Omanović Elvis - Klasične i savremene metode proračuna rešetkastih konstrukcija

UNIVERZITET „DŽEMAL BIJEDIĆ“

MAŠINSKI FAKULTET MOSTAR

ZAVRŠNI RAD

KLASIČNE I SAVREMENE METODE PRORAČUNA

REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA

MENTOR: KANDIDAT:

doc. dr. SAFET ISIĆ ELVIS OMANOVIĆ

Mostar, juni, 2012. godine

Elvis Omanović Rešetkasti nosači

5

Sadržaj

Sadržaj................................................................................................................................................. ................5

1. Uvod............................................................................................................................................... ..........6

1.1. Osnovne definicije i pojmovi............................................................................................. ............ ....6

1.2. Čvorovi u rešetkastim konstrukcijama............................................................................... ............ .8

1.3. Podjela rešetkastih konstrukcija....................................................................................... ............ ...10

1.4. Struktura rada................................................................................................... ................. ....11

2. Klasične metode proračuna rešetkastih konstrukcija............................................................ ............ ....12

2.1. Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija.................................................... ...... ............12

2.2. Proračun rešetkastih konstrukcija................................................................................... ...... ................. ..........13

2.3. Primjer klasičnog proračuna rešetke................................................................................ ............ ......14

2.3.1. Određivanje sila u štapovima metodom Maxwell-Cremoninog plana sila............ ......15

2.3.2. Određivanje sila u štapovima Ritterovom metodom................................................... ............ .....18

2.3.3. Određivanje sila u štapovima Culmannovom metodom.............................................. ...........20

3. Savremene metode proračuna rešetkastih konstrukcija........................................................ ............ ..22

3.1. Metoda konačnih elemenata..............................................................................................22

3.2. Primjer proračuna rešetke metodom konačnih elemenata............................................... ............ ..........23

3.3. Primjena računara u inžinjerstvu..................................................................... ................. ............28

3.4. Proračun pomoću računarskih softvera - MDSolids....................................................... .......... ................. ............ ..29

3.5. Proračun pomoću računarskih softvera - CADS Analyse 3D................................ . ................. ............ ......35

4. Zaključak..............................................................................................................................41

5. Literatura....................................................................................................................................42


6

1. Uvod

1.1. Osnovne definicije i pojmovi

Rešetkasti nosači su konstrukcijski sistemi koji su sastavljeni od dovoljnog broja

ispravno raspoređenih, međusobno zglobno spojenih štapova, sa dovoljnim brojem vanjskih

veza. Pri tome se pretpostavlja da su ti štapovi pravocrtni, konstantnog poprečnog presjeka, a

opterećenja su zadana u osi štapa i u čvorovima sistema.

Rešetkasti nosači su nastali iz težnje optimizacije utrošaka materijala uz istovremeno

visoko iskorištenje konstrukcije. Rešetkasti nosači sastoje se od pojasnih štapova (gornji i

donji pojas), te štapova ispune (dijagonala i/ili vertikala) i predstavljaju konstrukcije koje su

racionalne za velike raspone i/ili veća opterećenja.

Uz navedene, jedna od osnovnih pretpostavki kod statičkog proračuna (kako

analitičkog, tako i grafičkog), jeste da je rešetkasti konstruktivni sistem geometrijski

nepromjenljiv i statički određen, jer se samo takvi sistemi smatraju nosačima. Prije opisa

postupka ispitivanja geometrijske nepromjenljivosti kod ovakvih nosača, biti će definisan sam

pojam. Geometrijski nepromjenljivim sistemima se smatraju oni sistemi kod kojih može doći

do pomaka samo zbog deformacije elemenata. Ispitivanje se može provesti statičkim i

kinematičkim metodama.

Kako bi se došlo do nužnog uslova geometrijske nepromjenljivosti rešetkastog diska,

polazi se od najjednostavnije strukture rešetkastog diska. Osnovna geometrijski

nepromjenljiva figura sastavljena od štapova je trougao koji se sastoji od tri čvora i tri štapa.

Počevši od te figure, postupnim spajanjem svakog dodatnog čvora sa dvama štapovima dolazi

se do geometrijski nepromjenljivog rešetkastog diska. Na slici 1.1. prikazano je konstruisanje

jednog takvog diska na osnovnu figuru, gdje se trouglu 1, 2, 3 prvo sa dva štapa priključio

čvor 4, te daljim postupnim dodavanjem čvorova 5, 6, 7 i 8, i njihovim vezivanjem dobija se

rešetkasti disk.

Slika 1.1.


7

Klasični proračunski model rešetkastih nosača podrazumijeva zglobne veze na

mjestima spojeva, tj. pretpostavlja se da su štapovi rešetke izloženi samo djelovanju uzdužnih

sila. Takav pristup znatno olakšava izvođenje proračuna, pa je njegova primjena vrlo raširena

u praksi. Međutim, u stvarnosti se veze između štapnih elemenata rešetkastih nosača najčešće

izvode kruto (to posebno vrijedi za zavarene spojeve), a ujedno se javljaju i česta odstupanja

od centričnog spajanja, što zbog fizičke nemogućnosti ostvarivanja potpuno centričnih veza,

što zbog pojednostavljivanja same izvedbe konstrukcije. Zbog nemogućnosti ostvarenja

potpuno centričnih veza dolazi do dodatnih naprezanja u štapovima rešetke (tzv. sekundarna

naprezanja). Sekundarni naponi nastaju od stvarnog ponašanja konstrukcije i preraspodjeljuju

se unutar konstrukcije, pa ne djeluju na ležajne reakcije, te odatle naziv sekundarni.

