Omnes Graduatio Raízes da Equação Cúbica 1 … Graduatio Raízes da Equação Cúbica 1 Ref.:...
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OmnesGraduatio RaízesdaEquaçãoCúbica 1Ref.:170725 prof.NorbaMatemática
Aequaçãocúbicaédaforma
𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! = 0, com 𝑎! ≠ 0 (1)
Interessadeterminarosvaloresdexquesatisfazemaequação.Fala-seemraízes.AFigura1mostraaexistênciadetrêstiposderaízesparaaeq.(1).Aregiãoentreaslinhas(-1)e(1)fornecetrêsraízesreais.Asregiõesacimade(1)eabaixode(-1)tem-seumaraizrealeduasimaginárias.
Fig.1–Gráficosegmentodecurvadaeq.(1).Alinha(0)apresentatrêsraízesreais,sendoqueuma
delascoincidecomopontodeinflexão;aslinhas(-1)e(1)evidenciamtrêsraízesreais,sendoduasiguais,ospontosdemínimoedemáximo,respectivamente;aslinhas(-2)e(2)mostramapenasuma
raizreal,easoutrasduasraízessãocomplexaseconjugadas.
Busca-sesoluçãodaforma
𝑥 − 𝑥! 𝑥 − 𝑥! 𝑥 − 𝑥! = 0 (2)Asraízesdaeq.(1),explicitadasnaeq.(2)podemserdeterminadaspormeiodeálgebra,cujasoluçãoexataéatribuídaaTartagliaqueaderivoueaCardanoqueapublicou1.AseguirasraízessãodeterminadasbaseadonométododeHudde2,oqualtemavantageminicialdeoperarcomnúmerosmaissimples,quiçáinteiros.Referências:
MiquelyMerino,P.ElementosdeAlgebraSuperior.Vol.1,4aed.Cultural.Habana,1948.Imagensmatemáticos:Wikipedia.
1 Nicoló Fontana (1499-1557), conhecido como Tartaglia, Girolamo Cardano (1501-1576).
2 Johannes (van Waveren) Hudde (1628-1704).
OmnesGraduatio RaízesdaEquaçãoCúbica 2Ref.:170725 prof.NorbaMatemática
1. Calcularoscoeficientesmen
𝑚 = 3 3𝑎!𝑎! − 𝑎!!
𝑛 = 2𝑎!! − 9𝑎!𝑎!𝑎! + 27𝑎!𝑎!!
2. CalcularodiscriminanteD
𝐷 =𝑛2
!+
𝑚3
!
Propriedades:• SeD>0àumaraizreal,duasraízesimagináriasconjugadas.• SeD=0àtrêsraízesreais,sendoduasiguais.• SeD<0àtrêsraízesreaisdistintas.
3. CasosD>0eD=0
CalcularosradicaisAeB
𝐴 = −𝑛2+ 𝐷
! e 𝐵 = −
𝑛2− 𝐷
!
SeD>0,regiãoexternaàregião[-1,1]naFigura1,asraízessão
𝑥! = 𝐴 + 𝐵
𝑥! = −𝐴 + 𝐵2
+ 𝑖𝐴 − 𝐵2
3
𝑥! = −𝐴 + 𝐵2
− 𝑖𝐴 − 𝐵2
3
SeD=0,linhas[-1]e[1]naFigura1,asraízessão
𝑥! = 𝐴 + 𝐵
𝑥! = 𝑥! = −𝐴 + 𝐵2
4. CasoD<0Região]-1,1[naFigura1.Determinarosparâmetros
𝜌 = −𝑚3
! e 𝜑 = cos!! −
𝑛2𝜌
ondeϕédadoemradianos;edeterminarasraízes
𝑥!!! = 2 𝜌! cos𝜑 + 2𝑘𝜋
3, para 𝑘 = 0, 1, 2
Cabenotarpara𝜑 ∈ 0, 𝜋 tem-sequex1>x3>x2.
5. Efinalmente,paraqualquercasoacima,atransformação
𝑥! →
𝑥! − 𝑎!3𝑎!
, 𝑘 = 1, 2, 3
levaàsraízesprocuradas.