ตรีโกณมิตินำเสนอOn demand
71
คคคคคคคคคคคคค (ค31 คคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคค 4 คคคคคคคคคคค คคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคค คคคคคคคคคค YOU TO คคคคคคคคคคคค คคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค
-
Upload
nittaya-noinan -
Category
Documents
-
view
119 -
download
2
Transcript of ตรีโกณมิตินำเสนอOn demand
คณ�ตศาสตรพ��นฐาน (ค31102)ระด�บช��นม�ธยมศ�กษาป�
ท�� 4
นางสาวน�ตยา น!อยน�นท โรงเร�ยนกาญจนาภ�เษกว�ทยาล�ย เพชรบ)รณ
ตร�โกณม�ต�
THANK YOU TO นางปร�ชาวรรณ เฟ+� องสว�สด�, โรงเร�ยนเบญจมราชาน-สรณ
ตร�โกณม�ต� ตร�โกณ ความหมายตาม
พจนาน�กรมแปลว�า สามเหล��ยม
ตร�โกณม�ต� ค�อ คณ�ตศาสตร�แขนงหน��งท��ว�า
ด"วยการค#านวณ ม�มของ สามเหล��ยม
ความเป.นมา เม��อ 640-546 ป$ ก�อนคร�สต�ศ%กราช ทาเรส
(thales) ค#านวณหาความส'ง ของพ�ราม�ด ใน ประเทศอ�ย�ปต�โดยอาศ%ยเงา ว�ธ�หน��งท��ทาเรสใช"ค�อ
ค#านวณความส'งของพ�ราม�ดจากความยาวของเงา ของพ�ราม�ด ในขณะท��เงาของเขาม�ความยาวเท�าก%บ
ความส'งของเขาเอง อ�กว�ธ�หน��งท��ทาเรสใช"ค#านวณ ความส'งของพ�ราม�ดค�อ การเปร�ยบเท�ยบความยาว
ของเงาของพ�ราม�ดก%บความยาวของเงาของไม"(ไม"ท�� ทราบความยาว ถ"าสม%ยน�.ก/ค�อ ไม"เมตรน%�นเอง) โดย
อาศ%ยร'ปสามเหล��ยมคล"าย ซ��งก/ค�อ อ%ตราส�วน ตร�โกณม�ต�ท��เร�ยกว�า แทนเจนต� (tangent) น%�นเอง
อ�ตราส/วน ตร�โกณม�ต�
อ%ตราส�วนตร�โกณม�ต� (Trigonometric Ratio) หมายถ�ง อ%ตราส�วนของด"านของร'ป
สามเหล��ยมม�มฉาก การเร�ยนในเร��องน�.ผ'"เร�ยนจ#าเป3น ต"อง ใช"ความร' "เด�มเร��องสามเหล��ยมคล"ายเพ��อเป3น
พ�.นฐานในการท#าความเข"าใจ การเร�ยนว�ชาตร�โกณม�ต�ให"ได"ด�น%.นต"องจ#าน�ยามของตร�โกณม�ต�
ให"ได" ระด%บม%ธยมต"นใช"น�ยามสามเหล��ยมม�มฉาก ซ��ง อ%ตราส�วนตร�โกณม�ต� ก/ค�อ อ%ตราส�วนของความยาว
ด"านสองด"านของสามเหล��ยมม�มฉากซ��งจะม�ช��อเร�ยก ด%งน�.
ช��อด"านของร'ปสามเหล��ยมม�มฉาก
?
?
?
A
C B
ด!านตรงข!าม ม-ม B
ด!านตรงข!าม
ม-มฉาก
ด!านประช�ด ม-ม B
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมท��ม�เป3นม�มฉาก
C
โดยท��ให" B เป3นจ�ดส%งเกต เราจะได"ช��อ ด"าน ด%งน�.