Poseban uticaj na ponašanje rešetke mogu imati priključci između elemenata, pa je

vrlo bitno procijeniti njihov uticaj na globalno ponašanje konstrukcije. Pretpostavljanje

zglobnih veza na mjestu spojeva štapova rešetkastih nosača, vodi do pitanja imaju li kritični

dijelovi rešetkastih nosača (elementi ili priključci) dovoljnu žilavost za ostvarenje te

pretpostavke. Potrebni rotacijski kapacitet elemenata može se postići preko ograničavanja

vitkosti štapova rešetkastih nosača, gdje posebno treba voditi računa o vitkosti pritisnih

štapova. Također je bitan i relativan odnos visina između spojenih elemenata zbog

sekundarnih naprezanja.

Slika 1.2.


8

1.2. Čvorovi u rešetkastim konstrukcijama

Na rešetkaste konstrukcije djeluju dvije vrste sila:

vanjske sile: aktivne (sile opterećenja) i pasivne (reakcije oslonaca),

unutrašnje sile: sile štapova i sile čvorova.

Postavka da su rešetkasti nosači opterećeni samo u zglobovima i da, zbog toga, u

štapovima postoje samo uzdužne sile, vrijedi samo kao proračunska šema i kao stanje koje je

u većini slučajeva dovoljno tačno. Ako vlastitu težinu štapova ne možemo zanemariti ili ako

su štapovi neposredno opterećeni, moramo osim uzdužnih u obzir uzeti i poprečne sile i

momente savijanja u njima. I u tom slučaju možemo nosač proračunati kao rešetkasti, pri

čemu opterećenja rastavljanjem u komponente prenosimo u zglobove.

U teoriji rešetkastih nosača postoje dvije pretpostavke:

1. sile u štapovima rešetke izazivaju samo aksijalna naprezanja bez savijanja,

2. svi štapovi u čvorovima slobodno se zakreću, odnosno spojevi u čvorovima

odgovaraju zglobnim priključcima.

Pri ovakvom pogledu na rešetkaste konstrukcije, pojavilo se rješenje sa

konstrukcijskom izvedbom zglobova u čvorovima, tj. valjkasti trnovi provučeni kroz rupe

svakog štapa. Takvo rješenje se pokazalo nepovoljnim jer su se trnovi brzo trošili, trenje se

povećavalo i pojavljivala se korozija.

Novo rješenje rešetkastih konstrukcija omogućava poštivanje konstrukcijskih pravila,

tako da se stvarni rad rešetke maksimalno približi teorijskim pretpostavkama. Čvorovi se

odmah u početku izvode kruti, dok se štapovi priključuju u čvorove pomoću čvornih limova

(slika 1.3.), čvornih kugli (slika 1.4.), zavarivanjem (slika 1.5.), itd.

Slika 1.3. Slika 1.4.


9

Slika 1.5.

Pri konstruisanju rešetki potrebno je poštovati određena pravila za oblikovanje:

1. birati što veće konstrukcijske visine nosača, radi smanjivanja progiba pod

pokretnim opterećenjem,

2. opterećenja unositi u nosač preko čvorova,

3. štapove centrirati u čvorovima,

4. birati minimalno potrebne veličine čvornih limova, radi smanjivanja uticaja

uklještenja u čvorovima.

Proračun priključaka u rešetkastim konstrukcijama vrši se kao proračun statičke

otpornosti priključaka, izražene preko uzdužne sile koju može prenijeti štap ispune i/ili

momenta savijanja u štapovima, kod ravanskih i prostornih rešetkastih nosača sastavljenih od

okruglih, kvadratnih i pravougaonih šupljih profila, te njihovih međusobnih kombinacija.

Proračun rešetkastih konstrukcija se svodi na određivanje reakcija spoljašnjih veza i

sila u štapovima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki, sile u štapovima se poklapaju sa

pravcima štapova, te oni mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak.


10

1.3. Podjela rešetkastih konstrukcija

Rešetkaste konstrukcije možemo podijeliti prema sljedećim kategorijama:

prema obliku konstrukcije: ravanske (slika 1.6.) i prostorne (slika 1.7.)


prema statičkoj određenosti: statički određene (slika 1.8.) i statički neodređene

(slika 1.9.)


prema geometrijskoj promjenjivosti: geometrijski promjenjive (slika 1.10.) i

geometrijski nepromjenjive (slika 1.11.)



11

1.4. Struktura rada

Završni rad se sastoji od dvije cjeline:

Prvi dio se bavi klasičnim proračunom rešetkastih konstrukcija, odnosno metodama

proračuna kojima su se inžinjeri služili prije pojave računara. Neke od metoda su detaljno

opisane u radu, kao što su Maxwell-Cremonin plan sila, Ritterova metoda i Culmannova

metoda. Pojavom ovih metoda inžinjerima je olakšan proračun i bile su dovoljno precizne za

konstruisanje tadašnjih konstrukcija.

Drugi dio se bavi savremenim metodama proračuna rešetkastih konstrukcija, koje su

se pojavile razvojem računara. Ove metode zahtjevaju implementaciju numeričkih metoda,

poput metode konačnih elemenata, u računarske programe kao što su MD Solids, CADS

Analyse 3D, i mnogi drugi. Razvojem ovih metoda povećala se tačnost i skratilo vrijeme

proračuna, te je razvoj novih konstrukcija dobio veliki zamah.


