Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait I) Les milieux diélectriques...

Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique parfait

I) Les milieux diélectriques parfaits

1) Définitions



1) Définitions

2) Polarisation d’un milieu diélectrique

a) Phénomène de polarisation



1) Définitions


a) Phénomène de polarisation

b) Les différents types de polarisation

Polarisation électronique :

Polarisation dipolaire :

E = 0

dp0 = 0

p0micro

E 0

pmicro

dpinduit 0

Polarisation ionique :



1) Définitions


3) Le vecteur polarisation

M

d

V

P(M,t)



4) Les densités équivalentes dans le vide




a) Densité volumique équivalente de courant lié

d

q1, P1

q3, P3

q5, P5

q2, P2

q4, P4

q6, P6

M

q7, P7

τ k,micro kk k

d (M,t).d q . kp P p MP

τ τ k kk

Dd d q .

Dt tP P

v

Par définition le moment dipolaire mésoscopique dp résultant sur le volume d vaut :

Le point M et le volume d sont fixes, la dérivée particulaire de P se confond avec sa dérivée locale :

d

q1, P1

q3, P3

q5, P5

q2, P2

q4, P4

q6, P6

M

q7, P7

q1 = q3 = q5

q2 = q4 = q6

k de type i

i

dN

k

i

v

v

Dans d, parmi les porteurs de charges individuels, un nombre dNi porte la même charge qi.On introduit pour ces dNi porteurs de charges une vitesse moyenne vi définie par :

On introduit pour ces dNi porteurs de charges une densité volumique de particules ni définie par :

dNi = ni.d

k i ik i k de type i i k de type i

q . q . qk k kv v v

Puis toujours dans d, on regroupe les charges par valeur de charge :

τk i i i ik i i

q . q . .dN q . .n .dk i iv v v

ρii

. t i liéP

v j

τ τ ρ τk k i i ik i i

d q . q . .n .d . .dt i iP

v v v

On obtient finalement :

Cette relation locale est intrinsèque

t liéP

j

Une polarisation P(t) variant dans le temps est équivalente à une densité volumique de courant jlié dans le vide.

Interprétation :





b) Densité volumique équivalente de charges liées

ρdiv 0

tj

j = jlibre + jlié = jlié et = libres + liées = liées

ρρ liéesliées div div 0

t tliéP

j

L’équation locale de la conservation de la charge en M à la date t :

Dans un diélectrique parfait neutre :

liées = – divP

Dans un diélectrique parfait neutre :

Cette relation locale est intrinsèque

Une polarisation P(M) variant dans l’espace est équivalente à une densité volumique de charges liées dans le vide.

Interprétation :

liées = – divP





b) Densité volumique équivalente de charges liées

c) Récapitulatif

Un diélectrique parfait de vecteur polarisation P peut être modélisé par du vide dans lequel on a placé une densité volumique de courant lié jlié et une densité volumique de charges liées liées telles qu’en M à la date t :

liées = – divP t liéP

j



5) Les milieux diélectriques parfaits, linéaires, homogènes et isotropes

Un milieu diélectrique est linéaire et isotrope si le tenseur de susceptibilité ne privilégie aucune direction, i-e il est scalaire :

P(M) = 0.(M,).E(M)

Définition :

Un milieu diélectrique est linéaire, homogène et isotrope si de plus la susceptibilité diélectrique ne dépend pas du point M :

P(M) = 0.().E(M)

Définition :


II) Propagation dans un diélectrique parfait linéaire, homogène, isotrope



1) Équation de propagation

Dans un D.L.H.I. :

= liées = – divP ;

ρρχ

ε ε ε

χ

liées

0 0 0

divdiv div

div 1 0

PE E

E

divE = 0

P = 0.().E

tliéP

j j

μ ε μ ε

μ μ ε μ ε χ

0 0 0 0lié

0 0 0 0 0

rot t t

rot . . 1t t t

E EB j j

P E EB

tliéP

j j

L’équation locale de Maxwell – Faraday :