P
R
Q
ก2าหนดให! P เป.นจ-ดส�งเกต น�กเร�ยนค�ดว/าช��อด!านท��ถ)กต!อง
จะเป.นเช/นไร
ถ!าเราเปล��ยนสามเหล��ยมม-มฉาก เป.นแบบใหม/ ด�งร)ป
ด!านตรงข!าม ม-ม P
ด!านตรงข!าม
ม-มฉาก
P
Q
ด'ช��อด"านท��ถ'กต"องก%นค�ะ ถ'กก%นไหมคะ
ด!านประช�ด ม-ม P
R
ค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�บทน�ยาม ค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�
ประกอบด"วย
sine ของม�ม ส%งเกต =
ความยาวด"านตรงข!ามม�มส%งเกตความยาวด"านตรงข"ามม�มฉากcosine ของม�ม
ส%งเกต =
ความยาวด"านประช�ดม�มส%งเกตความยาวด"านตรงข"ามม�มฉากtangent ของ
ม�มส%งเกต =
ความยาวด"านตรงข!ามม�มส%งเกตความยาวด"านประช�ดม�มส%งเกต
AC
B
ด!านตรงข!าม ม-ม A
ด!านตรงข!าม
ม-มฉาก
ด!านประช�ด ม-ม A
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมม�มฉาก
ให" A เป3นจ�ดส%งเกต ด%งร'ป
จากบทน�ยามจะได"ว�า
sine A หร�อsin A =
cosine A หร�อ cos A = tangent A หร�อ tan A =
BC
AC
BC
AB
AC
AB
P
R
Q
ก#าหนดให" P เป3นจ�ดส%งเกตน%กเร�ยนค�ดว�าค�าอ%ตราส�วน
ตร�โกณม�ต�ของม�ม P จะเป3นเช�นไร
ถ!าเราเปล��ยนสามเหล��ยมม-มฉาก ร)ปใหม/ ด�งน��
ด!านตรงข!าม ม-ม P
ด!านตรงข!าม
ม-มฉาก
P
Q
หาค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ของม-ม P ต!องร)! ความยาวด!านก/อน ด�งน��
ด!านประช�ด ม-ม P
R
sin P =
cos P =
tan P =
QR
PQP
RPR
QRPQ
ค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�ม P ท��ถ'กต"อง ค�อ
ค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ผกผ�นบท
น�ยาม ค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ผกผ�น
ประกอบด!วย
secant ของม�ม ส%งเกต =
ความยาวด"านประช�ดม�มส%งเกตความยาวด"านตรงข"ามม�มส�งเกต
cosine ของม�ม ส%งเกต =
ความยาวด"านตรงข"ามม�มฉากความยาวด"านประช�ดม�มส�งเกต
cotangent ของ ม�มส%งเกต =
ความยาวด"านตรงข!ามม�มฉากความยาวด"านตรงข"ามม�มส%งเกต
=
=
=
1
1
1
tan A
cos A
sin A
AC
B
ด!านตรงข!าม ม-ม A
ด!านตรงข!าม
ม-มฉาก
ด!านประช�ด ม-ม A
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมม�มฉาก
ให" A เป3นจ�ดส%งเกต ด%งร'ป
จากบทน�ยามจะได"ว�า
cotangent A หร�อ cot A =
secant A หร�อ sec A =
cosecant A หร�อ csc A =
BC
ACBCABACAB
ถ"าเราเปล��ยนสามเหล��ยมม�มฉากร'ปใหม�ด%งน�.
P
R
Q
ก2าหนดให! P เป.นจ-ดส�งเกตน�กเร�ยนค�ดว/าค/าอ�ตราส/วน
ตร�โกณม�ต�ผกผ�นของม-ม P จะเป.นเช/นไร
ด!านตรงข!าม ม-ม P
ด!านตรงข!าม
ม-มฉาก
P
Q
หาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ผกผ%นของ ม�ม P ม�ด%งน�.