12

2. Klasične metode proračuna rešetkastih konstrukcija

2.1. Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija

Prije nastavka sa metodama određivanja sila u štapovima, korisno je navesti i neka

elementarna pravila koja bitno mogu pojednostaviti postupak određivanja sila u štapovima

rešetkastih nosača:

Ako na čvor u kojem se sastaju dva štapa ne djeluje vanjsko opterećenje, tada su sile u

tim štapovima jednake nuli (slika 2.1. a.),

Ako na čvor u kojem se sastaju dva štapa djeluje sila u pravcu, koji se poklapa sa

jednim od štapova, sila u drugom štapu jednaka je nuli (slika 2.1. b.),

Ako se u čvoru na koji ne djeluje vanjsko opterećenje sastaju tri štapa od kojih dva

leže na istom pravcu, tada je sila u trećem jednaka nuli (slika 2.1. c.),

Ako na čvor u kojem se sastaju tri štapa, od kojih dva leže na istom pravcu, djeluje

vanjsko opterećenje, sila u trećem pravcu može se odrediti iz zbira projekcija na osu

koja je okomita na pravac na kojem leže dva štapa (slika 2.1. d.),

Ako postoji neopterećeni čvor u kojem se sastaju četiri štapa od kojih po dva leže na

istom pravcu, onda su sile u štapovima koji leže na istom pravcu međusobno jednake

(slika 2.1. e.).

Slika 2.1.


13

2.2. Proračun rešetkastih konstrukcija

Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sljedećih koraka:

1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće otpore oslonaca.

2. Za rešetku kao cjelinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti otpore oslonaca.

Naime, kako na rešetku djeluje ravanski sistem sila, njena ravnoteža će biti ostvarena

ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku A jednaki nuli:

Prvi, vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na dvije

skalarne jednačine, a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u sljedeći sistem jednačina

ravnoteže:

∑

∑

∑

koji podrazumijeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli, i

da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula.

3. Nakon određivanja otpora oslonaca vrši se izračunavanje sila u štapovima, što

se može izvršiti na dva načina:

a) Metodom izdvajanja čvorova (Maxwell-Cremonin plan sila) i

b) Metodom izdvajanja dijela rešetke (Culmannova metoda, Ritterova metoda).

a) Ukoliko se primjenjuje metoda izdvajanja čvorova, polazi se od čvora u kojem

se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lahkim štapovima, kao unutrašnje sile, pretpostavljaju se

kao zatezne. Osim toga, sile otpora oslonaca istog lahkog štapa koje djeluju na različite

čvorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljen

sistem sila u ravni: ∑ ∑

određuju se sile u štapovima. Sukcesivno, prelazi se sa čvora na čvor, imajući u vidu da broj

nepoznatih sila koje djeluju u čvoru bude najviše dva.

b) Pri primjeni metode izdvajanja dijela rešetke vrši se zamišljeno presjecanje

rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile, tako da broj presječenih štapova ne

bude veći od tri. Zatim se zamjenjuje uticaj presječenih štapova silama koje su im kolinearne i

zatezne. Pošto je na ovaj način rešetka podijeljena na dva dijela, a svaki od njih mora biti u

ravnoteži, bira se dio rešetke za koji će se pisati jednačina ravnoteže. Preporučljivo je

posmatrati onaj dio rešetke na koji djeluje manje sila.


14

2.3. Primjer klasičnog proračuna rešetke

Rešetkasti nosač opterećen je silama veličine F=20 kN, kako je prikazano na slici 2.2,

d = 1 m. Odrediti otpore oslonaca i sile u štapovima:

a) Metodom Maxwell-Cremoninog plana sila,

b) Metodom Ritter na datom presjeku R-R,

c) Metodom Culmann u datom presjeku K-K.

Slika 2.2.


15

Određivanje reakcija u osloncima:

∑

∑

∑

2.3.1. Odrađivanje sila u štapovima metodom Maxwell-Cremoninog plana sila

Kod Maxwell-Cremoninog plana sila svi se čvorovi slažu u jedinstveni plan u kojem

se svaka sila pojavljuje jednom, pa je na taj način manje podložan greškama. Nakon

određivanja reakcija u osloncima, poligon vanjskih sila treba konstruisati tako da je redoslijed

sila u njemu onakav kakav je i redoslijed kojim se nailazi na te sile, ako se oko rešetke obilazi

u unaprijed odabranom smislu, jer će se taj smisao zadržati do kraja konstrukcije Maxwell-

Cremoninog plana sila. Preporučljivo je na slici označiti taj smisao.

Kada su ispravno rapoređene sile u poligonu, traži se čvor u kojem se sastaju dva

štapa, kako bi se odredile sile u njima. Takav je čvor 10. Počinje se uravnoteženjem čvora 10

silama S16 i S17. Poznat je iznos i smjer sila S16 i S17, te se može zatvoriti poligon sila. Kada su

određene sile u štapovima S16 i S17 , prelazi se na čvor 9 u kojem su sada nepoznate sile u

štapovima 15 i 14, jer je sila u štapu 16 određena iz prethodno uravnoteženog čvora. Postupak

za svaki čvor je identičan kao i u prethodnom čvoru, pa će na slici 2.3. biti prikazana konačna

konstrukcija Maxwell-Cremoninog plana sila, te očitane vrijednosti sila u štapovima.