L’équation locale du flux magnétique :

divB = 0

Les équations locales de Maxwell dans un D.L.H.I. :

tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

Les équations locales de Maxwell :

μ ε χ0 0rot . 1tE

B

divE = 0

L’équation de propagation de E :

t t

rotBBrot rotE rot

μ χε

μ ε χ0 0

2

0 0 2

. 1 t

.

t

t1

rot rotE

Erot rot

E

E

rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

Finalement :

L’équation de propagation de E :

Δ μ ε χ2

0 0 21 .tE

E 0

Δ

μ

χ

ε

2

2 2

0 0

c t

1c

1

.

EE 0

De même :

L’équation de propagation de B :

Δ μ ε χ2

0 0 21 .tB

B 0

Δ

μ

χ

ε

2

2 2

0 0

c t

1c

1

.

BB 0



1) Équation de propagation

2) Transversalité des ondes

Notation complexe

E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)]

B(M,t) = B0.exp[j(t – k.r)]

k = k.u avec k = k’ + jk’’

– j.k ω jt

Structure des O.P.P. dans le D.L.H.I.

Re(u.E) = u.Re(E) = u.E = 0

Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ;Dans un D.L.H.I., les O.E.M.P.P. sont transverses électriques, T.E.

divE = 0 donne .E = – jk.E = 0 ou k.E = 0 ou u.E = 0

Re(u.B) = u.Re(B) = u.B = 0

Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ;Dans un D.L.H.I., les O.E.M.P.P. sont transverses magnétiques, T.M.

divB = 0 donne .B = – jk.B = 0 ou k.B = 0 ou u.B = 0

Structure des O.P.P. dans le D.L.H.I.

x E = – jk x E = – j.B

tB

rotE

k x E = .Bω

x k

B E

Cette relation est fondamentale pour le calcul de B

Contrairement au vide, E et B ne sont pas nécessairement orthogonaux et en phase car k est a priori complexe

Structure des O.P.P.H. dans le D.L.H.I.



3) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative ; Indice d’un milieu

a) Relation de dispersion ;Permittivité diélectrique relative

Rappels :

E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)]

B(M,t) = B0.exp[j(t – k.r)]

k = k.u avec k = k’ + jk’’

– j.k ω jt

– k2 ω2

22

t

La relation de dispersion

χΔ

μ ε

2

2 2

0 0

c t

1c

.

1 EE 0

– k2

ω2

22

t

χω2 2

21

k c

E 0

χ

ω2 22

1k

c

On définit la permittivité diélectrique relative complexe d’un D.L.H.I. par :

r = 1 +

Définition :

ωε

22

r 2k c

On définit la permittivité diélectrique complexe d’un D.L.H.I. par :

= r.0

Définition :



3) Relation de dispersion ; Permittivité diélectrique relative ; Indice d’un milieu

a) Relation de dispersion ;Permittivité diélectrique relative

b) Indice d’un milieu

Définition :

0

kn

k

On définit l’indice complexe n d’un milieu diélectrique par la relation :

tels que n2 = r = 1 + et k = n.k0, avec

ω πλ0

0

2k

c

où k0 et 0 sont le nombre d’onde et la longueur d’onde de l’onde se propageant dans le vide.

Interprétation :

L’extérieur propose une onde de pulsation à un DLHI qui répond par le vecteur d’onde k.

L’indice complexe n compare la réponse du milieu à celle qu’aurait le vide pour la même onde.

n = n’ + jn’’

0

kn' Re(n)

k'

n’ est l’indice de dispersion ou de réfraction

0

kn'' Im(n)

k''

n’’ est l’indice d’absorption ou d’extinction

Définition :

On dit qu’un milieu est transparent si n’’ = 0.

Ainsi l’indice de dispersion doit être identifié à l’indice lumineux n d’un milieu transparent tel qu’il a été défini en optique.