ด!านประช�ด ม-ม P
R
cot P =
sec P =
csc P =
QR
PQ
PRPQ
ค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�ม P ท��ถ'กต"อง ค�อ
PRQR
เราสามารถหาค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ในร)ปของจ2านวน
ได! โดยด2าเน�นตามข��นตอนด�งน�� ข��นท�� 1 ใช!ความร)!เร��องทฤษฎ�พ�ธากอร�สหาความยาวด!าน
ท��เหล�อของสามเหล��ยมม-มฉาก ข��นท�� 2 หาค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�โดยใช!บทน�ยาม ข��นท�� 3 แทนค/าความยาวด!านท��
ได!จากข��นท�� 1 ลงใน อ�ตราส/วนท��ได!ในข��นท�� 2
ข��นท�� 4 หากอ�ตราส/วนท��ได!ในข��น ท�� 3 ม�ต�วส/วนต�ดกรณฑ
ให!ท2าส/วนไม/ต�ดกรณฑ
การแทนค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ด!วยจ2านวนจร�ง
AC
B
ก2าหนด ABC เป.นสามเหล��ยมม-มฉากและความยาวด!านด�งร)ป
35
จงหาค/าอ�ตราส/วน ตร�โกณม�ต�ของม-ม A
ด)ต�วอย/าง
AC
B
35
จากทฤษฎ�พ�ธากอ ร�ส จะได!ว/า
AB2 = BC2 + AC2 AC2 = AB2 – BC2 = 52 – 32 = 25 – 9 AC = 16 = 4
SIN A =
COS A =
TAN A =
COT A =SEC A =
CSC A =
จากบทน�ยาม จะได! 3
4
5
5
34
34
5
5
3
4
=
=
=
=
=
=
BC
ACBCABACAB
BC
AC
BC
AB
AC
AB
การหาค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�อาจหา ได!จากส��งท��โจทยก2าหนดให! ด�ง
ต�วอย/างต/อไปน�� ก2าหนดให! 5 SIN A = 3 จงหาค/า TAN A
จากโจทยก2าหนดให! 5 SIN A = 3จะได! SIN
A =
3
5
35
A
จากความร)!เร��องอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ค/าท��ได!จากโจทยให!ค�ดเป.นค/าอ�ตราส/วน
อย/างต2�า และหาความยาวด!านท��เหล�อได!4 หากวาดภาพประกอบจะม�ความเข!าใจ
เพ��มข��น (ด�งร)ป) TAN A =
34
ก#าหนดให" 20 tan A = 21 จง หาค�า sin A – cos A จากโจทย�ก#าหนดให" 20
tan A = 21จะได" tan A =
2120 2
1 A ค�าอ%ตราส�วนอย�างต#�า ท#าให"หาความยาวด"านท�� เหล�อได" 21 (ด%งร'ป)
2129
20
29
sin A – cos A
= 2029
= 129
sin A – cos A
45o
30o
60o
ค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�ม30o , 45o , 60o
A
CB
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมด"านเท�าท��ม�ความยาวด"านด%งร'ป
2 2
จะได"ว�า A = B = C = 60o
2
CB
2 2
2
แบ�งคร��งสามเหล��ยมด"านเท�าโดยลากเส"นจากจ�ด A
ไปต%.งฉากก%บด"าน BC ด%งร'ปA
จะได"
A
A
D
D
2
2
B
C1
1
A
D
2
C1
น#า ADC มาหาความยาว ของ AD และ ขนาดของม�ม A ด%งร'ป
จะได" D = 90o C = 60o A = 30o
AC2 = AD2 + DC2 AD2 = AC2 – DC2 = 22 – 12 = 4 – 1 AC = 3
จาก ท.พ�ธากอร%สจะได"
A
D
2
C1
น#า ADC มาหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ด%งน�.
3
sin A =cos A =tan A =cot A =sec A =csc A =
sin 30o =cos 30o =tan 30o =cot 30o =sec 30o =csc 30o =
1
1 3
3
3
3
2
2
2
2 =
=
32
33
3
A
D
2
C1
น#า ADC มาหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ด%งน�.
3
sin C =cos C =tan C =cot C =sec C =csc C =
sin 60o =cos 60o =tan 60o =cot 60o =sec 60o =csc 60o =
1
1 3
3
3
3
2
2
2
2=
=
3
2
33
3
A
CB
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมม�มฉากท��ม�ความยาวด"านด%งร'ป
1
จะได"ว�า A = C = 45o
145o
น#า ABC มาหาความยาว ของ AC
จะได" D = 90o C = 45o A = 45o
AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 12 = 1 + 1 AC = 2
จาก ท.พ�ธากอร%สจะได"
A
CB
1
145o
น#า ABC มาหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ด%งน�.
