Onbai.org - eBook.here.Vn – Download Tài Li

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí Chuyên ñề LTðH – ðại Số ��: Gv Bùi Sang Thọ

1

PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Giải và biện luận phương trình (((( ))))0 1 :ax b+ =+ =+ =+ =

- Nếu 0a ≠ thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất .b

xa

= −

- Nếu 0a = thì phương trình (1) trở thành 0.b =

* Nếu 0b ≠ thì phương trình (1) vô nghiệm. * Nếu 0b = thì phương trình (1) có vô số nghiệm.

2. Giải và biện luận phương trình (((( ))))2 0 2 :ax bx c+ + =+ + =+ + =+ + =

- Nếu 0a = thì phương trình (2) trở thành 0bx c+ = (dạng phương trình (1)).

- Nếu 0a ≠ thì phương trình (2) là phương trình bậc hai có biệt thức ( )2 / / 2 /4 , 2 .b ac b ac b b∆ = − ∆ = − =

* Nếu ( )/0 0∆ ∆p p thì phương trình (2) vô nghiệm.

* Nếu ( )/0 0∆ = ∆ = thì phương trình (2) có nghiệm kép /

.2

b bx x

a a

= − = −

* Nếu ( )/0 0∆ ∆f f thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt / /

1,2 1,2 .2

b bx x

a a

− ± ∆ − ± ∆= =

3. ðịnh lý về dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất ( ) ( )0f x ax b a= + ≠ cùng dấu với hệ số a khi

x lớn hơn nghiệm b

xa

= − và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm .b

xa

= −

4. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + + ≠ có 2 4 .b ac∆ = −

- Nếu 0∆ p thì ( )f x cùng dấu với hệ số a với mọi .x∈ ¡

- Nếu 0∆ = thì ( )f x cùng dấu với hệ số a với mọi .2

bx

a≠ −

- Nếu 0∆ f thì ( )f x có hai nghiệm ( )1 2 1 2, .x x x xp Khi ñó:

* ( )f x trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng ( )1 2; .x x

* ( )f x cùng dấu với hệ số a khi x nằm ngoài ñoạn [ ]1 2; .x x

5. ðiều kiện ñể một tam thức không ñổi dấu trên :¡ Cho tam thức bậc hai ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + + ≠

- ( )0

: 00.

ax f x

∀ ∈ ⇔

∆

f¡ f

p - ( )

0: 0

0.

ax f x

∀ ∈ ⇔

∆

p¡ p

p

6. ðịnh lý Vi-ét cho phương trình bậc hai: Hai số 1 2,x x là nghiệm của ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠ khi và chỉ

khi chúng thỏa mãn các hệ thức 1 2 1 2, .b c

x x x xa a

+ = − =

7. Xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠ có hai

nghiệm ( )1 2 1 2, .x x x x≤ ðặt 1 2 1 2, .b c

S x x P x xa a

= + = − = = Khi ñó:

- Nếu 0P p thì 1 20x xp p (hai nghiệm trái dấu).

- Nếu 0, 0P Sf f thì 1 20 x x≤p (hai nghiệm dương).


2

- Nếu 0, 0P Sf p thì 1 2 0x x≤ p (hai nghiệm âm).

8. Bất ñẳng thức Cô-si :

- Với mọi 0, 0a b≥ ≥ ta có .2

a bab

+≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .a b=

- Với mọi 0, 0, 0a b c≥ ≥ ≥ ta có 3 .3

a b cabc

+ +≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .a b c= =

9. Công thức về lũy thừa và lôgarit: - Công thức về lũy thừa:

* 1n

na

a−= *

mn mna a= * .m n m na a a += *

mm n

n

aa

a−= * ( )nm mna a=

* ( ). .m m ma b a b= *

m m

m

a a

b b =

* 1

m n

am n

a a

⇔

ff

f *

0 1.

m n

am n

a a

⇔

p pp

f

- Công thức về lôgarit:

* ( )log 0 1, 0 .a b a b a bαα= ⇔ = ≠p f * loglog 1 0, log 1, , log .a b ba a aa a b a b= = = =

* ( )log log log , log log log , log log .a a a a a a a a

bbc b c b c b b

cα α= + = − =

* log 1 1

log , log , log log .log log

ab a aa

a b

cc b b b

b aα

α= = =

* 1

.log loga a

ab c

b c

⇔

ff

f *

0 1.

log loga a

ab c

b c

⇔

p pp

f

10. Số phức:

- Dạng ñại số của số phức: ( ), .z a bi a b= + ∈ ¡

- Hai số phức bằng nhau: ( ) ( )/

/ / /

/ .

a az a bi z a b i

b b

== + = = + ⇔

=

- Môñun của số phức ( ), :z a bi a b= + ∈ ¡ 2 2 .z a b= +

- Biểu diễn số phức: Số phức ( ),z a bi a b= + ∈ ¡ ñược biểu diễn bởi ñiểm ( );M a b trong mặt phẳng phức.

- Căn bậc hai của số phức: ( ),z x yi x y= + ∈ ¡ là căn bậc hai của số phức ( ),w a bi a b= + ∈ ¡ khi và chỉ

khi 2 2

2

2 .

x y az w

xy b

− == ⇔

=

- Dạng lượng giác của số phức ( ), :z a bi a b= + ∈ ¡ ( )( )cos sin 0 ,z r i rϕ ϕ= + f trong ñó 2 2r a b= + và

cos

sin

a

rb

r

ϕ

ϕ

= =

với ϕ là một acgumen của z.

- Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác: Nếu ( ) ( )/ / / /cos sin , cos sinz r i z r iϕ ϕ ϕ ϕ= + = + thì:

* ( ) ( )/ / / /. cos sin .z z rr iϕ ϕ ϕ ϕ = + + + * ( ) ( )/ // /

cos sin .z r

iz r

ϕ ϕ ϕ ϕ = − + −


3

- Công thức Moa-vrơ: Với 1 ,n≤ ∈¢ thì ( ) ( )cos sin cos sin .nn nz r i r n i nϕ ϕ ϕ ϕ = + = +

- Công thức nhân ba: 3 3sin 3 3sin 4sin ,cos3 4cos 3cos .α α α α α α= − = −

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Phương trình bậc ba (((( ))))3 2 0 3 :ax bx cx d+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

Ta biến ñổi phương trình (3) về dạng phương trình tích ( )( )2 0,x Ax Bx Cα− + + = trong ñó α là một

nghiệm của phương trình (3) mà ta có thể tìm ñược nhờ các lưu ý sau ñây:

- Nếu phương trình (3) có 0a b c d+ + + = thì 1.α =

- Nếu phương trình (3) có 0a b c d− + − = thì 1.α = −

- Nếu phương trình (3) có 1a = thì α (nếu có) là ước của d.

- Nếu phương trình (3) có chứa tham số thì ta có thể lấy các giá trị α làm cho tham số triệt tiêu.