Définition :

La vitesse de phase d’une O.P.P.H*. dans le milieu diélectrique est définie par :

φω c

v k n' '

φ

cn

v'

Si u = ux :

Dans le cas particulier d’une polarisation rectiligne : E0 = E0.exp(j0) avec E0 = E0.uy alors :

E(M,t) = E0.expj(t – k.x) = E0.expj(t – k.x + 0)

E(M,t) = E0.exp(k’’.x).expj(t – k’.x + 0).uy

k = k.ux avec k = k’ + jk’’

La phase de notre onde dans le milieu s’écrit alors : (x,t) = t – k’.x + 0 = t – n’.k0.x + 0

Ψ ω φ

πΨ ω φ

λ

πΨ ω δ φ

λ

0

00

00

n .x(x,t) t

c2

(x,t) t (n'.x)

2(x,t) t

'

On obtient les équations de Maxwell, les équations de propagation, la relation de dispersion dans un D.L.H.I. neutre à partir de celles du vide en prenant j = 0, = 0 et en remplaçant 0 par = 0.r = 0.n2 :

Remarque :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :

L’équation locale du flux magnétique :

divB = 0


tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Ampère :


2

2n

rot tcE

B

div(n2.E) = 0

Les équations de propagation de E et de B :

Δ2 2

22nc

tE

E 0

Δ2 2

22nc

tB

B 0

La relation de dispersion

ω22 2

2k nc



4) Aspect énergétique

Aspect énergétique

E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)].uy

k = k.ux avec k = k’ + jk’’

E(M,t) = E0.expj[t – (k’ + jk’’)x].uy

E(M,t) = E0.exp(k’’x).expj(t – k’x).uy

E(M,t) = Re(E) = E0.exp(k’’x).cos(t – k’x).uy

ω x

kB E

ωω 0

k jk E .exp k x .expj t k x . x x y

' ''B '' ' u u

ω ωω ω0

(M,t)

k kE cos t k x sin t k x exp k x . z

B

' ''' ' '' u

Πμ0

x

E B

Π

ω

μ ωω ω

220

0

k .cos t k xE

exp 2k x.

k .cos t k x .sin t k xx

' '

'' u

'' ' '

Πμ ω μ

2 20 0

00 0

k E n E exp 2k x . exp 2n k x .

2 2 cx x' '

'' u '' u

Πμ0

x

E B



4) Aspect énergétique

5) Milieu peu dense : Le modèle de l’électron élastiquement lié

a) Le modèle de l’électron élastiquement lié

Le modèle de l’électron élastiquement lié

. Les différents électrons des molécules de l’atmosphère sont traités indépendamment ;


. Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti ; L'électron est soumis à une force de rappel qui rend compte de l'action du champ électrique créé par le noyau et les autres électrons ; Il est soumis, en outre à une force de frottements fluides qui rend compte des diverses causes d'amortissement telles que les collisions entre électrons et le rayonnement dipolaire.

ω20 m. .rf r Γ m. .vf r


. L'électron est placé dans un champ électrique extérieur E. L'analyse de Fourier permet de se ramener au cas d'un champ variant sinusoïdalement avec le temps ;d'autre part, on néglige le déplacement de l'électron par rapport à la longueur d'onde de E ;


Cette hypothèse est réaliste car par définition un électron lié se déplace à l'échelle de l'angstrom, distance très inférieure aux longueurs d'ondes usuelles en électromagnétisme. On peut donc considérer le champ électrique comme uniforme à l'échelle du déplacement de l'électron et écrire E = E0.cost ; En pratique, on a :

<< 0


b) La susceptibilité diélectrique et l’indice complexe



a) Le modèle de l’électron élastiquement lié

ω Γ ω20m m. . m. . e. .cos t0r r r E

ω ω Γω2 20m j e.r E

ω

ω ω Γω2 20

.expj te

m j0E

r

ω

ω ω Γω

2

2 20

.expj te e.

m j0E

p r

ω

ω ω Γω

2

2 20

.expj tn .e n .

m j

** 0E

P p

χε ω ω Γω

2

2 20 0

n .e 1 .

