metodom virtualnog rada

- metoda sila

EIl

y

xM0 T0

N0

MlTl

Nl

Pozitivni predznaci sila i pomaka na rubovima odgovaraju pozitivnim smjerovima osi lokalnog koordinatnog sustava.

Jednadžba ravnoteže: syk =⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

lEI4

lEI60

lEI2

lEI60

lEI6

lEI120

lEI6

lEI120

00l

EA00l

EAlEI2

lEI60

lEI4

lEI60

lEI6

lEI120

lEI6

lEI120

00l

EA00l

EA

22

2323

22

2323

k ;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕ

ϕ=

l

l

l

0

0

0

l

l

l

0

0

0

MTNMTN

;

vu

vu

sy

EIl

y

xM0 T0

N0

MlTl

Nl

N0

T0

M0

Nl

Tl

Ml

u0 v0 ϕ0 ul vl ϕl

Značenje prvog stupca (retka) u matrici

k16

k15

k14k11

k12

k13

1.0 u

lEAkk 1411 =−=

0kkkk 16151312 ====

Značenje drugog stupca (retka) u matrici v(y)

k21

k22

k23

k24

k25

k26

1.0

0kk 2421 ==

32522 lEI12kk =−=

22623 lEI6kk ==

Značenje trećeg stupca (retka) u matrici v(y)

k31

k32

k33

k34

k35

k36

0kk 3431 ==

23532 lEI6kk =−=

lEI4k33 = ;

lEI2k36 =

Zadatak 1:

1EI 2EI

2l1l

q

111k

211k

EI EIll

12

3

P

φ2 1=y

y =11

1 1k

22k

Nepoznati pomaci

Koeficijenti matrice krutosti

11F

21F

1

2

1F

2F

Određivanje koeficijenata kij

1

1111 l

EI4k = ; 2

2211 l

EI4k =

2

2

1

111 l

EI4lEI4k +=

Određivanje sila upetosti:

12qlF

211

1 −= ; 8

PlF 221 =

8Pl

12qlF 2

21

1 +−=

Postavljanje sustava jednadžbi: 1111 Fyk −=⋅ Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: 21 ll = , 21 II = , Plq =⋅

Rješenje jednadžbe: 24Pl

8Pl

12Ply

lEI8 1 −=−=⋅ ,

EI192Ply

2

1 −=

Sile na rubovima elementa:

22222

10 ql

967

96ql

12ql

EI192Pl

lEI2

12qlM =−=−=

22222

11

111l

1l ql

485

48ql

12ql

EI192Pl

lEI4

12qlykFM −=−−=−−=⋅+=

2222

12

112

02

0 ql485

48ql

8ql

EI192Pl

lEI4

8PlykFM =−=−=⋅+=

2222

2l ql

9613

96ql

8ql

EI192Pl

lEI2

8PlM −=−−=−−=

Dijagrami unutrašnjih sila

796

2ql

548

2ql

ql 2

8Pl4

0168. ql 0 768. P

0 531. P0532. ql

Plql 2

9613

9613

=796

2ql

548

2ql

ql 2

8Pl4

+-

0168. ql

0532. ql+ +

--Tx

MxPlql 2 1313

=

Zadatak 2:

1EI 2EI

2l1l

1q 2q

111k 1

21k

233k2

23k

112k 2

32k122k

222k

11F 1

2F1q

22F

23F2q

EI EIll

qq

1 2

φ1 1=y φ2 2=y φ3 3=y

y =11

11k 1k

y =13

233k2

23k2

y =12

12

1k 232k

1k

2k

1F 1Fq 1

2F

23F

2

q

Nepoznati pomaci

Koeficijenti matrice krutosti

Sile upetosti

Koeficijenti matrice krutosti:

1

1111 l

EI4k = ; 1

1112 l

EI2k =

112

121 kk =

2

2

1

1222

12222 l

EI4lEI4kkk +=+=

2

2232 l

EI2k = ; 232

223 kk =

2

2233 l

EI4k =

Sile upetosti:

12lqF

2111

1 = ; 12lqF

2111

2 −=

12lqF

2222

2 = ; 12lqF

2222

3 −=

Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: 21 ll = = l, 21 II = = I, q2q2q 12 ==

Jednadžbe ravnoteže:

6qly

lEI4y

lEI2

12qly

lEI2y

lEI8y

lEI2

12ql0y

lEI2y

lEI4

2

32

2

321

2

21

=⋅+⋅

−=⋅+⋅+⋅

−=+⋅+⋅

Rješenje:

EIql

961y

3

1 −= ; EIql

481y

3

2 −= ; EIql

965y

3

3 =

Vrijednosti momenata savijanja: 0M 1

1 =

2332

12

22 ql

163

EIql

965

lEI2

EIql

481

lEI4

12ql2MM =+

−+=−=

Dijagrami unutrašnjih sila:

ql165

2/l

ql325

T2

1 == ; ql1611

2/l

ql325

163

T

2

L2 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

ql1619

2/l

ql412

323

T

2

D2 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ; ql1613

2/l

ql412

323

T

2

L3 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

Zadatak 3: Okvir s krutim prečkama

412k

422k 5

22k

512k

111k 2

11k1y1 =

411k

421k 5

21k

511k

Zadani sustav

1

1

2

2

3 3

4

5

4

5

66

EI EI

EIEI l

l

H1

H2

EI1→∞

EI1→∞

u =u =y5 6 2

u =u =y3 4 1

4k

4k 5k

5k1k 2k

1y4k

4k 5k

5k

Nepoznati pomaci

Jedinicni pomaci i koeficijenti krutosti

l

y =12

511

211

4113

111 kkk

lEI12k ==== 3

512

412 l

EI12kk −==

35

214

21 lEI12kk −== 3

522

422 l

EI12kk ==

Jednadžbe ravnoteže:

0HylEI122y

lEI122

0HylEI122y

lEI124

22313

12313

=−⋅+⋅⋅−

=−⋅−⋅⋅

Matrično: 0FYK =−⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2

1

2

13 H

H;

yy

;2224

lEI12 FYK

Rješenje:

3212

3211 l

EI24H2Hy;l

EI24HHy ⋅

+=⋅

+=

4lHMMMM 25

l5

04

l4

0⋅

==== ; ( )4

lHHMMMM 212l

20

1l

10

⋅+====

Dijagrami pomaka i unutrašnjih sila

4l)HH( 21 +

4l)HH( 21 +

4l)H2H( 21 +

4l)HH( 21 +

4lH2

4lH2

4lH2

2HH 21 +

2HH 21 +

2H2H 21 +

2H2

2H2

2H2H 21 +

2H3H 21 +

2H3H 21 +

2H2

2H2

4l)HH( 21 +

4l)HH( 21 +

4l)H2H( 21 +

4l)HH( 21 +

4lH2

4lH2

4lH2

Mx

2HH 21

2HH 21

2H2H 21

H2

2H2

Tx

dx

Nx

2H2H 21

2H3H 21

2H3H 21

H22

H2

+ -

-

-

Simetrično opterećen okvir s krutim prečkama

2q

1q

8Lq 2

1 ⋅

8Lq 2

2 ⋅

q

q

px Mx

Lq 21 ⋅

Lq 22 ⋅

Tx Nx

-

-

-

-

Simetrično opterećen okvir s deformabilnim prečkama

2q

1q

8Lq 2

1 ⋅

8Lq 2

2 ⋅q

q

px TxMx

Lq 21 ⋅

Lq 22 ⋅

Nx