Bài tập 1: (TSðH – Khối D – 2006) Cho hàm số 3 3 2y x x= − + có ñồ thị ( ).C Gọi d là ñường thẳng ñi qua

ñiểm ( )3;20A và có hệ số góc là m. Tìm m ñể d cắt ñồ thị ( )C tại 3 ñiểm phân biệt.

- Phương trình ñường thẳng ( ): 3 20.d y m x= − +

- PTHðGð của d và ( ) ( ) ( )( )3 2: 3 2 3 20 3 3 6 0.C x x m x x x x m− + = − + ⇔ − + + − =

- ( ) 3 3 6 0ycbt f x x x m⇔ = + + − = có 2 nghiệm phân biệt khác 3.

- ( )

( )9 4 6 0 15

Hay 24.43 24 0

mm

f m

∆ = − −⇔ ≠

= − ≠

fp

Bài tập 2: (TSðH – Khối A – 2002) Tìm k ñể phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = có 3 nghiệm phân biệt.

- Viết phương trình ñã cho dưới dạng ( ) ( )2 23 3 0.x k x k x k k − + − + − =

- ( ) ( )2 23 3 0ycbt f x x k x k k⇔ = + − + − = có 2 nghiệm phân biệt khác k.

- ( )

2

2

3 6 9 0 1 3Hay

0, 2.3 6 0

k k k

k kf k k k

∆ = − + + −⇔

≠ ≠= − ≠

f p p

Bài tập 3: (ðGQG TPHCM - 1996) Cho hàm số 3 26 9y x x x= − + có ñồ thị ( ).C Tìm những ñường thẳng d

sao cho d qua ( )4;4A và cắt ( )C tai 3 ñiểm phân biệt. 0 9k ≠p

Bài tập 4: (TSðH – Khối B – 2002) Cho hàm số ( ) ( )4 2 29 10 1 .y mx m x= + − + Tìm m ñể hàm số ( )1 có ba

ñiểm cực trị. 3 0 3m m− ∪p p p

Bài tập 5: (TSðH – Khối D – 2008) Cho hàm số ( )3 23 4 1 .y x x= − + Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi

qua ñiểm ( )1;2I với hệ số góc ( )3k k −f ñều cắt ñồ thị của hàm số ( )1 tại 3 ñiểm phân biệt I, A, B ñồng

thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.

2. Phương trình trùng phương (((( ))))4 2 0 4 :ax bx c+ + =+ + =+ + =+ + =

Ta dùng ẩn phụ ( )2 0t x t= ≥ ñể ñưa phương trình (4) về dạng ( )2 /0, 0 4 .at bt c t+ + = ≥ Khi ñó:

- Nếu phương trình ( )/4 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phương trình ( )4 vô nghiệm.

- Nếu phương trình ( )/4 có nghiệm 0t = thì phương trình ( )4 có nghiệm 0.x =


4

- Nếu phương trình ( )/4 có một nghiệm 0t f thì phương trình ( )4 có hai nghiệm .x t= ±

Bài tập 6: (Dự bị 1 – Khối A – 2002) Cho hàm số ( )4 2 1 1 .y x mx m= − + − Xác ñịnh m sao cho ñồ thị hàm số

(1) cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt. 0 2m ≠p

Bài tập 7: (ðH Huế - Khối D – 2000) Cho hàm số 4 25 4y x x= − + có ñồ thị ( ).C Tìm m ñể ñường thẳng

:d y m= cắt ñồ thị ( )C tại 4 ñiểm phân biệt. 9 4 4m− p p

Bài tập 8: (ðH ðà Nẵng – 1997) Cho ( ) 4 2: 5.mC y x mx m= + − − Tìm m ñể ( )mC không cắt trục Ox.

3. Phương trình, bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt ñối:

a) Phương trình dạng (((( )))) (((( )))) :f x g x====

- Cách 1: (Thường dùng khi xét dấu ( )g x dễ dàng) ( ) ( )( )( ) ( )

0

.

g xf x g x

f x g x

≥= ⇔

= ±

- Cách 2: (Thường dùng khi xét dấu ( )f x dễ dàng) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 0

.

f x f xf x g x

f x g x f x g x

≥ = ⇔ ∪

= − =

p

b) Bất phương trình dạng (((( )))) (((( )))) :f x g x≥≥≥≥

- Cách 1: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 2

00

.

g xf x g x g x

f x g x

≥≥ ⇔ ≤ ∪

≥

- Cách 2: ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 0

.

f x f xf x g x

f x g x f x g x

≥ ≥ ⇔ ∪

≥ − ≥

p

- Cách 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f x g x f x g x f x g x≥ ⇔ ≥ ∪ ≤ −

c) Bất phương trình dạng (((( )))) (((( )))) :f x g x≤≤≤≤

- Cách 1: ( ) ( )( )( ) ( )2 2

0

.

g xf x g x

f x g x

≥≤ ⇔

≤

- Cách 2: ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 0

.

f x f xf x g x

f x g x f x g x

≥ ≤ ⇔ ∪

≤ − ≤

p

- Cách 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤

d) Phương trình, bất phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt ñối: Sử dụng ñịnh nghĩa ñể loại bỏ dấu giá trị tuyệt ñối.

Bài tập 9: Giải phương trình 3cos 2 sin 2.x x+ = 2

x kπ

π= +

Bài tập 10: (ðH Thủy Sản TP HCM – 2001) Giải phương trình 2 4 2 7 1.x x x− = − + 2,3 3,1 7x = ± + +

Bài tập 11: (Bộ ñề TSðH) Giải bất phương trình 4 22 1 1 .x x x− + ≥ −

Hướng dẫn:

( ) ( )

2

2 2 22

1 0 11 0 11 1 2 0.

2 01 1

x xx xbpt x x x x

x xx x

− − ≥ ≤⇔ − ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ − ∪ ≥ + ≥− ≥ −

p f

p


5

Bài tập 12: (Cð Hải Quan – 1999) Giải phương trình 2 2 4 3.x x x− + − = 1 5 1 29

,2 2

x x− + − +

= =

Bài tập 13: Giải phương trình sin cos 4sin 2 1.x x x− + = ,2

x k kπ

= ∈¢

Bài tập 14: (Bộ ñề TSðH) Với giá trị nào của m thì bất phương trình 2 2 2 2 0x mx x m− + − + f thỏa mãn

với mọi x.