16

Slika 2.3.


17

Ako se dogodi da prethodno određena reakcija i sile u štapovima ne zatvaraju poligon

sila, napravljena je pogreška u postupku. Razlog tome jeste što se i uz preciznu grafičku

konstrukciju, prave sitne greške koje se gomilaju. Mogu se tolerisati ako su u prihvatljivim

granicama. Također je važno napomenuti da se mogućnost pogreške povećava ako se sistem

rješava od početka do kraja krećući se samo sa jedne strane, naročito kada nosač ima veći broj

štapova. Da bi se to u što većoj mjeri izbjeglo, najbolje je postupak provoditi tako da se

rješava sa obje strane. Na slici 2.4. je predstavljen grafički prikaz sila u štapovima rešetkaste

konstrukcije (strelice okrenute jedna prema drugoj ukazuju da je štap opterećen na pritisak,

strelice okrenute jedna od druge ukazuju da je štap opterećen na istezanje, dok je štap bez

ucrtanih strelica neopterećen), vanjske sile koje djeluju na konstrukciju, te sile u osloncima.

Slika 2.4.

U tabeli 2.1. također su prikazane vrste naprezanja u štapovima rešetkaste konstrukcije

(znak „+“ predstavlja zategnut štap, znak „-“ predstavlja pritisnut štap, znak „0“ neopterećen

štap).

Broj

štapa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Istezanje + 0 + + + 0 0 +

Pritisak 0 - - - - - - - 0 - 0 -

Tabela 2.1. Sile u štapovima


18

2.3.2. Određivanje sila u štapovima Ritterovom metodom

Ritterova metoda je u osnovi analitička, ali najčešće je u primjeni kao grafoanalitička,

zbog toga što se neke geometrijske veličine obično ne određuju analitički već se direktno

mjere iz nacrta nosača sa opterećenjem. Geometrijske veličine do kojih se na taj način dolazi

najčešće su krakovi sila. Ova metoda naziva se i metodom momentnih tačaka. Svodi se na

analitičko uravnoteženje poznatih sila sa tri nepoznate sile na zadanim pravcima. Kao

analitički uslovi ravnoteže koriste se jednačine za sumu momenata svih sila na odabrane

Ritter-ove tačke.

Da bi se odredile vrijednosti sila u štapovima 10, 11 i 12 Ritterovom metodom, vrši se

zamišljeno presjecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile (slika 2.5.). Zatim

se posmatra ravnoteža jednog od dijelova rešetke. Pogodno je analizirati onaj dio rešetke koji

je opterećen manjim brojem sila. U ovom primjeru posmatraće se desni dio rešetke. Uticaj

lijevog dijela rešetke ulazi preko presječenih štapova, tj. preko sila u presječenim štapovima.

Na taj način desni dio rešetke se tretira kao ploča na koju djeluju dvije sile F, te sile u

štapovima S10, S11 i S12.

Slika 2.5.


19

Dalja analiza podrazumijeva pisanje jednačina ravnoteže za ravanski sistem

proizvoljnih sila. Nepoznate vrijednosti sila odrediće se pisanjem tri momentne jednačine koje

glase:

Za čvor VI:

∑

Za čvor VII:

∑

Za čvor VIII:

∑


20

2.3.3. Određivanje sila u štapovima Culmannovom metodom

Culmannova metoda svodi se na rastavljanje sile u tri pravca, koji se ne sjeku u jednoj

tački. Zapravo se radi o primjeni grafičkog uslova ravnoteže četiri sile. Sile u sva tri štapa su

nepoznate, a poznata je rezultanta vanjskih sila koje djeluju na posmatrani, isječeni dio

nosača. Grafički uslov ravnoteže za četiri sile formulisan je tako da su četiri sile u ravnoteži

ako rezultanta dvije sile leži na istom pravcu sa rezultantom drugih dviju sila, jednaka je sa

njom po veličini, a suprotna po smjeru. Taj se pravac naziva još i Culmannovim pravcem.

Slika 2.6.

Prvo su određene reakcije grafički pomoću verižnog poligona i poligona sila (slika

2.6). Odabran je za posmatranje desni dio nosača, a lijevi je „odbačen“. Na posmatrani dio

nosača djeluju dvije vanjske sile F, te sile u presječenim štapovima S10, S11 i S12, kojima

„odbačeni“ dio djeluje na posmatrani. Kod grafičkog rješavanja nije potrebno pretpostaviti

pozitivne predznake sila u štapovima i označavati orijentacije. Treba sačekati konačan rezultat

i onda označiti orijentacije i tako dobiti i predznake sila u štapovima.

Nakon što su određene reakcije, traži se rezultanta svih sila koje djeluju na lijevi dio i

označava sa FR. Položaj rezultante određen je pomoću verižnog poligona (slika 2.6). Na

temelju već rečenog određeno je presjecište pravaca sila FR i S12 i dobivena tačka kroz koju

prolazi njihova rezultanta. Rezultanta sila S10 i S11 prolazi kroz tačku koja je na istom pravcu

sa rezultantom sila FR i S12, tako da ove dvije rezultante moraju biti u ravnoteži. Time je

dobiven pravac na kojem leže rezultante sila FR i S12, te S10 i S11 (Culmannova prava). Taj

pravac je označen slovom „l“ (slika 2.7.).


21

Slika 2.7.