.m j

*

Hypothèse : || << 1

χ

ε ω ω Γω

2

2 20 0

n .e 1n 1 1 .

2 2 .m j

*

ω ω Γω

ε ω ω Γ ω

2 220

22 2 2 20 0

jn .en 1 .

2 .m

*

χε ω ω Γω

2

2 20 0

n .e 1 .

.m j

*

ω ω

ε ω ω Γ ω

2 220

22 2 2 20 0

n .en Re(n) 1 .

2 .m

*'

Γω

ε ω ω Γ ω

2

22 2 2 20 0

n .en Im(n) . 0

2 .m

*''




c) Interprétations des graphes

Rappel :

Un milieu est transparent pour une O.P.P.H. si l’indice du milieu n pour la fréquence de l’O.P.P.H. est réel, n’’ 0 :l’onde s’y propage sans atténuation et la dispersion est relativement faible.

|n’’|

indice d’absorption

transparencetransparence

bande d’absorption

n’

1

indice de dispersion


III) Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques

1) Position du problème

n1

I

ki

n2

(1)

(2)

i1

E1 = Ei + Er ;

Conditions aux limites sur l’interface :

B1 = Bi + Br ;

E2 = Etr ; B2 = Btr ;

212

n

tc1

1E

rotB

Relations dans le milieu (1) :

t1

1B

rotE

divB1 = 0 21div n 01E

222

n

tc2

2E

rotB

Relations dans le milieu (2) :

t2

2B

rotE

divB2 = 0 22div n 02E

Relations de passage en un point M de l’interface :

Et2 = Et1tB

rotE

donne

Bn2 = Bn1divB = 0 donne

Bt2 = Bt1

2

2n

tcE

rotB

donne

2 21 2n nn1 n2E Edonnediv(n2E) = 0

En notation complexe :

E1 = E0i.expj(t – ki.r) + E0r.expj(t – kr.r)

E2 = E0tr.expj(t – ktr.r)

ω1n .

ci ik u ω1n .

cr rk u ω2n .

ctr trk u


1n x

ci iiB u E

1n x

cr rrB u E

2n x

ctr trtrB u E



2) Les lois de Descartes

a) Les lois de Descartes

T

N

I

ki

n1 (1)

n2 (2)

i1kr

ktr

r

i2

Continuité de la composante tangentielle de E :

Et0i.expj(t – ki.r0) + Et0r.expj(t – kr.r0)=

Et0tr.expj(t – ktr.r0)

t,

M0 de ()

Continuité de la composante tangentielle de E :

Et0i + Et0r.expj(ki – kr).r0 = Et0tr.expj(ki – ktr)r0

r0

Les lois de Descartes

kr = ki + a.N ktr = ki + b.N

Ces deux égalités constituent les lois de Descartes :

Les lois de Descartes

• Les vecteurs d’onde kr et ktr des ondes réfléchie et réfractée sont dans le plan d’incidence, défini par les vecteurs ki et N

• ki.T = kr.T = ktr.T :La continuité de la composante tangentielle du champ électrique E impose la continuité des composantes tangentielles des vecteurs d’onde

Les lois de Descartes pour l’optique géométrique

• Les rayons réfléchi et réfracté sur un dioptre appartiennent au plan d’incidence

• Les angles de réflexion et d’incidence sont opposés : ki.T = kr.T donne sini1 = – sinr ou i1 = – r

• Les angles de réfraction et d’incidence vérifient : ki.T = ktr.T donne n1.sini1 = n2.sini2





b) Cas de la réflexion totale

La réflexion totale

• Si i1 i1L, il existe une onde transmise dans le milieu (2) :

• Si i1 > i1L, l’expérience montre qu’il y a réflexion totale. Néanmoins, cela ne signifie pas qu’il n’y a pas d’onde dans le milieu (2).