HD: ( )2 2 22 2 0. 2 0 2 .bpt x m x m m Ycbt m m m⇔ − + − + − ⇔ − ⇔ −f f p p

4. Phương trình, bất phương trình vô tỷ:

a) Phương trình dạng (((( )))) (((( )))) :f x g x==== Ta có ( ) ( )( )( ) ( )2

0

.

g xf x g x

f x g x

≥= ⇔

=

b) Bất phương trình dạng (((( )))) (((( )))) :f x g xp Ta có ( ) ( )( )( )( ) ( )2

0

0

.

f x

f x g x g x

f x g x

≥

⇔

p f

p

c) Bất phương trình dạng (((( )))) (((( )))) :f x g xf Ta có ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )2

00

0 .

g xf xf x g x

g x f x g x

≥ ≥ ⇔ ∪

fp f

Bài tập 15: Giải các phương trình sau

a) (ðHQG TPHCM – Khối D – 1999) 2 4 2 2 .x x x− + + = 2x =

b) (ðH DL Hùng Vương – Khối C – 2000) 17 17 2.x x+ − − = 8x =

c) (ðH Huế - Khối A – 2000) 3 cos cos 1 2.x x− − + = 2x kπ π= +

Bài tập 16: Giải các bất phương trình sau

a) (ðHSP TPHCM – 1994) 22 6 1 2 0.x x x− + − + f 3 7

32

x x−

≤ ∪ f

b) (ðH GTVT – 1994) 2 2 2.x x+ − ≤ − 2x ≥

c) (ðH Bách Khoa TP HCM – 1994) 3 1 1 .x x− ≥ + x∈∅

d) (ðHSP TPHCM– 1995) 3 334 3 1.x x+ − − = 30, 61x x= = − e) 3 32 1 1 1.x x− + − = 1x =

Bài tập 17: (ðHSP Kỹ Thuật TPHCM – 2001) Xét phương trình 22 3 .x mx x+ = −

a) Giải phương trình khi 14.m = − 1x = −

b) Tìm mọi giá trị của m ñể phương trình có một nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn: ( ) ( ) ( )

( )

( )

2 22

3 03 0 3

. 6.06 9 0 22 3

3 0

fx x S

pt ycbt mf x x m xx mx x

af

=− ≥ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = + + − = + = −

pf

p

!:Sau khi tìm ñược x nhớ thử lại ñể chọn nghiệm.

!: So sánh số thực α với hai nghiệm 1 2,x x của tam thức ( ) 2 , 0 :f x ax bx c a= + + ≠

TH1: ( ) 1 20 .af x xα α⇔p p p TH2: ( ) 1 2

0

0 .

2

af x x

S

α α

α

∆

⇔

f

f p p

f

TH3: ( ) 1 2

0

0 .

2

af x x

S

α α

α

∆

⇔

f

f p p

p


6

5. Dùng ẩn phụ trong giải phương trình, bất phương trình vô tỷ:

Phương trình, bất phương trình có Ẩn phụ

• 2, , ,...ax b x x+ • , 0t ax b t= + ≥

• 2 2, ,...ax bx c ax bx+ + + • 2 , 0t ax bx c t= + + ≥

• 3 , ,...ax b ax b+ + • 3t ax b= +

• ( ) ( )

( ) ( ).

f x g x

f x g x

±

, ( ) ( )f x g x C+ = • ( ) ( )t f x g x= ±

• ( )( )

( )( )

2

,A A

f x f xf xf x

± + • ( )( )

At f x

f x= ±

• ( ) ( ),m nf x f x • ( )st f x= với s là bội chung nhỏ nhất của m và n.

Bài tập 18: Giải phương trình ( )2 2 3 4

3 2 3 2 .2

xx x x

++ − − + =

HD: 2 22 3 2 8 2 2 3 2 0.pt x x x x⇔ − + − − − + = ðặt 2 72 3 2 4 2, .

2t x x t x x= − + ⇒ = ⇒ = − =

Bài tập 19: Giải phương trình 22 5 2 5 2 5 2 48.x x x x x− + − + − + = 1681

144x =

HD: ( ) ( ) ( )2

5 2 . 5 2 5 48 0 5 2 5 48 0.pt x x x x x x x x x x⇔ + − + − + − + − = ⇔ − + + − + − =

Bài tập 20: (Bộ ñề TSðH) Giải bất phương trình 5 1

5 2 4.22

x xxx

+ + +p

- 1 1

5 2 4.42

bpt x xxx

⇔ + + +

p - ðặt 1 1

2 . 2.2 2

t x xx x

= + ≥ =

- Bất phương trình ñã cho thành 22 5 2 0, 2.t t t− + ≥f Giải & so ñiều kiện ta ñược 2.t f

- Với 2t f thì 1 3 3

2 4 1 0 0; 2 2; .2 22

x x x xx

+ ⇔ − + ⇔ ∈ − ∪ + +∞

f f

Bài tập 21: (ðH GTVT TPHCM – 1999) Giải phương trình 2 3 21 2 1 3.x x− + − = 0x =

Bài tập 22: (ðH Tổng Hợp TPHCM – Khối D – 1995) Cho phương trình 4 2

4.x a xx x

+ + = − +

a) Giải phương trình khi 0.a = 2

2, 4t x x xx

= − ⇒ = =

b) Chứng minh rằng với mọi tham số a phương trình có không quá hai nghiệm.

Bài tập 23: (Cð Hải Quan – 1999) Giải phương trình 4 4 4 6.x x x x+ − + + − = 4x =


7

Bài tập 24: (ðH Y Dược TPHCM – 1997) Cho phương trình 29 9 9.x x x x+ − = − + + 9 65

0,9,2

x±

=

Bài tập 25: (Bộ ñề TSðH) Giải phương trình 3

2 1 2 1 .2

xx x x x

++ − + − − = 1, 5x x= =

Bài tập 26: (Bộ ñề TSðH) Xác ñịnh theo m số nghiệm của phương trình 4 444 4 6.x x m x x m+ + + + + =

Bài tập 27: (ðH ANND – Khối A – 2001) Giải phương trình 3 3 31 2 3 0.x x x+ + + + + =

- Dễ thấy 2x = − là nghiệm của phương trình.

- ðặt ( ) 3 3 31 2 3.f x x x x= + + + + + Do ( )f x là hàm số tăng trên ¡ nên 2x = − là nghiệm duy nhất.

Bài tập 28: (ðH Thủy Sản – 2001) Giải phương trình 5

2 2 1 2 2 1 .2

xx x x x

++ + + + + − + = 1,3x = −

6. Hệ phương trình:

a) Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: - Từ phương trình bậc nhất biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

- Thế vào phương trình bậc hai.

b) Hệ phương trình ñối xứng loại I: Là hệ phương trình không thay ñổi khi thay x bởi y và y bởi x.

- ðặt ,x y S xy P+ = = ñưa về hệ phương trình với ẩn là S, P.

- Giải tìm S, P. Tìm x, y bằng việc giải phương trình tổng – tích 2 0.X SX P− + = c) Hệ phương trình ñối xứng loại II: Là hệ phương trình khi trao ñổi vai trò của x, y thì phương trình

này chuyển thành phương trình kia của hệ.

- Trừ từng vế của hai phương trình ñể có thể ñặt thừa số chung và ñưa về dạng phương trình tích.

- Từ phương trình tích số tính nghiệm này theo nghiệm kia và thay vào một trong hai phương trình

ñầu ñể suy ra kết quả.