Da bi se dobile sile u štapovima potrebno je konstruisati zatvoreni poligon sila. Bit će

to četverougao, jer se radi o četiri sile. Prvo se uravnoteži rezultanta FR sa silom S12 i pravcem

„l“, tako se dobije trokut FR, S12 i „l“ , a zatim se uravnoteže sile S10 i S11 sa pravcem „l“

suprotne orijentacije. Tako se pravac „l“ poništava i ostaje zatvoreni četverougao iz kojeg se

mogu očitati veličine sila u štapovima (slika 2.8).

Slika 2.8.


22

3. Savremene metode proračuna rešetkastih konstrukcija

3.1. Metoda konačnih elemenata

Metodama matematičke fizike pojave iz prirode se opisuju matematičkim modelima,

najčešće sistemima diferencijalnih jednačina. Ti se sistemi rješavaju pomoću približnih

numeričkih metoda, koje se implementiraju u računarske programe. Zbog lakše implemetacije

tih numeričkih metoda razvijeni su univerzalni i namjenski paketi koji ne zahtjevaju

poznavanje programerskih vještina.

Jedna od savremenih metoda numeričke analize je i metoda konačnih elemenata. Za

razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji

jednačina graničnih problema, metoda konačnih elemenata se zasniva na fizičkoj diskretizaciji

posmatranog područja. Umjesto elemenata diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva

proučavanja predstavlja dio područja konačnih dimenzija, manje područje ili konačni element.

Zbog toga su osnovne jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim

elementima, a pomoću kojih se formuliše i problem u cjelini, umjesto diferencijalnih ili

integralnih, obične algebarske. Sa stajališta fizičke interpretacije to znači da se posmatrano

područje, kao kontinuum sa beskonačno mnogo stepeni slobode, zamjenjuje diskretnim

modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode. S

obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki,

osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični

problem.

Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po metodi konačnih elemenata

uvijek se svodi na proces „korak po korak“, što je od ogromnog praktičnog značaja za

primjenu računara u efektivnom proračunu. U tom procesu, koji se može prikazati kao

jednostavan algoritam, izdvaja se šest sljedećih koraka:

diskretizacija kontinuuma,

izbor interpolacionih funkcija,

računanje karakteristika elemenata,

formiranje jednačina za mrežu konačnih elemenata,

rješavanje sistema jednačina,

proračun potrebnih uticaja.


23

Od navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Način diskretizacije, izbor oblika

elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode problema koji se rješava i

potrebne tačnosti traženog rješenja. Pored broja i oblika elemenata važan je i izbor čvorova,

osnovnih nepoznatih u njima i interpolacionih funkcija. Pomoću interpolacionih funkcija se

definiše polje promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i

kontinuitet na granicama između pojedinih elemenata, a samim tim i tačnost aproksimacije.

Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili tenzorske veličine.

Karakteristike pojedinih elemenata određuju se nezavisno od mreže elemenata kao

cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za pojedine elemente, a potom na osnovu njih,

sasvim jednostavno, formira se matrica za sistem u cjelini. S obzirom na to da je geometrija

elemenata po pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na niz

jednostavnih.

Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od velikog značaja, danas spadaju

u okvire rutinskog posla, koji je prilagodjen automatskom radu računara.

3.2. Primjer proračuna rešetke metodom konačnih elemenata

Za konstrukciju na slici 3.1. metodom konačnih elemenata odrediti:

a) Pomjeranje čvorova konstrukcije,

b) Naprezanje u elementima,

c) Reakcije oslonaca.

Slika 3.1.


24

Izvrši se indeksiranje elemenata i čvorova, te se usvoji koordinatni sistem.

Slika 3.2.

Formiraju se matrice krutosti konačnih elemenata i prošire se na dimenziju strukture.

Element 1:

i = 1

j = 4

s = 0.5

c = 0.867

l = 2.569 [m]

Matrica krutosti elementa e1:

1e

.750 .433 -.750 -.433

.250 -.433 .250[ ] 7722406.89

.750 .433

sim. .250

K

Proširena matrica krutosti:

1e

.750 .433 0 0 0 0 -.750 -.433

.250 0 0 0 0 -.433 .250

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0[ ] 7722406.89

0 0 0 0

0 0 0

.750 .433

sim. .250

K

i = 1 j = 4

i = 1

j = 4


25

Element 2:

i = 2

j = 4

s = 0.707

c = 0.707

l = 1.693 [m]


2e

.500 .500 -.500 -.500

.500 -.500 -.500[ ] 32763047.75

.500 .500

sim. .500

K


2e

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

.500 .500 0 0 -.500 -.500

.500 0 0 -.500 -.500[ ] 32763047.75

0 0 0 0

0 0 0

.500 .500

sim. .500

K

Element 3:

i = 3

j = 4

s = 0.866

c = -0.500

l = 1.274 [m]


3e

0.250 -0.433 -.250 0.433

0.750 0.433 -0.750[ ] 26754211.86

0.250 -0.433

sim. 0.750

K

i = 2 j = 4

i = 2

j = 4

i = 3 j = 4

i = 3

j = 4


26


3e

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0[ ] 26754211.86

0.250 -0.433 -.250 0.433

0.750 0.433 -0.750

0.250 -0.433

sim. 0.750

K

Matrica krutosti konstrukcije:

0.750 0.433 0 0 0 0 -0.750 -0.433

0.250 0 0 0 0 -0.433 -0.250

2.122 2.122 0 0 -2.122 -2.122

2.121 0 0 -2.122 -2.122[ ] 7722406.89

0.866 -1.500 -0.866 -1.500

2.598 1.500 -2.598

3.738 1.054

sim. 4.969

K

Vektor pomaka čvorova, vektor spoljašnjih sila:

14

24

0

0

0

0{ }

0

0

u

u

δ ,

11

21

12

22

13

23

3

3

{ }

10

2 10

F

F

F

F

F

F

R


27

Dakle, rješava se sistem jednačina:

14

24

0.750 0.433 0 0 0 0 -0.750 -0.433

0.250 0 0 0 0 -0.433 -0.250

2.122 2.122 0 0 -2.122 -2.122

2.121 0 0 -2.122 -2.122722406.89

0.866 -1.500 -0.866 -1.500

2.598 1.500 -2.598

3.738 1.054

sim. 4.969

0

0

0

0

0

0

u

u

11

21

12

22

13

23

3

3

10

2 10

F

F

F

F

F

F

Da bi se odredili nepoznati pomaci u14 i u24 potrebno je riješiti samo sistem od dvije

jednačine:

14

24

0.750 0.433 0 0 0 0 -0.750 -0.433

0.250 0 0 0 0 -0.433 -0.250

2.122 2.122 0 0 -2.122 -2.122

2.121 0 0 -2.122 -2.122722406.89

0.866 -1.500 -0.866 -1.500

2.598 1.500 -2.598

3.738 1.054

sim. 4.969

0

0

0

0

0

0

u

u

11

21

12

22

13

23

3

3

10

2 10

F

F

F

F

F

F

tj.

[

] { } {

}

Rješenje: u14 = 0.0000212 [m]

u24 = 0.0000476 [m]

Sile u čvorovima dobiju se množenjem matrice krutosti sa sada poznatim vektorom

pomaka:

{ }

[ ]


28

3.3. Primjena računara u inžinjerstvu

Prije primjene računara ulagao se veliki napor na teoretska i eksperimentalna

istraživanja novih metoda proračuna relativno niske složenosti. Pojavom računara počela je

njihova primjena u svim područjima ljudske djelatnosti i danas teško možemo zamisliti svijet

bez njih. Imaju primjenu u medicini, bankarstvu, sportu, filmu i svim granama nauke, tehnike

i administracije. Nema ni smisla pokušavati nabrojati sve.

Ovdje će se najviše zanimanja posvetiti primjeni u matematici i tehnici, a posebno u

tehničkoj mehanici i projektovanju konstrukcija. Upotrebom kompjuterskih metoda

projektanti i istraživači se sve više oslobađaju rutinskog posla, što im ostavlja više

mogućnosti i vremena da se posvete kreativnom radu, odnosno razumjevanju fizikalnog

ponašanja konstrukcije. Tako je rješavanje složenih inžinjerskih problema danas nezamislivo

bez primjene numeričkih postupaka i računarskih alata.

Primjena računara u inžinjerstvu odnosi se na:

obradu teksta,

tablične proračune,

prezentacije,

rješavanje matematičkih problema,

simulacije,

modeliranje i vizualizaciju,

projektovanje,

upravljanje mašinama,

baze podataka,

komunikacije,

kontrolu kvaliteta,

dijagnostiku, itd.

U svrhu projektovanja, izrade tehničke dokumentacije, simulacija, pripreme

proizvodnog procesa, ili samo za vizuelni prikaz izrađuju se 2D i 3D modeli, sa sve većom

upotrebom CAD (Computer Aided Design – Projektovanje podržano računarom) softvera. Za

rješavanje problema vezanih za rešetkaste nosače će biti korišteni softveri kao što su

MDSolids i CADS Analyse 3D. Primjer 2.3. iz prethodnog poglavlja će biti obrađen i u ovom

poglavlju u navedenim softverima, te upoređeni rezultati proračuna dobiveni klasičnim

metodama sa savremenim softverskim metodama.


29

3.4. Proračun pomoću računarskih softvera – MDSolids

Softver MDSolids sadrži rutine za rješavanje problema na gredama, probleme

savijanja, uvijanja, probleme aksijalnih struktura, statički neodređenih struktura, rešetkastih

nosača, osobina presjeka, analize Mohr-ovog kruga, itd. Za određivanje sila u štapovima

rešetkastih nosača koristi se modul Trusses, ograničen na ravanske rešetkaste nosače. Modul

Trusses prikazan je na slici 3.3. ispod:

Slika 3.3.

Definisanje geometrije rešetkastog nosača počinje odabirom opcije New Truss, nakon

čega se pokreće forma za definisanje koordinatne mreže Define Grid (slika 3.4).

Slika 3.4.


30

Koordinatna mreža se koristi za pojednostavljenje unosa parametara za analizu

rešetkastog nosača. Definisanje veličine razmaka i broja tih razmaka u koordinatnoj mreži u

smjeru x i y ose vrši se unosom podataka u formu Define Grid (slika 3.4), nakon čega se

pojavljuje sljedeći prozor (slika 3.5):

Slika 3.5.

Relativna razmjera mreže može se činiti „pogrešnom“ na temelju stvarnih udaljenosti

crta rešetke. Ovaj problem se rješava podešavanjem broja razmaka u koordinatnoj mreži.