2
sin C =cos C =tan C =cot C =sec C =csc C =
sin 45o =cos 45o =tan 45o =cot 45o =sec 45o = csc 45o =
A
CB
1
145o
sin A =cos A =tan A =cot A =sec A =csc A =
12
1
2
1
1
2
2
2
=
= 2
2
2
30o 45o 60o
sin
cos
tan
cot
sec
csc
จากค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�ม 30o , 45o , 60o สร�ปได"ด%งตารางม�ม
1
1
3
3
3
3
2
2
2
2 =
=
3
2
33
3 2
2
2
2 2
1
1
11
3
3
3
3
3
33
3
2
2
2
2
2
2
2 2
1
1
=
=
=
=
เราสามารถน#าค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�ม 30o , 45o , 60o มาประย�กต� ด%งน�.ต%วอย�าง
จงหาค�า ของ 2 sin 30o cos 30o tan 30o
2 sin 30o cos 30o tan 30o
ว�ธ�ท#า
จากโจทย�
แทนค�าจะได"
= 12
2× ×× 32
1 3
12
=
ต%วอย�าง
จงหาค�า ของ 2 ( sin2 30o + cos2 30o ) + tan 45o
2 ( sin2 30o + cos2 30o ) + tan 45o
ว�ธ�ท#า
จากโจทย�
แทนค�าจะได"
= 12
2× 32
1
2=
ด'ต%วอย�างใหม� ก%นด�กว�านะ
+2 2
+
1+
= 3
14
34+
การอ�านค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�จากตาราง
sin cos tanม�ม
ค�า
การอ�านค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�มท%�วๆไป
ให"อ�านค�าท%.งแนวต%.ง และ แนวนอน ข%.นท�� 1ด'ขนาดของม�มท��ช�องซ"ายส�
ด (แนวต%.ง) ข%.นท�� 2อ�านค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�
ตามโจทย�ก#าหนด จากห%วข"อแถวบนส�ด (แนว
นอน)
*หมายเหต-* อาจใช"ไม"บรรท%ดช�วยในการอ�านได"ค�ะ
การหาค/าอ�ตราส/วนตร�โกณม�ต�ของม- มอ��นๆท��ม�ค/าต��งแต/ 0๐ ถ�ง 90๐ และ
ไม/ใช/ 30๐ , 45๐ , 60๐ เราจะใช!การเป>ด ตาราง ด�งน��
ม�ม/ค�า sin cos tan
ม�ม/ค�า sin cos tan
21o 0.358
0.934
0.384 65o 0.90
60.42
32.14
5
22o 0.375
0.927
0.404 66o 0.91
40.40
72.24
6
23o 0.391
0.921
0.424 67o 0.92
10.39
12.35
6
24o 0.407
0.914
0.445 68o 0.92
70.37
52.47
5
25o 0.423
0.906
0.466 69o 0.93
40.35
82.60
5
ด'ต%วอย�างการอ�านค�าจาก ตาราง ด%งน�.
sin 21o =
0.358
cos 67o =
0.391
จากตารางจะได"ว�า tan
25o =
0.466
cot 25o
cot A =
จาก
= tan 25o
1tan A
0.466
= = 2.146
sec A =
จาก
=1
cos Acos 67o
1
0.391
1sec 67o
= = 2.558
csc 21o
csc A =
จาก
= sin 21o
1
1
sin A
0.358
1= = 2.793
1 1
ค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ท��ไม�ม�ใน
ตาราง เราสามารถหาโดยอาศ%ยบท
น�ยาม ด%งน�.
ลองมาด'ต%วอย�างในการหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ใหม�นะคะก#าหนดตาราง
ม�ม/ค�า
sin cos tan
48o 0.743
0.669
1.111
49o 0.755
0.656
1.150
50o 0.766
0.643
1.192sin 48o
= 0.743
=
=
cos 49o = 0.656
1.346
=
csc 48o =
sin 48o
1
0.743
1
tan 50o = 1.192
= =
=
sec 49o =
cot 50o =
0.839
tan 50o
1.192
1
1.524
cos 49o
0.656
1
1
1
ม�ม/ค�า sin cos tan
ม�ม/ค�า sin cos tan
21o 0.358
0.934
0.384 65o 0.90
60.42
32.14
5
22o 0.375
0.927
0.404 66o 0.91
40.40
72.24
6
23o 0.391
0.921
0.424 67o 0.92
10.39
12.35
6
24o 0.407
0.914
0.445 68o 0.92
70.37
52.47
5
25o 0.423
0.906
0.466 69o 0.93
40.35
82.60
5
การหาค�าม�มคร��งจากตาราง ให"ด#าเน�นการด%งน�.