Lưu ý:

- Hệ phương trình ñối xứng loại I có nghiệm khi và chỉ khi 2 4 0.S P− ≥

- Nếu hệ phương trình ñối xứng (loại I & II) có nghiệm ( )0 0;x y thì ( )0 0;y x cũng là một nghiệm của

hệ. Do ñó ñiều kiện ñể hệ phương trình ñối xứng có nghiệm duy nhất là 0 0.x y=

d) Hệ phương trình 1 1 1

2 2 2

:a x b y c

a x b y c

+ =+ =+ =+ =

+ =+ =+ =+ =

- Tính các ñịnh thức: 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, , .x y

a b c b a cD D D

a b c b a c= = =

- Nếu 0D ≠ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất tính theo

.

x

y

Dx

DD

yD

= =

- Nếu 00

00 yx

DD

DD

== ∪ ≠≠

thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Nếu 0x yD D D= = = thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài tập 29: Giải các hệ phương trình sau


8

a) 2 2

5

5.

x y xy

x y

+ + =

+ =

1 2

2 1

x x

y y

= = ∪

= = b)

2 2

2 2

2 2

2 2 .

x y x y

y x y x

− = +

− = + 0 3x y x y= = ∪ = = −

Bài tập 30: (TSCð – Khối A, B, D – 2008) Tìm giá trị của tham số m ñể hệ phương trình 1

3

x my

mx y

− =

+ = có

nghiệm ( );x y thỏa mãn 0.xy p

- Tính các ñịnh thức & tìm ñược nghiệm của hệ là 2 2

1 3 3, .

1 1

m mx y

m m

+ − = = + +

- Từ ñiều kiện 0xy p thế trực tiếp vào ta ñược 1 3 3.m m− ∪p f

Bài tập 31: (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2005) Giải hệ phương trình ( ) ( )

2 2 4

1 1 .

x y x y

x x y y y

+ + + =

+ + + +

- 2 2 2 2

2 2

4 0 4 0

2.2

x y x y x y x yHpt

xyx y x y xy

+ + + − = + + + − =⇔ ⇔

= −+ + + + =

- ðặt 2 0, 22 4 0 2, 2 2, 2

1, 22 1, 2 2, 1.

x y S S PS P S x y x y

xy P S PP x y x y

+ = = = − − + − = = = − ∪ = − =⇒ ⇔ ⇒ = = − = −= − = = − ∪ = − =

Bài tập 32: (ðH Sài Gòn – Khối A – 2007) Giải hệ phương trình 3

3

2 2

2 2.

x y x

y x y

= + +

= + +

- Ta có: ( )( ) ( )

3

33

2 23 3

2 2

2 2

2 22 2

2 2 2 2

1 0

x y x

x y x x yx y x

x y x xy y x yy x y x y x

x xy y

= + +

= + + = = + + ⇔ ⇔ − + + = − − = + + = + + + + + =

- Giải hệ 3 1 22 2

cho ta 1 2.

x xx y x

y yx y

= − = = + + ∪

= − ==

- Hệ 3

2 2

2 2

1 0

x y x

x xy y

= + +

+ + + = vô nghiệm vì 2 2 1 0x xy y+ + + = có ( )23 1 0y∆ = − + p nên vô nghiệm.

Bài tập 33: (Cð Kinh Tế ðối Ngoại – Khối A, D) ðịnh m ñể hệ phương trình 2 2 1

x y xy m

x y xy m

+ + =

+ = −vô nghiệm.

- ðặt x y S

xy P

+ =

= thì hệ phương trình thành

1 1

1 1 1.

S P m S S m

SP m P m P

+ = = = − ⇔ ∪

= − = − =

- Hệ vô nghiệm ( )

( )2

2

1 4 1 04 0 5 4 3.

1 4 0

mS P m

m

− −⇔ − ⇔ ⇔

− −

pp p p

p

Bài tập 34: (TSðH – Khối B – 2003) Giải hệ phương trình

2

2

2

2

23

23 .

yy

x

xx

y

+=

+ =

- Nhận xét: Do vế phải dương nên ñiều kiện của x, y là 0, 0.x yf f


9

- ( )( )2 2

2 2

3 2 03 0 ... 1.

3 03 2

yx y x yHpt x y xy x y x y

xy x yxy x

= + − =⇔ ⇒ − + + = ⇔ ⇔ ⇔ = = + + == +

CÁC BÀI TOÁN TRONG ðỀ TSðH & Cð Bài tập 35: Giải các phương trình sau:

a) (TSðH – Khối D – 2006) ( )22 1 3 1 0 .x x x x− + − + = ∈ ¡ 1, 2 2x x= = −

b) (Cð Tài Chánh – Hải Quan – 2007) 3 7 1 2.x x+ − + = 1, 3x x= − =

c) (TSðH – Khối D – 2005) 2 2 2 1 1 4.x x x+ + + − + = 3x =

d) (TSðH – Khối A – 2002) 24 4 2 12 2 16.x x x x+ + − = − + − 5x =

e) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2005) 3 3 5 2 4.x x x− − − = − 2, 4x x= =

f) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2006) 23 2 1 4 9 2 3 5 2.x x x x x− + − = − + − + 2x =

g) (Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2006) 22 7 2 1 8 7 1.x x x x x+ − = − + − + − + 4, 5x x= =

h) (ðH Sài Gòn – Khối B – 2007) 2 23 5 10 5 .x x x x− + = − 2, 3x x= =

Bài tập 36: Giải các bất phương trình

a) (Cð Kinh Tế TPHCM) 1 1 4.x x− + + ≤ 65

116

x≤ ≤

b) (Cð Bán Công Hoa Sen – Khối D – 2007) 2 4 3.x x x− −f 9

2x f

c) (TSðH – Khối A – 2005) 5 1 1 2 4.x x x− − − −f 2 10x≤ ≤

d) (TSðH – Khối A – 2004) ( )22 16 7

3 .3 3

x xx

x x

− −+ −

− −f 10 34x −f

e) (TSðH – Khối D – 2002) ( )2 23 2 3 2 0.x x x x− − − ≥ 1

3 22

x x x≤ − ∪ ≥ ∪ =

f) (Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2005) 28 6 1 4 1 0.x x x− + − + ≤ 1 1

4 2x x= ∪ ≥

g) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2005) 2 7 5 3 2.x x x+ − − ≥ − 2 14

1 53 3

x x≤ ≤ ∪ ≤ ≤

h) (ðH Cao Thắng – 2007) Giải bất phương trình 2 25 10 1 7 2 .x x x x+ + ≥ − − 3 1x x≤ − ∪ ≥


a) (TSðH – Khối D – 2008) ( )2 22

, .2 1 2 2

xy x y x yx y

x y y x x y

+ + = −∈

− − = −¡

5

2

x

y

==

b) (TSðH – Khối A – 2006) 3

.1 1 4

x y xy

x y

+ − =

+ + + =

3

3

x

y

==

c) (TSðH – Khối B – 2002) 3

2.

x y x y

x y x y

− = −+ = + +

1 3 2

1 1 2

x x

y y

= = ∪

= =

0

. 0 0

0

B

A B B

A

=

≥ ⇔ ≥

f


10

d) (Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2005) 2 1 1

3 2 4.

x y x y

x y

+ + − + =

+ =

2

1

x

y

== −

e) (Cð Bán Công Hoa Sen – Khối A – 2007) 2 2

6

20.

x y y x

x y y x

+ =

+ =

1 4

4 1

x x

y y

= = ∪

= =

f) (TSðH – Khối A – 2008)

( )

2 3 2

4 2

5

45

1 2 .4

x y x y xy xy

x y xy x

+ + + + = − + + + = −

3

3

5 41

3 2 25 16

xx

y y

== ∪

= − = −

g) (TSðH – Khối B – 2008) 4 3 2 2

2

2 2 9.