π2i

2





b) Cas de la réflexion totale

c) L’onde évanescente

uy

N

I

ki

n1 (1)

n2 < n1 (2)

i1krr

ux


Ei = E0i.expj(t – ki.r)

E2 = E0tr.expj(t – ktr.r)

ω1 1 1 n cosi . sini .

ci x yk u u

trx try trz k . k . k .tr x y zk u u u

L’onde évanescente• Elle se propage le long de la surface de

séparation dans la direction Oy à la vitesse de phase :

• Son amplitude décroît lorsque x augmente dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation.

φω

iy 1

cv

k n .sini



3) Coefficients de réflexion et de transmission en incidence normale

a) Position du problème

uy

n1 (1)

n2 (2)ux

ki

Bi

Ei

kr

Br Er

ktr

Btr

Etr

Onde incidente :

Ei = E0i.expj(t – ki.x).uy

ω ω1

1 n

c vi x xk u u

ω0ii

1 1

E x expj t k .x .

v vx

i i zu

B E u

Onde réfléchie :

Er = E0r.expj(t + ki.x).uy

ω0ri

1 1

E x expj t k .x .

v vx

r r zu

B E u

ω ω1

1 n

c vr x x ik u u k

Onde réfractée :

Etr = E0tr.expj(t – ktr.x).uy

ω0trtr

2 2

E x expj t k .x .

v vx

tr tr zu

B E u

ω ω2

2 n

c vtr x xk u u

E1 = Ei + Er ;

Dans le milieu (1) :

B1 = Bi + Br ;

E2 = Etr ; B2 = Btr ;

Dans le milieu (2) :





b) Coefficients en amplitude

Les conditions aux limites

Continuité du champ électrique tangentiel :

Dans le plan x = 0, t : E1(0,t) = E2(0,t)

Dans le plan x = 0, t : Ei(0,t) + Er(0,t) = Etr(0,t)


Continuité du champ magnétique tangentiel :

Dans le plan x = 0, t : Bi(0,t) + Br(0,t) = Btr(0,t)

Dans le plan x = 0, t : n1[Ei(0,t) – Er(0,t)] = n2.Etr(0,t)

Dans le plan x = 0, t : B1(0,t) = B2(0,t)


Continuité du champ magnétique tangentiel :

Dans le plan x = 0, t : n1(E0i – E0r) = n2.E0tr

Continuité du champ électrique tangentiel :

Dans le plan x = 0, t : E0i + E0r = E0tr

Les coefficients en amplitude

Coefficient de réflexion pour le champ électrique :

Coefficient de transmission pour le champ électrique :

0r 1 2E 1 2

0i 1 2

E n nr

E n n,

0tr 1E 1 2

0i 1 2

E 2nt

E n n,

Les coefficients en amplitude

Coefficient de réflexion pour le champ magnétique :

Coefficient de transmission pour le champ magnétique :

0r 2 1B 1 2 E 1 2

0i 1 2

B n nr r

B n n, ,

0tr 2 2B 1 2 E 1 2

0i 1 2 1

B 2n nt t

B n n n, ,





b) Coefficients en amplitude

c) Coefficients en puissance

Π

μ

ω

μ ωω ω

0

220

0

x

k .cos t k xE

exp 2k x.

k .cos t k x .sin t k xx

E B

' '

'' u

'' ' '

Πμ ω μ

2 20 0

00 0

k E n E exp 2k x . exp 2n k x .

2 2 cx x' '

'' u '' u

Si n est réel, i.e. n’’ = 0 :

Πμ μ

20 0 0

0 0

n E E .B

2 c 2x x'

u u

Les coefficients en énergieCoefficient de

réflexion :

Coefficient de transmission :

Π

Π

21 2

1 2

(0,t). ) n nR

(0,t). n nr r

i i

u

u

Π

Π1 2

21 2

(0,t). 4n .nT

(0,t). n ntr tr

i i

u

u

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