Štapovi, oslonci i opterećenja rešetkastog nosača se definišu pomoću miša. Opcije za

unos (Create) i brisanje (Erase) geometrije rešetkastog nosača prikazane su na lijevoj strani

prozora (slika 3.5). Definisanje štapova počinje odabirom opcija Create i Members, nakon

čega se, pomoću miša, definiše početak i kraj svakog štapa u koordinatnoj mreži. Štapovi će

biti definisani između početka i završetka mrežnih mjesta. Za primjer 2.3. iz prethodnog

poglavlja štapovi će biti definisani kao na slici 3.6.


31

Slika 3.6.

Nakon definisanja štapova, vrši se definisanje oslonaca date rešetkaste konstrukcije.

MDSolids rješava statički određene rešetkaste nosače, koji zahtjevaju tri reakcije oslonca za

ravnotežu (dva u pravcu y-ose i jedan u pravcu x-ose). Definisanje oslonaca počinje odabirom

opcija Create i Supports, nakon čega se definišu oslonci na zadatim mjestima u koordinatnoj

mreži. Nepokretni oslonac, koji ima reakcije u x i y osi, definisan je kao na slici 3.7, dok je

pokretni oslonac, koji ima reakciju samo u y osi, definisan kao na slici 3.8.


Definisani oslonci sa štapovima za primjer 2.3. iz prethodnog poglavlja će izgledati

kao na slici 3.9.


32

Slika 3.9.

Nakon definisanja oslonaca se unose opterećenja koja djeluju na konstrukciju.

Definisanje opterećenja počinje odabirom opcija Create i Loads, nakon čega se ucrtava sila u

željenom smjeru, počevši od tačke u kojoj djeluje sila. Ucrtavanjem opterećenja pojavljuje se

forma za definisanje opterećenja (slika 3.10).

Slika 3.10.

Potrebno je unijeti vrijednost opterećenja u Newton jedinicama, te potvrditi unos i

definisati svako opterećenje na željenim mjestima na konstrukciji. Definisanjem opterećenja

završava se sa definisanjem čitave konstrukcije, kao što se može vidjeti na slici 3.11.


33

Slika 3.11.

Nakon:

definisanja štapova rešetkastog nosača,

definisanja barem tri reakcije oslonaca, i

definisanja barem jednog opterećenja,

dugme Compute postaje vidljivo (slika 3.11). Pritiskom na dugme Compute počinje analiza

rešetkaste konstrukcije. Rezultati analize su prikazani na štapovima rešetke (slika 3.12).

Reakcije oslonaca su prikazane strelicama u smjeru u kojem djeluju, a veličine reakcija

prikazane su pored ucrtanih strelica. Pritisnuti štapovi su prikazani žutom, zategnuti plavom, a

neopterećeni štapovi ljubičastom bojom.


34

Slika 3.12.

Kao što se može vidjeti, rezultati analize dobiveni u softveru MDSolids se poklapaju

sa rezultatima dobivenim klasičnim metodama proračuna, međutim, uveliko olakšavaju i

pojednostavljuju postupak.


35

3.5. Proračun pomoću računarskih softvera - CADS Analyse 3D

CADS Analyse 3D obavlja elastičnu analizu strukture nosača u dvije ili tri dimenzije.

Softver uzima u obzir kretanje oslonca, i kao dio svog kontinuiranog razvoja pokriva krutost

na smicanje, fiksno pomjeranje, nedostatak podešavanja i efekte temperature. Program

provodi analizu modela konstrukcije koja se gradi kao okvir sastavljen od štapova i čvorova,

koristeći razne alate pružene u softveru (slika 3.13).

Slika 3.13.

Definisanje geometrije rešetkastog nosača počinje kreiranjem čvorova pomoću alata

Joints/Supports. Pokretanjem ovog alata otvara se forma za unos koordinata čvorova

rešetkaste konstrukcije. Obzirom da se nosač iz primjera 2.3. iz prethodnog poglavlja nalazi u

dvije dimenzije, koordinate za z-osu će za svaki čvor biti bez vrijednosti. Koordinate za

čvorove u x i y dimenziji, izražene u metrima, mogu se vidjeti na slici 3.14.


36

Slika 3.14.

Nakon čvorova, definisanje štapova vrši se alatom Quick Member kojim se povezuju

čvorovi prema željenom rasporedu. Pri pokretanju alata Quick Member pojavljuje se forma za

podešavanje osobina štapova, na koju se odgovara sa OK. Definisani štapovi sa čvorovima su

vidljivi na slici 3.15.

Slika 3.15.

Definisanje oslonaca vrši se također preko alata Joint/Supports, tako što se označi čvor

koji predstavlja oslonac, te ponovo pokrene alat Joint/Supports. U otvorenoj formi za unos

koordinata čvorova označen je određeni čvor. Pokretanjem naredbe Edit Support otvara se

nova forma za definisanje translacije i rotacije označenog čvora (slika 3.16).


37

Slika 3.16.

Da bi oslonac bio nepokretan translacija se po svim dimenzijama učvrsti, odnosno

namjesti na Fixed, a rotacija ostavi slobodna, odnosno odabere se Free. Ista procedura se

provede za drugi oslonac, s tim što će se translacija po x-osi ostaviti slobodna. Sa ovim je

završeno definisanje oslonaca, pa slijedi prelazak na opterećenja. Za definisanje opterećenja

potrebno je označiti čvor u kojem djeluje sila, odnosno nosač ako je u pitanju kontinualno

opterećenje. Nakon označavanja čvora pokreće se alat Loads, pri čemu se pokreće forma za

definisanje opterećenja (slika 3.17).

Slika 3.17.