2 6 6

x x y x y x

x xy x

+ + = +

= +

4

17 4

x

y

= −= −

h) (TSðH – Khối A – 2003) 3

1 1

2 1.

x yx y

y x

− = − = +

1 1 5

1 2

xx y

y

= − ±∪ = =

=

k) (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2006) ( )

( )( )( )

2

2

1 4, .

1 2

x y y x yx y

x y x y

+ + + =∈

+ + − =¡

1 2

2 5

x x

y y

= = − ∪

= =

l) (Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2006) ( )( )( )( )

( )2 2

2 2

13, .

25

x y x yx y

x y x y

− + =∈

+ −

¡ 2 2

3 3

x x

y y

= = − ∪

= = −

m) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006) ( )

( )( )

2 2

22 2

3, .

7

x xy y x yx y

x xy y x y

− + = −∈

+ + = −¡

0 2 1

0 1 2

x x x

y y y

= = = − ∪ ∪

= = = −

7. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

a) Phương trình mũ:

- Dạng cơ bản: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( ) log .f xaa b f x b= ⇔ =

- ðưa về cùng cơ số: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( ) ( ) ( ).f x g xa a f x g x= ⇔ =

- ðặt ẩn phụ: ðặt ( ) , 0.xt a tϕ= f ðưa về phương trình ẩn t ñã biết cách giải.

- ðoán nghiệm & chứng minh nghiệm ñó là duy nhất: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ.

b) Bất phương trình mũ:

- Nếu 1a f thì ( ) ( ) ( ) ( ).f x g xa a f x g x⇔f f

- Nếu 0 1ap p thì ( ) ( ) ( ) ( ).f x g xa a f x g x⇔f p

c) Phương trình lôgarit: ðiều kiện tồn tại ( )loga f x là ( ) 0

0 1.

f x

a

≠

f

p

- Dạng cơ bản: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( )log .ba f x b f x a= ⇔ =

- ðưa về cùng cơ số: Với 0 1a ≠p thì ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0 0log log

.a a

f x g xf x g x

f x g x

∪= ⇔

=

f f

- ðặt ẩn phụ: ðặt ( )log .at f x= ðưa về phương trình ẩn t ñã biết cách giải.


11

- ðoán nghiệm & chứng minh nghiệm ñó là duy nhất: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số lôgarit.

d) Bất phương trình lôgarit:

- Nếu 1a f thì ( ) ( )( )( ) ( )

0log log

.a a

g xf x g x

f x g x

⇔

ff

f

- Nếu 0 1ap p thì ( ) ( )( )( ) ( )

0log log

.a a

f xf x g x

f x g x

⇔

ff

p


a) (ðH Kế Toán HN – 1999) 1 4 24 2 2 16.x x x+ + ++ = + 2 0xt x= ⇒ =

b) (ðHDL Kỹ Thuật Công Nghệ - Khối D – 1999) ( ) ( )2 3 2 3 4.x x

− + + = ( )2 3 1x

t x= − ⇒ = ±

c) (ðH Cần Thơ – Khối D – 1997) 3.16 2.81 5.36x x x+ = Chia hai vế cho 16 0, 1 2x x x⇒ = =

d) (ðH An Ninh – Khối D, G – 2000) ( )27

6. 0,7 7.100

xx

x= + ( ) 0,70,7 log 7

xt x= ⇒ =

e) (ðH Tổng Hợp – Khối A – 1995) 23 4 5 .x

x − = 2x =

f) (ðH Bách Khoa HN – 1999) ( ) ( )2lg 100lg 10 lg4 6 2.3 .xx x− =

HD: lg lg 2lg lg

lg lg lg 24 6 2 24.4 6 18.9 0 4 18 0 4. 18 0 10 .

9 9 3 3

x x x xx x xpt x − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ =

g) ( ðHQG HN – Khối D – 2000) 8.3 3.2 24 6 .x x x+ = +

HD: ( ) ( ) ( )( )8.3 3.2 8.3 3 .2 8 3 3 2 . 3 3 3 3 2 8 0 1, 3.x x x x x x x x xpt x x⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒ = =

h) (Bộ ñề TSðH) ( )2 23.25 3 10 .5 3 0.x xx x− −+ − + − = 255 2, 2 log 3xt x x−= ⇒ = = −


a) (ðHDL Kỹ Thuật Công Nghệ - 1999) ( ) ( )9 3log 8 log 26 2 0.x x+ − + + = 1, 28x x= =

b) (ðH Huế - Khối D – 1999) ( )4log 2 .log 2 1.xx + =

HD: ( ) ( ) 2 2lg 2 lg 2

. 1 lg 2 2lg lg 2 2.lg 4 lg

xpt x x x x x x

x

+⇔ = ⇔ + = = ⇔ + = ⇔ =

c) (ðH An Giang – Khối D – 2000) ( ) ( )4 2 2 4log log log log 2.x x+ =

HD: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1log log log log 2 log log 1 log log 2 ... 16.

2 2 2pt x x x x x

⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ =

d) (ðH Bách Khoa HN – Khối A – 2000) ( ) ( )2 3

4 82log 2 2 log 4 log 4 .x x x+ + = − + +

HD: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2log 2 log 4 log 4 log 4 log 4 2 log 16 2,2 2 6.pt x x x x x x⇔ + + = − + + ⇔ + = − ⇔ = −

e) (ðH Huế - Khối A – 2000) ( )2log 9 2 3.xx + − =

HD: ( ) 3 32 2log 9 2 log 2 9 2 2 ... 0, 3.x x x xpt x x− −⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = =

f) (ðHQG HN – Khối B – 2000) ( )5 7log log 2 .x x= +

HD: ( )lg 2lg

0.lg 5 lg 7

xxpt

+⇔ − = Chứng minh 5x = là nghiệm duy nhất.

Nhớ rằng: 2log 2 log , 0a ax x x= ≠


12

g) 1 lg 0,01.xx − = (Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế rồi dùng ẩn phụ lgt x= )

h) 1

5 5

1log 5 125 log 6 1 .

2x

x

+ = + +


a) (ðH GTVT – 1997) 12.4 2 0.x x+− + f 0x p

b) (ðH An Giang – Khối D – 2000) ( ) ( ) 12,5 2. 0, 4 1,6 0.

x x+− + p ( ) ( ) 12,5 0, 4 1

x xt t x−= ⇒ = ⇒ −p

c) (ðH Y Dược TPHCM – 2001)

2 11

1 13 12.