sin 22o =
0.375
sin 23o =
0.391
จากตารางจะได"ว�า
sin 22.5o =
0.383
sin 22o
+sin 23o
2= 0.375
+ 0.391
2=
sin 22.5o =
0.383
ลองมาด'ต%วอย�างในการหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�มคร��งอ��นด'บ"างก#าหนดตาราง ม�ม/
ค�าsin cos tan
33o 0.545
0.839
0.649
34o 0.559
0.829
0.675
35o 0.574
0.819
0.700sin
34.5o =
0.567
sin 34o + sin 35o 2
= 0.559 + 0.5742
=
csc 34.5o =
1.764
sin 34.5o
1
=0.567
1
=
ลองมาด'ต%วอย�างในการหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�มคร��งอ��นด'บ"างก#าหนดตาราง ม�ม/
ค�าsin cos tan
77o 0.974
0.225
4.331
78o 0.978
0.208
4.705
79o 0.982
0.191
5.145cos
77.5o =
0.217
cos 77o + cos 78o 2
= 0.225 + 0.2082
=
sec 34.5o =
4.608
cos 77.5o
1
=0.217
1
=
ลองมาด'ต%วอย�างในการหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ของม�มคร��งอ��นด'บ"างก#าหนดตาราง
tan 33.5o =
0.662
tan 33o + tan 34o 2
= 0.649 + 0.6752
=
cot 33.5o =
1.511
tan 33.5o
1
=0.662
1
=
ม�ม/ค�า
sin cos tan
33o 0.545
0.839
0.649
34o 0.559
0.829
0.675
35o 0.574
0.819
0.700
sin A
= cos ( 90o – A )cos
A= sin ( 90o
– A )tan A
= cot ( 90o – A )
?
?
?
?
??
โคฟ?งกช�น
ม�ม/ค�า sin cos tan
ม�ม/ค�า sin cos tan
21o 0.358
0.934
0.384 65o 0.90
60.42
32.14
5
22o 0.375
0.927
0.404 66o 0.91
40.40
72.24
6
23o 0.391
0.921
0.424 67o 0.92
10.39
12.35
6
24o 0.407
0.914
0.445 68o 0.92
70.37
52.47
5
25o 0.423
0.906
0.466 69o 0.93
40.35
82.60
5
จากตารางค�าอ%ตราส�วน ตร�โกณม�ต�
sin 21o =
0.358
cos 69o =
0.358
จากตารางจะได"ว�า จะ
ได!sin 21o = cos 69o
sin 65o =
0.906
cos 25o =
0.906
จะได!
sin 65o = cos 25o
sin 21o =
0.358
cos 69o =
0.358
จาก จะ
ได!sin 21o = cos 69o
sin 65o =
0.906
cos 25o =
0.906
จะได!
sin 65o = cos 25o
ข"อส%งเกต
25o + 65o = 90o
21o + 69o = 90o
หร�อ
จะได"ว�า sin A = cos B หร�อsin B = cos A
ข"อส%งเกต A + B = 90o จะ ได" B = 90o – A *บทสร-ป* หาก A + B = 90o ด%งน%.นจะได"ว�า sin A =
cos (90o – A) cos A = sin
(90o – A)
เราสามารถใช"เร��องโคฟ7งก�ช%นหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ได"ด%งน�.
ต%วอย�าง
sin A = cos (90o – A)
ว�ธ�ท#า
จาก
ก#าหนด sin 53o = 0.799 , cos 53o = 0.602
จงหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ท�ก ค�าของม�ม 37o
sin 37o = cos (90o – 37o ) = cos 53o = 0.602
cos A = sin (90o – A)
จาก cos 37o = sin (90o – 37o )
= sin 53o = 0.799
sin 37o = 0.602
cos 37o = 0.799
tan A =
จาก
=
sin 37o
cos Acos 37o
cot 37o = 1.327
tan 37o = 0.753
sin A
0.799
0.602tan
37o
cot 37o
= = 0.753
cot A =
จาก
= sin 37o
cos Acos 37o
sin A
0.602
0.799= = 1.
327
sec A =
จาก
=
1
cos Acos 37o
csc 37o = 1.661
sec 37o = 1.252
1
0.799
1sec 37o
csc 37o
= = 1.252
csc A =
จาก
= sin 37o
1
1
sin A
0.602
1= = 1.661
ลองอ�กต%วอย�างหน��งนะคะต%วอย�
างsin A = cos (90o – A)
ว�ธ�ท#า
จาก
ก#าหนด sin 73o = 0.956 , cos 73o = 0.292
จงหาค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ท�ก ค�าของม�ม 37o
sin 17o = cos (90o – 17o ) = cos 73o = 0.292
cos A = sin (90o – A)
จาก cos 17o = sin (90o – 17o )
= sin 73o = 0.956
sin 17o = 0.292
cos 17o = 0.956
tan A =
จาก
=
sin 17o
cos Acos 17o
cot 17o = 3.274
tan 17o = 0.305
sin A
0.956
0.292tan
17o
cot 17o
= = 0.305
cot A =
จาก
= sin 17o
cos Acos 17o
sin A
0.292
0.956= = 3.