Pošto sila djeluje u čvoru, potrebno je odabrati karticu Joint. Za unos sile pokreće se

naredba New, pri čemu se otvara forma Joint Load u kojoj se definiše sila koja djeluje u tom

čvoru (slika 3.18). Ukoliko je potrebno izbrisati ili urediti podatke za određenu silu izabere se

opcija Delete, odnosno Edit.


38

Slika 3.18.

Potvrdom definisane sile ponovo se pojavljuje prozor za definisanje opterećenja, ali sa

novom silom F. Da bi se postavila sila F u označeni čvor odabere se dugme , te zatvori

forma. Ista procedura se ponovi za svaki čvor u kojem djeluje određena sila. Konačno

definisani rešetkasti nosač sa svim čvorovima, štapovima, osloncima i opterećenjima prikazan

je na slici 3.19.

Slika 3.19.

Nakon završetka definisanja nosača, pokrene se alat Combinations kojim se

primjenjuju unesena opterećenja (slika 3.20). U otvorenom prozoru potrebno je pokrenuti

naredbu New i potvrditi otvorenu formu, te zatvoriti alat Combinations.


39

Slika 3.20.

Da bi bila izvršena analiza rešetkaste konstrukcije pokrene se naredba Calculate.

Ukoliko već nije pohranjena datoteka, program će to zahtjevati nakon pokretanja naredbe

Calculate. Rezultati analize vidljivi su pokretanjem naredbe Results (slika 3.21), gdje se mogu

vidjeti reakcije u osloncima nosača, pomaci tačaka, efekti sila u štapovima, kao i ugibi

štapova.

Slika 3.21.

Grafički rezultati analize mogu se vidjeti pokretanjem naredbe Result Graphs (slika

3.22). Odabirom opcije Labels omogućava se prikazivanje brojnih vrijednosti analize. Ova

naredba omogućava prikaz deformacije rešetke, dijagrama momenata, uvijanja, aksijalnih i

transverzalnih sila.


40

Slika 3.22.

Odabirom opcije Axial u naredbi Results Graph mogu se vidjeti dijagrami aksijalnih

sila u štapovima rešetke, kao i vrijednosti sila u štapovima (slika 3.23).

Slika 3.23.

Kao što se može vidjeti, rezultati analize dobiveni u softverskom modulu CADS

Analyse 3D poklapaju se sa klasičnim proračunom, kao i sa analizom u softveru MDSolids.


41

4. Zaključak

Nakon rješavanja zadatka Maxwell-Cremoninim planom sila, Ritterovom i

Cullmanovom metodom, te zatim softverskim paketima kao što su MDSolids i CADS

Analyse 3D dobijena su približno jednaka rješenja. Može se zaključiti da su sve metode

zadovoljavajuće tačne, te da nije bilo grešaka u postupku. Međutim, ako se uzme u obzir da

računari rade tačnije, mnogo brže i pouzdanije od čovjeka, uviđa se evidentna prednost

softverskih metoda proračuna. Jednostavnost korištenja programa, mogućnost interakcije sa

drugim softverima, precizna pohrana podataka, samo su neke od prednosti upotrebe

softverskih metoda proračuna. Broj raspoloživih znamenki, koje određuju tačnost proračuna

ograničen je samo memorijom računara.

Međutim, rezultati proračuna mogu imati velike pogreške u poređenju sa stvarnim

stanjem konstrukcije. Mogu se podijeliti na one koje se mogu i na one koji se ne mogu

izbjeći. One greške koje se mogu izbjeći su produkt neznanja, poput loše koncepcije objekta,

lošeg modeliranja, neispravnog kompjuterskog koda, postupka proračuna ili previda poput

krivog množenja. Neizbježne pogreške nastaju:

pri aproksimaciji projektovane konstrukcije matematičkim modelom,

pri aproksimaciji matematičkog modela numeričkim,

pri rješavanju numeričkog modela,

zbog netačnosti izvedene konstrukcije u odnosu na projektovanu.

Proračuni sa mnogo decimala i lijepom grafikom prividno su „apsolutno pouzdani pa

ih ne treba provjeravati“. Zbog toga se inžinjer ne bi smio birokratski pridržavati propisa, već

je, kao i u doba bez računara potrebno znanje, iskustvo i intuicija dobrog inžinjera.

„Zapamtite da su rezultati dobiveni proračunom numeričkog modela samo procjena ponašanja

izvedene konstrukcije. Konstrukcija se ponaša prema temeljnim zakonima fizike, a ne prema

propisima ili uputama za korištenje kompjuterskog programa.“ – Edward L. Wilson


42

5. Literatura

1. I. Kovačić: „Rešetkasti nosači“, Novi Sad, 2010.

2. H. Prović: „Grafički postupci analize ravanskih rešetkastih nosača“, Zagreb, 2010.

3. I. Knežević, M. Mikolin, D. Markulak: „Proračun priključaka u rešetkastim čeličnim

nosačima prema Eurokod normama“, Osijek, 2010.

4. R. Paar: „Metode konačnih elemenata“, Zagreb, 2003.

5. S. Lemeš: „Područja primjene računara“, Zenica, 2012.

6. J. Dvornik, D. Lazarević: „Manjkavosti proračunskih modela inžinjerskih

konstrukcija“, Zagreb, 2005.

Omanović Elvis - Klasične i savremene metode proračuna rešetkastih konstrukcija

Documents

Transcript of Omanović Elvis - Klasične i savremene metode proračuna rešetkastih konstrukcija