3 3

x x+

+

f

1

11 0

3

xt x = ⇒ −

p p

d) (ðH Bách Khoa – 1995) ( )22log 3 2.x x+ ≤ 4 3 0 1x x− ≤ − ∪ ≤p p

e) (ðHDL Kỹ Thuật Công Nghệ - Khối D – 2001) ( ) ( )3 32 log 1 log 5 1.x x− − +f

1 57 1 57

2 2x x

− − − +∪p f

f) (ðHDL Kỹ Thuật Công Nghệ - Khối A, B – 2001) 2 0,5

31log log 2 2.

16x − ≤

1x ≥

g) (ðHSP TPHCM – Khối A, B – 2000) ( ) ( )2 29 3log 3 4 2 1 log 3 4 2 .x x x x+ + + + +f

HD: ðặt ( )29

7 1log 3 4 2 1 1

3 3t x x x x= + + ⇒ − ≤ − ∪− ≤p p

h) (ðH Tài Chánh Kế Toán HN – 2001)

2log 12

3 1

2 3

log log 2 321

1.3

xx − + + ≥

1 73 1 217

2 2x

− + − +≤ p

Bài tập 41: Giải các hệ phương trình và bất phương trình sau

a) (ðH ðà Nẵng – Khối A – 2001) ( )( )

log 6 4 2

log 6 4 2.

x

y

x y

y x

+ =

+ =

10

10

x

y

==

b) 1 1

3.2 2.3 6

2 3 19.

x y

x y+ +

− = −

− = −

2

2

x

y

==

c) (HV Công Nghệ BCVT – 1999) ( ) ( )3 3

4 32

log 1 log .

x y

y x

x y x y

+ = − = − +

2

1

x

y

==

d)

2

1

2

3 3 4.3

12 .

4

x x

xx+

+

p

f 0 1xp p

CÁC BÀI TOÁN TRONG ðỀ TSðH & Cð Bài tập 42: Giải các phương trình sau

a) (TSðH – Khối D – 2006) 2 2 22 4.2 2 4 0.x x x x x+ −− − + = 0, 1x x= =

b) (TSðH – Khối B – 2007) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 0.x x

− + + − = 1x = ±

c) (TSðH – Khối A – 2006) 3.8 4.12 18 2.27 0.x x x x+ − − = 1x =


13

d) (TSðH – Khối D – 2003) 2 222 2 3.x x x x− + −− = 1, 2x x= − =

e) (Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2006) 2 21 29 10.3 1 0.x x x x+ − + −− + = 1, 2x x= − = −

f) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006) ( ) ( )14 2 2 2 1 sin 2 1 2 0.x x x x y+− + − + − + = 1, 1 22

x y kπ

π= = − − +

g) (TSðH – Khối D – 2007) ( )2 2

1log 4 15.2 27 2log 0.

4.2 3x x

x+ + + =

− 2log 3x =

h) (Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2002) ( ) ( ) ( )8

4 22

1 1log 3 log 1 log 4 .

2 4x x x+ + − = 2, 2 3x x= =

k) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2002) 32

32716log 3log 0.xx

x x− = 1x =

l) ) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2006) ( ) ( )31 822

log 1 log 3 log 1 0.x x x+ − − − − = 1 17

2x

±=

m) (TSCð – Khối A, B, D – 2008) ( )22 2log 1 6 log 1 2 0.x x+ − + + = ( 1, 3x x= = )

n) (Cð Kinh Tế - Công Nghiệp TPHCM – 2007) ( ) ( )2 1

2

log 2 log 3 2.x xe e− + − = 10

ln3

x =

o) (TSðH – Khối A – 2008) ( ) ( )222 1 1log 2 1 log 2 1 4.x xx x x− ++ − + − = 2, 5 4x x= =

p) (TSðH – Khối A – 2002) 2 23 3log log 1 5 0.x x+ + − = 33x ±=

q) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006) ( ) ( )13 3log 3 1 log 3 6.x xx +− − = 3 3

28log 10, log

27x x= =

r) (ðH Cao Thắng – 2007) 3 27

9 81

1 log 1 log.

1 log 1 log

x x

x x

+ +=

+ + 51, 3x x −= =

s) (Cð Công Nghiệp Thực Phẩm – 2000) ( ) 225log 125 .log 1.x x x = 45, 5x x −= =

t) Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2003) ( )5log 5 4 1 .x x− = − 1x =


a) (Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2004) 2 2

1 3log log

2 22 2 .x x

x ≥ 0 2 4x x≤ ∪ ≥p

b) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2004) 12 4 16

4.2

x x

x

− + −−

f 4 2x x∪f p

c) (Cð Kinh Tế ðối Ngoại – 2000) 5.4 2.25 7.10 .x x x+ ≤ 0 1x≤ ≤

d) (Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2003) 1 115.2 1 2 1 2 .x x x+ ++ ≥ − + 2x ≤

e) (Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2005)

2

22

2 19 2 3.

3

x xx x

−− − ≤

1 2 1 2x− ≤ ≤ +

f) (ðH Sài Gòn – Khối A – 2007) 2 2 28 3.2 16 0.x x x x− − +− − ≤ 1 2x− p p

g) (TSðH – Khối B – 2008) 2

0,7 6log log 0.4

x x

x

+ +

p 4 3 8x x− − ∪p p f

h) (TSðH – Khối D – 2008) 2

1

2

3 2log 0.

x x

x

− +≥ 2 2 1 2 2 2x x− ≤ ∪ ≤ +p p


14

k) (TSðH – Khối A – 2007) ( ) ( )3 1

3

2log 4 3 log 2 3 2.x x− + + ≤ 3

34

x ≤p

l) (TSðH – Khối B – 2006) ( ) ( )25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1 .x x−+ − + +p 2 4xp p

m) (TSðH – Khối B – 2002) ( )( )3log log 9 27 1.xx − ≤ 9log 73 2x ≤p

n) (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2002) ( ) ( )2 11 1

2 2

log 4 4 log 2 3.2 .x x x++ ≥ − 2x ≥

o) (Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2003) ( )1 1 2

2 4

log 2log 1 log 6 0.x x+ − + ≤ 3x ≥

p) (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2004) ( )22

4

log log 2 0.x x xπ + −

p 4 1x x− ∪ −p f

q) (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2006) ( )1log 2 2.x x+ − f 2 3 0x− + p p

r) (Cð GTVT III – Khối A – 2007) ( )

( )22

2 2

log 2 1log.

log 2 1 log

xx

x x

+≤

+

10 1

2x x≤ ∪p f

s) (ðH Xây Dựng – 2007) ( )2 12log 2 1 1.x x− − ≤ −

11

2x ≤p

t) (Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2003) ( )/ 0f x ≤ với ( ) log 2,0 1.xf x x x= ≠p 0 , 1x e x≤ ≠p


a) (TSðH – Khối D – 2002)

3 2

1

2 5 4

4 2.