274
sec A =
จาก
=
1
cos Acos 17o
csc 17o = 3.425
sec 17o = 1.252
1
0.956
1sec 17o
csc 17o
= = 1.046
csc A =
จาก
= sin 17o
1
1
sin A
0.292
1= = 3.425
การน#าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ไปหาความยาวด"านและม�มของสามเหล��ยมม�มฉาก
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
เราสามารถน2าค/าอ�ตราส/วน ตร�โกณม�ต� มาหาความยาว
ด!านของสามเหล��ยม ม-มฉากได! โดยด2าเน�นตาม
ข��นตอนด�งน�� 1. เข�ยนส��งท��โจทย�ก#าหนดให" และ ส��งท��ต"องการหา 2. น#าส��งท��ก#าหนดและต"องการมาสร"างสมการ โดยใช"บทน�ยามค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต� 3. ด#าเน�นการแก"สมการหมายเหต- อย�าล�มว�าต"องทบทวนการแก"สมการด"วย
AC
B
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมม�มฉากและความยาวด"านด%งร'ป
a12
จงหาค�าa
ด'ต%วอย�าง
30o
AC
B
a12
30o
โจทย�ก#าหนด
BC เป3นด"านตรงข"าม ม�ม A = aAB เป3นด"านตรงข"าม
ม�มฉาก = 12 A = 30oโจทย�
ต"องการ ความยาว
a
จากบทน�ยาม
BCAB
= sin A
a12
= แทนค�าจะได"
sin 30o
น#า 12 ค'ณท%.ง2 ข"าง
a = 12
12×
a = 6
AC
B
a
16
37o
โจทย�ก#าหนด
AC เป3นด"านประช�ด ม�ม A = aAB เป3นด"านตรงข"าม
ม�มฉาก = 16 A = 37oโจทย�
ต"องการ ความยาว
aจากบทน�ยาม
BCAB
= cos A
a16
= แทนค�าจะได"
cos 37o
น#า 16 ค'ณท%.ง2 ข"าง
a = 16 cos 37o
a = 12.784
แทนค�า cos 37o
a = 16 ( 0.799 )
เราสามารถน2าค/าอ�ตราส/วน ตร�โกณม�ต� มาหาขนาดม-ม
ของสามเหล��ยมม-มฉากได!อ�กด!วย
การด#าเน�นการหาขนาดของม�มให"ใช"ว�ธ� การเด�ยวก%นก%บการหาความยาวด"านค�ะ
แต�อย�าล�มว�าถ"าไม�ตรงก%บค�าของ ม-ม 30o , 45o , 60o ต"องใช"การเป8ด
ตารางด"วย
AC
B
ก#าหนด ABC เป3นสามเหล��ยมม�มฉากและความยาวด"านด%งร'ป
612
จงหาขนาดของ ม�ม A
ด'ต%วอย�าง
?
AC
B
612
โจทย�ก#าหนด
BC เป3นด"านตรงข"าม ม�ม A = aAB เป3นด"านตรงข"าม
ม�มฉาก = 12
A = 30o
โจทย�ต"องการ
ขนาดของ ม�ม A
จากบทน�ยาม
BCAB
= sin A
612
= แทนค�าจะได"
จากค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�
=12
?
sin A
sin Asin 30o =
12
AC
B
513
โจทย�ก#าหนด
BC เป3นด"านประช�ด ม�ม A = aAB เป3นด"านตรงข"าม
ม�มฉาก = 13
B 67.5o
โจทย�ต"องการ
ขนาดของ ม�ม B
จากบทน�ยาม
BCAB
= cos B
513
= แทนค�าจะได"
จากตารางค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�
=
?
cos B
cos Bcos 67.5o = 0.383
0.385
การน#าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�ไปหา ระยะทาง ก%บ ความส'ง
?
? ? ?
??
เราสามารถน2าค/าอ�ตราส/วน ตร�โกณม�ต� มาหาระยะทาง
ก�บความส)งได! อ�กด!วย
การด#าเน�นการหาระยะทางก%บความส'งให"ใช"ว�ธ�การเด�ยวก%นก%บการหาความยาวด"านหร�อ
ม�มค�ะ ท%.งน�.ควรม�ความร' "เพ��มเต�มเก��ยวก%บ ม�มก"ม และ ม�มเงย ก%นก�อน
ม-มก!ม ค�อ ม�มท��เก�ดจากแนวเส"นจากสายตาไปย%งว%ตถ�ท��อย'�ต#�ากว�าแนวเส"นระด%บสายตา
ระด%บสายตา
ม-มเงย ค�อ ม�มท��เก�ดจากแนวเส"นจากสายตาไปย%งว%ตถ�ท��อย'�ส'งกว�าแนวเส"นระด%บสายตา
ระด%บสายตา
ในการแก"โจทย�ป7ญหาเราอาศ%ยเร��อง ของสามเหล��ยมคล"ายเข"ามาประย�กต�ใช"
เพราะการว%ดม�มก"มหร�อม�มเงยต"อง อาศ%ยอ�ปกรณ� ค�อ สามเหล��ยมม�มฉาก
เล/ก และ อย�าล�มว�าสามเหล��ยม 2 ร'ปท�� คล"ายก%น จะม�อ%ตราส�วนของด"านท��
สมน%ยก%นเท�าก%น ซ��งก/เป3นอ%ตราส�วน ตร�โกณม�ต�น%�นเอง ลองด'ร'ปประกอบ
ของจร�ง
ของท��ใช"ว%ด
A C
B
เกษมย�นห�างจากต�กแห�งหน��งเป3นระยะทาง150 เมตร มองข�.นไปบนยอดต�กเป3นม�มเงย
เท�าก%บ 360 จงค#านวณหาความส'งของต�ก
150
ด'ต%วอย�างก%นด�กว�า
?
36o
โจทย�ก#าหนด
BC เป3นต�กแห�งหน��งAC เป3นระยะท��เกษมย�นห�างจากต�ก
โจทย�ต"องการ
ความส'งของต�ก
จากบทน�ยาม
BCAC
= tan A
150
= แทนค�าจะได"
จากค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�
tan 36o = 0.727
A C
B
150
36o
ว�ธ�ท#า
BC tan
36o น#า 150 ค'ณ ท%.ง 2 ข"าง
BC
= 150 tan 36o
BC
= 150 ( 0.727 )
ต�กส'ง109.05 เมตร
ม�มเงย36o
A C
B
โอปอย�นอย'�บนต�กแห�งหน��งซ��งส'ง 120 เมตรมองลงไปจากยอดต�กส%งเกตเห/นรถเข/นเป3น
ม�มก"มเท�าก%บ 560 จงค#านวณหาว�ารถเข/นน%.นอย'�ห�างจากต�กก��เมตร
120
อ�กต%วอย�างด�กว�านะ
?
56o
โจทย�ก#าหนด
BC เป3นต�กแห�งหน��งAC เป3นระยะท��รถเข/นอย'�ห�างจากต�ก
โจทย�ต"องการ
ระยะท��รถเข/นอย'�ห�างจากต�ก
จากบทน�ยาม
BCAC
= tan A12
0 = แทนค�าจะได"
จากค�าอ%ตราส�วนตร�โกณม�ต�
tan 56o = 1.483
ว�ธ�ท#าtan 56o
น#า AC ค'ณ ท%.ง 2 ข"าง
120
= AC tan 56o
AC
=
รถเข/นอย'�ห�างจากต�กประมาณ80.92 เมตร
A C
B
120?
56o
ระด%บสายตา
ม�มก"ม56o
AC
1201.483
ต�วอย/าง
นายแดงย�นห/างจากเสาธง 100 เมตร เขามองไปย�งยอดเสาธงโดยท2าม-มเงยก�บยอดเสาธงเป.นม-ม 60o จงหาความส)งของยอดเสาธง ถ!านายแดงส)ง 170 เซนต�เมตร
ว�ธ�ท2า(สร"างร'ปประกอบการพ�จารณา)A
B60o
1001.7
xจะได! x
100=tan 60o
x =(100) tan 60o
x =100 3 173.2
ด�งน��น เสาธงส)ง =173.2 + 1.7
ประมาณ 174.9 เมตร
เร�ยนร)! คณ�ตศาสตร
สว�สด�
ง/ายน�ดเด�ยว