2 2

x

x x

x

y y

y+

= − +

=+

0 2

1 4

x x

y y

= = ∪

= =

b) (Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2002) 4 2

4 3 0

log log 0.

x y

x y

− + =

− =

1 9

1 3

x x

y y

= = ∪

= =

c) (Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2004) ( )1 4

4

2 2

1log log 1

25.

y xy

x y

− − = + =

3

4

x

y

==

d) (TSðH – Khối B – 2005) ( )2 3

9 3

1 2 1

3log 9 log 3.

x y

x y

− + − =

− =

1 2

1 2

x x

y y

= = ∪

= =

8. Phương pháp giải tích tìm giá trị tham số ñể phương trình, bất phương trình có nghiệm:

a) Áp dụng vào phương trình (((( ))))f x m==== với :x K∈∈∈∈

- Khảo sát sự biến thiên của ( )f x trên K ñể tìm miền giá trị T của hàm số.

- Phương trình ( )f x m= có nghiệm .x K m T∈ ⇔ ∈

b) Áp dụng vào bất phương trình (((( )))) (((( )))), ,f x m m m m≥ ≤≥ ≤≥ ≤≥ ≤f p với :x K∈∈∈∈

- Khảo sát sự biến thiên của ( )f x trên K ñể tìm miền giá trị T của hàm số.

- Nếu hàm số ñạt giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất trên K thì:

• ( )f x mf có nghiệm thuộc K ( ) .Maxf x m⇔ f


15

• ( )f x mf thỏa với mọi ( )min .x K f x m∈ ⇔ f

• ( )f x mp có nghiệm thuộc K ( )min .f x m⇔ p

• ( )f x mp thỏa với mọi ( ) .x K Maxf x m∈ ⇔ p

Bài tập 45: ðịnh m ñể phương trình 3 3x x m− = có nghiệm thuộc ñoạn [ ]2;3 .− [ ]2;9m∈ −

Bài tập 46: (Dự bị 1 – Khối D – 2003) Cho hàm số ( )2 25 6

1 .3

x x my

x

+ + +=

+ Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến

trên khoảng ( )1; .+∞

Hướng dẫn:

- ðạo hàm của hàm số (1): ( )

2 2/

2

6 9.

3

x x my

x

+ + −=

+

- Hàm số (1) ñồng biến trên ( ) / 2 2 2 21; 1: 0 1: 6 9 0 6 9x y x x x m x x m+∞ ⇔∀ ≥ ⇔∀ + + − ≥ ⇔ + + ≥f f

( )( ) ( )2 2 2

1;min 16 4 4, 6 9.g x m m m g x x x+∞

⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤ = + +

Bài tập 47: (ðH Y Dược TPHCM - 1996) Tìm các số dương a ñể bất phương trình 1x x a− − f có

nghiệm. 0 1a≤ p

Hướng dẫn:

- Bất phương trình có nghĩa khi 1.x ≥

- ðặt ( ) 1, 1.f x x x x= − − ≥ Ta có ( )/ 1 10, 1. 0 1.

2 2 1f x x ycbt a

x x= − ∀ ≥ ⇔ ≤

−p p

Bài tập 48: (ðH Kiến Trúc TPHCM – 1994) Cho bất phương trình 3 1.mx x m− − ≤ +

a) Giải bất phương trình khi 1

.2

m = [ ]3;7S =

b) ðịnh m ñể bất phương trình có nghiệm. 3 1

4m

+≤

Hướng dẫn:

- ðặt 3 0,t x= − ≥ bất phương trình thành 22

12 1 0 , 0.

2

tmt t m m t

t

+− + − ≤ ⇔ ≤ ≥

+

- Ycbt ⇔ bất phương trình 2

1

2

tm

t

+≤

+ có nghiệm ( ) ( ) 2

0

3 1 10 ,

2 2.t

tt m Maxg t m g t

t≥

+ +≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ =

+

Bài tập 49: (Cð GTVT – 1999) Tìm m ñể bất phương trình ( ) ( )2 13 3 3 2 3 0.x xm m+ − + − + p 3m −f

Bài tập 50: (ðH Y Dược TPHCM – 1999) Xác ñịnh m ñể bất phương trình 4 .2 3 0x xm m− + + f có nghiệm.

3 6m m− ∪ ≥p Bài tập 51: (ðH Ngoại Thương – 1994) Xác ñịnh tham số m ñể phương trình sau có nghiệm

7 2 7 2 .x x x x m− + + − − + =

!: Trong trường hợp hàm số ( )f x không có GTLN, GTNN ta có thể làm như sau:

B1: Chưng ñiều kiện nhận m của ñề bài. B2: Chọn ra một số cụ thể cùng chiều với m. B3: Lấy ñáp số từ hai bước trên.


16

- Phương trình xác ñịnh khi 2 7.x− ≤ ≤

- ðặt 2 9

7 2 7 2 .2 2

tt x x x x= − + + ⇒ − + = − Với 5 3 2.t≤ ≤

- Phương trình ñã cho thành 2 9

, 5 3 2.2 2

tt m t− + + = ≤ ≤

93 2 2 5.

2ycbt m⇔ − ≤ ≤ +

Bài tập 52: (ðH GTVT TPHCM – 1999) Tìm tất cả các giá trị của tham số a ñể phương trình sau có nghiệm

duy nhất 2 3 21 2 1 .x x a− + − =

- ðiều kiện có nghĩa của phương trình 1 1.x− ≤ ≤

- Nhận xét: Nếu phương trình có nghiệm 0x thì 0x− cũng là một nghiệm của phương trình. Sự duy nhất

nghiệm cho ta 0 0 0 0.x x x= − ⇔ = Thế vào phương trình ta ñược 3.a =

- Thế 3a = vào cho ta 2 3 21 2 1 3.x x− + − = ðặt 6 21 0t x= − ≥ thì phương trình thành 3 22 3.t t+ = Giải

phương trình ẩn t ta ñược 1 0.t x= ⇒ = Vậy 3a = thì phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất. Bài tập 53: (Cð Hải Quan – 1999) Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm

4 4 4 6.x x x x+ − + + − = 6m ≥

CÁC BÀI TOÁN TRONG ðỀ TSðH & Cð Bài tập 54: (TSðH – Khối A – 2008) Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau có ñúng hai nghiệm

thực phân biệt: ( )4 42 2 2 6 2 6 .x x x x m m+ + − + − = ∈ ¡ ( ) ( )442 6 6 3 4 4m+ ≤ ≤ +

Bài tập 55: (TSðH – Khối A – 2007) Tìm m ñể phương trình 243 1 1 2 1.x m x x− + + = − 1

13

m− ≤p

Bài tập 56: (TSðH – Khối B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình

( )2 2 8 2x x m x+ − = − có hai nghiệm thức phân biệt.

Bài tập 57: (TSðH – Khối B – 2006) Tìm m ñể phương trình 2 2 2 1x mx x+ + = + có hai nghiệm thực phân

biệt. 9

2m ≥

Bài tập 58: (TSðH – Khối B – 2004) Xác ñịnh m ñể phương trình sau có nghiệm:

( )2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − 2 1 1m− ≤ ≤

Bài tập 59: (Dự bị 2 – Khối D – 2004) Cho phương trình 2 2 2 354 2 0.

3x m x m

+ − + + − =

Chứng minh

rằng với mọi 0m ≥ phương trình luôn có nghiệm.

Bài tập 60: (Cð GTVT III – Khối A - 2007) Tìm giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm

dương: 2 24 5 4 .x x m x x− + = + − 3 5m− p p

Bài tập 61: (Cð Kinh Tế ðối Ngoại) ðịnh m ñể phương trình 2 2 3 0x x m− + − = có nghiệm. 2m ≥

Bài tập 62: (Cð Kinh Tế ðối Ngoại) ðịnh m ñể phương trình 2 1x x m+ = + có nghiệm thực. 2m ≤

Bài tập 63: (TSðH – Khối A – 2002) Tìm m ñể phương trình 2 23 3log log 1 2 1 0x x m+ + − − = có ít nhất một

nghiệm thuộc ñoạn 31;3 . 0 2m≤ ≤

9. Các bài toán về số phức:


17

Bài tập 64: Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:

a) 3 5.z z+ + = 1, 4x x= = −

b) 1 2.z z i− + − = ( )1 2 2 / 2y = ±

c) ( )( )2 z i z− + là số thực tùy ý. 1

12

y x= − +

d) ( )( )2 z i z− + là số ảo tùy ý. ( )2

2 1 51

2 4x y

− + − =

e) 2 2 .z i z z i− = − + 2 4y x=

f) ( )22 4.z z− = 1

yx

= ±

g) 2 2 .z z+ −f 0x f

h) 1 1 2.z i≤ + − ≤ ( ) ( )2 21 1 1 4x y≤ + + − ≤

Bài tập 65: Xét số phức ( )

.1 2

i mz

m m i

−=− −

a) Tìm m ñể 1

. .2

z z = 1m = ±

b) Tìm m ñể 1

.4

z i− ≤ 1 1

15 15m− ≤ ≤

c) Tìm số phức z có môñun lớn nhất. 0m z i= ⇒ =

Hướng dẫn:

a) ( )

22

22 2 2

1 1 1 1. 1 1.

1 1 2 21

m mz z z m m

m m m

− − += − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±+ + +

b) ( ) ( )

2 2 4

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 11 ...

4 1 1 4 1 1 4 41 1

m m m m mz i i i

m m m m m m

− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + + + + + +

c) ( )

2

2 22

1 1.

11

mz

mm

+= =

++ Dễ thấy 1 0.Max z m= ⇔ =


a) ( )( )( )2 31 0.z i z z i− + + = 3

,2

iz i

± −= ±

b) ( ) ( )22 24 12 0.z z z z+ + + − = 1 23

1, 2,2

iz

− ±= −

c) 2

4 3 1 0.2

zz z z− + + + =

11 ,

2

iz i

− ±= ±

d) ( )3 22 1 3 1 0.z i z iz i− + + + − = 1, , 1z i i= +

Hướng dẫn:


18

c) Do 0z = không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho 0z ≠ ta ñược:

22

22

11 1 1 1 1 1 1 3

0 2 0 .2 2 2

2 2 5 0

t z ipt z z z z tz

z z z zt t

= − ± ⇔ − + + + = ⇔ − + − − + = ⇔ ⇒ = − + =

- Với ( )21 3 1 1 3 12 1 3 2 0 1 , .

2 2 2

i i it z z i z z i z

z

+ + − += ⇒ − = ⇔ − + − = ⇔ = + =

- Với ( )21 3 1 1 3 12 1 3 2 0 1 , .

2 2 2

i i it z z i z z i z

z

− − − −= ⇒ − = ⇔ − − − = ⇔ = − =

d) Do ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 0i i i+ − − + + − = nên 1z = là một nghiệm của phương trình ñã cho. Ta phân tích vế trái

của phương trình thành ( ) ( )( )( )3 2 22 1 3 1 1 * ,z i z iz i z z zα β− + + + − = − + + với , .α β ∈£

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2

1 2 22 1

* 2 1 3 1 1 31.

1

ii

z i z iz i z z z ii

i

αα

α β α β β αβ

β

− = − −= − −

⇔ − + + + − = + − + − − ⇔ − = ⇔ = − = −

Khi ñó ( )2

1 01, 1 , .

2 1 1 0

zpt z z i z i

z i z i

− =⇔ ⇔ = = + =

− + + − =

Bài tập 67: Giải hệ phương trình 1 2

2 21 2

4

5 2 .

z z i

z z i

+ = +

+ = − 1 1

2 2

1 2 3

3 1 2

z i z i

z i z i

= + = − ∪

= − = +

Hướng dẫn: ( )

1 21 2 1 222 2

1 21 2 1 2 1 2

44 4

5 5 .5 2 2 5 2

z z iz z i z z i

z z iz z i z z z z i

+ = ++ = + + = + ⇔ ⇔

= ++ = − + − = − Khi ñó 1 2,z z là nghiệm của

phương trình ( ) 1 12

2 2

1 2 31 24 5 5 0

3 3 1 2 .

z i z it it i t i

t i z i z i

= + = −= + − + + + = ⇔ ⇒ ∪ = − = − = +

Bài tập 68: Tìm số phức z sao cho 1z + có một acgumen bằng .2

π 1z i= − +

Hướng dẫn:

- Gọi ( )1 1 .z a bi z a bi= + ⇒ + = + +

- Vì 1z + có một acgumen bằng 2

π nên

( )

( )

2 2

2 2

10

cos 1 121.

sin 12 1

aa

a b arb b b

r a b

π

π

+ = = + + = − ⇔ ⇒

= = = + +

Bài tập 69: Tìm phần thực và phần ảo của số phức 1010

1z

z+ nếu

11.z

z+ = ( ) ( )Re 1, Im 0z z= − =

Hướng dẫn:

- Từ 2

1 3cos sin

1 2 3 31 1 0

1 3cos sin .

2 3 3

iz i

z z zz i

z i

π π

π π

+= = +

+ = ⇒ − + = ⇒ − = = − + −


19

- Với 10

101010

1 1cos sin cos sin ... 1.

3 3 3 3cos sin

3 3

z i z iz

i

π π π π

π π = + ⇒ + = + + = = − +

- Với 1010

1cos sin 1.

3 3z i z

z

π π = − + − ⇒ + = −

- Phần thực bằng – 1, phần ảo bằng 0.

Bài tập 70: Xét số phức 3 3

.3 3

n

i

i

− −

Với n bằng bao nhiêu thì số phức này là số thực, số ảo.

Hướng dẫn:

- ( )( )

2 cos sin cos sin3 33 3 3 6 6 6 6cos sin .

6 63 3 1 33 1 3 2 cos sin cos sin3 3 3 3

n i iii ii

i ii i i

π π π ππ π

π π π π

− − + − − − − = = = = = + − −− − − + −

- 3 3

cos sin .6 63 3

n

i n ni

i

π π −= + −

- 3 3

3 3

n

i

i

− −

là số thực khi 6 ,n k= là số ảo khi 6 3.n k= +

Onbai.org - eBook.here.Vn – Download Tài Li

Documents

Transcript of Onbai.org - eBook.here.Vn – Download Tài Li